九年级数学下册2_2_1圆心角学案新版湘教版

2.2.1 圆心角

1.了解圆心角的概念；

2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系定理及该定理在解题中的应用．

自学指导 自学教材P47~48，完成下列问题. 知识探究

1.什么是圆心角?

解：顶点在圆上，角的两边与圆相交，像这样的角叫做圆心角. 2.弧、弦、圆心角的关系：

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等 . 同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 . 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 3.思考：

定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 解：略. 自学反馈

1.如图所示，下列各角是圆心角的是 （ B ）

A.ABC ∠

B.AOB ∠

C.OAB ∠

D.OBC ∠

2.如图，A 、B 、C 、D 是

O 上的四点.

（1）如果AOB COD ∠=∠，那么AB=___CD___，AB =__

____；

（2）如果AB CD =，那么AOB ∠=__∠COD____，AB=___CD___； （3）如果AB=CD ，那么AOB ∠=__∠COD____，AB =______.

活动1 小组讨论

例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( B )

A ．∠ABC

B ．∠AOB

C ．∠OAB

D ．∠OCB

确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．

例2 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵

，∠B ＝70°，则∠A ＝___40°_____．

在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得

到两弦相等就可以了．

例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵

＝BD ︵.

证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD . ∵OA ＝OB ，M ，N 分别是OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON .

又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. ∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2. ∴AC ︵＝BD ︵.

在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三

组量中的某一组量相等． 活动2 跟踪训练

1.如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=50°，则∠MON 等于（D ） A ．50° B ．55° C ．65° D ．80°

2.半圆所对的圆心角(B )

A ．大于180°

B ．等于180°

C ．在90°～180°之间

D ．等于90°

3. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 为直径，则弧AD 与弧BC 的大小关系是( A ) A ．相等 B ．不相等 C ．不一定相等 D ．不能确定

4.如图，ABD

⌒=BDC ⌒，若AB =2，则CD = 2 ．

5. 如图，在⊙O 中，AB ⌒=AC

⌒，∠A =30°，则∠B = 75 °．

6.(2分) 如图，在⊙O 中，点C 是AB

⌒的中点，∠A =60°，则∠BOC 为 30 °．

7.已知：如图，在⊙O 中，弦AD =B C ．求证：AB =C D ．

证明：∵AD =BC ，∴AD ⌒=BC ⌒．∴AD ⌒+BD ⌒=BC ⌒+BD ⌒．∴AB ⌒=CD ⌒．∴AB =C D ． 8.如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，

=

，∠AOD=80°，求∠ABC 的度数．

解：∵

=

，∴∠AOB=∠DOC.

∵∠AOD=80°，∴∠AOB=∠DOC=

2

1

（180°-80°）=50°. ∵OA=OB ，∴∠ABC=21（180°-∠AOB ）=2

1

（180°-50°）=65°．

9.如图所示，⊙O 中，AB ，AC 为两条弦，且∠BAC =120°，AB =AC =3cm ，求⊙O 的直径．

解：连接OA.∵AB =AC ，∴∠BOA =∠CO A ． ∵OA =OB =OC ，∴△OAB ≌△OA C ． ∴∠BAO =∠CAO =

21∠BAC =2

1

×120°=60°. ∴△OAB 与△OAC 都是等边三角形．∴OA =AB =3cm.

∴⊙O 的直径为6cm ． 活动3 课堂小结

本节课是从圆的旋转不变性出发，推出了弧、弦、圆心角之间的关系，只要确定一组等量关系，其他两组也随之确定了.