4、场的正则量子化

§4、场的正则量子化

场的量子化的形式与质点系相似。场函数及正则共轭场函数过渡至算符，不再描写体系的态，而物理的态则由Hilbert 空间的矢量描述。力学量随时间演化的方程中，以量子Piosson 括号取代经典Piosson 括号：（仍在海森堡绘景中讨论，算符随时间变，而态不变）：

][1

],[1},{GF FG i G F i G F -≡→

（4-1） ],[1H F i F

= （4-2） 当F 显含t 时，右边还有一项t

F

∂∂。

一、电磁场的量子化

经典电磁场满足Maxwell 方程：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇∂∂-

=⨯∇=⋅∇=⋅∇t c c t c E J B B

E B E 14104ππρ （4-3） 用四度矢势),(ϕA 表为：

J A A A c

t c t c t c t c t c πφπρφφ4)1()1(4)1(1)1(222222=∂∂+⋅∇∇-∇-∂∂=∂∂+⋅∇∂∂-∇-∂∂ （4-4） 由电磁场B E,在以下规范变换下

χ∇+→A A t

c ∂∂+

→χ

ϕϕ1 （4-5） 具有不变性。通常有两种规范 Lorentz 规范

01=∂∂+⋅∇t

c φA （4-6）

此方程具有协不变性，然而与量子化不相容。 Coulomb 规范

0=⋅∇A （4-7）

此时，虽然矢势方程丧失了Lorentz 协变性，但不影响真正的物理量B E,，而且能很方便的进行量子化。在Coulomb 规范下，场方程成为

ϕ

ππρ

ϕ∇∂∂+=∇-∂∂=∇t c c t

c 14)1(42

2222J A （4-8） 下面考虑自由场：0=ρ，0=J ，因而0=ϕ，于是

0)1(222

2=∇-∂∂A t

c （4-9） A B ⨯∇= t

c ∂∂-

=A

E 1 （4-10） 拉格朗日量

⎰∑∂∂-∂∂=})()(1{812

2

2ij j

i x A t c d L A x π （4-11） A 的共轭场量

i i i

i E c A c A πππ41

412-==∂∂=

（4-12） 相应的Hamilton 函数

)(81})(81

2{2

22

2

2

B E d x A c d H ij

j i +=∂∂+

=⎰⎰∑x x ππ

ππ （4-13） 在量子化以后，),(t x A 成为算符。为了与0=⋅∇A 相容，我们把对易关系中的

)(x x '-δ修正为)(x x '-tr

ij δ。即：

0)],(),([='t A t A j i x x ， （4-14a ） 0)],(),([='t t j i x x ππ， （4-14b ） )()],(),([1x x x x '-='tr

ij j i t t A i δπ，

（4-14c ） 其中

)(2)(1

)(x x k x x '-⋅-≡

'-∑i j i k

ij tr ij

e

k k k V δδ |

|1

41)(x x x x '-∂∂∂-

'-=j i ij x x πδδ （4-15）

否则

0)()],(),([≠'-∂∂

='⋅∇x x x x A δπj

j x i t t

，

与（4-7）矛盾。

作平面波分解，考虑横场条件（4-7），有

(,)()()]

(,)()()]

i i

kj kj kj

kj

i i

kj kj kj

kj

t e b t e b t

t e b t e b t

⋅-⋅+

⋅-⋅+

=+

=-

k x k x

k x k x

A x e

πx e

（4-16）

其中色散关系为

|

|

)

(k

c

k=

ω（4-17）

而

kj

e)2,1

(=

j是两个相互正交的横向单位矢。

逆变换

kj

i

kj

kj

i

kj

t

k

c

i

t

c

k

e

d

V

b

t

k

c

i

t

c

k

e

d

V

b

e

x

π

x

A

x

e

x

π

x

A

x

x

k

x

k

⋅

-

=

⋅

+

=

⋅

+

⋅

-

⎰

⎰

)]

,

(

)

(

2

),

(

8

)

(

[

1

)]

,

(

)

(

2

),

(

8

)

(

[

1

2

2

2

2

ω

π

π

ω

ω

π

π

ω

（4-18）

由对易关系（4-14）得

]

,

[=

''j

j

b

b

k

k

]

,

[=

+

''

+

j

j

b

b

k

k j j

j

j

b

b

'

'

+

''

=δ

δ

k

k

k

k

]

,

[（4-19）用b，+b来表示H，得：

∑+

=+

j

kj

kj

k

b

b

H

k

)

(

)

2

1

(ω

（4-20）可见电磁场也可以分解为许多简振子之和，每一波矢k对应两个模式（偏振方向）的玻色子，即横光子。

电磁场量子化的一些效应的例子为

ⅰ）热平衡的电磁场的态密度由Plank公式给出：

1

)

(

/

2

3

2-

=

kT

e

d

c

d

u

ω

ω

ω

π

ω

ω

（4-21）只要求)

ˆˆ(2

2E

T

E

r

ρ

>=

<，便知（E是电场）

ⅱ）原子自发辐射

在量子力学中，经典电磁场与荷电粒子的相互作用为A

p⋅

mc

e

, 而当外场不存在时（0

≡

A）无相互作用。因而基态不能自发跃迁。在量子场论中，零点能存在。如果把场分解为本征模式之和，以下矩阵元对自光子从基态向激发态跃迁