从一道练习的多种解法谈起
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参考文献 [1]邹生书． 构建仿射坐标系解题[J]． 河北理科教学研究，2012 （2） ： 36-39 [2]胡迎霞．斜坐标系的探究[J]．上海中学数学，2009（3） ：36-37 [3]傅建红．斜坐标系下向量（点）坐标、直线方程及相关性质[J]．数学 教学，2014（3） ：24-28 [4]邓赞武．斜角坐标系中的直线方程及其应用[J]．中学数学研究，2008 （2） ：41-43． [5]阿蒂亚（英） ．数学的统一性[M]．大连：大连理工大学出版社，2009 [6]人民教育出版社课程教材研究所， 中学数学课程教材研究开发中心． 数 学，必修 4（A 版）[M]．北京：人们教育出版社，2007
2015 年第 5 期
福建中学数学
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其中 d (O ， l AB ) 表示原点 O 到 AB 所在直线的距 离． x y 2 当且仅当 C 为垂足（即弦 AB 的中点， 亦即 C 为弧 AB 的中点）时，等号成立． 解法 4 （坐标法） 如图 4，以 O 为原点， OA 所在方向为 x 轴，作 直角坐标系 xOy ，令 AOC ，依题意得各点的坐
A， B， C 三点共线的条件类似，能否利用此得到解答
在人教 A 版必修五第三章不等式的参考练习中 遇到一个初等的规划问题：
x2 y 2 1， 题 1 若变量 x ， 求 y 满足约束条件 y 0， x 0 ， x y 的最大值．
解 依题意画出可行域（非线性）如图 1，考虑 x y b ，这是斜率为 1 ，随 b 变化的一族平行直 线．b 为直线在 y 轴上的截距，当直线与可行域相交 时，截距的最大值即为所求．如图可知，当且仅当 直线与可行域相切时，截距 b 达到最大值 2 ．故
( x y ) 2 3(
成立． 注解 （ *）式亦可由平行四边形四边平方和和 对角线平方和关系得到[6]． 评析 鉴于本题利用到了均值不等式，作为必修
解法 3 （共线法） 1 x y 令 OC OC OA OB ， x y x y x y 故 C ， A， B 三点共线，此时 C 在弦 AB 上运动． 1 1 | OC | / | OC || OC | d (O ， l AB ) ． x y 2
1 3 标为： A(1 ， 0) ， B( ， ) ， C (cos ， sin ) ， 2 2 代入 OC xOA yOB ，得到：
1 3 cos x y ， x cos sin ， 2 3 即 2 3 sin 3 y ， y sin ， 2 3
题 2 如图 2 所示， 给定两个平面单位向量 OA 和
最大值为 ． 此题是作为必修 4 复习题出现的，参考答案中 给出的解法利用到了均值不等式： 解法 1 （均值不等式） 2 OC xOA yOB ， OC ( xOA yOB ) 2 ，
x y 的最大值为 2 ．
然而，对于该图，笔者联想到一道相关试题， 题目是以向量为背景给出的，实则本题的一个拓展：
y B O A x 图1 B C A 图2
2π OB ， 它们的夹角 AOB ， 若点 C 在以 O 为圆心 3 的圆弧 AB 上运动，设 OC xOA yOB ，则 x y 的
评析 以上的解法 3 很好的利用了条件本身的结 构形式，构造出了新的相关条件，而产生了较为简 便的解法，与解法 2 类似．而解法 4，同样消元转化 成关于角度 的函数最值， 从而可以利用三角恒等变 换这一强大工具． 更重要地，解法 3、解法 4 都是学生根据题目的 条件，作了些看似简单的转化，并通过讨论自主得 到的．所以在课堂上重视学生的些许结论，包括那 些看似不起眼的结论，或许能得到完全新的、或者 更简单的解法与思路． 回到所学的规划问题，事实上，我们可以得到 一个更为简单的解法： 解法 5 （斜坐标法） 如图 5，以 O 为原点，OA 所在方向为 x 轴，OB 所在方向为 y 轴作斜坐标系 xOy ，此时， C 的坐标
2 2 2 OC x 2 OA y 2 OB 2 xyOA OB ． 2 2 2 1 依题意有 OA OB OC 1 ， OA OB ． 2 代入上式可得 x 2 y 2 xy 1 （*） ，
π x y cos 3 sin 2sin( ) 2 当 且 仅 6 π 当 （即 C 为弧 AB 中点）时，等号成立． 3
即为 ( x ， 故只要求当 ( x ， y) ． y ) 在圆弧 AB 上运动时，
x y 的最大值．
令 x y b ，得到一族平行直线（#） ，当且仅当
近年来，在新课标下的高考对导数应用的考查 非常重视，全国卷或各省市卷都出在押轴题上，其 中关于函数不等式的证明问题是命题热点，现对其 中一类用“放缩法证明函数不等式”的方法进行探索，
导数应用中的函数不等式证明方法探索
吴邦良 四川省绵阳外国语学校（621000） 与读者分享． 题型 已知函数 f (x) ，g(x) ， 求证： f ( x) g( x) ． 其 中函数 f ( x) 或 g ( x) 中含有 sin x ， cos x ， e x ， ln x ． 方法 1 有理式替代法
呢？另外， 我们通常习惯的坐标法， 在此是否有效？ 通过小组讨论，同学们得到了如下的两种解法：
B D D C A 图3 y B C x A 图4 y B C x A 图5
从而 1 x 2 y 2 xy ( x y ) 2 3 xy
x y 2 ( x y)2 ． ) 2 4 当且仅当 x y （即 C 为弧 AB 中点）时，等号
x y b 与圆弧 AB 相切时取得最大值． 根据对称性，
容易得到当相切时 b 2 ．从而 x y 2 ，当且仅当 与圆弧 AB 相切（即 C 为弧 AB 中点）时等号成立． 注解 这里解法 5 中的关键在于论断（#） ：在斜 坐标系中的规划问题．在斜坐标系中，直线与坐标 系的截距依然与直角坐标时含义一致，但斜率的含 义已经改变． 故寻找平行直线族 x y b 时我们使用 截距式[4]而非使用斜截式，故直线族在此与 x 轴正向 3π 5π 的夹角为 ，而非通常的 ． 4 6 评析 解法 5，利用到了斜坐标系的相关知识， 但更重要的是体现出的数形结合、直观感知的重要 数学思想方法．当然，这对学生本身关于包括（线 性）规划、斜坐标系等知识有深入的了解，要求较 高．但无可厚非，作为填空题，解法 5 是最为快速 有效的． 以上 5 种解法看似各不相同，但最终都解决了 这道题目，也从某种程度上体现的数学的统一性[5]． 关于斜坐标系的相关内容与方法更详细的探讨 可以参考 [1 ， 2， 4]．
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从一道练习的多种解法谈起Fra Baidu bibliotek
连永欣 福建师范大学附属中学（350007） 4 还未涉及的内容，绝大部分老师的意见分为两类， 一是对证明过程中利用均值不等式的部分进行配方 处理，这实际上是均值不等式的证明过程进入本题 的解答；二是删除本题． 但事实上，本题完全可以避开均值不等式，而 且有着完全不同的诸多解法．如： 解法 2 （内积法） 如图 3，连接弦 AB ，取弧 AB 中点 D ，连接 OD 交弦弦 AB 于 D ，设 OC 与 OD 夹角为 ，则 OC xOA yOB ， 2 1 OA OC xOA yOA OB x y ， 2 2 1 OB OC xOA OB yOB x y ， 2 1 1 x y (OA OB ) OC ( x y ) ( x y ) ， 2 2 2 x y 2(OA OB) OC 2OD OC 2 | OC || OD | cos 2 ． 当且仅当 0 （即 C 为弧 AB 中点）时，等号 成立． 评析 作为本道习题的解法，通过内积运算，恰 当的将两个相互制约的变量 x ，y 统一表示成为了一 个变量 ，此即消元法，从而避免了使用均值不等式 的工具，算是完成了本题的讲评． 当然，问题到此还远没结束．此时有同学提出 了一个观点，从形式上看，关系 OC xOA yOB 与
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其中 d (O ， l AB ) 表示原点 O 到 AB 所在直线的距 离． x y 2 当且仅当 C 为垂足（即弦 AB 的中点， 亦即 C 为弧 AB 的中点）时，等号成立． 解法 4 （坐标法） 如图 4，以 O 为原点， OA 所在方向为 x 轴，作 直角坐标系 xOy ，令 AOC ，依题意得各点的坐
A， B， C 三点共线的条件类似，能否利用此得到解答
在人教 A 版必修五第三章不等式的参考练习中 遇到一个初等的规划问题：
x2 y 2 1， 题 1 若变量 x ， 求 y 满足约束条件 y 0， x 0 ， x y 的最大值．
解 依题意画出可行域（非线性）如图 1，考虑 x y b ，这是斜率为 1 ，随 b 变化的一族平行直 线．b 为直线在 y 轴上的截距，当直线与可行域相交 时，截距的最大值即为所求．如图可知，当且仅当 直线与可行域相切时，截距 b 达到最大值 2 ．故
( x y ) 2 3(
成立． 注解 （ *）式亦可由平行四边形四边平方和和 对角线平方和关系得到[6]． 评析 鉴于本题利用到了均值不等式，作为必修
解法 3 （共线法） 1 x y 令 OC OC OA OB ， x y x y x y 故 C ， A， B 三点共线，此时 C 在弦 AB 上运动． 1 1 | OC | / | OC || OC | d (O ， l AB ) ． x y 2
1 3 标为： A(1 ， 0) ， B( ， ) ， C (cos ， sin ) ， 2 2 代入 OC xOA yOB ，得到：
1 3 cos x y ， x cos sin ， 2 3 即 2 3 sin 3 y ， y sin ， 2 3
题 2 如图 2 所示， 给定两个平面单位向量 OA 和
最大值为 ． 此题是作为必修 4 复习题出现的，参考答案中 给出的解法利用到了均值不等式： 解法 1 （均值不等式） 2 OC xOA yOB ， OC ( xOA yOB ) 2 ，
x y 的最大值为 2 ．
然而，对于该图，笔者联想到一道相关试题， 题目是以向量为背景给出的，实则本题的一个拓展：
y B O A x 图1 B C A 图2
2π OB ， 它们的夹角 AOB ， 若点 C 在以 O 为圆心 3 的圆弧 AB 上运动，设 OC xOA yOB ，则 x y 的
评析 以上的解法 3 很好的利用了条件本身的结 构形式，构造出了新的相关条件，而产生了较为简 便的解法，与解法 2 类似．而解法 4，同样消元转化 成关于角度 的函数最值， 从而可以利用三角恒等变 换这一强大工具． 更重要地，解法 3、解法 4 都是学生根据题目的 条件，作了些看似简单的转化，并通过讨论自主得 到的．所以在课堂上重视学生的些许结论，包括那 些看似不起眼的结论，或许能得到完全新的、或者 更简单的解法与思路． 回到所学的规划问题，事实上，我们可以得到 一个更为简单的解法： 解法 5 （斜坐标法） 如图 5，以 O 为原点，OA 所在方向为 x 轴，OB 所在方向为 y 轴作斜坐标系 xOy ，此时， C 的坐标
2 2 2 OC x 2 OA y 2 OB 2 xyOA OB ． 2 2 2 1 依题意有 OA OB OC 1 ， OA OB ． 2 代入上式可得 x 2 y 2 xy 1 （*） ，
π x y cos 3 sin 2sin( ) 2 当 且 仅 6 π 当 （即 C 为弧 AB 中点）时，等号成立． 3
即为 ( x ， 故只要求当 ( x ， y) ． y ) 在圆弧 AB 上运动时，
x y 的最大值．
令 x y b ，得到一族平行直线（#） ，当且仅当
近年来，在新课标下的高考对导数应用的考查 非常重视，全国卷或各省市卷都出在押轴题上，其 中关于函数不等式的证明问题是命题热点，现对其 中一类用“放缩法证明函数不等式”的方法进行探索，
导数应用中的函数不等式证明方法探索
吴邦良 四川省绵阳外国语学校（621000） 与读者分享． 题型 已知函数 f (x) ，g(x) ， 求证： f ( x) g( x) ． 其 中函数 f ( x) 或 g ( x) 中含有 sin x ， cos x ， e x ， ln x ． 方法 1 有理式替代法
呢？另外， 我们通常习惯的坐标法， 在此是否有效？ 通过小组讨论，同学们得到了如下的两种解法：
B D D C A 图3 y B C x A 图4 y B C x A 图5
从而 1 x 2 y 2 xy ( x y ) 2 3 xy
x y 2 ( x y)2 ． ) 2 4 当且仅当 x y （即 C 为弧 AB 中点）时，等号
x y b 与圆弧 AB 相切时取得最大值． 根据对称性，
容易得到当相切时 b 2 ．从而 x y 2 ，当且仅当 与圆弧 AB 相切（即 C 为弧 AB 中点）时等号成立． 注解 这里解法 5 中的关键在于论断（#） ：在斜 坐标系中的规划问题．在斜坐标系中，直线与坐标 系的截距依然与直角坐标时含义一致，但斜率的含 义已经改变． 故寻找平行直线族 x y b 时我们使用 截距式[4]而非使用斜截式，故直线族在此与 x 轴正向 3π 5π 的夹角为 ，而非通常的 ． 4 6 评析 解法 5，利用到了斜坐标系的相关知识， 但更重要的是体现出的数形结合、直观感知的重要 数学思想方法．当然，这对学生本身关于包括（线 性）规划、斜坐标系等知识有深入的了解，要求较 高．但无可厚非，作为填空题，解法 5 是最为快速 有效的． 以上 5 种解法看似各不相同，但最终都解决了 这道题目，也从某种程度上体现的数学的统一性[5]． 关于斜坐标系的相关内容与方法更详细的探讨 可以参考 [1 ， 2， 4]．
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福建中学数学
2015 年第 5 期
从一道练习的多种解法谈起Fra Baidu bibliotek
连永欣 福建师范大学附属中学（350007） 4 还未涉及的内容，绝大部分老师的意见分为两类， 一是对证明过程中利用均值不等式的部分进行配方 处理，这实际上是均值不等式的证明过程进入本题 的解答；二是删除本题． 但事实上，本题完全可以避开均值不等式，而 且有着完全不同的诸多解法．如： 解法 2 （内积法） 如图 3，连接弦 AB ，取弧 AB 中点 D ，连接 OD 交弦弦 AB 于 D ，设 OC 与 OD 夹角为 ，则 OC xOA yOB ， 2 1 OA OC xOA yOA OB x y ， 2 2 1 OB OC xOA OB yOB x y ， 2 1 1 x y (OA OB ) OC ( x y ) ( x y ) ， 2 2 2 x y 2(OA OB) OC 2OD OC 2 | OC || OD | cos 2 ． 当且仅当 0 （即 C 为弧 AB 中点）时，等号 成立． 评析 作为本道习题的解法，通过内积运算，恰 当的将两个相互制约的变量 x ，y 统一表示成为了一 个变量 ，此即消元法，从而避免了使用均值不等式 的工具，算是完成了本题的讲评． 当然，问题到此还远没结束．此时有同学提出 了一个观点，从形式上看，关系 OC xOA yOB 与