平面向量的所有公式
平面法向量的计算公式
平面法向量的计算公式
另一种方法是使用平面上的三个点来计算法向量。
如果平面上
有三个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，那
么可以通过向量叉乘来计算法向量。
假设向量P1P2 = v1 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)，向量P1P3 = v2 = (x3-x1, y3-y1, z3-z1)，则法
向量n = v1 × v2 = (i, j, k)，其中i、j、k分别是向量v1和
v2的分量。
这样得到的法向量n就是平面的法向量。
另一种情况是，如果已知平面的法向量n = (A, B, C)和平面
上一点P(x0, y0, z0)，也可以直接得到平面的方程为Ax + By +
Cz = D，其中D = Ax0 + By0 + Cz0。
这时平面的法向量就是n = (A, B, C)。
综上所述，平面法向量的计算公式可以根据平面的已知信息来
灵活选择使用点法式、向量叉乘或者直接读取法向量的分量来计算。
这些方法都可以帮助我们准确地计算出平面的法向量。
平面法向量公式
平面法向量公式
平面法向量是指平面上一组向量，也称平面方向向量，它指向平面正方向。
平面法向量公式指出三个不同的点之间的关系。
如果A，B，C是三个点，则平面法向量公式为： N= (B-
A)X(C-A)
算法法向量是根据空间几何学中夹角的定义引入的，它由夹角旁的对边构成，表示该夹角的正方向，也就是平面的正方向。
平面法向量的计算依赖于向量的知识，具体来说，要确定任意三点组成平面的法向量，首先需要确定三点坐标，例如三点 A，B，C的坐标分别为(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)。
法
向量表示为N，可以采用叉乘公式计算：N= (A2-A1)X(A3-
A1) 。
法向量表示多维物体旋转或平移的方向，在计算机图形学、力学、热力学中都广泛应用。
在计算机图形学中，法向量用于求解光照系统，确定视角变换，确定Bézier曲面等。
力学中，
可以利用法向量来计算滑动及接触方向，以及单位磁场和单位耗散磁场，确定磁力线分布等。
热力学中，可以利用法向量求解相变平衡的条件，确定温度、流量及压力等变量的关系。
总之，平面法向量公式被广泛应用于多个领域，有助于计算几何学中相当复杂的问题，可以用于碰撞检测，模拟对象的重力行为，以及物理系统的仿真等。
以上就是对平面法向量公式的介绍，从定义它的基本原理，到它在各领域的重要作用，都有了更深入的认识。
可以看出，平面法向量公式是一个有效的工具，可以用于重要的研究与实践，相信它会带给我们更多新的应用。
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
平面向量坐标平行和垂直的公式
平面向量坐标平行和垂直的公式1. 向量的基础知识好啦，今天咱们来聊聊平面向量，特别是它们之间的关系，像是平行和垂直这两个小伙伴。
说实话，向量就像是生活中的小旅行，它们有起点，有方向，还有长度，简直就是小小的“冒险家”。
你想想，一条向量从原点出发，像极了你从家出发去探险，带着满满的目标和激情。
你知道吗？在平面上，向量其实是有坐标的，通常我们会用（x, y）来表示。
比如说，向量A可能是（2, 3），这就意味着它向右走了2步，向上走了3步，想想都觉得帅气！那么，平行和垂直又是什么呢？简单来说，如果两个向量在同一条路上并肩而行，那它们就是平行的。
而如果它们就像两条交叉的铁路，毫不相干地相遇，那它们就是垂直的。
明白了这两者的意思，我们就能更轻松地在向量的世界里遨游啦。
2. 向量平行的公式2.1 平行的定义说到平行，其实在数学上有个很简单的条件。
两个向量A和B要平行，就得满足A和B成比例。
你可以把它想象成两个兄弟，虽然走的方向一样，但步伐可能不一样。
例如，向量A是（2, 4），而向量B是（1, 2）。
这两个向量的关系就像兄弟俩，一人走两步，另一人就跟着走一步，绝对是心有灵犀。
2.2 公式所以我们可以用一个简单的公式来表达这个关系：如果存在一个不为零的数k，使得A = kB，那么A和B就是平行的。
这个k就像是你的好朋友，他让你在不同的速度下，一起走向同一个目标。
这么说吧，假设k=2，A=(2, 4)，B=(1, 2)。
通过这个公式，你会发现这两位兄弟真的是一路向前，互不干扰，哈哈。
3. 向量垂直的公式3.1 垂直的定义那么垂直呢？垂直就像是两条路在一个十字路口交叉，简直就是各走各的。
如果两个向量A和B垂直，它们的点积（也就是内积）必须等于0。
听上去有点复杂，其实就是说，它们的方向完全不一样，完全不打架。
3.2 公式我们用公式来表示这个关系：如果A·B = 0，那A和B就垂直。
你看，点积A·B = Ax * Bx + Ay * By。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面求法向量公式
平面求法向量公式1. 平面法向量的定义。
- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。
2. 求平面法向量的公式推导（设平面α内有两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)）- 设平面α的法向量为→n=(x,y,z)。
- 因为→n是平面α的法向量，所以→n⊥→a且→n⊥→b。
- 根据向量垂直的性质，若两个向量垂直，则它们的数量积为0。
- 可得<=ft{begin{array}{l}→n·→a = 0 →n·→b=0end{array}right.，即<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y + z_2z=0end{array}right.。
- 为了求解x,y,z，我们可以采用赋值法。
例如，先令z = 1（当z_1和z_2不全为0时），然后解关于x和y的二元一次方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.。
- 由二元一次方程组的求解方法，先计算x的值：- 对于方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.，x=(<=ftbegin{array)/(ll)-z_1y_1 -z_2y_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-z_1y_2 +z_2y_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
- 再计算y的值：- y=(<=ftbegin{array)/(ll)x_1-z_1 x_2-z_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-x_1z_2 +x_2z_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。
平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。
下面就来介绍一下平面向量的基本公式。
1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。
平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。
2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。
其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。
3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。
平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。
平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。
例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。
6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。
7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。
平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。
总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。
平面向量模计算公式
平面向量模计算公式
在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量。
平面向量的模是指其大小，通常用|AB|表示，其中A和B分别是向量的起点和终点。
计算平面向量的模可以使用以下公式：
若平面向量为A=(a, b)，则其模|A|的计算公式为：
|A| = √(a² + b²)。
这个公式实际上就是利用了勾股定理，将向量的两个分量看作直角三角形的两条直角边，利用勾股定理计算向量的模。
举个例子来说，如果有一个平面向量A=(3, 4)，那么它的模|A|的计算公式为：
|A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
因此，这个向量的模为5。
平面向量的模在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在力的合成、速度的计算等方面都会用到。
因此，掌握平面向量模的计算公式是非常重要的。
希望这个简单的公式能够帮助大家更好地理解和运用平面向量。
平面向量的公式的知识点总结
平面向量的公式的知识点总结定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
平面向量公式总结
平面向量公式，轻松掌握的关键平面向量的公式是学习向量初步的重要基础。
下面将为大家简单总结平面向量公式，帮助大家轻松掌握。
1.向量的加法向量a+b的结果是以向量a的起点为起点，向量b的起点为终点的向量。
其公式表达为：a+b=(a1+b1,a2+b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。
2.向量的减法向量a-b的结果是以向量b的终点为起点，向量a的终点为终点的向量。
其公式表达为：a-b=(a1-b1,a2-b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。
3.向量的数乘数乘指的是一个实数（数学中的标量）乘以向量，结果是一个新向量。
其公式表达为：k*a=(k*a1,k*a2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。
k为标量。
4.向量的模向量的模指向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
其公式表达为：|a|=sqrt(a1^2+a2^2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。
5.向量的点积向量的点积也称为向量的内积或数量积，它是两个向量的数量积的夹角余弦值乘以向量模长。
其公式表达为：a·b=|a|×|b|×cosθ注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角。
6.向量的叉积向量的叉积也称为向量的外积或矢量积，它是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小与平面法向量的方向所确定的矢量。
其公式表达为：a×b=|a|×|b|×sinθ×n注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角，n是一个与向量a和向量b均垂直的向量。
小结：平面向量的公式不仅是学习向量初步的重要基础，也是在以后学习更高深的数学知识时用到的重要基础。
只有掌握了这些公式，才能够在向量的加、减、数乘、模、点积和叉积等各方面轻松应对。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
平面向量的向量积和三角形面积公式
平面向量的向量积和三角形面积公式平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。
在平面向量运算中，向量积和三角形面积公式是两个重要的概念，用于计算向量的叉乘和三角形的面积。
一、向量积的概念与计算向量积也称为叉乘，用符号×表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积a×b是一个新的向量c，其大小等于a和b的长度乘积与它们夹角的正弦值，方向垂直于平面a和b所张成的平面。
向量积的计算公式如下：c = a×b = |a|×|b|×sinθ×n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所张成平面的单位法向量。
二、向量积的性质1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 结合律：a×(b×c) = (a·c)b - (a·b)c三、向量积和三角形面积公式1. 向量的模长与面积关系设a和b是平面内的两个向量，S为以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，则有S = |(a×b)| = |a × b| = |a| × |b| × sinθ其中，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 三角形面积公式设△ABC为平面内的一个三角形，其边向量分别为a、b和c，则△ABC 的面积S可以由任意两个边向量的向量积求得，即S = ½ |(a×b)| = ½ |a × b|其中，a和b为△ABC的两边向量，S表示△ABC的面积。
四、实例分析为了更好地理解向量积和三角形面积公式的应用，我们来看一个具体的例子。
假设有一个三角形ABC，其中A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。
我们可以通过向量AB和向量AC来求得三角形ABC的面积。
平面向量的全部公式。
平面向量的全部公式。
平面向量的全部公式1. 向量表示：设向量AB的起点为A，终点为B，则向量AB可以表示为位置向量OB - OA，即AB = OB - OA。
2. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，即向量AB的长度。
设向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，则有|AB| = sqrt(ABx^2 + ABy^2)。
3. 向量的加法：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则有向量AB + 向量CD的坐标表示为(ABx + CDx, ABy + CDy)。
4. 向量的减法：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则有向量AB - 向量CD的坐标表示为(ABx - CDx, ABy - CDy)。
5. 数乘：设向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，k为常数，则有向量kAB的坐标表示为(k * ABx, k * ABy)。
6. 单位向量：模为1的向量称为单位向量。
设向量AB的模为1，则向量AB 为单位向量。
7. 向量的点乘：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则向量AB与向量CD的点乘表示为AB · CD = ABx * CDx + ABy * CDy。
8. 向量的夹角：设向量AB和向量CD分别为非零向量，夹角为θ，则有以下关系：AB · CD = |AB| * |CD| * cos(θ)。
以上是平面向量的一些基本公式，通过这些公式可以进行向量的运算和分析。
平面向量积化和差公式
平面向量积化和差公式一、平面向量的定义和表示方法平面向量是一个有向线段，可以用有序的两个点表示。
通常用字母加箭头表示向量，如向量a记作$\overrightarrow{a}$。
向量的长度称为向量的模，记作$|\overrightarrow{a}|$。
向量的方向由起点指向终点的方向确定。
二、向量积的定义和性质1. 向量积的定义：设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，它们的向量积记作$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$。
向量积的大小等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，即$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \sin\theta$，其中$\theta$为$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角。
2. 向量积的性质：(1) 非交换性：$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$(2) 分配律：$\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times\overrightarrow{c}$三、向量差的定义和性质1. 向量差的定义：设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个向量，它们的差记作$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$。
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平面向量的所有公式
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos 〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。
若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
7、定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
8、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
9、三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
10、向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
11、向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a•b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.。