柱、锥、台表面积与体积
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2
下部分圆柱体的侧面积为 S2=π×5×1.8=9π (m2). 所以搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S=S1+S2=π×5 1.22 2.52 +9π≈50.03(m2),
2
即至少需要约 50.03 m2 的篷布.
二、体积的概念
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
单位体积 几何体的体积是单位体积的多少倍，这
解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半 径为 r，则得 2π＝2πr，解得 r＝1，又圆锥的母线长为 2，∴圆锥的
1
3
高为 3，∴这个圆锥筒的容积为3π×12× 3＝ 3 π.
把长、宽分别为4π cm、3π cm的矩形卷成圆
柱，如何卷能使圆柱的体积最大？
解：以 3π cm 为高时， 圆柱的体积为 π(42ππ)2·3π＝12π2(cm3)． 以 4π cm 为高时， 圆柱的体积为 π(32ππ)2·4π＝9π2(cm3)， 所以，以 4π cm 为底面周长，以 3π cm 为高 时，卷成的圆柱体积最大．
反思:求几何体的体积时,对不规则的几何体,通常利用
割补法转化为规则的几何体,即简单几何体来解决.
设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)， 则该几何体的体积为________m3.
答案：4
5.(2013·长沙模拟)如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 那么这个圆锥筒的容积是_____．
S圆锥侧= πrl r1=0
S圆台侧=π（r1+r2)l
r1=r2 S圆柱侧= 2πrl
例 2、牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体,尺 寸如图所示,请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布?(精 确到 0.01 m2)
解:上部分圆锥的母线长为 1.22 2.52 m, 则其侧面积为 S1=π×5 1.22 2.52 (m2).
底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πr(r+l)
底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πr(r+l)
上底面面积:S上底 =πr'2 下底面面积:S下底 =πr2
侧面积:S 侧=πr'l+πrl 表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公 式间的联系与区别
s 1 3 aa 22
正方形的面积 正六边形的面积
a
s a2
a
S 6 1 3 aa 3 3 a2
22
2
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积
h b a
长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.
设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 其表面积为 S=2（ab+ah+bh)
【例】已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所 得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ()
A.8
B. 20
3
C. 17
14
D.
3
3
解析:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1 截取三棱台 AEF-A1B1D1 后剩余的部分.
如图是一个空间几何体的三视图，根据图 中的尺寸(单位：cm)，可知该几何体的体 积为( ) A．36 cm3 B．48 cm3 C．24 cm3 D．31 cm3
答案：B
【例】如图所示,在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,截下一 个棱锥 C-A'DD',求棱锥 C-A'DD'的体积与剩余部分 的体积之比.
个倍数就是这个几何体的体积的数值。
空间几何体的体积
正方体的体积=棱长3 长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
高h
底面积S 柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1 Sh
3
棱台和圆台的体积
高h
V 1 (S SS S)h 3
柱、锥、台体的体积有如下关系:
解:设 AB=a,AD=b,AA'=c,
则 S△A'DD'= 1 A'D'×DD'= 1 bc,
2
2
∴VC-A'DD'= 1 ×S△A'DD'×CD= 1 abc.
3
6
∴剩余部分的体积是
V 长方体-VC-A'DD'=abc- 1 abc= 5 abc,
6
6
∴棱锥 C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5.
特别地，正方体的表面积为S=6a2
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
多面体的表面积
例1.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.
圆柱 底面是圆形
圆柱的侧面展 开图是一个矩 形
S底 r 2 S侧 2r l S表 2r(r l)
旋转体的表面积
圆锥
底面是圆形
S底 r 2
S表 r(r l)
侧面展开图是 一个扇形
S侧
1 2
2r
l
rl
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2 S下底 r 2
解：四棱锥的底面积为a2，
每个侧面都是边长为a的正三 角形，所以棱锥的侧面积为
S侧
4
1 2
a
3a 2
3a 2
所以这个四棱锥的 表面积为
S a2 3a2 (1 3)a2
旋转体的表面积
一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其 底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终 得到这些几何体的表面积.
S侧 (r r)l
S表 (r2 r2 rl rl)
面积公式对比 剖析:如下表所示.
图形
多面 体（特殊 的棱柱）
表面积公式
多面体的表面 积就是各个面 的面积的和,也 就是多面体展 开图的面积 ⊙对于一般的 棱柱，它的侧面 展开图能象左 边的那样吗？ 同样，棱锥、棱 台的侧面积要 怎样计算？
什么是面积？
Hale Waihona Puke Baidu
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch Ba
S 1 ah 1 ac sin B
2
2
C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
bh
2
r S r2
l
S 1 lr n r2
2
360
r
圆心角为n0
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a
下部分圆柱体的侧面积为 S2=π×5×1.8=9π (m2). 所以搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S=S1+S2=π×5 1.22 2.52 +9π≈50.03(m2),
2
即至少需要约 50.03 m2 的篷布.
二、体积的概念
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
单位体积 几何体的体积是单位体积的多少倍，这
解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半 径为 r，则得 2π＝2πr，解得 r＝1，又圆锥的母线长为 2，∴圆锥的
1
3
高为 3，∴这个圆锥筒的容积为3π×12× 3＝ 3 π.
把长、宽分别为4π cm、3π cm的矩形卷成圆
柱，如何卷能使圆柱的体积最大？
解：以 3π cm 为高时， 圆柱的体积为 π(42ππ)2·3π＝12π2(cm3)． 以 4π cm 为高时， 圆柱的体积为 π(32ππ)2·4π＝9π2(cm3)， 所以，以 4π cm 为底面周长，以 3π cm 为高 时，卷成的圆柱体积最大．
反思:求几何体的体积时,对不规则的几何体,通常利用
割补法转化为规则的几何体,即简单几何体来解决.
设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)， 则该几何体的体积为________m3.
答案：4
5.(2013·长沙模拟)如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 那么这个圆锥筒的容积是_____．
S圆锥侧= πrl r1=0
S圆台侧=π（r1+r2)l
r1=r2 S圆柱侧= 2πrl
例 2、牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体,尺 寸如图所示,请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布?(精 确到 0.01 m2)
解:上部分圆锥的母线长为 1.22 2.52 m, 则其侧面积为 S1=π×5 1.22 2.52 (m2).
底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πr(r+l)
底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πr(r+l)
上底面面积:S上底 =πr'2 下底面面积:S下底 =πr2
侧面积:S 侧=πr'l+πrl 表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公 式间的联系与区别
s 1 3 aa 22
正方形的面积 正六边形的面积
a
s a2
a
S 6 1 3 aa 3 3 a2
22
2
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积
h b a
长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.
设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 其表面积为 S=2（ab+ah+bh)
【例】已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所 得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ()
A.8
B. 20
3
C. 17
14
D.
3
3
解析:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1 截取三棱台 AEF-A1B1D1 后剩余的部分.
如图是一个空间几何体的三视图，根据图 中的尺寸(单位：cm)，可知该几何体的体 积为( ) A．36 cm3 B．48 cm3 C．24 cm3 D．31 cm3
答案：B
【例】如图所示,在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,截下一 个棱锥 C-A'DD',求棱锥 C-A'DD'的体积与剩余部分 的体积之比.
个倍数就是这个几何体的体积的数值。
空间几何体的体积
正方体的体积=棱长3 长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
高h
底面积S 柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1 Sh
3
棱台和圆台的体积
高h
V 1 (S SS S)h 3
柱、锥、台体的体积有如下关系:
解:设 AB=a,AD=b,AA'=c,
则 S△A'DD'= 1 A'D'×DD'= 1 bc,
2
2
∴VC-A'DD'= 1 ×S△A'DD'×CD= 1 abc.
3
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∴剩余部分的体积是
V 长方体-VC-A'DD'=abc- 1 abc= 5 abc,
6
6
∴棱锥 C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5.
特别地，正方体的表面积为S=6a2
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
多面体的表面积
例1.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.
圆柱 底面是圆形
圆柱的侧面展 开图是一个矩 形
S底 r 2 S侧 2r l S表 2r(r l)
旋转体的表面积
圆锥
底面是圆形
S底 r 2
S表 r(r l)
侧面展开图是 一个扇形
S侧
1 2
2r
l
rl
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
S上底 r2 S下底 r 2
解：四棱锥的底面积为a2，
每个侧面都是边长为a的正三 角形，所以棱锥的侧面积为
S侧
4
1 2
a
3a 2
3a 2
所以这个四棱锥的 表面积为
S a2 3a2 (1 3)a2
旋转体的表面积
一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其 底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终 得到这些几何体的表面积.
S侧 (r r)l
S表 (r2 r2 rl rl)
面积公式对比 剖析:如下表所示.
图形
多面 体（特殊 的棱柱）
表面积公式
多面体的表面 积就是各个面 的面积的和,也 就是多面体展 开图的面积 ⊙对于一般的 棱柱，它的侧面 展开图能象左 边的那样吗？ 同样，棱锥、棱 台的侧面积要 怎样计算？
什么是面积？
Hale Waihona Puke Baidu
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch Ba
S 1 ah 1 ac sin B
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C
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S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
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l
S 1 lr n r2
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圆心角为n0
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a