第3讲 排队系统的基本概念
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2011/9/29
系统建模与仿真
系统建模与仿真
排队系统
•
知识回顾
1. 离散事件系统（DEDS或DES)基本概念、基 本要素 2. DES系统举例 3. 离散事件系统仿真步骤 4. 离散事件系统策略 5. 手工仿真 排队系统
系统建模与仿真
第三讲 排队系统的基本概念
1
2
北京邮电大学自动化学院物流工程
苏志远
2. 排队及排队规则
a) 排队规则 ① 先来先服务（FCFS） ② 后来先服务（LCFS）：如堆栈 ③ 具有优先权的服务（PS）
损失制和等待制都可以看成混合制的特殊情形。 如记s为系统中服务台的个数，则当K＝s时，混合 制即成为损失制；当K＝∞时，即为等待制。
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苏志远
系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
一．排队系统的特征
1.
• •
二．排队系统的形式
1. 单服务台的排队系统
排队除了有形的队列外，还可以是无形的队 列。
电话预定租车服务； 网络传输；
2. • • • •
排队的可以是人，也可以是物。 生产线上的原材料、半成品； 故障待修的机器； 要进站的火车由于展台被占而等待； 网络打印
排队系统的数据指标
• 上述指标的常用记号
– N (t ) ：时刻t 系统中的顾客数（又称为系统的状 态），即队长。 – N q (t ) ：时刻t 系统中排队的顾客数，即排队长。 – T (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的逗留时 间。 – Tq (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的等待时 间。
X/Y/Z/A/B/C
X 表示顾客相继达到时间间隔的分布；
Y Z A B C 表示服务时间的分布 表示服务台的个数 表示系统容量，即可容纳的最多顾客数 表示顾客源的数目 表示服务规则
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苏志远
系统建模与仿真
排队系统的数据指标
系统建模与仿真
排队系统的数据指标
• 系统的服务强度
当 为常数时，记为 ；当每个服务台的平
n
• 忙期和闲期
– 忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期为 B 和 I ，s为系统中并行的服务台数。
均服务率 为常数时， 记每个服务台的服务率为
n
，则当 n s 时，有
n
s
。因此，顾客相继达到的
K阶爱尔朗分布（E k ）：每个顾客接受服务的时间服务K阶爱尔朗 分布，其密度函数为
b(t )
k (k t ) k 1 k t e (k 1)!
（2.3）
爱尔朗分布比负指数分布更具有广泛的适应性。当k=1时，爱 尔朗分布为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。 事实上，当k≥30以后，爱尔朗分布近似于正态分布。当k→∞时， 由方差 K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
t0 t0
（2.1）
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排队系统
系统建模与仿真
排队系统
2.
a)
②
排队及排队规则
排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占后，后面再来的顾客 不能进入系统接受服务。又可以分为以下两种：
1 k 2
e b(t ) 0
t
t0 t0
（2.2）
为可知，方差将趋近于零，即为完全非随机的。所以，
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
（FIFS/LIFS）
四． 排队系统的符号表示
苏志远
系统建模与仿真
生灭过程
系统建模与仿真
0 1 2 ┇ n-1
生灭过程
1 p1 0 p0
• 求解状态n的概率 pn， n 0,1,2,... 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态n。 假设记录了一段时间内进入状态n和离开状态n的 次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的， 所以这两个数要么相等，要么相差为1。但就这两 种事件的平均发生概率是相等的。即当系统运行 相当时间到达平稳状态后，对任一状态n来说，单 位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离 开该状态的平均次数是相等的，这就是系统在统 计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理， 可得到任一状态下的平衡方程如下：
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• 生灭过程简介
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭 过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程， 在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在 排队系统中，如果用N(t)表示时刻t系统中的顾客 数，则｛N(t)，t≥0｝就构成了一个随机过程。如 果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的 离去，则对许多排队过程来说，｛N(t)，t≥0｝就 是一类特殊的随机过程 － 生灭过程。
根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描 述或分类，可以给出很多的排队模型。为了方便对众多的模型的 描述，D.G.Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall 记号”，一般形式为：
四．排队系统的符号表示
1. 2. 3. M/M/1/∞/∞/FCFS M/M/1 M/M/s/K
排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系统的 运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统 处于最优的运行状态。因此，首先需要弄清系 统的运行状况。描述一个排队系统的主要数量 指标有：
1. 2. 3. 队长和排队长 等待时间和逗留时间 忙期和闲期
•
队长和排队长
1. 队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客 数与正在接受服务的顾客数之和）， 2. 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客 数。 3. 队长和排队长一般都是随机变量。
• 一般说来，得到N(t)的分布 p{N (t ) n}(n 0,1,2...) 是比较困难的，因此通常是求当系统达到 平衡状态后的状态分布，记为：
pn， n 0,1,2,...
则称｛N(t)，t≥0｝是一个生灭过程。
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•
忙期和闲期
1. 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起， 到服务机构再次称为空闲止的这段时间 。 2. 闲期是与忙期相对的，是服务机构连续保持 空闲的时间。 3. 忙期和闲期都是随机变量
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排队系统的数据指标
系统建模与仿真
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排队系统的数据指标
系统建模与仿真
排队系统的数据指标
•
等待时间和逗留时间
1. 等待时间：从顾客到达时刻起到他接受服务 止这段时间。 2. 逗留时间：从顾客到达时刻起到接受服务完 成止这段时间。 3. 等待时间、逗留时间都是随机变量
队列 1
服务台 1
...
完成服务后离去
完成服务后离去 服务台 1 完成服务后离去 服务台 2 完成服务后离去 服务台 3
顾客到达
队列
...
服务台 2 服务台 3 S 个服务台，一个队列的排队系统
顾客到达
队列 2
...
队列 3
...
S 个服务台，S个队列的排队系统
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• 平衡状态下的指标
– 当系统达到平衡时处于状态n的概率，记为 ，又记： pn
• N：系统处于平衡状态时的队长，其均值为L，称为平均队长； • N q ：系统处于平衡状态时的排队长，其均值为，称为平均排队长； • T ：系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，其均值为W，称为平均逗 留时间； • T ：系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值为，称为平均等待 q 时间； • •
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3.
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系统建模与仿真
生灭过程
系统建模与仿真
生灭Hale Waihona Puke Baidu程
•
定义 1： 设｛N(t)，t≥0｝为一个随机过程。 若N(t)的概率分布有如下性质：
1. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客到达 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 2. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客离去 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或者离去。
平均时间间隔为 1/ ，平均服务时间为 1/ 。令
/ s
，称 为系统的服务强度。
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系统建模与仿真
排队系统的基本问题
系统建模与仿真
生灭过程
六． 排队系统研究的基本问题
排队系统研究的首要问题是排队系统的主要数量指标的概率规 律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。 1. 2. 通过研究主要数据指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数 字特征，了解系统运行的基本特征。 统计推断问题，建立适当的排队模型。在建立模型的过程中经 常会碰到如下问题：检验系统是否已经到达平衡状态；检验顾 客的相继达到时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及 其参数等。 系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本 目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最 优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、 服务率控制问题、服务台的开关策略、顾客（或服务）根据优 先权的最优排序问题。
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排队系统
系统建模与仿真
排队系统
二．排队系统的形式
4. 多个服务台的串联排队
顾客到达
队列
三．排队系统描述 实际中的排队系统各不相同，但概括起 来都由三个基本部分组成：输入过程、 排队及排队规则和服务机制。
...
队列
服务台
...
完成服务后离去 服务台 多个服务台的串联排队
3
顾客到达
队列
...
完成服务后离去 服务台
正在接受服务的顾客 单服务台排队系统
4
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
二．排队系统的形式
2. S 个服务台，一个队列的排队系统
二．排队系统的形式
3. S 个服务台，S个队列的排队系统
a) b) 损失制排队系统。当顾客到达系统时，如果所有的服务 均被占用，则自动离去，并不再回来。 混合制排队系统。等待制和损失制的结合，有以下三种：
I. II. III. 队长有限，即系统的等待空间是有限的（即队长容量为K） 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间超过给定的 等待时间长度T后，即离去并不再回来。 逗留时间有限（等待时间和服务时间之和）
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系统建模与仿真
排队系统
系统建模与仿真
排队系统
1. 输入过程
说明顾客是按什么样的规律到达系统，需 要从三个方面来描述：
顾客总数。可以是有限的，也可以是无限的； 到达方式。单个到达还是成批到达。库存问题中的进 货为成批到达； 顾客相继到达时间间隔的分布。
n ：当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时间内新来
到系统的平均顾客数）； 服务完的顾客数）；
n ：当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以
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系统建模与仿真
排队系统的数据指标
系统建模与仿真
定长分布（D）。 最简流（Poission流）（M）：顾客相继到达的时间间隔 为独立的，且同负指数分布，其密度函数为：
2. 排队及排队规则
a) 排队 ① 无限排队：系统中的顾客是无限的，队列可 以排到无限长，顾客到达系统后均可以进入 系统排队或接受服务。
e t a(t ) 0
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排队系统
系统建模与仿真
•
排队系统
•
服务机制
排队系统的服务机制主要包括：服务员的数量及其 连接形式（串联或并联）；顾客是单个还是成批接受服 务；服务时间的分布。在这些因素中，服务时间的分布 更为重要。常见的分布有：
• • 定长分布（D）：即每个顾客接受服务的时间是一个确定的 常数。 负指数分布（M）：即每个顾客接受服务的时间相互独立， 具有相同的负指数分布：
系统建模与仿真
系统建模与仿真
排队系统
•
知识回顾
1. 离散事件系统（DEDS或DES)基本概念、基 本要素 2. DES系统举例 3. 离散事件系统仿真步骤 4. 离散事件系统策略 5. 手工仿真 排队系统
系统建模与仿真
第三讲 排队系统的基本概念
1
2
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2. 排队及排队规则
a) 排队规则 ① 先来先服务（FCFS） ② 后来先服务（LCFS）：如堆栈 ③ 具有优先权的服务（PS）
损失制和等待制都可以看成混合制的特殊情形。 如记s为系统中服务台的个数，则当K＝s时，混合 制即成为损失制；当K＝∞时，即为等待制。
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排队系统
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排队系统
一．排队系统的特征
1.
• •
二．排队系统的形式
1. 单服务台的排队系统
排队除了有形的队列外，还可以是无形的队 列。
电话预定租车服务； 网络传输；
2. • • • •
排队的可以是人，也可以是物。 生产线上的原材料、半成品； 故障待修的机器； 要进站的火车由于展台被占而等待； 网络打印
排队系统的数据指标
• 上述指标的常用记号
– N (t ) ：时刻t 系统中的顾客数（又称为系统的状 态），即队长。 – N q (t ) ：时刻t 系统中排队的顾客数，即排队长。 – T (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的逗留时 间。 – Tq (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的等待时 间。
X/Y/Z/A/B/C
X 表示顾客相继达到时间间隔的分布；
Y Z A B C 表示服务时间的分布 表示服务台的个数 表示系统容量，即可容纳的最多顾客数 表示顾客源的数目 表示服务规则
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排队系统的数据指标
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排队系统的数据指标
• 系统的服务强度
当 为常数时，记为 ；当每个服务台的平
n
• 忙期和闲期
– 忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期为 B 和 I ，s为系统中并行的服务台数。
均服务率 为常数时， 记每个服务台的服务率为
n
，则当 n s 时，有
n
s
。因此，顾客相继达到的
K阶爱尔朗分布（E k ）：每个顾客接受服务的时间服务K阶爱尔朗 分布，其密度函数为
b(t )
k (k t ) k 1 k t e (k 1)!
（2.3）
爱尔朗分布比负指数分布更具有广泛的适应性。当k=1时，爱 尔朗分布为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。 事实上，当k≥30以后，爱尔朗分布近似于正态分布。当k→∞时， 由方差 K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
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排队系统
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排队系统
2.
a)
②
排队及排队规则
排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占后，后面再来的顾客 不能进入系统接受服务。又可以分为以下两种：
1 k 2
e b(t ) 0
t
t0 t0
（2.2）
为可知，方差将趋近于零，即为完全非随机的。所以，
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排队系统
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排队系统
（FIFS/LIFS）
四． 排队系统的符号表示
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生灭过程
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生灭过程
1 p1 0 p0
• 求解状态n的概率 pn， n 0,1,2,... 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态n。 假设记录了一段时间内进入状态n和离开状态n的 次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的， 所以这两个数要么相等，要么相差为1。但就这两 种事件的平均发生概率是相等的。即当系统运行 相当时间到达平稳状态后，对任一状态n来说，单 位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离 开该状态的平均次数是相等的，这就是系统在统 计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理， 可得到任一状态下的平衡方程如下：
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• 生灭过程简介
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭 过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程， 在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在 排队系统中，如果用N(t)表示时刻t系统中的顾客 数，则｛N(t)，t≥0｝就构成了一个随机过程。如 果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的 离去，则对许多排队过程来说，｛N(t)，t≥0｝就 是一类特殊的随机过程 － 生灭过程。
根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描 述或分类，可以给出很多的排队模型。为了方便对众多的模型的 描述，D.G.Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall 记号”，一般形式为：
四．排队系统的符号表示
1. 2. 3. M/M/1/∞/∞/FCFS M/M/1 M/M/s/K
排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系统的 运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统 处于最优的运行状态。因此，首先需要弄清系 统的运行状况。描述一个排队系统的主要数量 指标有：
1. 2. 3. 队长和排队长 等待时间和逗留时间 忙期和闲期
•
队长和排队长
1. 队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客 数与正在接受服务的顾客数之和）， 2. 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客 数。 3. 队长和排队长一般都是随机变量。
• 一般说来，得到N(t)的分布 p{N (t ) n}(n 0,1,2...) 是比较困难的，因此通常是求当系统达到 平衡状态后的状态分布，记为：
pn， n 0,1,2,...
则称｛N(t)，t≥0｝是一个生灭过程。
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•
忙期和闲期
1. 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起， 到服务机构再次称为空闲止的这段时间 。 2. 闲期是与忙期相对的，是服务机构连续保持 空闲的时间。 3. 忙期和闲期都是随机变量
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排队系统的数据指标
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排队系统的数据指标
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等待时间和逗留时间
1. 等待时间：从顾客到达时刻起到他接受服务 止这段时间。 2. 逗留时间：从顾客到达时刻起到接受服务完 成止这段时间。 3. 等待时间、逗留时间都是随机变量
队列 1
服务台 1
...
完成服务后离去
完成服务后离去 服务台 1 完成服务后离去 服务台 2 完成服务后离去 服务台 3
顾客到达
队列
...
服务台 2 服务台 3 S 个服务台，一个队列的排队系统
顾客到达
队列 2
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队列 3
...
S 个服务台，S个队列的排队系统
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• 平衡状态下的指标
– 当系统达到平衡时处于状态n的概率，记为 ，又记： pn
• N：系统处于平衡状态时的队长，其均值为L，称为平均队长； • N q ：系统处于平衡状态时的排队长，其均值为，称为平均排队长； • T ：系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，其均值为W，称为平均逗 留时间； • T ：系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值为，称为平均等待 q 时间； • •
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生灭过程
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生灭Hale Waihona Puke Baidu程
•
定义 1： 设｛N(t)，t≥0｝为一个随机过程。 若N(t)的概率分布有如下性质：
1. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客到达 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 2. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客离去 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或者离去。
平均时间间隔为 1/ ，平均服务时间为 1/ 。令
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，称 为系统的服务强度。
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排队系统的基本问题
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六． 排队系统研究的基本问题
排队系统研究的首要问题是排队系统的主要数量指标的概率规 律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。 1. 2. 通过研究主要数据指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数 字特征，了解系统运行的基本特征。 统计推断问题，建立适当的排队模型。在建立模型的过程中经 常会碰到如下问题：检验系统是否已经到达平衡状态；检验顾 客的相继达到时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及 其参数等。 系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本 目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最 优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、 服务率控制问题、服务台的开关策略、顾客（或服务）根据优 先权的最优排序问题。
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排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
4. 多个服务台的串联排队
顾客到达
队列
三．排队系统描述 实际中的排队系统各不相同，但概括起 来都由三个基本部分组成：输入过程、 排队及排队规则和服务机制。
...
队列
服务台
...
完成服务后离去 服务台 多个服务台的串联排队
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顾客到达
队列
...
完成服务后离去 服务台
正在接受服务的顾客 单服务台排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
2. S 个服务台，一个队列的排队系统
二．排队系统的形式
3. S 个服务台，S个队列的排队系统
a) b) 损失制排队系统。当顾客到达系统时，如果所有的服务 均被占用，则自动离去，并不再回来。 混合制排队系统。等待制和损失制的结合，有以下三种：
I. II. III. 队长有限，即系统的等待空间是有限的（即队长容量为K） 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间超过给定的 等待时间长度T后，即离去并不再回来。 逗留时间有限（等待时间和服务时间之和）
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1. 输入过程
说明顾客是按什么样的规律到达系统，需 要从三个方面来描述：
顾客总数。可以是有限的，也可以是无限的； 到达方式。单个到达还是成批到达。库存问题中的进 货为成批到达； 顾客相继到达时间间隔的分布。
n ：当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时间内新来
到系统的平均顾客数）； 服务完的顾客数）；
n ：当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以
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排队系统的数据指标
系统建模与仿真
定长分布（D）。 最简流（Poission流）（M）：顾客相继到达的时间间隔 为独立的，且同负指数分布，其密度函数为：
2. 排队及排队规则
a) 排队 ① 无限排队：系统中的顾客是无限的，队列可 以排到无限长，顾客到达系统后均可以进入 系统排队或接受服务。
e t a(t ) 0
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排队系统
系统建模与仿真
•
排队系统
•
服务机制
排队系统的服务机制主要包括：服务员的数量及其 连接形式（串联或并联）；顾客是单个还是成批接受服 务；服务时间的分布。在这些因素中，服务时间的分布 更为重要。常见的分布有：
• • 定长分布（D）：即每个顾客接受服务的时间是一个确定的 常数。 负指数分布（M）：即每个顾客接受服务的时间相互独立， 具有相同的负指数分布：