新高考高中数学核心知识点8.1 空间中点线面的位置关系(精讲解析版)

专题8.1空间中点线面的位置关系（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 平面的基本性质及应用(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．【典例1】（2019·上海高三）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A.【典例2】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 【方法技巧】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点． 3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.热门考点02 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【典例3】（2015·广东高考真题（文））若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A.l 与1l ，2l 都相交B.l 与1l ，2l 都不相交C.l 至少与1l ，2l 中的一条相交D.l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 的一条相交.故选A ．【典例4】（2018届山西省太原市三模】如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A （B 、C ）﹣DEF ，如图：对于①，M 、N 分别为EF 、AE 的中点，则MN∥AF，而DE 与AF 异面，故DE 与MN 不平行，故①错误； 对于②，BD 与MN 为异面直线，正确（假设BD 与MN 共面，则A 、D 、E 、F 四点共面，与ADEF 为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD 与MN 异面）；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH 与MN 成60°角，故③正确； 对于④，连接GF ，A 点在平面DEF 的射影A 1在GF 上，∴DE⊥平面AGF ，DE⊥AF， 而AF∥MN，∴DE 与MN 垂直，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②③④， 故答案为：②③④． 【总结提升】判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． (2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．热门考点03 异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．【典例5】（全国高考真题（文））已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【解析】连接DE ，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角， 在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．【典例6】（2019·安徽高三月考（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13AD B π∠=，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C 7D ．1414【答案】D【解析】长方体中，11BC CC ==，12BC =112AD BC ==13AD B π∠=，知AB 6=，又∵11BC AD ，∴11B AD ∠是1AB 与1BC 所成的角.∴在11AB D ∆中，1117AB B D ==11214cos 1427B AD ∠==.选D. 【总结提升】1.用平移法求异面直线所成的角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角*2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅.热门考点04 与线、面平行相关命题的判定1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥b a ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b 结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.判定 性质定义定理图形条件 α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ， a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，a ⊂β 结论 α∥βα∥βa ∥ba ∥α【典例7】（2019·全国高考真题（理））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【典例8】（2019·北京高考真题（文））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【总结提升】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．热门考点05 直线与平面平行的判定与性质判断或证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．【典例9】（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A ．②③ B ．①②C ．①②③D ．②【答案】D【解析】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β.同理可得//HF 平面β，EHHF H =，∴平面//EFH 平面β.又平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.【典例10】（2019·安徽高考模拟（文））如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,,,D E F G 分别为111,,,CC BB AA BC 的中点，12 4.BB AB ==()I 求证：//FG 平面1;A DE()II 求1G A DE -三棱锥的体积【答案】（I ）见解析. （II ）23. 【解析】()I 证明：取ED 的中点M ，连接1,A M MG .,M G 分别为,ED BC 的中点.1MG EB A F ∴==.又11//A F BB ，1//MG BB ，1//A F MG ∴，∴四边形1A FGM 为平行四边形，1//A M FG ，而1A M ⊂平面1A DE ，FG ⊄平面1A DE ，//FG ∴平面1A DE .()∏连接AG ，由题意得，1BB ⊥平面ABC ,AG ⊂平面ABC ,所以1BB ⊥ 60{30m n ==-,,AB AC BG GC ==AG BC ∴⊥,11,,BB BC B BB BC =⊂平面11BCC BAG ∴⊥平面11BCC B ，AG ∴为三棱锥1A DEG -的高，ABC ∵△为正三角形，G 为BC 的中点，3AG ∴=1113G A DE A DEG DEGV V SAG --∴==1123223323=⨯⨯⨯=.【总结提升】证明线面平行的常用方法与思路(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．热门考点06 平面与平面平行的判定与性质1.证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．⊂．“”是【典例11】（2015·北京高考真题（理））设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．【典例12】（2018届山西省太原市三模）已知空间几何体中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】证明：（1）取中点，连结，∵为等腰三角形，∴，又平面平面平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面平面，∴平面，又分别为中点，∴，∵平面平面，∴平面，又，∴平面平面；（2）连结，取中点，连结，则，由（1）知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又是边长为2的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面平面，∴平面，∴平面，∴，又为中点，∴，又，∴，∴.【典例13】(2019·唐山质检)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【答案】见解析【解析】证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN . 因为DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 因为M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN . 因为BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .因为DE ∩BD ＝D ，BD ，DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ∥平面MNG . 【易错提醒】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.解题中注意符号语言的规范应用.热门考点07 直线与平面垂直的判定与性质1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2.定理：文字语言图形语言 符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥a l ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α 性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b【典例14】（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 3P 到平面ABC 的距离为___________． 2.【解析】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ，CD 平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥3PD PE ==∵，2PC =．3sin sin 2PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=，PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,2OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===，又2PC =，422PO ∴=-=．【典例15】（2019·湖南高三期末（文））如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且//AE DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒．（Ⅰ）证明：EP ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】（I ）由题意知△ABC 为等腰直角三角形， 而F 为BC 的中点，所以AF ⊥BC ．又因为平面AEDC ⊥平面ABC ，且∠ACD=90°， 所以DC ⊥平面ABC ． 而AF ⊂平面ABC ，所以AF ⊥DC ． 而BC∩DC=C ，所以AF ⊥平面BCD ． 连结PF ，则PF ∥DC ，PF=12DC ， 而AE ∥DC ，AE=12DC ，所以AE ∥PF ，AE=PF ， AFPE 是平行四边形，因此EP ∥AF ，故EP ⊥平面BCD ．（II ）因为EP ⊥平面BCD ，所以EP ⊥平面BDF ，EP 是三棱锥E ﹣BDF 的高． 所以EP=AF=121442+2．故三棱锥E ﹣BDF 的体积为： V=11112222233223BDFSEP ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 【总结提升】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．热门考点08 平面与平面垂直的判定与性质1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2.定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.⎭⎪⎬⎪⎫ABβAB⊥α⇒β⊥α性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNABβAB⊥MN⇒AB⊥α【典例16】（2019·江西临川一中高三月考（文））如图，四面体ABCD中，ABC∆是边长为1的正三角形，ACD∆是直角三角形，ABD CBD∠=∠，AB BD=.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)若点E为BD的中点，求点B到平面ACE的距离.【答案】（1）详见解析（23【解析】(1)取AC的中点O，连接,DO BO，由ABD CBD∠=∠，AB BC=，BD BD=故ABD BCD AD CD∆≅∆⇒=，又ACD∆为Rt∆，故AD CD⊥，而1AC=，即22AD CD==，12DO=，又ABC∆是边长为1的正三角形，则3,2BO AC BO⊥=，222BO DO BD BO DO+=⇒⊥，而BO ACBOBO DO⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩面ACD，故平面ACD⊥平面ABC(2)在ABD∆中，1112242212ADB+-∠==⨯⨯，则2112121222422422AE AE=+-⨯⨯⨯=⇒=故22CE=，AEC∆为等腰直角三角形，则12212224ACES∆=⨯⨯=，而1311sin6024ABCS∆=⨯⨯⨯=，点E到面ABC的距离等于点D到面ABC的距离的一半，设点B到平面ACE的距离为d，由E ABC B ACEV V--=可得111313343444d d⨯⨯=⨯⨯⇒=.【典例17】（2017课标1，文18）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）326+．【解析】（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =． 从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+． 【总结提升】1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．2.垂直关系的转化：3.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 4．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．热门考点09 平行与垂直的综合问题【典例18】（2018·全国高考真题（文））如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析【解析】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．【典例19】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【答案】【解析】(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如图①.图①∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH.图②∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.【典例20】如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1—BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．【答案】【解析】(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面CBD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面MCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．【总结提升】1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．巩固提升1.（山东省青岛市2018年春季高考第二次模拟】下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A． B． C． D．【答案】A【解析】对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A2.（2015·广东高考真题（文））若直线1l和2l是异面直线，1l在平面α内，2l在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A.l与1l，2l都相交B.l与1l，2l都不相交C.l至少与1l，2l中的一条相交D.l至多与1l，2l中的一条相交【答案】C【解析】试题分析：若直线1l和2l是异面直线，1l在平面α，2l在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则l至少与1l，2l的一条相交.故选A．3.（2019·贵州高三开学考试（文））若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，若“l∥α”，则“l⊥m”，所以“l∥α”能推出“l⊥m”；当l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，若“l⊥m”，则“l∥α“或“l在平面α内”，所以“l⊥m”不能推出“l∥α”；由充要条件的定义可得：若l，m是两条不重合的直线，m垂直于平面α，则“l∥α”是“l⊥m”的充分而不必要条件，故选：A．4. (【衡水金卷压轴卷】2018年模拟（二）)已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，四边形为菱形，，.又为直角三角形，，得，四边形为正方形.连接交于点，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形，，故异面直线与所成的角为.故选：.5.（2018届湖南省郴州市二中第六次月考）已知三棱锥的底面是直角三角形，⊥，，⊥平面，是的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的大小为（）A．45° B．90° C．60° D．30°【答案】C【解析】∵⊥平面，，∴三棱锥的体积，∴=4，∴，．设的中点为，连接，，如图，则，，，∴△是正三角形，∴∠=60°．∵是的中点，则∥，∴∠是异面直线与所成的角，即异面直线与所成角的大小为60°．故选：C6.（2018届浙江省宁波市5月模拟）已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（ ） A ． 若，则必有 B ． 若，则必有 C ． 若，则必有D ． 若，则必有【答案】C【解析】对于选项A,平面和平面还有可能相交，所以选项A 错误；对于选项B, 平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C,因为所以.所以选项C 正确；对于选项D,直线m 可能和平面不垂直，所以选项D 错误.故答案为：C. 7.（腾远2018年（浙江卷）红卷）设已知是空间五个不同的点，若点在直线上，则“与是异面直线”是“与是异面直线”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 充分必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，而点在上，所以与也是异面直线，若与是异面直线，而点在直线上，所以与是异面直线，所以四点不共面，所以与是异面直线，所以因为充分必要条件，故选B.8. （2019·福建高考模拟（理））已知等边△ABC 的边长为2，现把△ABC 绕着边BC 旋转到△PBC 的位置．给出以下三个命题：①对于任意点P ，PA BC ⊥； ②存在点P ，使得PA ⊥平面PBC ； ③三棱锥P ABC -的体积的最大值为1.以上命题正确的是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】由题意，取BC 中点O ，由于AO BC ⊥，,PO BC OP OA O ⊥⋂=，根据线面垂直的判定定理，得BC ⊥平面AOP ，PA ⊂平面AOP ，所以PA BC ⊥，故①正确； 假设AP ⊥平面PBC ，则AP PO ⊥，又PO AO =，这不可能，故②错误； 由13P ABC ABC V S h -∆=⋅，当平面OP ⊥平面ABC 时，h 达到最大，此时134313V ==，故③正确. 故选B ．9．（2018·山东高考模拟）如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -， ,E F 分别是11,D B A C 上不重合的两个动点，给山下列四个结论：①1CE D F ∥； ②平面AFD ∥平面11B EC ； ③1AB EF ⊥； ④平面AED ⊥平面11ABB A . 其中，正确结论的序号是__________． 【答案】③④【解析】分析：取E,F 特殊位置可否定①②，根据线面垂直关系可得③④正确. 详解：当E=D 1，F=A 1时1CE D F 与平面AFD 平面11B EC 不成立，所以①②错； 因为111AB BCD A ⊥平面，EF 在11BCD A 平面内，所以1AB EF ⊥； 因为AD ⊥平面11ABB A ，所以平面AED ⊥平面11ABB A .因此③④正确.10．（2018·江苏高三月考）已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）.①若l m ，则αβ∥ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥ 【答案】③【解析】①如图所示，设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′⊂β，l′∥l ，l′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确；③由面面垂直的判定定理，若l ⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n ，由面面垂直的性质定理知，m ⊥n 时，m ⊥α，故④不正确． 综上可知：只有③正确． 故答案为：③．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过A 点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，有下面三个结论：①点H 是1A BD ∆的中心；②AH 垂直于平面11CB D ；③直线1AC 与直线1B C 所成的角是90°.其中正确结论的序号是_______.【答案】①②③【解析】对于①，因为AH ⊥平面1A BD ，1AB AD AA ==， 所以1Rt Rt Rt ∆≅∆≅∆ABH ADH AA H ， 所以1HB HD HA ==，所以H 是1A BD ∆的外心；又因为1A BD ∆是等边三角形，所以点H 是△1A BD 的中心.故①正确； 对于②，因为1111//,=A B AB A B AB ，//,=CD AB CD AB ，所以11//A B CD ，且11A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//B C A D . 又因为1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD . 同理可证11//B D 平面1A BD .又因为1111B C B D B ⋂=，所以平面11//CB D 平面1A BD ；又因为AH 垂直于平面1A BD ，所以AH 垂直于平面11CB D .故②正确； 对于③，连接111,,AC BC AD .因为四边形11BCC B 是正方形，所以11B C BC ⊥.。