线面线线面面平行垂直方法总结
高中数学知识点总结：直线与平面平行、垂直
⾼中数学知识点总结：直线与平⾯平⾏、垂直 直线与平⾯平⾏、直线与平⾯垂直. 1.空间直线与平⾯位置分三种：相交、平⾏、在平⾯内. 2. 直线与平⾯平⾏判定定理：如果平⾯外⼀条直线和这个平⾯内⼀条直线平⾏，那么这条直线和这个平⾯平⾏.(“线线平⾏，线⾯平⾏”) [注]：①直线与平⾯内⼀条直线平⾏，则∥. (×)(平⾯外⼀条直线) ②直线与平⾯内⼀条直线相交，则与平⾯相交. (×)(平⾯外⼀条直线) ③若直线与平⾯平⾏，则内必存在⽆数条直线与平⾏. (√)(不是任意⼀条直线，可利⽤平⾏的传递性证之) ④两条平⾏线中⼀条平⾏于⼀个平⾯，那么另⼀条也平⾏于这个平⾯. (×)(可能在此平⾯内) ⑤平⾏于同⼀直线的两个平⾯平⾏.(×)(两个平⾯可能相交) ⑥平⾏于同⼀个平⾯的两直线平⾏.(×)(两直线可能相交或者异⾯) ⑦直线与平⾯、所成⾓相等，则∥.(×)(、可能相交) 3.直线和平⾯平⾏性质定理：如果⼀条直线和⼀个平⾯平⾏，经过这条直线的平⾯和这个平⾯相交，那么这条直线和交线平⾏.(“线⾯平⾏，线线平⾏”) 4. 直线与平⾯垂直是指直线与平⾯任何⼀条直线垂直，过⼀点有且只有⼀条直线和⼀个平⾯垂直，过⼀点有且只有⼀个平⾯和⼀条直线垂直. 若⊥，⊥，得⊥(三垂线定理)， 得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA. 三垂线定理的逆定理亦成⽴. 直线与平⾯垂直的判定定理⼀：如果⼀条直线和⼀个平⾯内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平⾯.(“线线垂直，线⾯垂直”) 直线与平⾯垂直的判定定理⼆：如果平⾏线中⼀条直线垂直于⼀个平⾯，那么另⼀条也垂直于这个平⾯. 推论：如果两条直线同垂直于⼀个平⾯，那么这两条直线平⾏. [注]：①垂直于同⼀平⾯的两个平⾯平⾏.(×)(可能相交，垂直于同⼀条直线的两个平⾯平⾏) ②垂直于同⼀直线的两个平⾯平⾏.(√)(⼀条直线垂直于平⾏的⼀个平⾯，必垂直于另⼀个平⾯) ③垂直于同⼀平⾯的两条直线平⾏.(√) 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平⾯外⼀点向这个平⾯所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长; ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长; ③垂线段⽐任何⼀条斜线段短. [注]：垂线在平⾯的射影为⼀个点. [⼀条直线在平⾯内的射影是⼀条直线.(×)] ⑵射影定理推论：如果⼀个⾓所在平⾯外⼀点到⾓的两边的距离相等，那么这点在平⾯内的射影在这个⾓的平分线上。
线面平行垂直知识点
立体几何知识点总结一、平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；b)l⊂α—直线l在平面α内；c)a⊄α—直线a不在平面α内；d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法四、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点五、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.六、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a ∥β④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.（面面垂直判定定理）七、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180° (3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关. ②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α，平面PCD ⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法 （ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 八.空间的各种距离 点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.直线和平面的距离、平行平面的距离将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ a a面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
【精选】立体几何平行垂直所有判定定理和性质定理
①面面平行→线面平行（面面平行性质定理1） ②面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
复习 空间中的垂直关系
判定直线与直线垂直的方法：
① 定义(成角90°) ② 线线平行→线线垂直（a∥b，a⊥c则b⊥c） ③ 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义）
直线和直线垂直的性质：
① 线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理）
复习 空间中的平行关系
判定直线与直线平行的方法：
① 定义(在同一平面内且不相交的两条直线) ② 平面几何方法： ③ 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ④ 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ⑤ 面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
直线和直线平行的性质：
① 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 线线平行→面面平行（面面平行判定定理推
论2）
判定平面与平面垂直的方法
①定义 ②线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理）
平面与平面垂直的性质
①面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理）判定直线与平面垂直的方法：
①线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理） ②面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理） ③线线平行→线面垂直（线面垂直判定定理推论1）
直线和平面垂直的性质：
① 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义） ② 线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理） ③ 线面垂直→线线平行（线面垂直判定定理推
论）
判定直线与平面平行的方法：
① 定义（直线与平面没有公共点） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 面面平行→线面平行（面面平行性质定理1）
直线和平面平行的性质：
① 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ② 线面平行→面面平行（面面平行判定定理）
线面平行垂直二十四式
312
内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
面⊥面 （4 个）
a
b
α
α β
a
β a
α β
a
α β
b a
α
γ a
β b
α
a ⊥ ， a // b b⊥ a ⊥ ， // a ⊥ a ，a a // ， a ⊥ a b，a ，b ∥，
α β γ
b a线平行，前提是
321
线不在面内.
,a ,a a / /
补充：垂直于同一平面的平面和直线平行，前提是线
312
不在面内.
a ，b ，a b o ，a // ，b // //
面面平行的判定定理：一个平面内两条相交直线分别
522
与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
a ⊥, a ⊥ //
212 补充：垂直于同一条直线的两个平面平行.
a , b , a b o , a , b , a b o , a / /a ， b / /b //
补充：一个平面内两条相交直线分别与另一个平面两
842
， a ，b a b
补充：三垂线定理：平面内一直线若与斜线的射影垂 341 直则它与斜线垂直. 逆定理：平面内一直线若与斜线
垂直则与斜线的射影垂直.
补充：如何两条直线分别垂直于两个互相垂直的平面，
322
那么这两条直线垂直.
a ⊥ ，b a b
线面垂直的性质定理：一条直线若垂直于一平面，则
txm
文字
230 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，
322 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
空间中的平行和垂直的判定
班级姓名考号
空间中的平行和垂直的判定（知识点总结）
（1）线线平行的判断：
⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：
⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：
⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判断或证明线面平行的或垂直常用方法
同学们早上先把下面知识点看完然后做后面的四个题。
做完后再看看另一个知识点解析几何常见题型。
都发布在作业里面。
线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
判断或证明线面平行的常用方法包括：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90度、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；1.．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）若BB1=2，且∠B1BC=∠B1AC=60°，求三棱锥C1−ABC的体积.2.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且∠DAB=60°，AB△CD，DC=AD=2AB=2.（△）证明：BD⊥PC△（△）求A到平面PBD的距离.3.如图，在几何体ABCDEFG中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，AC∩BD=O，∠ABC= 60°，AF//DE//CG，AF⊥平面ABCD，且AF=DE=4，CG=1.（1）证明：平面FBD⊥平面GBD；（2）求三棱锥G−DEF的体积.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=n，S n为其前n项和，则数列{a n+1S n S n+1}的前8项和为__________．答案1.（1)∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1,∵AB⊥B1C,AB∩BC1=B,∴B1C⊥平面ABC1，又AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO．∵AB=AC1,O是BC1的中点，∴AO⊥B1C，∵B1C∩BC1=O，∴AO⊥平面BB1C1C.（2）菱形BB1C1C的边长为2，又∠B1BC=60°,∴ΔBB1C是等边三角形，则B1C=2.由（1）知，AO⊥B1C，又O是B1C的中点，∴AB1=AC，又∠B1AC=60°,∴ΔAB1C是等边三角形，则AC=AB1=B1C=2.在RtΔACO中，AO=√AC2−CO2=√32×2=√3，∴V C1−ABC =V A−BCC1=13SΔBCC1⋅AO=13×12⋅2⋅2⋅sin120°⋅√3=12.（Ⅰ）由余弦定理得BD=√12+22−2×1×2cos60°=√3，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB,∵AB//DC,∴BD⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，∴BD⊥PC.（Ⅱ）设A到平面PBD的距离为ℎ.取DC中点Q，连结PQ,∵△PDC是等边三角形，∴PQ⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，PQ⊂平面PDC，∴PQ⊥底面ABCD，且PQ=√3，由（Ⅰ）知BD⊥平面PDC，又PD⊂平面PDC，∴BD⊥PD.∴V A−PBD=V P−ABD，即13×12×√3×2×ℎ=13×12×1×√3×√3.解得ℎ=√32.3.（1）因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，又AC⊥BD，AF∩AC=A，所以BD⊥平面AOF，所以BD⊥OF.因为四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，所以ΔABC与ΔADC均为等边三角形，AC=4.所以OG2=OC2+GC2=5，OF2=OA2+AF2=20，FG2=AC2+(AF−GC)2=25，则OG2+OF2=FG2，所以OF⊥OG，又BD⊥OF，OG∩BD=O，所以OF⊥平面GBD，又OF⊂平面FBD，所以平面FBD⊥平面GBD.（2）因为GC//DE，DE⊂平面ADEF，GC⊄平面ADEF，所以GC//平面ADEF，所以V G−DEF=V C−DEF，取AD的中点H，连接CH，则CH=√32×4=2√3，CH⊥AD，由AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CH，又AF∩AD=A，所以CH⊥平面ADEF.所以V C−DEF=13SΔDEF⋅CH=13×12×4×4×2√3=163√3.即三棱锥G−DEF的体积为163√3.4.由等差数列前n 项和公式可得：S n =n(n+1)2，则S n+1=(n+1)(n+2)2，由数列的通项公式可得：a n+1=n +1，∴a n+1S n S n+1=4n(n+1)(n+2)=2[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，则数列{a n+1Sn S n+1}的前8项和为： 2[(11×2−12×3)+(12×3−13×4)+⋯+(18×9−19×10)]=2×(12−190)=4445.【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
立体几何平行垂直有关定理总结
6
面面平行பைடு நூலகம்
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行.
（面面平行 线线平行）
7
线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
（线线垂直 线面垂直）
8
线面垂直的定义
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
（线面平行 面面平行）
4
面面平行的性质
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面
（面面平行 线面平行）
5
面面平行定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行.
（线面垂直 线线垂直）
9
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
（线面垂直 面面垂直）
10
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必定垂直于另一个平面.
（面面垂直 线面垂直）
11
线线平行
线面垂直
如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.
立体几何有关平行垂直定理总结
文字语言
图形语言
符号语言
1
线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
（线线平行 线面平行）
2
线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
线面平行垂直知识点
线面平行垂直知识点一、线面平行的定义和性质1.定义：线面平行是指一条直线与一个平面内的所有直线都不相交。
2.性质：a.对于一个平面内的一条直线和平面外的任意一条直线，它们都不能同时与该平面平行。
b.平行线与同一平面内的另一条直线的关系：如果两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线要么相交，要么重合。
c.平行线与不同平面内的直线的关系：如果两条直线分别与两个不相交平面平行，则这两条直线不相交。
二、线面垂直的定义和性质1.定义：线面垂直是指一条直线与一个平面内的所有直线都垂直相交。
2.性质：a.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面内的任意一条直线都垂直。
b.平行于同一个平面内的两条直线不存在垂直关系。
c.如果两个平面垂直，则其法线向量互相垂直。
三、线面平行和垂直的判定方法1.平行判定：线面平行的判定可以通过向量的方法、斜率的方法和直线与平面的交点判定方法等。
例如，若两个平面的法线向量相等或平行，则这两个平面是平行的。
2.垂直判定：线面垂直的判定可以通过两条直线的方向向量相互垂直、用点法式判断直线与平面之间的关系等方法。
例如，若一条直线与一个平面垂直，则这条直线的方向向量与该平面的法线向量垂直。
四、线面平行和垂直的应用1.线面平行和垂直的知识可以用于建筑设计中，例如判断条墙与地面是否平行或垂直，从而影响建筑的结构布局。
2.在工程测量中，线面平行和垂直关系的知识可以用于量测一些平面的倾斜度和水平度等参数。
3.在图形的投影与透视等绘图问题中，线面平行和垂直关系的知识可以帮助我们正确地绘制出图形的形状和位置。
综上所述，线面平行和垂直是几何学中非常重要的概念，其涉及到线与面之间的相互关系。
了解线面平行和垂直的定义、性质以及判定方法，可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题，并应用于实际生活和工作中。
(完整版)线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示: b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m bn 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面)三、线面垂直。
1、判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a $:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线.)四、面面垂直.1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理:已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
立体几何平行与垂直定理总结
P
A
O
步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换
点法)方法二：坐标法。 d AP cos n AP n AP n
n α A θ
m
P O
2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
如图，m 和 n 为两条异面直线， n 且
cos θ1 BO AB cos θ BC AB cos θ2 BC OB
∴ cos cos 1 cos 2
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
一． 距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 步骤 1： 过点 P 作 PO 于 O， 线段 PO 即为所求。
(一) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则 射线 m 和 n 的夹角 为二面角 —l— 的平面角。 (2)范围： [0,180] (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 和 ，则交线(射线)AP 和 AO 的 夹角就是二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。
l l
α
β
l
方法二：计算所成二面角为直角。
(二)夹角问题。 (一) 异面直线所成的角：(1) 范围： (0,90] (2)求法：方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
a θ b c
a2 b2 c2 cos 余弦定理： (计算结果可能是其补角) 2ab
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间得位置关系一、线、面之间得平行、垂直关系得证明书中所涉及得定理与性质可分为以下三类:1、平行关系与平行关系互推；２、垂直关系与垂直关系互推;3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素,互推得本质就是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素得垂直或平行关系，推导出该两元素得关系，总共有21种情况,能得出结论得有以下９种情况。
线线平行传递性：;线面垂直判定定理 线面垂直得定义 面面垂直性质定理(需加线线垂直) 两平面得法线垂直则两平面垂直 面面垂直判定定理垂直得两平面得法线互相垂直线面平行判定定理 线面平行性质定理 面面平行定义(交点) 线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理两平面内分别垂直于交线得直线互相垂直两平面内分别垂直于交线得直线互相垂直,则两平面垂直面面垂直定义面面平行传递性:;线面垂直、线面垂直线面平行：；线面垂直线线平行(线面垂直性质定理):;线面垂直面面平行:；线面垂直、面面平行线面垂直:;线线平行、线面垂直线面垂直:;线面垂直、线面平行面面垂直：。
备注:另外证明平行关系时可以从最基本得定义交点入手,证明垂直关系时可以从最基本得定义角度入手。
符号化语言一览表①线面平行;;；②线线平行:;;；；③面面平行：;;；④线线垂直：；⑤线面垂直:；；;；⑥面面垂直：二面角900; ;；二、立体几何中得重要方法1、求角:(步骤-－----－Ⅰ找或作角;Ⅱ求角)⑴异面直线所成角得求法:①平移法:平移直线,构造三角形;②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间得关系.注:还可用向量法，转化为两直线方向向量得夹角．⑵直线与平面所成得角:①直接法（利用线面角定义);②先求斜线上得点到平面距离h,与斜线段长度作比,得ｓｉn;③三线三角公式.注：还可用向量法，转化为直线得方向向量与平面法向量得夹角.⑶二面角得求法:①定义法:在二面角得棱上取一点(特殊点),作出平面角，再求解;②垂面法：作面与二面角得棱垂直; ③投影法(三垂线定理);④面积摄影法．注:对于没有给出棱得二面角,应先作出棱，然后再选用上述方法;还可用向量法,转化为两个班平面法向量得夹角.2、求距离:(步骤-----－－Ⅰ找或作垂线段;Ⅱ求距离)⑴两异面直线间得距离:一般先作出公垂线段,再进行计算;或转化为线面距离、点面距离;⑵点到直线得距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;⑶点到平面得距离：①垂面法:借助面面垂直得性质作垂线段(确定已知面得垂面就是关键）,再求解;②等体积法；还可用向量法:．3、证明平行、垂直得理论途径:①证明直线与直线得平行得思考途径:(１)转化为判定共面二直线无交点(定义);(2）转化为两直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.②证明直线与平面得平行得思考途径：(1)转化为直线与平面无公共点（定义）;(２)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.③证明平面与平面平行得思考途径:（１)转化为判定两平面无公共点(定义);(2）转化为线面平行；(3）转化为线面垂直．④证明直线与直线得垂直得思考途径:(１）转化为相交垂直;(2）转化为线面垂直.⑤证明直线与平面垂直得思考途径：（1)转化为该直线与平面内任一直线垂直(定义)；(2)转化为该直线与平面内相交得两条直线垂直；(３）转化为该直线与平面得一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.⑥证明平面与平面得垂直得思考途径:(1）转化为判断二面角就是直二面角;(２)转化为线面垂直.。
线面垂直与平行关系的判定和计算方法
线面垂直与平行关系的判定和计算方法线面垂直与平行关系是几何学中的基本概念之一，它在建筑、机械、工程等领域具有重要的应用价值。
本文将介绍线面垂直与平行关系的判定和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、线面垂直关系的判定和计算方法线面垂直关系是指一条直线与一平面相互垂直的情况。
在判定线面垂直关系时，可以采用以下几种方法：1. 以直线的斜率判断：若直线的斜率存在且为零，则该直线与水平面垂直；当直线的斜率为正无穷或负无穷时，则该直线与竖直面垂直。
2. 以直线的方向向量判断：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
3. 以直线上两点确定的向量判断：设直线上两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，平面的法向量为n(a, b, c)，则向量AB与平面的法向量垂直的条件是AB·n=0（其中·代表向量的点乘运算）。
二、线面平行关系的判定和计算方法线面平行关系是指一条直线与一平面相互平行的情况。
在判定线面平行关系时，可以采用以下几种方法：1. 以直线斜率的倒数判断：若直线的斜率存在且与平面的法向量的斜率的倒数相等，则该直线与平面平行。
2. 以直线的方向向量判断：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面平行。
3. 以直线上一点与平面的垂直距离判断：设直线上一点为A(x₀,y₀, z₀)，平面的法向量为n(a, b, c)，平面上一点为P(x, y, z)，则垂直距离d=|AP·n|/|n|（其中·代表向量的点乘运算，|n|表示向量n的模），若垂直距离d=0，则直线与平面平行。
三、线面垂直与平行关系的应用线面垂直与平行关系的应用广泛，以下列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计中的水平线和垂直线的确定：在建筑设计中，水平线和垂直线的确定是非常重要的，它们决定了建筑物的稳定性和美观性。
通过线面垂直关系的计算方法，可以准确地确定建筑物中各个部分的水平线和垂直线。
线线平行、线面平行、面面平行判定方法
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判断方法一、两条直线平行的判断方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判断理或许有关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，假如同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不合适）。
（3）（线面平行的性质）假如一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面订交，那么这条直线和交线平行。
（4）假如两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线相互平行（平行的传达性）。
（5）（面面平行的性质）假如两个平行平面分别和第三个平面订交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）假如两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判断（1）假如向来线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，假如和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行( 线面平行的判断定理 ) 。
（3）假如两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判断（1）假如两个平面没有公共点，那么这两个平面相互平行（定义）（2）假如一个平面内的两条订交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）假如一个平面内的两条订交直线分别平行于另一个平面内的两条订交直线，那么这两个平面平行。
（4）假如两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）假如两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判断方法一、两条直线垂直的判断（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可依据平面几何的有关定理和方法判断。
立体几何平行垂直速记
立体几何平行垂直速记
立体几何平行垂直速记口诀如下：
点线面体是一家，共筑立几百花圆。
点在线面用属于，线在面内用包含。
四个公理是基础，推证演算巧周旋。
空间之中两直线，平行相交和异面。
线线平行同方向，等角定理进空间。
判断线和面平行，面中找条平行性。
已知线和面平行，过线作面找交线。
要证面和面平行，面中找出两交线。
线面平行若成立，面面平行不用看。
已知面与面平行，线面平行是必然。
若与三面都相交，则得两条平行线。
判断线和面垂直，线垂面中两交线。
两线垂直同一面，相互平行共伸展。
两面垂直同一线，一面平行另一面。
要让面和面垂直，面过另面一垂线。
面面垂直成直角，线面垂直记心间。
一面四线定射影，找出斜射一垂线。
线线垂直得巧证，三垂定理风采显。
空间距离和夹角，平行转化在平面。
一找二证三构造，三角形中求答案。
引进向量新工具，计算证明开新篇。
空间建系求坐标，向量运算更简便。
希望这些口诀能够帮助你更好地理解和记忆立体几何中的平行和垂直关系。
(完整版)线面平行垂直知识点,推荐文档
角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角 θ；
②解含有 θ 的三角形，求出角 θ 的大
小
2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角
(1)取值范围 0°≤θ≤90°
(2)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角 θ.
α⊥β,a∩β=α，l β，l⊥a,则 l⊥α.(面面垂直的性质定理)
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点 α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若
a,b α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则 α∥β.（面面平行判定定理）
m α，n α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α.（线面垂直判定定理）
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥α,则 l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若 α∥β,l⊥β，则 l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若
立体几何知识点总结
一、平面 通常用一个平行四边形来表示. 平面常用希腊字母 α、β、γ…或拉丁字母 M、N、P 来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母 表示，如平面 AC. 在立体几何中，大写字母 A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面 看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：
a α,b α，a∥b,则 a∥α.（线面平行的判定定理） ③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若 α∥β,l α，则 l∥β.
最新立体几何平行和垂直知识点整理
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β
αβ
αβ
αa αa b αβ
α
A
P
α 立体几何知识点整理 要求：作出图形，并在
}前用符号语言写
出条件。
一、平行理论
1、线线平行⇒线面平行
2、线面平行⇒线线平行
3、线面平行⇒面面平行
4、面面平行⇒线面平行
5、线线平行⇒面面平行
6、面面平行⇒线线平行
二、垂直理论
1、线线垂直⇒线面垂直
2、线面垂直⇒线线垂直
3、线面垂直⇒面面垂直
4、面面垂直⇒线面垂直
1、如图，b a 、
把 称为b a 、异面直线所成角∈θ
2、如图，PA 为面α的斜线，A 为斜足
把 称为PA 与α所成角 直线与平面所成角∈θ
α//a ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫b a //⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫βα//⇒⎪⎭⎪
⎬⎫βα//⇒⎪⎭⎪
⎬⎫b a //⇒⎪⎭⎪
⎬⎫α⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫a b a ⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫βα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫α⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫a α//a ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
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l
β
α
3 、如图，二面角βα--l
把 称为二面角βα--l 的平面角 二面角大小∈θ。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
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线面线线面面平行垂直方
法总结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线线平行
1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.）
2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3.【定义】同一平面内，两直线无公共点，称两直线平行
3.【公理】平行于同一直线的两条直线互相平行.（空间平行线传递性）
4.【定理】同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行.
5.平行线分线段成比例定理的逆定理
线面平行
1.面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内（如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
）
2.面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外
3.如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行
4.证明线面无交点
5.反证法（线与面相交，再推翻）
6.空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）
7.【定义】直线与平面无公共点，称直线与平面平行
8.X7【定理】如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
面面平行
1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.若两个平面所夹的平行线段相等，则这两个平面平行.
3.【定理】一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行.
4.【定义】两平面无公共点，称两平面平行.
5.【公理】平行于同一平面的两个平面互相平行.（空间平行面传递性）
6.【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
线线垂直
1如果一条直线垂直于一个平面，则这个平面上的任意一条直线都与这条直线垂直。
2
. 2.三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。
线面垂直
1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直
1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
2.【性质】X2逆定理、X4、X6及垂直关系性质
主要性质
1.X1【定理】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（等角定理）
1.X2【定理】三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.（平行线分线段成比例定理）
直线在平面内判定方法
1.【定义】直线与平面有无数个公共点，称直线在平面内.
2.【公理】如果一条直线上两点在一平面内，那么这条直线在此平面内.
3.【公理】任意两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面；两相交直线、两平行直线确定一平面.
4.【性质】X3及垂直关系性质
5.X3【定理】过平面内一点的直线平行于此平面的一条平行线，则此直线在这个平面内.
直线在平面外判定方法
1.【定理】平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行.
2.【性质】X5、X7及垂直关系性质
主要性质
3.X4【定理】一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
4.X5【定理】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面.
3
【性质】
1.【性质】X8逆定理、X9及垂直关系性质
2.X8【定理】夹在两个平行平面间的平行线段相等.
3.X9【结论】经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（存在性与唯一性）
4。