矩阵单元综合测试题

矩阵单元综合测试题

一、填空题（每小题1分，满分14分）

1．设A ，B 是数域F 上的两个矩阵，如果A 与B 能够相加，则A

与B 必是同型矩阵。

2.设A,B,C 为n 阶方阵且可逆，则当AB=C 时，B=C A 1-.

.0,0,0.3可能等于则若AB B A ≠≠

.

.AB ,,

,,,.4****B A B A B A B A B A AB kA n F B A T T 和，中一定可逆的有阶可逆矩阵，下列矩阵上的两个是数域设+5.三阶初等矩阵)3(12T 是⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛100010031。 6.设A 是数域F 上的n 阶方阵，,)(10n n

x a x a a x f +++= 则f(A)是数域F 上的n 阶方阵，且n n

A a A a I a A f +++= 10)(. 7.若A 为对合矩阵（即I A =2），则A 一定可逆，且.1A A =-

8.若A 的秩为r,则A 的标准型为⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛000r I 。 9.若.1)(A 1A ,0,1**1-**A A

A A A I A A A AA ==≠==-，则且 10.设A 是n 阶矩阵，则A 可逆的充要条件r(A)=n 、或0≠A 或 I A ≅或A 可以表示成一些初等矩阵的乘积。

11．设1)(0A ,),2,3,2,1(====A r A T T ，的转置，则是其中ααααα。

12．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000001-00B ,,1001101112则I AB A A 。 13．如果向量组{

}s ααα,,,21 线性无关，那么它的任意一个非空部分组线性 无关；如果{

}s ααα,,,21 中有一部分向量线性相关，那么整个向量组{

}s ααα,,,21 线性相关。 14.设向量组{

}321,,ααα线性无关，向量组{}321,,βββ可由向量组{

}321,,ααα线性表出，且 ,3,2,431332123211ααβαααβαααβ-=-+=++=

则向量组{}321,,βββ线性无关。

二、判断题（每小题1分，满分14分）

1.若方阵A 对任意的同阶方阵B 都有AB=B ，则必有A=I 。（∨）

2.设.0,0,0≠≠≠AB B A np mn 则 （×）

.2)(,.3222B AB A B A n B A ++=+阶方阵，则有为设 （×）

4.若AB=AC ，且A ≠0，则B=C 。 （×）

5.上（下）三角矩阵可逆的充要条件是它的所有主对角线上的元

素都是非零数。 （∨）

6.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。 （∨）

7.设)(k T ij 是第三类初等矩阵，则有).()(1k T k T ij ij -=- （∨）

8.若r(A)=r,则A 至少有一个r-1阶子式不等于零。 （∨）

9.AB=B 的充要条件是A=I 。 （×）

10.对于分块矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=B A C 00，必有r(C)=r(A)+r(B). (∨) 11.若 A+B 与 A-B 均可逆，则A ，B 一定可逆。 （×）

12. 可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 （×）

13.设向量组4321,,,αααα线性无关，则组,,3221αααα++ 1443,αααα++的秩为3. （∨）

14.设),,,(;3,2,1),,,,,(32154321j j j j i i i i i i a a a i a a a a a ===βα .3,2,1=j 如果321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性相关。（∨）

三、单项选择题（每小题2分，满分24分）

1.下列结论正确的是（ C ）

（A ）两个矩阵可相加一定可乘；

(B ）两个矩阵可乘一定可相加；

（C ）两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵；

（D ）在)(F M n m ⨯中可普遍施行矩阵的加法和乘法。

2．以下结论正确的只有（ B ）

（A ）初等矩阵的逆矩阵是本身；

（B ）初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵；

（C ）初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；

（D ）任一个n 阶矩阵都可以写成初等矩阵的乘积形式。

3．下列结论不正确的是（ D ）

（A ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是0≠M ；

（B ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是存在可逆矩阵P 使得MP=I ；

（C ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的乘积； （Ｄ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的和。 ４．设Ａ，Ｂ均为Ｆ上的可逆矩阵，则（B ）

)0()()()()()()()()()(111

11111≠=+=+'=''

'='--------k kA kA D B A B A C A B B A B B A AB A ５．矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ααααcos sin sin cos 的伴随矩阵是（A ） （A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααcos sin sin cos ； （B ）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ααααcos sin sin cos ； （C ）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--ααααcos sin sin cos ； （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ααααcos sin sin cos 6．设A ，B 为n 阶矩阵，且A 可逆，秩B=r

（A ）k

7.已知n 阶方阵等于零的元素个数多于n n -2个（位置不论），则必有（ C ）

（A ）r(A)=0; (B) r(A)=n-1;

(C) r(A)

8.设A ，B 是任意n 阶方阵，则（ D ）