2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：选修4-4第2讲参数方程Word版含答案

第2讲 参数方程

板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某

个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝f (t )，

y ＝g (t )

(*)，如果对于t 的每一个允许值，由方程

组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参数．

考点2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1，

y ＝2－t (t ≥1)表示的曲线为直线．( )

(2)直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3cos α，

y ＝3sin α

(α为参数)的交点个数为

1.( )

(3)直线⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2＋t cos30°

，y ＝1＋t sin150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )

(4)参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭

圆．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．已知圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)，以坐标原点为极

点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcos α－4ρsin α－9＝0，则直线与圆的位置关系是( )

A ．相切

B ．相离

C ．直线过圆心

D ．相交但直线不过圆心

解析 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为3x －4y －9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋(－4)2＝9

5<2，所以直线与圆相交．显然直线不过原点(0,0)．故选D.

3．[2018·安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知

直线l 的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ

＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )

A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2

答案 D

解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.

4．[2018·湖南模拟]在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ，

y ＝t －a

(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3cos φ，

y ＝2sin φ

(φ为参数)的右顶点，则常数a 的

值为________．

答案 3

解析 由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 2

4＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，所以a ＝3.

5．[2018·天津模拟]已知抛物线的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2pt 2

，

y ＝2pt

(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.

解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2pt 2

，

y ＝2pt

(t 为参数)，p >0，可得曲线方程为

y 2＝2px (p >0)．

∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形，

E 的横坐标为－p

2，M 的横坐标为3.

∴EM 中点的横坐标为3－p 2

2，与F 的横坐标p

2相同． ∴3－p 2

2＝p

2，∴p ＝2.

6．[2015·湖北高考]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t －1t ，y ＝t ＋1

t (t 为参数)，l 与C 相

交于A ，B 两点，则|AB |＝________.

答案 2 5

解析 因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x

.

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t －1t ，

y ＝t ＋1t ，

消去t 得y 2

－x 2

＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝3x ，

y 2－x 2

＝4，

解得

⎩⎨⎧

x ＝22，

y ＝322

或

⎩⎨⎧

x ＝－2

2，

y ＝－322，

不妨令

A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

22，

322，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－22，－

322，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫322＋3222＝2 5. 板块二 典例探究·考向突破 考向

参数方程与普通方程的互化

例 1 [2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方

程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为

参数)．

(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2

＝1.

当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.

由⎩⎨⎧

x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2

＝1，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2125，

y ＝2425.