四年级-数学笔记-下
四年级数学下册学生笔记
a四年级下册必背知识第一单元小数的认识和加减法1、小数的意义：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……，表示这样的一份或几份的数，叫做小数。
也就是说，小数是表示十分之几、百分之几、千分之几……的数。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……2、把单名数化成小数，先把单名数写成分母是10、100、1000……的分数，然后再写成小数。
3、把复名数改写成用小数表示的单名数，先把高级单位的数写在小数的整数部分，然后把低级单位的数化成小数写在小数部分。
4、小数的数位和计数单位：小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一，也可以表示为（0.1）；小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一，也可以表示为（0.01）；小数点右边第三位是千分位，计数单位是千分之一，也可以表示（0.001）……每相邻两个计数单位间的进率都是10。
5、小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“０”，小数的大小不变。
这叫做小数的基本性质。
6、比较小数的大小，先比整数部分，整数部分大的数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的小数就大；十分位上的数相同，再比较百分位上的数，依此类推。
7、小数加减法的计算法则：计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐(也就是把相同数位上的数对齐)，再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。
注意最后结果要化简。
8、小数加减混合运算的运算顺序和整数是一样的，在没有括号的算式里，要从左往右依次计算；在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
第二单元认识三角形和四边形1、立体图形有：长方体、正方体、圆柱体、球体。
平面图形有：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆。
2、三角形和四边形的特性：三角形具有稳定性，四边形具有易变形的特性。
3、三角形的分类：按角分，三角形可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
四年级下册数学书笔记人教版
四年级下册数学书笔记人教版
四年级下册数学人教版教材的笔记主要包括以下几个部分：
1. 数的认识：本单元主要学习大数的认识，包括亿以内数的认识和亿以上数的认识。
学生需要掌握数的读法、写法、大小比较等基本技能。
同时，还需要了解数的产生和十进制计数法。
2. 数的运算：本单元主要学习加、减、乘、除四则运算。
学生需要掌握各种运算的方法和顺序，特别是乘法和除法的口算和笔算。
同时，还需要了解估算和近似计算等知识。
3. 图形与几何：本单元主要学习图形的认识和测量。
学生需要认识各种平面图形和立体图形，了解图形的特征和性质。
同时，还需要学习长度、面积、体积等测量单位和测量方法。
4. 初步了解数据统计：本单元主要学习简单的数据收集、整理、描述和分析。
学生需要了解统计的基本概念和方法，学习制作简单的统计图表。
同时，还需要了解统计在实际生活中的应用。
在每个单元的学习中，需要注意以下几点：
1. 重视基础知识的学习和掌握，只有掌握了基础才能更好地进行数学学习。
2. 多进行练习和实践，通过练习和实践来巩固所学知识和提高自己的数学能力。
3. 注意培养自己的思维能力和解决问题的能力，数学不仅仅是计算，更重要的是思考和解决问题的方法。
4. 及时总结和归纳所学知识，形成完整的知识体系，有助于更好地理解和掌握数学知识。
希望这些信息能帮助你更好地学习四年级下册数学人教版教材。
如果你有任何其他问题，欢迎随时提问。
四年级下册数学书笔记人教版
四年级下册数学书笔记人教版全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四年级下册数学是小学数学的延续，内容更加复杂且深入。
通过学习数学，我们可以培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力和数学实践能力。
在四年级下册的数学课程中，我们将继续学习加减法、乘法、除法等基本运算，同时还将接触到分数、小数、几何图形等更有挑战性的内容。
在这份笔记中，我将总结四年级下册数学书的重点知识点，并提供一些解题技巧，希望对同学们的学习有所帮助。
一、加法和减法在四年级下册，我们会继续学习加法和减法运算。
除了加法和减法运算的速算技巧外，我们还要学会应用加减法解决实际问题。
在解决问题时，可以通过列式计算的方式来帮助我们更快地得出答案。
在解决连加、连减的复杂问题时，我们可以通过逐步拆解的方式来简化问题，然后逐步解决每个小问题，最后将所有小问题的答案相加或相减得出最终的答案。
二、乘法和除法在四年级下册，我们将开始学习乘法和除法运算。
乘法是加法的逆运算，可以简便地表示多次重复相同数量的加法。
在学习乘法时，我们需要牢记乘法口诀表，熟练掌握乘法的性质和运算法则。
除法是乘法的逆运算，可以简便地表示将一个数分成若干份的运算。
在学习除法时，我们需要理解除法的意义，掌握除法的性质和运算法则。
三、分数和小数在四年级下册，我们将接触到分数和小数的概念。
分数是表示一个数和单位之间除法关系的符号，分数可简化、加减乘除。
在学习分数时，我们需要掌握分数的基本性质和运算法则，熟练应用分数解决实际问题。
小数是用小数点来表示数的一种方法，小数点右边的部分表示数的小部分。
在学习小数时，我们需要理解小数的概念、掌握小数的运算规律，熟练地应用小数解决实际问题。
四、几何图形在四年级下册，我们将学习几何图形的基本概念和性质。
通过学习几何图形，我们可以培养学生的空间想象能力、图形认知能力和逻辑推理能力。
在学习几何图形时，我们需要掌握各种几何图形的名称、性质和判断方法，熟练地进行几何图形的绘制和分析。
四年级下册数学平行四边形和梯形探索规律笔记
四年级下册数学平行四边形和梯形探索规律笔记平行四边形和梯形是四年级下册数学的重点内容，通过对这两个图形的探索，我们可以揭示出它们的规律和性质。
在这篇文档中，我们将深入研究平行四边形和梯形，了解它们之间的联系和区别。
一、平行四边形的性质1.定义：平行四边形是具有两组对边平行的四边形。
2.性质一：对边相等。
在平行四边形中，对边的长度相等。
3.性质二：对角线互相平分。
平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点在中点。
4.性质三：内角和为180度。
平行四边形的内角和等于180度。
5.性质四：对角线长度关系。
平行四边形的对角线分别相等或互为倍数关系。
二、梯形的性质1.定义：梯形是具有一对平行边的四边形。
2.性质一：底边平行。
梯形的两边底边是平行的。
3.性质二：上底和下底。
梯形的两条非平行边分别称为上底和下底。
4.性质三：斜边长度关系。
梯形的斜边是上底和下底长度之差的绝对值。
5.性质四：内角和为180度。
梯形的内角和等于180度。
三、平行四边形和梯形的联系和区别1.联系：平行四边形和梯形都是特殊的四边形，都具有内角和为180度的性质。
2.区别：平行四边形的四边都平行，而梯形只有一对平行边；平行四边形的对边相等，梯形的上底和下底可能不等；平行四边形的对角线在中点相交，梯形的对角线不一定平分。
在实际生活中，我们可以通过比较房门矩形的形状和长椅梯形的形状来理解平行四边形和梯形的概念和特性。
通过对平行四边形和梯形的探索，我们发现它们具有一些共同的性质，如内角和为180度。
同时，也存在一些不同之处，如平行四边形的对角线在中点相交，而梯形的对角线不一定平分。
理解和掌握这些性质，可以帮助我们在解决与平行四边形和梯形相关的问题时，更加灵活和准确地运用数学知识。
以上就是关于《四年级下册数学平行四边形和梯形探索规律笔记》的内容，希望对大家的学习有所帮助。
祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩！。
四年级数学笔记摘抄下册
四年级数学笔记摘抄下册
1. 分数的加减乘除：
加法：分母相同，分子相加；分母不同，通分后相加。
减法：分母相同，分子相减；分母不同，通分后相减。
乘法：分子相乘，分母相乘。
除法：先将除数倒过来，再用乘法计算。
2. 三位数的加减法：
加法：按照个位、十位、百位的顺序相加，进位要注意。
减法：从个位开始相减，不够借位，不够减就先借位再减。
3. 长度的单位：
常用长度单位是：厘米、分米、米、千米。
1千米=1000米，1米=100厘米，1厘米=10毫米。
4. 数量的单位：
数量单位是用来计量某种事物的数量的。
常用数量单位是：个、十个、百个、千个、万个。
5. 闰年的判断：
公历年份为4的倍数且不是100的倍数，或者是400的倍数，就是闰年。
例如：1992年是闰年，1900年不是闰年，2000年是闰年。
6. 分辨率的概念：
分辨率是显示器、相机等设备的像素数量，一般用横向像素数量和纵向像素数量来表示。
例如：1366×768。
分辨率越大，图像越清晰，但也会占用更多的存储空间和计算资源。
四年级下册的数学笔记
四年级下册的数学笔记第一章：整数与小数1.整数的加减法-加法法则：同号相加，取相同的符号，绝对值相加。
-减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
-加减混合运算：按照从左到右的顺序进行，如有括号则先算括号内的。
2.小数的加减法-小数点对齐原则：在加减小数时，小数点要对齐，即相同数位要对齐。
-计算方法：从低位开始逐位相加或相减，满十进一或退一当十。
3.整数与小数的大小比较-比较整数：先比较位数，位数多的数大；位数相同则从左至右逐位比较。
-比较小数：先比较整数部分，再比较小数部分。
第二章：乘法与除法1.乘法的运算-乘法口诀：一一得一，一二得二，......，九九八十一。
-乘法法则：正数乘正数得正数，正数乘负数得负数。
-乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
2.除法的运算-除法法则：被除数除以除数等于商，余数放在商的后面。
-商的性质：商可以是整数或小数。
-除法运算顺序：先算括号内的，再算乘除，最后算加减。
3.乘除混合运算-注意运算顺序，遵循先乘除后加减的原则。
-有括号的要先计算括号内的运算。
第三章：图形与几何1.平面图形-认识各种平面图形：正方形、长方形、三角形、圆形等。
-图形的基本特征：如正方形的四边相等，长方形的对边相等。
2.图形的周长与面积-周长：封闭图形一周的长度。
-面积：封闭图形所占平面的大小。
-计算方法：根据图形类型使用相应的公式计算。
第四章：统计与概率1.数据的收集与整理-学会用画“正”字的方法整理数据。
-制作条形统计图表示数据。
2.简单的统计量-平均数：所有数的和除以数的个数。
-中位数：将数据从小到大排列后，位于中间的数。
3.可能性-理解“一定”、“可能”、“不可能”等概率词汇。
-能够用分数表示事件发生的可能性。
第五章：问题解决1.文字题的解题策略-认真审题，理解题意。
-分析数量关系，列出算式。
-计算结果，并检查答案是否合理。
2.应用题的解题步骤-弄清题意，找出已知条件和未知量。
四年级下册数学学习笔记
四年级下册数学学习笔记
1. 数的大小比较
- 对于两个数的大小比较，可以使用比较符号进行判断。
- 当比较两个数时，如果一个数比另一个数大，则使用 ">" 符号表示。
- 如果一个数比另一个数小，则使用 "<" 符号表示。
- 如果两个数相等，则使用 "==" 符号表示。
2. 负数的认识与运算
- 负数是表示比零更小的数，可以用 "-" 符号表示。
- 在负数的运算中，要注意正数与负数之间的运算规律。
- 正数与正数相加，结果还是正数；负数与负数相加，结果还是负数。
- 正数与负数相加，取绝对值较大的数的符号，并用两个数的绝对值相减得到结果。
3. 分数的认识与运算
- 分数是由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总份数。
- 分数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
- 加法和减法要先找到分母的最小公倍数，然后将分数的分子化为相同的倍数进行计算。
- 乘法只需要将分子和分母分别相乘即可。
- 除法需要将除数的分子与被除数的分母相乘，除以除数的分母与被除数的分子相乘。
4. 长度的认识与计量
- 长度是用来衡量物体长短的属性，常用单位有米、分米、厘米等。
- 不同单位之间存在换算关系，如 1 米 = 10 分米 = 100 厘米。
- 长度的计量可以使用尺子、卷尺等工具进行测量。
以上是我在四年级下册数学学习中的笔记，希望对你有帮助。
四年级下册数学课堂笔记
四年级下册数学课堂笔记一、知识点梳理1. 四则运算：掌握加、减、乘、除的基本运算，理解运算顺序（先乘除后加减，括号内的优先）。
2. 位置与方向：能够根据方向和距离确定物体的位置，理解相对位置的概念。
3. 运算定律与简便计算：理解并掌握加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用这些定律进行简便计算。
4. 三角形、平行四边形和梯形：了解三角形、平行四边形和梯形的特征，理解它们的周长和面积的计算方法。
5. 小数的意义和性质：理解小数的意义，掌握小数的性质和小数的基本运算。
6. 平均数与条形统计图：理解平均数的概念，能计算平均数，并能看懂简单的条形统计图。
7. 数学广角——鸡兔同笼问题：通过解决鸡兔同笼等实际问题，体会策略的多样化，培养初步的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、重点与难点解析1. 四则运算中的难点：如括号内的运算顺序、带分数与小数的混合运算等，需要通过大量的练习来巩固。
2. 位置与方向的问题：学生需要具备空间思维能力，能够想象和理解物体的相对位置。
可以通过绘制图形、实物演示等方式帮助学生理解。
3. 运算定律的运用：学生在运用运算定律时常常出错，需要加强练习和指导，确保学生真正理解并能够熟练运用。
4. 三角形、平行四边形和梯形的周长与面积计算：学生需要理解图形的特征，掌握正确的计算方法。
可以通过画图、比较等方法帮助学生理解。
5. 小数的性质和运算：学生初次接触小数，需要重点讲解小数的性质和运算方法，通过大量的练习来巩固。
6. 平均数与条形统计图的理解：学生需要理解平均数的概念，并能够根据条形统计图提供的信息进行简单的分析。
可以通过实例来帮助学生理解。
7. 鸡兔同笼问题的解题策略：这是一个经典的数学问题，需要引导学生尝试不同的方法来解决，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、学习方法建议1. 加强基础知识的学习：对于每一个知识点，都要深入理解，掌握其基本概念和运算方法。
2. 多做练习题：通过大量的练习，巩固所学知识，提高运算能力和解决问题的能力。
四年级数学下册笔记整理
第一单元四则运算(1)在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要从左往右按顺序计算。
(2)在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法后算加、减法。
(3)在有括号的算式里,要先算括号里面的，再算括号外面的.(4)0不能作除数.(5)任何数乘以1都得原数.(6)加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
第二单元位置与方向（1）找到起点，把起点的四个方位找到。
（2）上北、下南、左西、右东。
（3）相对的方位（角度相等）西偏北-----东偏南北偏西——--—南偏东北偏东-—--——南偏西东偏北--—--西偏南（4）看清题目中1厘米代表多少米、千米.第三单元运算定律与简便计算（1）两个加数交换位置，和不变，这叫做加法交换律。
a+b=b+a(2)先把前两个数相加，再加第三个数;或者先把后两个数相加，再加第一个数，这叫做加法结合律。
(a+b)+c=a+(b+c)(3)交换两个因数的位置,积不变，这叫做乘法交换律。
a×b=b×a(4)先乘前两个数,再乘第三个数；或者先乘后两个数，再乘第一个数，这叫做乘法结合律。
（a×b）×c=a×( b×c）(5)两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘,再相加，这叫做乘法分配律。
(a+b）×c=a×c+b×c(6)两个数的差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘,再相减,这叫做乘法分配律. （a—b)×c=a×c—b×c（7）一个数连续减去几个数,就等于这个数减去这几个数的和。
a—b-c=a-(b+c）（8）一个数连续除以几个数，就等于这个数除以这几个数的积。
a ÷b ÷c=a ÷(b ×c)（9)25×4=100 125×8=1000 25×8=200 125×4=500第四单元小数的意义和性质（1）分数产生:在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。
四年级下数学《平均数与条形统计图》笔记
四年级下数学《平均数与条形统计图》笔记
一、平均数
1.
定义：平均数是所有数的和除以数的个数。
2.
计算方法：
•直接相加法：将所有数值相加，然后除以数值的数量。
•移多补少法：将多的数值移到较少的数值上，使所有数值相等。
1.平均数的性质：
•平均数大于或等于最小值，小于或等于最大值。
•当所有数值相等时，平均数等于所有数值中的任何一个。
•平均数可以反映一组数据的总体“平均水平”。
二、条形统计图
1.
定义：条形统计图是用直条的长短来表示相互独立的统计指标数值大小和它们之间的对比关系。
2.
制作方法：
•确定统计指标和数据。
•确定直条的分类和间隔。
•绘制直条并标注数据。
•写上标题和时间。
1.条形统计图的优点：
•可以直观地看出各类别的数据大小和它们之间的对比关系。
•可以比较不同类别的数据，便于分析和比较。
•可以表示出数据的分布情况。
1.条形统计图的局限性：
•不容易表示数据的变化趋势。
•容易受到直条间隔的影响，可能导致误导。
•如果数据量很大，制作会比较困难和繁琐。
三、平均数在条形统计图中的应用
1.用平均数来比较不同类别的数据大小和它们之间的对比关系。
2.用平均数来表示数据的分布情况，帮助我们更好地了解数据的整体特征。
3.在条形统计图中，可以用平均数来作为参考标准，便于分析和比较不同类别的
数据。
四年级下册数学笔记人教版
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一、四则运算
1. 加法：把两个数合并成一个数的运算。
2. 减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
3. 乘法：几个相同加数的和的简便运算。
4. 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
在四则运算中，还有一些重要的性质和定律，如加法交换律、乘法交换律、乘法分配律等。
这些性质和定律在解决问题时可以简化计算过程。
二、位置与方向
1. 确定位置：可以用数对表示物体的位置，第一个数表示列，第二个数表示行。
2. 描述路线：可以用方向和距离来描述从一个地点到另一个地点的路线。
三、运算定律与简便计算
1. 加法交换律和结合律。
2. 乘法交换律和结合律以及乘法分配律。
3. 利用这些定律进行简便计算。
四、小数的意义和性质
1. 小数的读法和写法。
2. 小数的性质：末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
3. 小数的大小比较。
4. 小数的加减法。
五、三角形
1. 三角形的特征和分类。
2. 三角形的内角和。
3. 三角形的三边关系。
六、小数的加法和减法
1. 小数的加法和减法法则。
2. 利用运算定律进行简便计算。
3. 解决实际问题中的应用。
七、图形的运动（二）
1. 轴对称图形的特征和性质。
2. 平移和旋转的基本性质。
3. 利用图形的运动设计图案。
四年级下册数学笔记
四年级下册数学笔记第一章：整数整数是由正整数、负整数和0组成的数集。
正整数是数轴上的右侧部分，用正数表示；负整数是数轴上的左侧部分，用负数表示；0位于数轴的原点位置。
整数之间的大小关系：绝对值较大的整数，其值较小。
整数的运算：加法：符号相同，可直接相加，并保留符号；符号不同，按绝对值大小进行减法，并取绝对值较大的符号。
减法：减去一个整数等于加上该整数的相反数。
乘法：符号相同，相乘的积为正；符号相反，相乘的积为负。
除法：整数除以整数，商和余数都是整数。
绝对值：一个数离0的距离。
绝对值的性质：①非负数的绝对值等于该数本身；②任意两个数的绝对值相等时，这两个数的符号一样。
第二章：分数分数是由整数和分子、分母组成的数。
真分数：分子小于分母的分数。
假分数：分子大于或等于分母的分数。
分数的大小关系：①分母相同，分子大的分数大；②分子相同，分母小的分数大。
分数的运算：加法：两个分数的分母相同，直接将分子相加，分母保持不变。
减法：两个分数的分母相同，直接将分子相减，分母保持不变。
乘法：两个分数相乘，将两个分数的分子相乘，分母相乘，然后约分（若能约分）。
除法：两个分数相除，将一个分数的分子乘以另一个分数的倒数，然后约分（若能约分）。
约分：将一个分数的分子和分母同时除以同一个数，使其变为最简分数。
第三章：小数小数是整数与分数的组合，便于进行大量计算。
小数的读法：小数点前的数按整数的读法；小数点后的数从左向右按位读。
小数的大小关系：位数相同的小数，数值大的小数为大；位数不同的小数，先补位，再比较大小。
小数的运算：加法：竖式加法法则。
减法：竖式减法法则。
乘法：先忽略小数点，按整数的乘法法则计算，再确定小数点的位置。
除法：先使除数和被除数都扩大10、100、1000…倍，使除数成为整数，再进行正常的除法运算。
小数的应用：小数的运算在实际生活中有很多应用，例如金钱、比例、百分比等。
第四章：图形的认识和运用图形是由点、线、面组成的。
四年级下册数学第二单元知识点笔记
四年级下册数学第二单元知识点笔记1、直线：可以向两端无限延伸；没有端点。
读作：直线ab或直线ba。
线段：不能向两端无限延伸；有两个端点。
读作：线段ab 或线段ba。
射线：可以向一端无限延伸；有一个端点。
读作：射线ab（只有一种读法，从端点读起。
）2、画直线。
过一点可画无数条直线；过两点能画一条直线；过三点，如果三点在一条线上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画出直线。
3、直线、射线可以无限延长。
因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以测量，没有具体的长度。
如：直线长4厘米。
是错误的。
只有线段才能有具体的长度。
4、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线5、平行线的画法。
（1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。
（2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。
（3）沿一条直角边在画出另一条直线。
6、当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
这两条直线的交点叫做垂足。
（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。
）7、画垂线：（1）过直线上一点画垂线的方法。
把三角尺的一条直角边与这条直线重合，直角顶点是垂足，沿着另一条直角边画直线，这条直线是前一条直线的垂线。
注意，要让三角尺的直角顶点与给定的点重合。
（2）过直线外一点画垂线的方法。
把三角尺的一条直角边与这条直线重合，让三角尺的另一条直角边通过这个已知点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是前一条直线的垂线。
注意，画图时一般左手持三角尺，右手画线。
过直线外一点画一条直线的垂线，三角尺的另一条直角边必须通过给定的这个点。
8、由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
角是由一个顶点和两条边组成的。
9、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，（像一条直线），平角等于°（读作度），等于两个直角。
周角：角的两边重合，（像一条射线），周角等于°（读作度），等于两个平角，四个直角。
四年级下册运算律笔记
四年级下册运算律笔记
运算律是数学中一个非常重要的概念，它包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。
这些运算律是数学运算的基本规则，它们在数学中有着广泛的应用，是数学学习和解决数学问题的基础。
加法交换律是指加法运算中，加数的顺序可以交换，即a+b=b+a。
这个运算律看似简单，但在解决数学问题时却非常有用。
例如，当我们需要将多个数相加时，可以先任意选择一个加数的顺序，再利用加法交换律将其他加数按照任意顺序排列，最后进行相加。
加法结合律是指加法运算中，加数的分组方式可以任意选择，即(a+b)+c=a+(b+c)。
这个运算律也是解决数学问题时常用的技巧。
例如，当我们需要将多个数相加时，可以先将一些数相加，再将另外一些数相加，最后利用加法结合律将两部分相加的结果合并在一起。
乘法交换律是指乘法运算中，因数的顺序可以交换，即ab=ba。
这个运算律也是非常基本的，但它对于解决数学问题同样非常重要。
例如，当我们需要计算两个数的乘积时，可以先选择一个因数的顺序进行计算，再利用乘法交换律将另一个因数交换到前面来，最后完成乘法计算。
乘法结合律是指乘法运算中，因数的分组方式可以任意选择，即(ab)c=(a(bc))。
这个运算律也是解决数学问题时常用的技巧。
例如，当我们需要计算多个数的乘积时，可以先将一些数相乘，再将另外一些数相乘，最后利用乘法结合律将两部分相乘的结果合并在一起。
四年级下册数学知识点
四年级下册数学知识点四年级下册数学知识点1一、单式折线统计图1、折线统计图的特点：既可以反映出数量的多少，又能表示出数量的增减变化。
2、绘制折线统计图的方法：①画出横轴和纵轴（补画统计图时此步骤已给出）；②确定一个单位长度表示数量多少（补画统计图时此步骤已给出）；③描点，描点时应注意先找准横轴上的点，再找准纵轴上相对应的点，过两点分别做横轴、纵轴的垂线，两条垂线的交点就是所要描的点，在交点处点上实心点；④用线段顺次连接所有点，并标注数据；⑤标注好日期和标题。
（日期也可不标注）3、折线统计图的应用：可以根据折线统计图发现问题、解决问题，并进行合理地推测。
（知识巧记）统计图，类型多，条形、折线一一说。
条形数量好比较，折线增减更明了。
绘制折线较简单，描点连线来解决。
完成绘图细分析，解决问题更容易。
二、复式折线统计图1、复式折线统计图：如果在统计过程中存在两组（或多组）数据，且需要在一幅统计图中表示这两组（或多组）数据，就要用两种（或多种）不同颜色（或不同形式）的折线来表示不同数量的变化情况，这种统计图就是复式折线统计图。
2、复式折线统计图的特点：复式折线统计图不但能表示出各组数据的多少，数据的增减变化的情况，而且可以比较各组数据的变化趋势。
3、复式折线统计图的绘制方法：与单式折线统计图的绘制方法基本相同，只是用不同的折线表示表示不同的量，需标明图例。
4、运用横向、纵向、综合、对比等不同的观察方法，可以读懂复式折线统计图，从中获取更多的信息，并能根据信息回答或提出相应的问题，同时进行简单地分析和合理地推测。
小学数学新课标的基本理念1、义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
2、数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的.一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
四年级(下册)数学学霸笔记
四年级（下册）数学学霸笔记知识点：一、加法的意义和各部分间的关系1.把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
2.加法各部分的名称。
相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和。
3.加法各部分间的关系。
和=加数+加数加数=和-另一个加数二、减法的意义和各部分间的关系1.已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
2.减法各部分的名称。
在减法中，已知的和叫做被减数，其中的一个加数叫做减数，求得的另一个加数叫做差。
3.减法各部分间的关系。
差=被减数-减数减数=被减数-差被减数=减数+差4.减法是加法的逆运算。
5.根据加、减法各部分间的关系可以进行加、减法的验算。
三、乘法的意义和各部分间的关系1.求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
2.乘法各部分间的名称。
相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。
3.乘法各部分间的关系。
积=因数×因数因数=积÷另一个因数四、除法的意义和各部分间的关系1.已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
2.除法各部分的名称。
在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求出的未知因数叫做商。
3.没有余数的除法各部分间的关系。
商=被除数÷除数除数=被除数÷商被除数=除数×商4.有余数的除法各部分间的关系。
被除数=商×除数+余数商=(被除数-余数)÷除数除数=(被除数-余数)÷商5.余数一定比除数小。
6.除法是乘法的逆运算。
利用乘、除法的互逆关系来验算乘、除法算式。
没有余数的除法算式:五、有关0的运算1.0在运算中的特点。
(1)在加法中，一个数加上0，还得原数。
(2)在减法中，一个数减去0，仍得原数；被减数等于减数，差是0。
(3)在乘法中，一个数和0相乘得0。
(4)在除法中，0除以一个非0的数得0。
2.0不能作除数。
注意:0作除数无意义。
例如:8÷0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到8。
四年级-数学笔记-下
一、四则运算【加法的意义】把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和。
【减法的意义】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
在减法中，已知的和叫做被减数。
【加法各部分间的关系】和 = 加数 + 加数加数 = 和–另一个加数【减法各部分间的关系】差 = 被减数–减数减数 = 被减数–差被减数 = 减数 + 差【加减法间的关系】减法是加法的逆运算。
【乘法的意义】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
相乘的两个数叫做因数；乘得的数叫做积。
※如果给数字赋予意义，加法中的连个加数之间的意义相同；而乘法中的两个因数之间意义不同。
例如：3只羊和5只羊合起来一共8只羊，算式是3 + 5 = 8，这里的加数3和5，它们指的都是羊的个数，二者意义相同。
有3个小队，每个小队有5只羊，总共的羊的数量是 3 x 5 = 15，这里的因数3和5，3指的是3个队伍，5指的是每个队伍有5只羊，二者意义不同。
【除法的意义】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因素的运算，叫做除法。
在除法中，已知的积叫做被除数。
【乘法各部分间的关系】积 = 因数 x 因数因数 = 积÷另一个因数【除法各部分间的关系】商 = 被除数÷除数除数 = 被除数÷商被除数 = 商 x 除数【乘除法间的关系】除法是乘法的逆运算。
【0在四则运算中的特性】1.加法中，一个数加上0，还得原数。
如5 + 0 = 52.减法中，一个数减去0，还得原数。
如9 – 0 = 93.乘法中，一个数和0相乘，均得0。
如182 x 0 = 04.除法中，0除以一个非0的数，还得0（注：0不能做除数）。
如0 ÷ 92 = 0【四则运算】加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。
【运算顺序】1.没有括号的四则混合运算的算式中，先算乘、除法，后算加、减法。
2.含有小括号的混合运算顺序是：先算小括号里面的，再算小括号外面的。
人教版四年级数学下册知识点重点难点考点汇总复习建议
四年级数学下册知识点重点难点考点汇总复习建议第一单元：四则运算1. 重点知识点-四则运算的意义和各部分间的关系：加法是把两个数合并成一个数的运算，减法是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，乘法是求几个相同加数和的简便运算，除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
如加法中，和=加数+ 加数，加数= 和-另一个加数；乘法中，积= 因数×因数，因数= 积÷另一个因数。
-四则混合运算的顺序：在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算；如果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。
有括号的算式，要先算括号里面的，再算括号外面的。
2. 难点-理解减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算的含义，尤其是在解决复杂问题中运用这种关系。
-正确处理含有括号的四则混合运算，特别是多层括号的情况，容易出现运算顺序错误。
3. 考点-根据四则运算各部分间的关系填空或解决简单问题，如已知和与一个加数求另一个加数。
-四则混合运算的计算，常以脱式计算的形式考查，要求准确遵循运算顺序。
第二单元：观察物体（二）1. 重点知识点-从不同方向观察物体：能正确辨认从前面、上面、左面观察到的简单物体或由几个正方体组成的几何体的形状。
例如，通过观察一个由多个正方体搭建的立体图形，描述从不同方向看到的平面图形。
-根据视图还原物体：根据从不同方向观察到的图形，想象和还原出物体的形状，培养空间观念。
2. 难点-从斜方向观察物体的视图判断，以及根据给出的三个方向视图准确还原立体图形，需要较强的空间想象能力。
-对于复杂的组合几何体，准确分析从各个方向看到的形状，尤其是有遮挡情况的判断。
3. 考点-给出立体图形，选择从不同方向看到的视图，以选择题或判断题形式出现。
-根据给定的几个方向视图，画出或选择正确的立体图形，多为操作题或选择题。
第三单元：运算定律1. 重点知识点-加法运算定律：加法交换律（a + b = b + a）和加法结合律((a + b)+ c = a +(b + c))，能运用这些定律进行简便计算，如计算25 + 36 + 75，可以利用加法交换律和结合律得到(25 + 75)+ 36 = 136。
四年级下册数学笔记
四年级下册数学笔记数学笔记一1. 数的认识- 数的定义：数是用来表示事物的多少的概念。
- 数的分类：自然数、整数、分数和小数等。
- 数的比较：通过大小关系符号（<、>、=）进行数的比较。
2. 自然数的运算- 加法原理：加法是把两个或多个数相加，得到它们的和。
- 减法原理：减法是从一个数中减去另一个数，得到它们的差。
- 乘法原理：乘法是把两个数相乘，得到它们的积。
- 除法原理：除法是把一个数分成若干等份，求出每份的值。
3. 分数的认识与运算- 分数的定义：分数是整数与整数之间的比值表示形式。
- 分数的组成：分子（表示分成的份数）和分母（表示每份的份数）组成。
- 分数的比较：通过扩展分母或分子，将两个分数转换为相同的分母或分子进行比较。
- 分数的加减乘除：分数的加减乘除运算与整数的运算类似，需要注意通分和约分的方法。
数学笔记二1. 小数的认识与运算- 小数的定义：小数是整数与整数之间的数值表示形式。
- 小数的组成：整数部分和小数部分组成，用小数点表示整数与小数的分界线。
- 小数的读法：根据小数部分的位数，可以用读数方法读出小数的值。
- 小数的加减乘除：小数的加减乘除运算与整数和分数的运算类似，需要注意小数点的位置对齐。
2. 数轴- 数轴的定义：数轴是按照一定比例将数线标记并对应数值的一种表示形式。
- 数轴的使用：通过数轴可以直观地表示数值的大小关系，方便进行比较和运算。
- 正数和负数：数轴上面以0为中心，向左为负数，向右为正数。
3. 单位换算- 长度单位换算：如米、分米、厘米、毫米之间的换算。
- 容量单位换算：如升、毫升之间的换算。
- 质量单位换算：如千克、克之间的换算。
数学笔记三1. 图形的认识- 点、线、面：点没有长度和宽度，线只有长度而没有宽度，面有长度和宽度。
- 直线、曲线：直线没有弯曲，曲线有弯曲。
- 封闭曲线、开放曲线：封闭曲线构成图形，开放曲线则不构成图形。
2. 平面图形- 三角形：三边和三个内角的关系。
四年级下册数学笔记大全
四年级下册数学笔记大全四年级下册数学笔记（人教版）一、四则运算。
1. 加法的意义和各部分间的关系。
- 把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
- 在加法算式中，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。
- 加数+加数 = 和；和 - 一个加数 = 另一个加数。
2. 减法的意义和各部分间的关系。
- 已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
- 在减法算式中，减号前面的数叫做被减数，减号后面的数叫做减数，等号后面的数叫做差。
- 被减数 - 减数 = 差；被减数 - 差 = 减数；差+减数 = 被减数。
3. 乘法的意义和各部分间的关系。
- 求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
- 在乘法算式中，相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。
- 因数×因数 = 积；积÷一个因数 = 另一个因数。
4. 除法的意义和各部分间的关系。
- 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
- 在除法算式中，除号前面的数叫做被除数，除号后面的数叫做除数，等号后面的数叫做商。
- 被除数÷除数 = 商；被除数÷商 = 除数；商×除数 = 被除数。
5. 四则混合运算的顺序。
- 在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
- 在没有括号的算式里，如果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。
- 有括号的算式，要先算括号里面的。
既有小括号，又有中括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
二、观察物体（二）1. 从不同位置观察物体。
- 从不同的位置观察同一个立体图形，所看到的形状可能是相同的，也可能是不同的。
- 从一个方向观察物体，最多能看到物体的三个面。
三、运算定律。
1. 加法运算定律。
- 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
用字母表示为a +b=b + a。
- 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
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一、四则运算【加法的意义】把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和。
【减法的意义】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
在减法中，已知的和叫做被减数。
【加法各部分间的关系】和 = 加数 + 加数加数 = 和–另一个加数【减法各部分间的关系】差 = 被减数–减数减数 = 被减数–差被减数 = 减数 + 差【加减法间的关系】减法是加法的逆运算。
【乘法的意义】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
相乘的两个数叫做因数；乘得的数叫做积。
※如果给数字赋予意义，加法中的连个加数之间的意义相同；而乘法中的两个因数之间意义不同。
例如：3只羊和5只羊合起来一共8只羊，算式是3 + 5 = 8，这里的加数3和5，它们指的都是羊的个数，二者意义相同。
有3个小队，每个小队有5只羊，总共的羊的数量是 3 x 5 = 15，这里的因数3和5，3指的是3个队伍，5指的是每个队伍有5只羊，二者意义不同。
【除法的意义】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因素的运算，叫做除法。
在除法中，已知的积叫做被除数。
【乘法各部分间的关系】积 = 因数 x 因数因数 = 积÷另一个因数【除法各部分间的关系】商 = 被除数÷除数除数 = 被除数÷商被除数 = 商 x 除数【乘除法间的关系】除法是乘法的逆运算。
【0在四则运算中的特性】1.加法中，一个数加上0，还得原数。
如5 + 0 = 52.减法中，一个数减去0，还得原数。
如9 – 0 = 93.乘法中，一个数和0相乘，均得0。
如182 x 0 = 04.除法中，0除以一个非0的数，还得0（注：0不能做除数）。
如0 ÷ 92 = 0【四则运算】加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。
【运算顺序】1.没有括号的四则混合运算的算式中，先算乘、除法，后算加、减法。
2.含有小括号的混合运算顺序是：先算小括号里面的，再算小括号外面的。
括号里面的算式运算顺序遵守上述第1条。
3.既有小括号，又有中括号（也叫方括号）的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
例： 96 ÷ [ ( 32 + 16 ) x 2 ] 推理出图示方式。
最先计算 (32 + 16)，故32和16应该在图的最顶部计算结果看成整体这是运算的第二步，故计算结果和2放在图的第二层除以x2 运算后的结果，这是整体运算的第三步放在图的第三层根据图示反推算式，就是上述分析的逆过程。
图示表达式中，从上到下分为不同的层，每一层代表一步计算顺序，从上到下依次进行，这与先乘除后加减，先算括号内再算括号外的规则一一对应。
【租船策略问题】一共32人，大船限乘6人，每船租金30元；小船限乘4人，每船租金24元。
问如何租船最省钱。
两条原则：1.优先选择单价最便宜的方式2.尽可能保证没有空位寻找租船方案时，每一步都要按同时满足上述2条原则的方法进行，当出现同时满足2条原则时，该方案即为最优方案。
大船租金30元，限乘6人，相当于平均每人5元（30 ÷ 6 = 5）；小船租金24元，限乘4人，相当于平均每人6元（24 ÷ 4 = 6）；大船人均单价比小船人均单价便宜。
按照原则1，需要优先选择大船。
【门票策略问题】一共32人，其中成人4人，儿童28人。
按下列门票规则，如何买最划算？公园门票：成人票20元/人，儿童票10元/人，团体票15元/人（满5人以上）一条原则：尽可能选择便宜的票价。
与租船问题差异：租船以船（可坐若干人）为单位整体付租金，可能产生空位。
而门票问题直接按人付费，不可能产生空位。
①各自买对应的票价：总票价 = 4 x 20 + 28 x 10 = 80 + 280 = 360元②团体票更便宜，全选团体票：总票价 = 32 x 15 = 480元③方案②中成人选择了便宜的团体票价，但儿童却选择了更贵的团体票，所以总票款更贵了。
如果儿童选择儿童票，成人选择团体票，那就可以让不同的人都选择更便宜的票价。
总票价 = （4+1）x15 + （28-1）x10 = 75 + 270 = 345元二、观察物体（二）一句话：多观察，同时在脑海中建立起立体的空间想象图形。
立体图三、运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，和不变。
【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
【乘法交换律】两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。
【乘法结合律】三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
【乘法分配律】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
【减法的运算性质】1.一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。
2.在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变。
【除法的运算性质】1.一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。
2.在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变。
【学习运算定律的意义】即使没有运算定律，一样可以对算式进行加减乘除运算。
但是掌握了运算定律，可以简化运算，降低计算错误的可能性，提高运算效率。
【加减法巧算法】1.凑整法：观察算式中哪几个数可以凑成整十整百，利用加法交换律、加法结合律以及减法的运算性质，进行巧算。
例：115 + 132 + 118 + 85 – 66 – 34= (115 + 85) + (132 + 118) – (66 + 34) = 200 + 250 - 100 = 3502.分解法：观察算式中数字的特点，如果不能用凑整法，但是个别数字接近整十、整百，该数字可以分解为整十整百和另一个数的差（或和），从而简化计算。
例：198 + 1997 + 204 = (200 -2) + (2000 – 3) + (200 + 4)= 200 + 2000 + 200 – 2 - 3 + 4 = 2400 – 5 + 4 = 2400 – 1 = 2399【乘除法巧算法】1.提取公因数：观察算式中所有数字的特点，如果发现有公因数，可以利用乘法分配律来提取公因数，简化计算。
例1：36 x 29 + 36 = 36 x 29 + 36 x 1 = 36 x (29 + 1) = 36 x 30 = 1080 例2: 666 x 444 + 333 x 112 = 333 x 2 x 444 + 333 x 112= 333 x ( 2 x 444 + 112) = 333 x (888 + 112) = 333 x 1000 = 333000 2.凑整法：观察算式中数字的特征，如果发现不同数字间有整数倍的关系，或者凑整的情况，可以利用乘法交换律等方法，简化计算。
例：146 x 21 ÷ 73 x 25 x 4 = (146 ÷ 73) x 21 x (25 x 4) = 42 x 100 = 4200 3.分解法：观察算式中数字的特点，如果存在特殊运算情况，可以分解数字，使算式出现特殊运算情况，从而简化计算。
例1：12 x 25 = 3 x 4 x 25 = 3 x (4 x 25) = 3 x 100 = 300例2：(12 x 25) = (10 + 2) x 25 = 10 x 25 + 2 x 25 = 250 + 50 = 300四、小数的意义和性质【小数的组成】由整数部分、小数点和小数部分三部分组成。
【小数的必要性】现实生活中的很多数字都不是整数，比如课桌的高度是1米多，这就需要用小数来表达。
【小数和分数】小数是分数的另一种表示形式。
分母是10的分数改写为小数时，小数点后有1位小数。
如：7 / 10 = 0.7分母是100的分数改写为小数时，小数点后有2位小数。
如：34 / 100 = 0.347 / 10，或者0.7。
【小数的意义】分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
【小数的计数单位】计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……。
每相邻两个计数单位之间的进率是10。
【小数的读法和写法】有关“0”的读法：整数部分每级末尾的“0”不读，中间无论有几个“0”都只读一个零；小数部分有几个“0”都要依次读出来。
小数部分最大的数位是十分位；小数部分没有最小的数位。
【小数的性质】小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，但意义发生改变。
【小数的大小比较】先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同，就比较百分位，百分位上的数大的那个数就大……。
【小数与单位换算中的进率问题】小数的不同数位中，相邻数位间的进率是10。
带有单位的小数在进行单位换算时，要注意不同单位间的进率是不是10。
如果不同单位间的进率也是10，那么它们可以和小数的不同数位进行一一对应；例如：元角分相邻单位间进率是10，9.28元 = 9元2角8分如果不同单位间的进率不是10，就不能和小数数位一一对应，而要按单位间的进率进行换算；例如：吨和公斤间的进率是1000，9.28吨 = 9吨 + 0.28吨 = 9吨280公斤【小数与单位换算中的换算方向】举例说明：1元和10角是等价的，1元就像是零散的10角的一个大包装。
大小单位间的换算，就像把东西组成大包装或者从大包装里拆出零散的小包装一样。
对1元和10角进行等价换算，“元”的大包装换成“角”的小包装时，包装（单位）变小，数量（数字）就会变大；反过来，包装（单位）变大，数量（数字）就会变小。
大单位变为小单位，数字会变大，需要乘以进率；小单位变为大单位，数字会变小，需要除以进率；例如：“米”和“厘米”间的进率是100。
6米换为_____厘米时，单位变小，数字需要变大，6需要乘以进率100，所以6米 = 600厘米。
“吨”和“公斤”间的进率是1000。
3000公斤换为_____吨时，单位变大，数字需要变小，3000需要除以进率1000，所以3000公斤 = 3吨。
【带有单位的小数的组成】带有单位的小数，如果由若干个不同单位的数字部分组成，它们之间是“+”的关系。
在这个理解基础上，就方便进行单位换算了。
例如：1米45厘米 = 1米 + 45厘米 = 1米 + 0.45米 = 1.45米【小数的精确度】一个小数的最后一位是哪一位（指数位），就说明这个小数精确到了哪一位。
如：0.984的最后一位是千分位，说明0.984精确到千分位。
【求近似数】求近似数的方法是四舍五入。
求近似数时要求把小数精确到哪一位，就要对这一位的下一位进行四舍五入处理。
是否是近似数，关键看是否有四舍五入动作产生。
例如：0.984要求保留2位小数，就要对第3位小数“4”进行四舍五入处理，= 0.98 789230000 = 7.8923亿，这个换算不是近似数，因为没有四舍五入动作产生。