第12章 动量矩定理

第十二章 动量矩定理§12—1 质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点Q 的动量对于点O 的矩，定义为质点对于点O 的动量矩动量矩的单位：kgm 2/s二、 质点系的动量矩()mvr mv M O ⨯=()OQAr mv mv M O ∆=∙=2sin ϕ()i i ni O O v m M L ∑==1()i i ni z z v m M L ∑==1()A Q O mv M z ''∆±=2()[]()mv M mv M z z O =绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。

§12—2 动量矩定理一、质点的动量矩定理质点的动量矩定理: 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。

直角坐标投影式为[]zz O L L =()2111i ni i i ni i i i i ni z z r m r v m v m M L ∑∑∑====∙==ω21i ni i z r m J ∑==ωz z J L =()mv dtdr mv dt dr mv r dt d mv M dt d O ⨯+⨯=⨯=）()(()F r mv v mv M dtdO ⨯+⨯=()()F M mv M dtdO O =()()()()()()F M m v M dtdF M m v M dt dF M m v M dt dz z y y x x ===特殊情形：当质点受有心力F 的作用时，如图11-4所示，力矩0=)(o F M ，则质点对固定点O 的动量矩)(m o v M =恒矢量，质点的动量矩守恒。

例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩0=)(o F M ，行星的动量矩)(m o v M =恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh =恒量，行星的速度v 与恒星到速度矢量的距离h 成反比。

例1如图所示单摆，由质量为m 的小球和绳索构成。

单摆悬吊于点O ，绳长为l ，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。

解：根据题意以小球为研究对象，小球受力为铅垂重力g m 和绳索拉力F 。

单摆在铅垂平面内绕点O 作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为ϕ，ϕ为逆时针时正，如图所示。

则质点对点O 的动量矩为mvl )m (M o =v作用在小球上的力对点O 的矩为ϕsin mgl )(M o -=F由质点的动量矩定理得ϕsin mgl l v m -= （1）由于ϕl ωl v ==，则ϕ l v =，又由于单摆作微振幅摆动，则ϕϕ≈sin 从而由式（1）得单摆运动微分方程为022=+ϕϕlgdt d （2） 解式（2）得单摆的运动规律为)t sin(ωn o θϕϕ+= 其中，lgωn =称为单摆的角频率，单摆的周期为 gl πωπT n22==o ϕ称为单摆的振幅，θ称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。

二、质点动量矩守恒定理若作用质点的力对某定点的矩恒等于零，则M O （mv ）= 恒量 M z ( mv ) = 恒量d S/d t = 恒量 质点在有心力作用下的面积速度定理三、质点系的动量矩定理n 个方程相加后得投影式为四、质点系动量矩守恒定理当外力对某定点（或某定轴）的主矩（或力矩代数和）等于零时，质点系对该点（或该轴）的动量矩保持不变。

§12—3 刚体绕定轴的转动微分方程()()()()()i i O e i O i i O F M F M v m M dtd+=()()e i ni O O F M L dt d∑==1()()()()∑∑∑======n i e i z z e i n i x y e i ni x x F m L dt dF m L dt dF m L dt d111§12—4 刚体对轴的转动惯量一、简单形状物体的转动惯量计算均质细直杆均质薄圆环 J z = mR 2 均质圆板二、惯性半径（或回转半径）三、平行轴定理§12—5 质点系相对于质心的动量矩定理()F M J z z ∑=α()F M dtd J z z ∑=22ϕ2md J J zC z +=mJ z z =ρ2z z m J ρ=CC C O i i i i i O O L mv r L v m r v m M L +⨯=⨯==∑∑)(231ml J z =221mR J z =质点系对于定点O 的动量矩定理可写成§12—6 刚体的平面运动微分方程例2 两个鼓轮固连在一起的总质量为M ，对水平转轴O 的转动惯量是J O ；鼓轮的半径分别为r 1和r 2。

绳端悬挂的重物A 和B 质量分别为M 1和M 2，且M 1>M 2。

试求：（1）鼓轮的角加速度；（2）绳的拉力；（3）轴承O 的反力。

（轴()()()e C C e CF M dtd J F dt r d m ∑∑==2222ϕ()e i ni i C C C O F r L mv r dt ddt dL ⨯=+⨯=∑=1)(()()e i ni C CF M dt dL ∑==1()()()∑∑===e C C C e C F M J J dtdF ma αω承和绳重都不计）解 （1）求鼓轮的角加速度该系统对转轴O 的动量矩为根据动量矩定理得（2）求绳的拉力（3）求轴承O 的反力例3 如图所示，飞轮以角速度绕o ω绕轴O 转动，飞轮对轴O 转动惯量为o J ，当制动时其摩擦阻力矩为ωk M -=，其中，k 为比例系数，试求飞轮经过多少时间后角速度减少为初角速度的一半，在此时间内转过的转数。

()∑=F m dtdL O Og r M r M J r M r M dt d O 2222112211++-==ωα()()()gr M rM F m r M r M J L r v M r v M J L OO O O O 2211222211222111-=++=++=∑ωω解：（1）求飞轮经过多少时间后角速度减少为初角速度的一半飞轮绕轴O 转动的微分方程为M dtωd J o= 将摩擦阻力矩ωk M -=，代入上式有ωk dtωd J o -=采用解微分方程的分离变量法，并积分⎰⎰-=t k dt ωωd J o ωωo 020解得时间为2ln kJ t o=（2）求飞轮转过的转数飞轮绕轴O 转动的微分方程写成为dtd k dt ωd J o ϕ-=方程的两边约去dt ，并积分⎰⎰-=ϕϕ02kd ωd J ooωωo解得飞轮转过的角度为 kωJ oo 2=ϕ 则飞轮转过的转数为 kπωJ πn oo 42==ϕ例4 高炉运送矿石用的卷扬机如图，鼓轮的半径为R ，质量为m 1 ，轮绕O 轴转动。

小车和矿石总质量为m 2 。

作用在鼓轮上的力偶矩为M ，鼓轮对转轴的转动惯量为J ，轨道的倾角为θ。

设绳的质量和各处摩擦都不计，绳索与斜面平行，求小车的加速度a 。

解 取小车和鼓轮组成质点系，此质点系的动量矩为外力对O 轴的矩为由外力对O 轴的动量矩定理解得例5 均质圆柱体A 和B 质量都为m ，半径都为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，直线绳段铅垂，摩擦不计。

求：（1）圆柱体B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩vRm J L O 2+=ω()Rg m M M e ∙-=ϑsin 2[]R g m M vR m J dtd∙-=+θωsin 222222sin R m J gR m MR a +-=θ为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。

解： （1） 取圆柱体B 为研究对象 由刚体平面运动微分方程a m F mg T =- （1）2221αmr r F T =⋅ （2）对圆柱体A 同样有 1221αmr r F T =⋅'可得 ααα==21 于是 αr a 2= 联立解得g a 54=（2）对圆柱体A 有 1221αmr r F M T =⋅'- （3）对圆柱体B 有 2221αmr r F T =⋅ （4）圆柱体B 的质心加速度将向上，即021〉-=ααr r a 则由式（3）和（4）得r F M T ⋅〉2再由0〉-mgFT 即mgFT〉故rmgM⋅〉2例6 如图a所示均质杆AB质量为m，长为l，放在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙壁上，杆的另一端B靠在光滑水平面上，初始时，杆AB与水平线的夹角oϕ，设杆无初速地沿铅直墙面倒下，试求杆质心C的加速度和杆AB两端A、B处的约束力。

解：根据题意，杆AB 在铅直平面内作平面运动，其受力如图b 所示。

建立杆的平面运动微分方程为NA c F x m = （1）mg F y m NB c -= （2） ϕϕsin lF cos l F αJ NA NB c 22-= （3）由几何条件得质心的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin ly cos l x c c 22 （4） 并注意ω-=ϕ （即角速度方向与夹角ϕ增大的方向相反）。

式（4）对时间求导，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=)sin ωcos (αl y )cos ωsin (αl x c c ϕϕϕϕ2222 （5） 其中转动惯量2121ml J c=。

将式（5）代入（1）和式（2）并将式（1）、式（2）、式（3）联立求解得杆AB 的角加速度为lcos g 23ϕα=（6） 对角速度作如下的变换为dtd d d ωdt d ωαϕϕ-==代入式（6），并积分得杆AB 的角速度为)sin (sin lgωo ϕϕ-=3 （7） 将式（6）和式（7）代入式（5）得质心加速度为⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=)sin sin sin (g y cos )sin sin (g x o c o cϕϕϕϕϕϕ214323432（8） 则杆AB 两端A 、B 处的约束力为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)sin sin (sin mg mg F cos )sin sin (mg F o NB o NAϕϕϕϕϕϕ2434123432例7 均质圆轮半径为r ，质量为m ，受轻微干扰后，在半径为R 的圆弧轨道上往复无滑动的滚动，如图所示，试求圆轮轮心C 的运动方程，以及作用在圆轮上的约束力。

解：由于圆轮作平面运动，轮心C 作圆周运动，则在轮心C 的最低点O 建立自然坐标系，并假设圆轮顺时针方向为动量矩方程的正方向，坐标及轮的受力如图11-15所示。

列圆轮平面运动微分方程为θτsin mg F ma c -= （1）θcos mg F ma N n c -= （2） Fr αJ c -= （3）其中，轮心的加速度22dt s d a c =τ，r R v a c nc -=2，转动惯量221mr J c =。