(完整版)2017年解三角形知识题型归纳,推荐文档

③若 a2 b2 c2 ，则 C 90 ．
12、三角形的五心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
题型之一：求解斜三角形中的基本元素
即 sin B cos A 2 sin A cos A ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
当 cos A 0 时， A ， B ， a 4
3 ，b 2
3
，
2
6
3
3
当 cos A 0 时，得 sin B 2sin A ，由正弦定理得 b 2a ，
联立方程组
a2 b2
SA ABC
1 bc sin A 2
1 bc 2
2
，则 bc＝3。
2
3
将 a＝2，cosA＝ 1 ，c＝ 3 代入余弦定理： a2＝b＋2 －c2 2bc cos A 中，
3
b
得 b4－6＋b2＝ 9 0 解得 b＝ 3 。
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即 可。
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解三角形常用知识点归纳与题型总结
1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； ②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.
③.锐角三角形性质：若 A>B>C 则 60 A 90, 0 C 60 .
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005 年北京春季高考题)在 ABC 中，已知 2sin Acos B sin C ，那么 ABC 一定
是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
解法 1：由 2 sin A cos B sin C ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
面积。
答案： SABC
1 2
AC
AB sin
A
1 2
23
2 4
6
3 (
2
4
6)
3. （07 浙江理 18）已知 △ABC 的周长为 2 1 ，且 sin A sin B 2 sin C ． （I）求边 AB 的长； （II）若 △ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数．
6
解：（I）由题意及正弦定理，得 AB BC AC 2 1 ， BC AC 2AB ， 两式相减，得 AB 1．
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
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1 （15 北京理科）在 △ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 sin 2A
．
sin C
si n 2A
试题分析：
2 si n A cos A
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（II）由 △ABC 的面积 1 BCAACAsin C 1 sin C ，得 BCAAC 1 ，
2
6
3
由余弦定理，得 cos C AC2 BC2 AB2 ( AC BC)2 2 ACABC AB2 1 ，
2 AC ABC
2 AC ABC
2
所以 C 60 ．
题型之四：三角形中求值问题
王新敞
奎屯
3
36
3
故 BC=2，从而 AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos B 28 ，即 AC 2 21 sin 又 新疆 B
30
，
王新敞
奎屯
3
3
6
2 21 故 2 3 ， sin A
sin A 30
70
新疆 王新敞
奎屯
14
6
在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 2 2 ，C＝15°，求 A。 答案：∴B，且A，∴ 00 A 1800 A 300
2bc
2
在△ABC 中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理 1 3 c sin C sin(120 B)
2
b sin B
sin B
sin120 cos B cos120sin B 3 cot B 1 , 解得 cot B 2, 从而 tan B 1 .
2a
b2
c2
a2
si n C
si n C
c
2bc
2 4 25 36 16 1
6
2 5 6
2.（2005 年全国高考湖北卷)
在 ΔABC 中，已知 AB 4 6 , cos B
6 ，AC 边上的中
3
6
线 BD= 5 ，求 sinA 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA．
①已知两边和夹角，求其余的量。 ②已知三边求角 11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一 成边的形式或角的形式
设 a 、 b 、 c 是 AC 的角 A 、 、 C 的对边，则：
①若 a2 b2 c2 ，则 C 90 ；
②若 a2 b2 c2 ，则 C 90 ；
3、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C, cos( A B) cos C,
tan( A B) tan C,
sin A B cos C , cos A B sin C , tan A B cot C
2
2
2
2
2
2
（1）和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
1.
(2005 年全国高考天津卷)
a、b、c ，
在 ABC 中， A、B、C 所对的边长分别为
设 a、b、c 满足条件 b2 c 2 bc a 2 和 c 1 3 ，求 A 和 tan B 的值． b2
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理 cos A b2 c 2 a 2 1 ，因此， A 60
2
2
（3）辅助角公式（化一公式）
y a sin x b cos x a 2 b2 sin(x ) 其中 tan b a
4、正弦定理：在 AC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 、 C 的对边， R 为 AC 的
外接圆的半径，则有 a b c 2R ． sin A sin sin C
4．在 △ABC 中，内角 A，，B C 对边的边长分别是 a，b， c ，已知 c 2 ， C ． 3
（Ⅰ）若 △ABC 的面积等于 3 ，求 a，b ；
（Ⅱ）若 sin C sin(B A) 2sin 2A ，求 △ABC 的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有 关知识的能力．
b
2a，
ab
4，
解得
a
23 3
，
b
43 3
．
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所以 △ABC 的面积 S 1 ab sin C 2
3
．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
2
3
题型之五（解三角形中的最值问题） 1.（2013 江西理）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
cos C (cos A 3 sin A) cos B 0 .
2ac
2a
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法 1)，⑵统 一化为边，再判断(如解法 2)．
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1.
2．在 ABC 中， sin A cos A 2 ， AC 2 ， AB 3 ，求 tan A 的值和 ABC 的 2
sin B
2
2
2
2． ABC 的三个内角为 A、B、 C ，求当 A 为何值时， cos A 2 cos B C 取得最大值， 2
并求出这个最大值。
B+Cπ A
B+C A
解析：由 A+B+C=π，得 2 = 2 －2，所以有 cos 2 =sin2。
B+C
A
A
A
A 13
cosA+2cos 2 =cosA+2sin2 =1－2sin22 + 2sin2=－2(sin2 － 2)2+ 2；
解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE//AB，且 DE 1 AB 2
6 ，设 BE＝x新疆
王新敞
奎屯
2
3
在 ΔBDE 中利用余弦定理可得： BD 2 BE 2 ED 2 2BE ED cos BED ，
5 x 2 8 2 2 6 6 x ，解得 x 1 ， x 7 （舍去）新疆
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， a2 b2 ab 4 ，
又因为 △ABC 的面积等于 3 ，所以 1 ab sin C 3 ，得 ab 4 ． ∙∙∙∙∙∙∙4 分 2
联立方程组
a2 b2
ab
4，
ab
4，
解得
a
2
，
b
2
．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6
分
（Ⅱ）由题意得 sin(B A) sin(B A) 4sin Acos A ，
sin A sin sin C sin A sin sin C