中考数学 圆的切线证明综合试题
中考数学专题复习《圆的切线证明》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《圆的切线证明》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 在ABC 中 6,8,10AB BC AC === 以AB 为直径作O 交AC 于点F 连接CO 并延长 分别交O 于D E 、两点 连接,BE BD ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)求证：2BC CD CE =⋅(3)求ABE ∠的正切值．2．如图 ABC 是圆内接三角形 过圆心O 作OE AC⊥ 连接OA过点C 作CD ∥AO 交BA 的延长线于点D 45AOE ∠=︒．(1)求证：DC 是O 的切线(2)如果8BC CF ⋅= 求O 半径的长度．3．如图 AB 为O 的直径 点C 在O 上 EAC CAB ∠=∠ 直线CD AE ⊥于点D交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线CD 为O 的切线(2)当1tan 2F = 4CD =时 求BF 的长．4．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD是O的切线(2)若AE BC⊥垂足为M O的半径为10 求AE的长．5．如图ABC内接于O AB是O的直径D为AC的中点连接OD并延长交O于点E过点E作AC的平行线交BA的延长线于点F连接BE与AC交于点G．(1)求证：EF是O的切线(2)若12EF=5sin BAC∠=求CG的长．6．如图 Rt ABC 中 90ABC ∠=︒ 以点C 为圆心 CB 为半径作C D 为C 上一点 连接AD CD AB AD = AC 平分BAD ∠．(1)求证：AD 是C 的切线(2)延长AD BC 相交于点E 若:2:1ED DA = 求tan BAC ∠的值．7．如图 点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点 且AC CE= 连接AE 交CD 于点O以点O 为圆心 OD 为半径作,O O 交线段AO 于点F ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若2AB = 求阴影部分的面积．8．如图 在菱形ABCD 中 DH AB ⊥于H 以DH 为直径的O 分别交AD BD 于点E F 连接EF ．(1)求证：①CD 是O 的切线①DEF DBA ∽(2)若5AB = 6DB = 求sin DFE ∠．9．如图 已知 AB 是О☉的直径 PB AB ⊥ 连接OP 弦AD OP ∥ 直线PD 交直线AB 于点C 2CD PB =．(1)证明：直线PD 是O ☉的切线(2)求sin OPB ∠的值．10．如图 以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O 交斜边AC 于点D过圆心O 作OE AC ∥交BC 于点E 连接DE .(1)求证：DE 是O 的切线(2)求证：22DE CD OE =⋅.11．如图 AB 为O 的直径 AC 是O 的一条弦 作BAC ∠的角平分线与O 相交于点D过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线上于点E 延长线段AB ED 、交于点F 连接DA DB 、．(1)求证：DE 是O 的切线(2)若10AB = 45AD = 求BF ．12．如图 已知点C 是以AB 为直径的半圆上一点 D 是AB 延长线上一点过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E 连结CD 且CD ED =．(1)求证：CD 是O 的切线(2)若tan 2DCE ∠= 1BD = 求O 的半径．13．如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ ABC ∠的平分线交AC 于点E 过点E 作BE 的垂线交AB 于点F BEF △的外接圆O 与CB 交于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若9BC = 3EH = 求O 的半径长(3)如图2 在（2）的条件下 过C 作CP AB ⊥于P 求CP 的长．14．如图 点P 是O 外一点 PA 切O 于点A AB 是O 的直径连接OP过点B 作BC OP ∥交O 于点C 连接AC 交OP 于点D ．(1)求证：PC是O的切线(2)若16cm3PD=8cmAC点E是AB的中点连接CE求CE的长．15．如图AB是O的直径点C在O上．(1)尺规作图：在弦BC的右侧作BCD CAB∠=∠交AB的延长线于点D（保留作图痕迹不写作法）(2)在（1）所作的图中①求证：CD是O的切线①若2BD OB=求tan CAB∠的值．参考答案：1．（1）证明：在ABC中222268100AB BC+=+=2210100AC222AB BC AC ∴+=ABC ∴是直角三角形 90ABC ∴∠=︒ AB 是O 的的直径BC ∴是O 的切线 （2）证明：DE 是直径 90EBC ∴∠=︒90EBO OBD ∴∠+∠=︒ 90CBD OBD ∠+∠=︒ EBO CBD ∴∠=∠OE OB =E EBO ∴∠=∠E CBD ∴∠=∠BCD BCE ∠=∠（公共角） BCD ECB ∴∽BC CD CE BC∴= 即2BC CD CE =⋅ （3）由（2）得2()BC CD CD DE =+ 即(6)64CD CD +=解这个方程 得3CD =-+3CD =-3CD ∴=-BCD ECB ∽BD CD BE BC ∴==连结,AE ADAB 与DE 都是O 的直径AB ∴与DE 互相平分∴四边形AEBD 为平行四边形AE BD ∴=在Rt ABD 中733tan AE BD ABE BE BE -∠=== 2．（1）证明：连接OC①45AOE ∠=︒ OA OC = OE AC ⊥①290AOC AOE ∠=∠=︒ ()118090452OAC ∠=︒-︒=︒ ①CD AO ∥①18090OCD AOC ∠=︒-∠=︒即CD OC ⊥①OC 是O 的半径①DC 是O 的切线．（2）解：由（1）可知=90AOC ︒∠ 45OAC ∠=︒ ①1452ABC AOC ∠=∠=︒ ①45ABC OAC ∠=∠=︒①BCA ACF =∠∠①ABC FAC ∽ ①BC AC AC CF= 即2AC BC CF =⋅ ①8BC CF ⋅=①28AC =①由勾股定理得2228OC AC ==解得：2OC =（负值舍去）①O 半径的长度为2．3．（1）证明：连接OC BCOA OC =CAO ACO ∴∠=∠EAC CAB ∠=∠DAC ACO ∴∠=∠OC AD CDADOC DF ∴⊥ OC 是O 的半径∴直线CD 为O 的切线（2）解：1tan 2F = ∴12OC CF = 设OC x = 则2CF x = AO OB x ==OF ∴=OC ADAFD OFC ∴∽ ∴CF OF DF AF=∴25245x x x x x++ 25x ∴=1025BF OF OB ∴=-=-4．（1）证明：如图 连接OA30AEC ∠=︒∴30B AEC ∠=∠=︒ 260AOC AEC ∠=∠=︒AB AD =∴30D B ∠=∠=︒∴18090OAD AOC D ∠=︒-∠-∠=︒OA 是O 的半径 且AD OA ⊥∴直线AD 是O 的切线．（2）解：BC 是O 的直径 且AE BC ⊥于点M∴AM EM =90AMO ∠=︒ 60AOM ∠=︒∴30OAM ∠=︒ ∴12OM OA = 11052=⨯= ∴2222105AM OA OM -=-53∴2253AE AM ==⨯=35．（1）证明：①AC 是O 的弦 OE 是O 的半径 D 为AC 的中点①OE AC ⊥．①EF AC ，①OE EF ⊥ 即90OEF ∠=︒．①OE 是O 的半径①EF 是O 的切线（2）解：如解图 连接AE ．①EF AC ∥①F BAC ∠=∠即sin sin F BAC =∠=OE OF ∴=设OE = 则5OF x =．在Rt OEF △中 222OE EF OF +=①222)12(5)x +=解得x =（负值已舍去） ①6OE =①6OA =在Rt AOD 中 sin OD OA BAC =∠=①AD = 6DE OE OD =-=．在Rt ABC △中 sin BAC ∠=212AB OA ==①sin BC AB BAC AD =∠==． 在BCG 和ADE 中90CBG DAE BC ADBCG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩①BCG ADE ≌ ①656CG DE == 6．（1）证明：AC 平分BAD ∠BAC DAC ∴∠=∠．又AB AD = AC AC =()SAS BAC DAC ∴≌90ADC ABC ∴∠=∠=︒CD AD ∴⊥即AD 是C 的切线（2）由()1可知 90EDC ABC ∠=∠=︒又E E ∠=∠EDC EBA ∴∽．①:2:1ED DA =2EDC ADC SS ∴= 且BAC DAC ≌△△ :1:2EDC EBA S S ∴=:2DC BA ∴=DC CB =:2CB BA ∴=2tan CB BAC BA ∴∠==． 7．（1）解：过点O 作OG AC ⊥ 交AC 于点G①正方形ABCD①DA CB ∥ OD AD ⊥①∠=∠DAE AEC①AC CE =①EAC AEC ∠=∠①EAC DAE ∠=∠①OD OG =①点G 在O 上①AC 是O 的切线（2）解：①正方形ABCD①45OCG DAC ∠=∠=︒2DC AB ==①OD OG =设OD a = 则OC =①(12DC a == 解得：2a =①2OD a == ①114522.522EAC DAE DAC ∠=∠=∠=⨯︒=︒ ①9022.567.5DOA ∠=︒-︒=︒()22167.5π167.5π23222π236023604ABC DOF OD S S S DA OD ⨯=-=⨯⋅-=⨯⨯-=-阴影扇形故答案为：324-π． 8．（1）证明：①①①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥①DH AB ⊥①90CDH DHA ∠=∠=︒①CD OD ⊥①D 为O 的半径的外端点①CD 是O 的切线①连接HF①DF DF =①DEF DHF ∠=∠①DH 为O 直径①90DFH ∠=︒①90DHF BDH ∠=︒-∠ ①90DHB ∠=︒①90DBA BDH ∠=︒-∠①DHF DBA DEF ∠=∠=∠ ①EDF BDA ∠=∠①DEF DBA ∽（2）解：连接AC 交BD 于G ．①在菱形ABCD 中 6BD = ①AC BD ⊥ AG GC = 132DG GB BD === ①在Rt AGB △中 2222534AG AB GB -- ①28AC AG == ①12ABCD S AC BD AB DH =⋅=⋅菱形 即18652DH ⨯⨯=⋅ ①245DH = ①DEF DBA ∽①DFE DAH ∠=∠ ①24245sin sin 525DH DFE DAH AD ∠=∠===． 9．（1）证明：如图所示 连接OD ①PB AB ⊥①90OBP ∠=︒①OA OD =①OAD ODA ∠=∠①AD OP ∥①OAD BOP ODA DOP ==∠∠，∠∠ ①DOP BOP ∠=∠又①OD OB OP OP ==， ①()SAS DOP BOP ≌①90ODP OBP ∠=∠=︒ ①OD CD ⊥又①OD 是O 的半径①直线PD 是O ☉的切线（2）解：①DOP BOP ≌△△ ①PD PB =①2CD PB =①3PC PD =①3PC PB =①AD OP ∥①CAD COP △∽△ ①23AC CD OC CP ==①2AC OA =①44BC OA OB ==在Rt PBC 中 由勾股定理得222PC PB BC =+ ①()()22234PB PB OB =+ ①2PB OB = ①225OP OB PB OB + ①5sin OB OPB OP ==∠10．（1）证明：连接OD BD①AB 是O 的直径①90ADB BDC ∠=∠=︒. ①OE AC ∥ OA OB = ①BE CE =①DE BE CE ==①DBE BDE ∠=∠.①OB OD =①OBD ODB ∠=∠①90ODE OBE ∠=∠=︒ ①点D 在O 上①DE 是O 的切线.（2）证明：①90BCD ABC ∠=∠=︒ C C ∠=∠ ①BCD ACB ∽△△ ①BCCDAC BC =①2BC CD AC =⋅.由（1）知12 DE BE CE BC ===①24DE CD AC=⋅.由（1）知OE是ABC是中位线①2AC OE=①242DE CD OE=⋅①22DE CD OE=⋅.11．（1）证明：连接ODBAC∠的角平分线与O交于点DCAD BAD∴∠=∠OA OD=BAD ADO∴∠=∠CAD ADO∴∠=∠AC DO∴∥DE AC⊥90E∴∠=︒90ODF E∴∠=∠=︒OD DE∴⊥OD是O的半径DE∴是O的切线（2）如图过点D作DM AB⊥于点MAB为O的直径90ADB ∴∠=︒1045AB AD ==，2225BD AB AD ∴=-=1122ABD S AD BD AB DM =⋅=⋅ 45254AD BD DM AB ⋅⨯∴=== 228AM AD DM ∴=-设BF x =BAC ∠的角平分线与O 交于点D DE AC DM AB ⊥⊥， DE DM ∴=CD BD ∴=在Rt AED △和Rt AMD △中 AD AD DE DM =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AED AMD ∴≌ AE AM ∴=4DM =4DE DM ∴==8AM =8AE AM ∴==90F F ODF E ∠=∠∠=∠=︒， FDO FEA ∴△∽△OD OF AE AF∴= 55810x x +∴=+ 解得：103x = 103BF ∴=． 12．（1）解：连接OC①CD DE = OC OA =①DCE E ∠=∠ OCA OAC ∠=∠ ①ED AD ⊥①90ADE ∠=︒ 90OAC E ∠+∠=︒ ①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线（2）解：连接BC①CD DE =①DCE E ∠=∠①tan 2DCE ∠=①tan 2E =①ED AD ⊥在Rt EDA △中 2AD ED= 设O 的半径为x 则OA OB x ==, ①1BD =①21AD x =+ ①212x ED+= ①12ED x CD =+= ①CD 是O 的切线①2·CD BD AD = 即：()211212x x ⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭ 解得：32x =或12x =-（舍） 故答案为：O 的半径为32． 13．（1）证明：连接OE 如图所示：OB OE =ABE OEB ∴∠=∠ BE 平分ABC ∠ABE CBE ∴∠=∠OEB CBE ∴∠=∠①OE BC ∥90OEA ACB ∴∠=∠=︒ AC 经过O 的半径OE 的外端 且AC OE ⊥ AC ∴是O 的切线（2）解：如图 作OG BD ⊥于点G 则90OGB OGC ∠=∠=︒90C OEC ∴∠=∠=︒∴四边形OECG 是矩形 CG OE OB == BE 平分ABC ∠ EC BC ⊥ EH BA ⊥ 3OG EC EH ∴===9BC =99BG CG OB ∴=-=-222OG BG OB +=()22239OB OB ∴+-= 5OB ∴=∴O 的半径长为5．（3）解：连接OE 如图所示：由（2）得：5OE OF == 3EC EH == ①EH AB ⊥①4OH ==在Rt OHE △中 45cos OH EOA OE ∠== 在Rt EOA 中 4cos 5OE EOA OA ∠== ①52544OA OE ==①154AE == ①1527344AC AE EC =+=+=①2545544AB OB OA=+=+=90ACB∠=︒①ABC的面积1122AB CP BC AC =⨯=⨯①2792744554BC ACCPAB⨯⨯===．14．1）证明：如图连接OCPA切O于点A∴OA PA⊥∴90PAO∠=︒OP BC∥∴AOP OBC∠=∠COP OCB∠=∠OC OB=∴OBC OCB∠=∠∴AOP COP∠=∠在PAO和PCO△中OA CAOP COPOP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SASPAO PCO≌∴90PAO PCO∠=∠=︒∴OC PC⊥∴PC是O的切线（2）连结AE BE作BH CE⊥于H如图AB 是O 的直径∴90ACB AEB ∠=∠=︒OP BC ∥∴PO AC ⊥142AD CD AC ∴=== 在Rt PAD △中PA APO DPA ∠=∠∴Rt Rt PAD POA ∽△△∴ PA PO PD PA =∶∶ 即201620333PO =∶∶ 解得253PO = ∴3OD PO PD =-=AO BO = ∥OD BC∴26BC OD ==在Rt ACB △中10AB =点E 是AB 的中点1452BCE ACE ACB ∴∠=∠=∠= ∴AE BE =∴BCH 和ABE 都是等腰直角三角形252BE AB ∴==在Rt BEH △中 ()()22523242EH =-=324272CE CH EH ∴=+= 15．（1）如图所示 BCD ∠为所求．（2）①连接OCOA OC =∴CAO ACO ∠=∠ CAO BCD ∠=∠∴ACO BCD ∠=∠AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒∴90ACO OCB BCD OCB ∠+∠=∠+∠=︒ 即OC CD ⊥∴CD 是O 的切线①设OB a = 则2BD a = OA OC a == 4AD a = 在Rt OCD △中 ()2222322CD OD OC a a a =--= BDC ADC ∠=∠ BCD CAD ∠=∠∴BDC CDA ∽ ∴222BC CD a AC AD ==∴在Rt ABC △中 2tan BC CAB AC ∠==．。
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠．在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长．(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F．(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长．11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F．(1)求证:AB与O相切．(2)若正方形ABCD1,求O的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N．当:1:4CM FM=时,求CN的长．12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=．随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径)． 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===． 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=．=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积．B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =． 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203． 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。
2024年中考数学切线的性质与判定专项训练
2024年中考数学切线的性质与判定专项训练1..如图在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，sin B＝，求⊙O的半径；（3）求证：AD2＝AB•AF．3.如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE 。
(1) 求证：DE 是⊙O 的切线。
（2）设AE=6，∠D=300，求图中阴影部分的面积。
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，以O 为圆心，OB 长为半径的圆过点D ，且交BC 于点E.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝6，sin ∠BAC ＝23，求BE 的长．5.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接PA 、AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D 。
（1）试判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若32 AC OC ,且OC=4，求PA 的长和tanD 的值6.如图⊙O 中，AB 为直径，OC ⊥AB，弦CD 与OB 交于点F ，过点D 、A 分别作⊙O 的切线交于点G ，并与AB 延长线交于点E ．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF ：OB=1：3，⊙O 的半径为3，求DE 的长．（3）在（2）的条件下，求AG 的长．7．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．8.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D 使得DA=DC．线段DC、AB的延长线交于点E.（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC=2，∠CAB=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）.9.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB(1) 求证：AT是⊙O的切线(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值10．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．（1）求证：FG=FB．（2）若tan∠F=，⊙O的半径为4，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC 于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．12.如图，的直径，的中点，过点D作垂足为E．(1)求证：直线DE是的切线．(2)若求BC的长．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝6，AE＝3，求：阴影部分面积．14．如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，OB＝OC，∠B＝30°，过点A的⊙O切BC于点D，CO平分∠ACB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝12，求阴影部分的面积．15.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．16．如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB •DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．17.如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2.5时，求DE的长．。
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题(含答案)
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题（含答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，点D 在O 的直径AB 的延长线上，点C 在O 上，AC 平分,DAE AE CD ∠⊥于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线．(2)DF 是O 的切线，F 为切点，若2,30BD ADE =∠=︒求AF 的长．2．如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是直径，AB=BC ，连接BD ，过点D 的直线与CA 的延长线相交于点E ，且∠=∠EDA ACD ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；．如图，O是ABC的外接圆，为O的直径，点为ABC的内心，连接并延长交O于D点，、并延长至E，使得，连接CE BI为O的切线；BC=求204．如图，Rt ABC △中90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE 、OD ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；(2)若12AD DC =，32BE =求O 的半径．5．如图，AB 是O 的直径，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，过点D 作BC 的平行线DM ，连接AC 并延长与DM 相交于点G ．(1)求证：GD 是O 的切线；(2)若6CD =，8AD =求cos ABC ∠的值．6．如图，AB 是O 的直径，F 是O 上的点，C 是弧BF 的中点，过点C 作CE AF ⊥于点E ，延长EC 交AB 延长线于点D ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若8AD =，4CD =求CE 的长．7．如图，在O 中ABC 内接O ，连接OB ，作BAD C ∠=∠交OB 延长线于点D ．(1)求证：AD 为O 的切线；(2)若1tan 2C =，5OB =求BD 的长．8．如图1，O 的半径为4cm ，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 在O 上，AC=BC ．(1)求证：DC 是O 的切线；(2)若AD 也与O 相切求证：四边形ABCD 是菱形；(3)如图2，AD 与O 相交于点E ，连接于CE ，当75B ∠=︒时求平行四边形ABCD 的对角线AC 的长及阴影部分图形的面积．9．如图 四边形ABCD 内接于O AC 为O 的直径 180ACD BCD ∠+∠=︒ 连接OD 过点D 作DE AC ⊥ DF BC ⊥ 垂足分别为E F ，．(1)求证：2AOD BAD ∠=∠．(2)求证：DF 是O 的切线．10．如图 AB 为O 的直径 C 为O 上一点 AD CE ⊥于点DAC 平分DAB ∠．(1)求证：直线CE 是O 的切线；(2)若10AB = 6AD =求BC 的长．11．如图 PA 是O 的切线 A 是切点 AC 是直径 AB 是弦 连接PB PC ， PC 与AB 相交于点E 且PA PB =．(1)求证：PB 是O 的切线；(2)若34PA AC ==，求CE 的长．12．如图 O 的直径AB 垂直于弦CD 过点C 的切线与直径AB 的延长线相交于点P 连接PD ．(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：2·=．PD PB PA13．如图AB为O的直径点C为O上一点BD垂直过点C的直线l垂足为点D且BC平分∠．DBA(1)如图1求证：CD是O的切线；AE=求AB的长．(2)如图2 若BD与O交于点E连接AE交BC于点F若2DE=814．如图 AB 为O 的直径 点C 是AD 的中点 过点C 作射线BD 的垂线 垂足为点E ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若3,C B BE D D ==求BC 的长；(3)在（2）的条件下 若4AB =求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．15．如图 在ABC 中AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 连接AD 过点D 作DM AC ⊥垂足为M AB MD ，、的延长线交于点N ．是O的切线；(⋅+BN BN3C=求DN5参考答案⊥AE CD∵OC CD⊥OC为O的半径∵CD是O的切线；是O的切线是O的切线ODF ADE DF=∠=︒60,DOF OF=︒120BD=22OF OC ∴==∵AF 的长为：120241803ππ⨯=． 2．1）证明：连接OD 如图．∵OC OD =∵OCD ODC ∠=∠∵AC 是O 的直径．∵90ADC ∠=︒ 即90ADO ODC ∠+∠=︒∵∠=∠EDA ACD∵90ADO EDA ∠+∠=︒ 即90EDO ∠=︒∵OD DE ⊥又∵OD 是半径∵直线DE 是O 的切线．（2）∵AB BC =∵AB BC =∵ADB CDB ∠=∠∵DB 平分ADC ∠．（3）如图 过点B 作BH BD ⊥交DC 延长线于点H∵90DBH ∠=︒．∵AC 是O 的直径∵90ABC ∠=︒∵90ABD DBC ∠=︒-∠ 90CBH DBC ∠=︒-∠．∵ABD CBH ∠=∠∵四边形ABCD 内接于O∵(ASA ABD CBH ≌AD CH = BD BH =6AD = 8CD =6CH =14DH CD CH =+=(1)点为ABC 的内心BAD CAD =∠BID ABI ∠=DBI CAD ∠=∠=∠+∠BID ∴∠=DB DI ∴=（2）连接BD DE =BD DE CD ∴== ∵BC 为O 的直径∵90BDC CDE ==︒∠∠∵45BCD ECD ==︒∠∠90BCE ∴∠=︒ 即BC CE ⊥又BC 为O 的直径∴直线CE 为O 的切线；（3）BC 为O 的直径ABC ∴为直角三角形4tan tan 3ACB ADB ∴∠=∠= 不妨设4,3AB x AC x ==则有222(4)(3)20x x +=解得：4x =16,12AB AC ∴==∵22161220BC =+=过点I 作IH AC ⊥交AC 于点H 连接CI 如图所示．∵点I 为ABC 的内心∵点I 到ABC 三边的距离相等∵11112222AB AC AB IH AC IH BC IH ⋅=⋅+⋅+⋅ ∵1612161220IH IH IH ⨯=++为O的直径ADB=︒90 BDC︒=90为BC的中点BE=∠EDB EBD是O的半径与O相切；（2）解：由（1）知 =90BDC ∠︒ DE BE =∵E 是BC 的中点 32BE =∵262BC DE ==∵90ADB BDC ABC ∠∠∠===︒∵90DAB ABD ABD CBD ∠∠∠∠+=+=︒∵DAB DBC ∠∠=∵DBC BAC ∽∵BCCD AC BC =即626223ADAD =解得23AD =∵43CD = 63=AC∵()()2263626AB =-=∵O 的半径为132AB =．5．【答案】(1)证明：连接OD 如图所示：∵D 是BC 的中点∵OD BC ⊥ OD 平分BC∵DM BC ∥∵DM OD ⊥∵GD 是O 的切线；（2）解：∵D 是BC 的中点 6CD =∵6BD CD ==是O的直径=∠ACB ADB3=53x=则4x∵OCA CAF ∠=∠∵∥OC AE∵CE AF ⊥∵OC CE ⊥∵CE 是O 的切线；（2）解：如图 过C 作CM AD ⊥于M设O 的半径为r在Rt OCD △中∵8OD AD OA r =-=- OC r = 4CD =∵()22248r r +=-解得3r =∵5OD =∵1122COD S OC OD OD CM =⨯=⨯ ∵125OC OD CM OD ⨯== ∵BAC CAF ∠=∠ CE AF ⊥ CM AD ⊥∵125CE CM ==． 7．【答案】(1)证明：连接OA ．∵C ∠为AOB ∠所对圆周角又OA 为O 切线；）解：延长BO 交O 于E∵BAD DAE ∽．设BD x = 则x AD =1tan tan 2C E ==2AD x =．在Rt OAD 中根据勾股定理2AD OD +=253x =．253BD =．）如图1∵AC BC OA OB ==，∵CM 是AB 的垂直平分线 即CM AB⊥∵四边形ABCD 是平行四边形∵AB CD ∥∵OC CD ⊥∵OC 是O 的半径∵DC 是O 的切线；（2）如图2 连接OA OD OC ，，∵AD 与O 相切∵OA AD ⊥∵90OAD ∠=︒∵OC CD ⊥∵90OCD ∠=︒∵90OAD OCD ∠=∠=︒∵OA OC OD OD ==，∵()Rt Rt HL OAD OCD ≌∵AD CD =∵ABCD是菱形；（3）如图3∵CNE是等腰直角三角形=CN ENAC AN=△中Rt AGC∵1622CG AC ==+ ∵阴影部分图形的面积()12AOE OAE AE CG S S =⋅⋅+-扇形()21904142624 4.23602π⨯=⨯⨯++-⨯⨯ 43448π=++-4344π=-+．9．【答案】(1)证明：四边形ABCD 内接于O ∴180BAD BCD ∠+∠=︒180ACD BCD ∠+∠=︒∴ACD BAD ∠=∠OC OD =∴OCD ODC ∠=∠∴2AOD OCD ODC ACD ∠=∠+∠=∠ ∴2AOD BAD ∠=∠；（2）证明：180BAD DCB ︒∠+= 180DCF DCB ∠+∠=︒ ∴DAB DCF ∠=∠由（1）可知ACD BAD ∠=∠∴ACD DCF ∠=∠ACD ODC ∠=∠∴ODC DCF ∠=∠OD BF ∴∥DF BC ⊥∴DF OD ⊥OD 为半径∴DF 是O 的切线．10．【答案】(1)证明：如图 连接OC ．是O的切线；AB是直径90︒90ACB=︒∠CAB∵OA OB = PA PB = OP OP =∵(SSS)PBO PAO ≌∵PBO PAO ∠=∠∵PA 与O 切于点A∵90PAO ∠=︒∵90PBO ∠=︒ 即PB OB ⊥∵PB 是O 的切线；（2）设OP 交AB 于F 连接BC 如图 ∵PA PB 为切线∵OP AB ⊥ APO BPO ∠=∠∵OA PA ⊥∵90CAP ∠=︒∵3PA = 4AC =∵22345PC =+= 222313PO =+= ∵66131313AO AP AF OP ⋅=== 2291313PF AP AF =-= 41313OF OP PF =-= ∵AC 为直径∵90ABC ∠=︒ 而OP AB ⊥∵OF CB ∥∵AOF ACB ∽△△∵12OF AO BC AC == ∵813213BC OF ==同理可得：PFE CBE ∽是O 的切线90PCO =︒CD AB ，是直径BCDOP COP =∠和COP 中COP∵()SAS DOP COP ≌90PDO PCO ∠=∠=D 在O 上PD 是O 的切线；（2）∵AB 是O 的直径90ADB =︒90PDO =︒90ADO PDB =∠=︒-∠ODADO∵A PDB∠=∠∵BPD BPD ∠=∠∵PDB PAD∽∵PD PA PB PD=∵2PD PA PB=⋅．13．【答案】(1)证明：如图连接OCBC平分DBA∠DBC ABC∴∠=∠OC OB=OBC OCB∴∠=∠DBC OCB∴∠=∠OC BD∴BD CD⊥OC CD∴⊥OC为半径∴CD是O的切线；（2）解：连接CO交AE于H连接OEAB为直径90AEB∴∠=︒CD AEOC CD ⊥OC AE ∴⊥12EH AE ∴=CHE CDE ∠=∴四边形CH DE ∴=设半径为由勾股定理可得：()22r ∴-∵CE 是O 的切线．（2）连接AC OC OD∵CD BD = AC DC =∵AC DC BC ==∵60AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒∵1302ABC CBE AOC ∠=∠=∠=︒∵cos BECBE BC ∠= 3BE =∵323cos30BC ==︒；（3）连接CD∵60COD ∠=︒ OC OD =∵OCD 是等边三角形∵60OCD ∠=︒∵60AOC ∠=︒∵CD AB ∥∵COD BCD S S =△△∵COD S S =阴影扇形．∵4AB =∵2OC =∵260223603COD S S ππ⨯===阴影扇形．15．【答案】(1)如图 连接OD是O 的切线；）,AB AC =,ABC ACB =∠ABC BAD ∠+∠=,BAD CDM ∴∠=∠BDN CDM ∠=∠BAD BDN ∴∠=∠N N ∠=∠,BDN DAN ∴∽,BN DN DN AN∴= 2DN BN AN BN ∴=⋅=（3）6,BC BD CD ==3,BD CD3cos ,5CDC AC ==5,AC ∴=5,AB ∴=22259AD AB BD ∴=-=-4=,BDN DAN ∽3,4BNDN BD DN AN AD ∴===33,,44BN DN DN AN ∴==339,4416BN AN AN ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,BN AB AN +=95,16AN AN ∴+=80,7AN ∴=360.47DN AN ∴==。
圆中切线证明综合题及答案
3
hing at a time and All things in their being are good for somethin
12、 12 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线
交 AB 的延长线于 F．切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）求证：KE=GE；
2
在 Rt△AOD 中，由勾股定理 ，得(2x－3)2＝x2＋32． 解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）． AD＝4，OA＝2x－3＝5．
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°． 而 AC＝2OA＝10，BC＝6， ∴cos∠ACB＝ 6 ＝ 3 ．
10 5
∵OA2＝OD·OP，
∴3(PE＋5)＝25．
∴FG=
=
=
．
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．
∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴ OD ＝ OA ，即 OA2＝OD·OP．
OA OP
又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP． （3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝ 1 BC＝3．
2
设 AD＝x，∵tan∠F＝ 1 ，∴FD＝2∴ = ，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK， ∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD， ∴∠E=∠C， ∴AC∥EF； （3）连接 OG，OC，如答图 3 所示．
sinE=sin∠ACH= ，设 AH=3t，则 AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t． 在 Rt△AHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2， 即（3t）2+t2=（ ）2，解得 t= ． 设⊙O 半径为 r，在 Rt△OCH 中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
圆的切线的判定练习题2024~2025学年人教版数学九年级上册++
切线的判定练习题1.如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．2.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．3.如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．4.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AĈ=CD̂=DB̂，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．6.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．7.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．8.如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．9.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．10.如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=√3，求线段AC的长．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G，求证：FG是⊙O的切线．12.如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果∠BAC＝120°，求证：DE=14BC．13.如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，且∠A＝∠CDB＝∠COB．求证：CB是⊙O的切线．14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O的半径．。
2023年中考数学专题训练——证明圆的切线(附答案)
2023中考专题训练——证明圆的切线1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点P 在BC 的延长线上，且∠BAC=2∠P ．(1)求证：直线AP 是⊙O 的切线；(2)若BC=6，tan ∠P=34，求⊙O 的半径长及tan ∠P AC 的值．2．如图，在ABC 中，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，过点D 作O 的切线交AC 于点E ，若点E 为AC 的中点．(1)求证：AC 为O 的切线；(2)连接OE CD 、交于点F ，若53AB BC ==，，求OF 的长．3．如图，已知AB 是O 的直径，ABD △为O 的内接三角形，C 为BA 延长线上一点，连接CD ，OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F ，ADC AOF ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线．(2)若1sin ,2C BD ==，求AD 的长．4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 在AB 上，以AE 为直径的半圆O 经过点D ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若CD =2，AD =6，求⊙O 的半径长．5．如图，已知 AB 、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE ⊥AC 于 E ，DE =6，AC =16．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)求直径AB 的长．6．如图，A 、B 、C 是圆O 上的三个点，AB ＝AC ，过点C 作∠BCD ＝∠ACB 交⊙O 于点D ，连接AD 交BC 于点E ，连接BD ，延长DC 至点F ，使CF ＝AC ，连接AF ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝3，DE ＝5，求AB 的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连结ED，EC，点F是线段AE上的一点，连结FD，其中∠FDE＝∠DCE．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若DC＝BC＝4，DE＝2EF，求DF的长．8．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10．C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB=AC．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，求线段BP的长．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交AB于点D，交⊙O 于点E，以AD，DE为邻边作▱ADEF．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若BC2∠BAC=30°，求线段CE的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D点在AB边上，E点在BC边上，以AD为直径的⊙O 过E点，与AC边相交于点F，DE＝EF．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若sin∠B＝35，⊙O的半径为3，求CF的长．11．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O 于点E，交AC于点F，AF=AB．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若tan∠FBC=13，DF=4，求⊙O的半径．12．已知：四边形ABCD是O的内接四边形，AC是直径，点D是AC的中点，过点D作∥DE AC 交BA的延长线于点E．(1)求证：DE是O的切线；(2)若2AE=，3BC=，求O的半径长．13．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的直径为3，3AC AE =，求DF 的长．14．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD 是圆O 的直径，AD ，BC 的延长线交于点E ，延长CB 交PA 于点P ，90BAP DCE ∠+∠=︒．(1)求证：PA 是圆O 的切线；(2)连接AC ，1sin 3BAC ∠=，2BC =，AD 的长为______．15．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BD 于点F ，交⊙O 于点D ，AC 与BD 交于点G ，点E 为OC 的延长线上一点，且∠OEB ＝∠ACD ．(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若BG 的长为65，⊙O 的半径为1，求tan A ．16．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是BA 延长线上一点，点C 在⊙O 上，连接PC 并延长，过点B做BD⊥PC，垂足为D，若BC平分∠PBD．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若BC=BD＝3，求⊙O的直径AB的长．17．如图，AB为O的直径，点C和点D是O上的两点，连接,,=，CE DABC DC BC CD⊥交DA 的延长线于点E．(1)求证：CE是O的切线；(2)若2,4==，求AD的长．AE CE18．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径在正方形内部作半圆O，点E在BC边上，1BE=，连接DE，OD和OE．(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)请直接写出图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）．19．如图，BC为ABC的外接圆O的直径，点E在AB上，在线段BO上取点F作BC的垂线交=．AB于点E，点G在FE的延长线上，且GA GE(1)求证：AG与O相切．(2)已知直径20BC=，12AC=，若BE OB=，试求OE的长．20．如图，ABC内接于⊙O，BAC∠的平分线AF交⊙O于点G，过G作//DE BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)已知8AG=，34BFDG=，点I为ABC的内心，求GI的长．参考答案：1．(1)证明见解析(2)⊙O的半径为2.5，7 tan24PAC∠=【分析】（1）连接AD，利用圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可求得圆的半径；过点C作CE⊥P A 于点E，利用直角三角形的边角关系定理和平行线分线段成比例定理列出比例式求得线段CE的长，利用勾股定理求得AE，再利用正切的意义解答即可．【解析】（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAD，∵∠BAC＝2∠P，∴∠BAD＝∠P，∵∠BAD+∠B＝90°，∴∠P+∠B＝90°，∴∠BAP＝180°﹣90°＝90°，即AB⊥AP，∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥P A，垂足为E，如图所示：由（1）可得BD ＝CD 12=BC ＝3， ∵tan ∠P 34==tan ∠BAD BD AD=， ∴AD ＝4， ∴225AB AD BD =+，即⊙O 的半径为2.5；∵tan ∠P 34AB AP ==，AB ＝5， ∴P A 203=， ∴PB 22253AB PA =+=， ∴PC ＝PB -BC 257633=-=， ∵CE AB ， ∴由平行线分线段成比例得EA BC PA BP =，即6202533EA = ∴AE 245=，又EC 35=PC 75=， ∴tan ∠P AC 724EC AE ==． 【点评】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，解直角三角形等知识，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．2．(1)见解析 (2)910【分析】（1）连接OD CD ，，BC 为O 的直径DE ，为O 的切线，得出9090BDC ODE ∠=︒∠=︒，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出CE ED EA ==，进而得出ECD EDC ∠=∠，从而推出BC AC ⊥即可得证； （2）连接OE 交CD 于点F ，证明BCD BAC ∽△△，根据相似三角形的性质求得BD ，根据OE 为CAB △的中位线，得出OF BD ∥，则OF 为CBD △的中位线，根据中位线的性质即可求解．（1）证明：如解图，连接OD CD ，，∵BC 为O 的直径DE ，为O 的切线，∴9090BDC ADC ODE ∠=∠=︒∠=︒，，∵点E 为AC 的中点，∴CE ED EA ==，∴ECD EDC ∠=∠，又∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴90ODE ODC CDE OCD DCE ACB ∠=∠∠=︒=∠∠=∠＋＋，即BC AC ⊥， ∵BC 为O 的直径，∴AC 为O 的切线；（2）解：如图，连接OE 交CD 于点F ，∵90DBC CBABDC BCA ∠=∠∠=∠=︒，， ∴BCD BAC ∽△△， ∴BD BC BC BA=， ∴BD =23955=， ∵OB OC EC EA ==，，∴OE 为CAB △的中位线，∴OF BD∥，∴OF为CBD△的中位线，∴OF=12BD=910．【点评】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．(1)见解析；(2)23π．【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得∠OAD＋∠AOF＝90°，再根据等腰三角形的性质，可得∠OAD＝∠ODA，从而可得∠ADC＋∠ODA＝90°，进而可得∠ODC＝90°，即可得证；（2）在Rt ODC中，由1sin2C=可得∠C＝30°，然后证明OAD△是等边三角形，解直角三角形ABD△求出AD＝2，可得OD＝2，再利用弧长公式计算即可．（1）证明：如图，连接OD，∵OF⊥AD，∴∠AEO＝90°，∴∠OAD＋∠AOF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠ADC＝∠AOF，∴∠ADC＋∠ODA＝90°，∴∠ODC＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt ODC 中，1sin 2C =， ∴∠C ＝30°，∴∠COD ＝60°，∵OA ＝OD ，∴OAD △是等边三角形，∴∠OAD ＝60°，∵AB 是直径，∴∠BDA ＝90°，在Rt ABD △中，AD ＝2tan tan 60BD BD BAD ===∠︒， ∴OD ＝2，∴AD 的长为：60221803ππ⨯=． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．4．(1)见解析(2)AE ．【分析】（1）连接OD ，根据平行线判定推出OD ∥AC ，推出OD ⊥BC ，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD ，连接DE ，证△DCA ∽△EDA ，得出比例式，代入求出AE =3DE ，再利用勾股定理即可求解．（1）证明：连接OD ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∴∠ODA =∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵∠C =90°，∴∠ODC =90°，∴OD ⊥BC ，∵OD 为半径，∴BC 是⊙O 切线；（2）解：在Rt △ADC 中，AC =8，CD =6，由勾股定理得：AD =10．连接DE ，∵AE 为直径，∴∠EDA =∠C =90°，∵∠CAD =∠EAD ，∴△DCA ∽△EDA ， ∴CD AD ED AE=， ∵CD =2，AD =6， ∴26ED AE=， ∴AE =3DE ，在Rt △EDA 中，222AE DE AD =+，即222(3)6DE DE =+，∴DE 32 ∴AE 92． 【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．5．(1)见解析(2)20【分析】（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的长．【解析】（1）证明：如图，连接OD，BC；∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴BC∥DE；∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）设BC与DO交于点F，由（1）可得四边形CFDE为矩形；∴CF=DE=6，∵OD⊥BC，∴BC=2CF=12，在Rt△ABC中，AB．【点评】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．6．(1)见解析(2)AB=【分析】（1）连接OA，由∠CAF=∠CF A知∠ACD=∠CAF+∠CF A=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（2）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，推出∠BCD=∠ADC，得到ED=EC=5，同理可得EA=EB=3，可证得△BAE∽△BCA，再利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：如图，连接OA，∵AB=AC，∴AB AC，∴OA⊥BC，∵CA=CF，∴∠CAF=∠CF A，∴∠ACD=∠CAF+∠CF A=2∠CAF，∵∠ACB=∠BCD，∴∠ACD=2∠ACB，∴∠CAF=∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴∠BCD=∠ADC，∴ED=EC=5，同理可得EA=EB=3，∵∠BAE=∠BCD=∠BCA，∠ABE=∠CBA，∴AB BEBC AB=，即353ABAB=+，∴AB=负值已舍)．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．(1)见解析(2)【分析】（1）连接BD，由题意证得BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，则∠BDE+∠FDE ＝90°，结论得证；（2）由勾股定理求出BD的长，证明△FDE∽△FBD，由相似三角形的性质得出DE EF BD DF=，则可得出答案．（1）证明：连接BD，∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：∵∠BCD＝90°，DC＝BC＝4，∴BD=，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BDF＝90°，∴DE EF BD DF=，又∵DE＝2EF，42EF DF =，∴DF＝2【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．8．(1)证明见解析1255【分析】（1）连接OB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，由OP＝OB得∠OPB＝∠OBP，由OA⊥l得∠OAC＝90°，则∠ACB＋∠APC＝90°，而∠APC＝∠OPB＝∠OBP，所以∠OBP ＋∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线；（2）根据勾股定理求得AB＝8，PC＝5O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，通过证得△ODP∽△CAP，求得PD，即可求得BP．(1)证明：如图，连接OB，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，又∵∠OPB＝∠CP A∴∠OBP＝∠OPB＝∠CP A，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，即∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；(2)解：由（1）知：∠ABO ＝90°，而OA ＝10，OB ＝OP ＝6，由勾股定理，得：AB ＝8，过O 作OD ⊥PB 于D ，则PB ＝2PD ＝2DB ，∵∠OPD ＝∠CP A ，∠ODP ＝∠CAP ＝90°，∴△ODP ∽△CAP ， ∴PD OP AP CP=， 又∵AC ＝AB ＝8，AP ＝OA ﹣OP ＝4，∴CP∴PD ＝OP AP CP ⋅∴BP ＝2PD 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．(1)见解析【分析】（1）连接OE ，利用角平分线的定义，圆周角定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点B 作BH ⊥CE ，垂足为点H ，在Rt △BHC 中，求得BH =CH =1，在Rt △BEH 中，求得EH 的值，据此即可求解．(1)证明：连接OE ，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠AOE=∠BOE=90°．∴OE⊥AB．∵四边形ADEF为平行四边形，∴AB∥EF．∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)解：过点B作BH⊥CE，垂足为点H，连接BE，∵∠BCH=45°，∴∠CBH=45°，在Rt△BHC中，BH=CH=BC·sin45°=1，在Rt△BEH中，∠BEC=∠BAC=30°，∴tan30BHHE===︒∴CE=CH+HE【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，解直角三角形，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．10．(1)见解析(2)65【分析】（1）如图，连接半径OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，求得∠OAE ＝∠F AE，根据平行线的性质得到OE⊥BC，于是得到BC是⊙O的切线；（2）如图，作DH⊥BC于H，根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BD＝2，根据全等三角形的性质得到结论．（1）证明：如图，连接半径OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，又∵DE＝EF，∴DE EF=，∴∠OAE＝∠F AE，∴∠OEA＝∠F AE，∴OE∥AC，AC⊥BC，∴OE⊥BC，∵OE为圆O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图，作DH⊥BC于H，∵sinB＝35，OE＝OD＝OA＝3，∴sinB =335 OEOB OB==，解得OB＝5，∴BD=OB-OD＝2，∴35 HDBD=，∴HD=65．由（1）知DH∥OE∥AC，且OD＝OA，∴EH＝EC，又∵DE＝EF，∴Rt△EDH≌Rt△EFC（HL），∴65 CF HD==．【点评】本题考查切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，本题属圆有综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．11．(1)见解析(2)⊙O的半径为10．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABF=∠AFB，由角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF，求得∠ABC=90°，于是得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DBF=∠CBF，根据三角函数的定义得到BD=12，设AB=AF=x，根据勾股定理即可得到结论．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵BF平分∠DBC，∴∠DBF=∠CBF，∵∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠C，∴∠ABD=∠C，∵∠A+∠ABD=90°，∴∠A+∠C=90°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵BF平分∠DBC，∴∠DBF=∠CBF，∴tan∠FBC=tan∠DBF=13 DFBD，∵DF=4，∴BD=12，设AB=AF=x，∴AD=x-4，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=（x-4）2+122，解得：x=20，∴AB=20，∴⊙O的半径为10．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．12．(1)证明见解析【分析】（1）根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质可得∠DOC ＝90°，再利用切线的判定方法可得结论；（2）先证EDC DBC ∆∆∽，可求AD 的值，然后在Rt △ADC 中求出AC ，即可解答．(1) 证明：点D 是AC 的中点，AD CD ∴=，AD CD ∴=， AC 是直径，90ADC ∴∠=︒，ACD ∴∆是等腰直角三角形，OD AC ∴⊥，90DOC ∴∠=︒，ED AC ∥，90ODE DOC ∴∠=∠=︒， OD 是半径，ED ∴是O 的切线；(2)解：45EDA DAC DBC ∠=∠=∠=︒，EAD BCD ∠=∠，EDC DBC ∴∆∆∽，AD AE BC CD∴=， AD CD =，2326AD BC AE ∴=⋅=⨯=，6AD ∴在Rt ADC ∆中2223AC AD CD =+=132OA AC ∴== 【点评】此题考查的是切线的判定与性质，圆周角定理及垂径定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．13．(1)见解析 (2)2DF【分析】（1）连接OA ，AD ，则∠ADB =90°，通过AB =AC 、证明D 是BC 中点，则OD AC ∥，因为DF AC ⊥，所以DF OD ⊥，即OD 是切线；（2）连接BE ，根据条件可求出AC =3，AE =1，根据勾股定理求出BE ， 利用∠E =90°证明BE DF ∥，又因为D 是中点可得DF 是△CBE 的中位线，所以DF =12BE ，即可求出DF ． (1)证明：连接OD ，AD AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒AB AC =D ∴为BC 中点 O 是AB 中点OD ∴是ABC 的中位线OD AC ∴∥DF AC ⊥90DFC ∴∠=︒90ODF DFC ∴∠=∠=︒DF OD ∴⊥ OD 为O 的半径DF ∴是O 的切线(2)连接BE ， AB 是O 的直径90E ADB ∴∠=∠=︒ O 的直径为3，3AB AC ∴==3AC AE =，1AE ∴=在Rt ABE 中，222AE BE AB +=BE ∴=DF EC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒BE DF ∴∥CD CF BD EF= 又D 是BC 中点1CD CF BD EF∴==，即CF EF = DF ∴是CBE △的中位线122DF BE ∴=【点评】本题考查了圆的综合应用，解题关键是灵活运用直径对直角和中位线的性质．14．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和90BAP DCE ∠+∠=︒，可得出90PAD ∠=︒，再根据AD 是圆O 的直径，由切线的判定可得证；（2）延长DC 交AB 的延长线于点F ，由AD 是圆O 的直径，可说明ACF △是直角三角形，从而得到1sin 3CF BAC AF ∠==，再证明FCB FAD △∽△，得到CB CF AD AF =，代入数据即可得到答案．（1）证明：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴BAD DCE ∠=∠，∵90BAP DCE ∠+∠=︒，∴90BAP BAD ∠+∠=︒，∴90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥，∵AD 是圆O 的直径，∴PA 是圆O 的切线．（2）解：延长DC 交AB 的延长线于点F ，∵AD 是圆O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∴18090ACF ACD ∠=︒-∠=︒，∴ACF △是直角三角形，∴sin CF BAC AF ∠=， ∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴FCB FAD =∠∠，又∵F F ∠=∠，∴FCB FAD △∽△，∴CB CF AD AF =，∵1sin 3BAC ∠=，2BC =，∴213CF AD AF ==，∴6AD =．故答案为：6．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．15．(1)见解析(2)3 5【分析】（1）根据OF⊥BD有∠OFB=90°，即∠FOB+∠ABD=90°，结合∠ABD=∠ACD，∠OEB=∠ACD，即有∠ABD=∠OEB，则可得∠EBO=90°，结论即可证；（2）先证明△CDF∽△GCF可得GF CGCF CD=，再证△CDG∽△ABG，即有BG CGAB CD=，进而有GF BGCF AB=，根据r=1，65BG=，可得AB=2r=2，则问题得解．（1）证明∵OF⊥BD，∴∠OFB=90°，∴∠FOB+∠ABD=90°，又∵∠ABD=∠ACD，∠OEB=∠ACD，∴∠ABD=∠OEB，∴∠OEB+∠FOB=90°，∴∠EBO=90°，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．（2）∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵∠CDB=∠CAO，∴∠ACO=∠CDB，又∵∠CFD=∠GFC，∴△CDF∽△GCF，∴GF CG CF CD=，∠CDG=∠GAB，∠DCG=∠DBA，∴△CDG∽△BAG，∴BG CG AB CD=，∴GF BG CF AB=，∵r =1，65BG =， ∴AB =2r =2， ∴tan ∠A =tan ∠ACO =63255GF BG CF AB ==÷=． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质以及圆周角定理等知识，证明△CDF ∽△GCF 是解答本题的关键．16．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）连接OC ，方法一利用角平分线的性质，等腰三角形的性质，线余来求解；方法二利用角平分线的性质，等腰三角形的性质求得OC BD ∥，再用平线的性质求解；（2）连接AC ，方法一根据圆周角定理和角平分线易得C ABC BD ∽△△，利用相似三角形的性质求解；方法二利用已知求得3cos 23BD CBD BC ∠===30CBD ∠=︒，结合角平分线求出30PBC CBD ∠=∠=︒，最后用特殊角的三角函数值求解．（1）解：连接OC ，如下图．方法一：∵BC 平分PBD ∠，∴PBC CBD ∠=∠．∵OB OC =，∴PBC BCO ∠=∠，∵BD PD ⊥，∴90BDP ∠=︒，∴90BCD CBD ∠+∠=︒，∴90BCD BCO ∠+∠=︒，∴OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒，∴PC 是O 的切线；方法二∵BC 平分PBD ∠，∴PBC CBD ∠=∠．∵OB OC =，∴PBC BCO ∠=∠，∴CBD BCO ∠=∠，∴OC BD ∥．∵BD PD ⊥，∴OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒．∴PC 是O 的切线；（2）解：连接AC ，如图．方法一：连接AC ．∵AB 为O 的直径，BD PD ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=︒．∵BC 平分PBD ∠，∴ABC CBD ∠=∠，∴C ABC BD ∽△△， ∴BC AB BD BC=， ∴2BC AB BD =⋅，即23(AB =⨯，∴4AB =；方法二∵AB 为O 的直径，BD PD ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=︒．∵BC =3BD =，在Rt BCD△中3 cos23BDCBDBC∠===∴30CBD∠=︒．∵BC平分PBD∠，∴30PBC CBD∠=∠=︒．在Rt ABC中3 cosBCABCAB∠==∵3BC=233=∴4AB=．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，综合运用这些知识点是解题关键．17．(1)见解析(2)AD=6【分析】（1）连接OD，OC，证得△COD≌△COB，可得∠OCD=∠BCO，从而得到∠ADC=∠DCO，进而得到DA∥CO，即可求证；（2）连接AC，证明△EAC∽△ECD，即可求解．（1）证明：连接OD，OC，∵OD=OB，OC=OC，BC=CD∴△COD≌△COB∴∠OCD=∠BCO∵CO=BO∴∠B=∠BCO∵∠B=∠ADC∴∠ADC=∠DCO∴DA//CO∴∠E+∠ECO=180º∵CE⊥EA∴∠E=90º∴∠ECO=90º∴EC⊥CO∵CO是⊙O的半径∴EC是⊙O的切线（2）解：连接AC由（1）可知∠ECA +∠ACO =90º∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB =90º∴∠ACO +∠OCB =90º∴∠ECA =∠OCB∵OC =OB∴∠B =∠OCB∴∠ECA =∠B∵∠B =∠ADC∴∠ADC=∠ECA∵∠E =∠E∴△EAC ∽△ECD ∴EA EC EC ED= ∵AE=2，CE=4∴ED =8，∴AD =6【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．18．(1)证明见解析(2)102π-【分析】（1）过点O 作OF ⊥DE 于F ，利用勾股定理分别求出DE 、OE 、OD ，利用勾股定理逆定理判断OED 是直角三角形，利用等面积法求出OF 的长即可求证结论． （2）利用=S O DABE S S -阴影半圆梯形即可求解．（1）解：过点O 作OF ⊥DE 于F ，如图所示：在Rt DCE 中，90C ∠=︒，4DC =，CE =BC -BE =4-1=3，22225DE CD CE ∴=+=，在Rt OEB 中，90B ，2,1OB BE ==，22222215OE OB BE ∴=+=+=，在Rt ADO 中，90A ∠=︒，4,2AD OA ==，222222420OD OA AD ∴=+=+=，222DE OD OE ∴=+，∴三角形ODE 是直角三角形，且90DOE ∠=︒，11520522OED S OE OD ∴=⋅⋅=， 115522DE OF OF ∴⋅⋅=⨯⨯=， 2OF ∴=，OF ∴是圆的半径，且OF DE ⊥，∴DE 是半圆O 的切线．（2）2(14)41=S =210222O DABE S S ππ+⨯--⨯⨯=-阴影半圆梯形． 【点评】本题考查了切线的判定、正方形的性质、勾股定理及逆定理的应用、等面积法求高和求不规则图形的面积，熟练掌握正方形的性质及勾股定理及其逆定理是解题的关键．19．(1)见解析 (2)10【分析】（1）连接OA ，根据“连半径，证垂直”，即可证明；（2）由BC 是直径可得∠BAC =90°，根据勾股定理求出AB 的长，再由∠ABC 的正弦、余弦三角函数值求出BF 、EF ，在Rt △OEF 中，利用勾股定理即可求出OE 的长．（1）证明：连接OA ，∵OA OB =，GA GE =，∴ABO BAO ∠=∠，GEA GAE ∠=∠．∵EF BC ⊥，∴90BFE ∠=︒．∴90ABO BEF ∠+∠=︒．又∵BEF GEA ∠=∠，∴GAE BEF ∠=∠．∴90BAO GAE ∠+∠=︒．∴OA AG ⊥，OA 是半径，∴AG 与O 相切．（2）∵BC 是直径，∴∠BAC =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理16AB =当EB BO =时，BE =10123sin 205AC EF ABC BC BE ∠====，4cos 5AB BF ABC BC BE∠===， ∴6EF =，8BF =，∴2OF OB BF =-=，∴OE【点评】本题考查圆的切线的证明，圆周角定理、解直角三角形及勾股定理，是常见的中考题型，灵活运用勾股定理、三角函数是解题的关键．20．(1)见解析(2)GI 的长为4【分析】（1）连接OG ，根据角平分线的定义得到∠BAG =∠CAG ，根据垂径定理得到OG ⊥BC ，根据平行线的性质得到OG ⊥EF ，然后问题可求证；（2）连接BI ，BG ，根据角平分线定义得到∠BAI =∠CAI ，∠ABI =∠CBI ，推出∠BIG =∠GBI ，得到BG =IG ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OG ，∵∠BAC 的平分线AF 交⊙O 于点G ，∴∠BAG =∠CAG ，∴BG CG =，∴OG ⊥BC ，∵//DE BC ，∴OG ⊥EF ，∵OG 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：连接BI ，BG ，∵点I 为ABC 的内心，∴BI 平分∠ABC ，AG 平分∠BAC ，∴∠BAI =∠CAI ，∠ABI =∠CBI ，∵BIG BAI ABI ∠=∠+∠，GBI GBC CBI ∠=∠+∠，GBC GAC ∠=∠，∴BAI CBG ∠=∠，∴∠BIG =∠GBI ，∴BG IG =，∵//BC DE ，∴ABF ADG ∽△△，∴34AF BF AG DG ==， ∵8AG =，∴AF =6，∴FG =2，∵,BGF AGB GBF BAG ∠=∠∠=∠，∴BGF AGB ∽， ∴BG AG FG BG =， ∴82BG BG=， ∴4BG =（负根舍去），∴GI 的长为4．【点评】本题主要考查切线的判定与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的切线的证明综合题(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的切线的证明综合题1．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan⊙CPO= 12，求PO的长．2．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG//BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，⊙A＝⊙D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分⊙ACB，BD＝12，求DE的长．3．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊙AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．4．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且点C是弧FB̀的中点，连接AC，AF，过点C作CD⊙AF，垂足为点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=8，求DC的长．5．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，点O在BC边上，⊙BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB·CP=BD·CD；（3）若tan∠ABC=2，AB=2√5，求线段DP的长.6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且⊙CAD＝⊙D，给出下列三个信息：①sin⊙CAB＝12；②BO＝BD；③DC是⊙O的切线.（1）请在信息①或②中选择一个作为条件，剩下的两个信息中选择一个作为结论，组成一个真命题．．．.你选择的条件是，结论是（只要填写序号）.（2）证明（1）中你写出的真命题.7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，且⊙BCD =⊙A.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC =2，AB =32CD，求⊙O半径.8．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB 交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE=BF，连接DE.（1）求证：ΔDAF≌ΔDCE.（2）求证：DE是⊙O的切线.（3）若BF=2，DH=√5，求四边形ABCD的面积.9．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD=DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．（1）求证：DE是⊙A的切线；（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求tan⊙FED．10．等腰三角形ABC，AB=AC，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE、CD交于点F，⊙O为⊙ADF的外接圆，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线：（2）若CF＝5，DF＝3，求⊙O的直径．11．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°,OA=OB=4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH,BH．设旋转角为α(0°<α<360°)．（1）当α=90°时，求证：BH是⊙O的切线；（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．12．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且OEEB=23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．13．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分⊙DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分⊙ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E.（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan⊙ABC＝43，求线段BE的长.14．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．（1）求m的值和该二次函数的表达式．P为线段AB上一个动点（点P不与A，B 两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．（2）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．15．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA=PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D.（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）连接OB、DP交于点E.若CD=2，CB=4，求PEDE的值.16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E 是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，⊙B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①PC=PD ，②⊙CPO=⊙DP ，③CD⊙BA ，④⊙CEP=90°，⑤PC 2=PA•PB（2）解：连接OC ∵PC 、PD 分别切⊙O 于点C 、D ∴PC=PD ，⊙CPO=⊙DPA∴CD⊙AB∵CD=12∴DE=CE= 12CD=6． ∵tan⊙CPO= 12， ∴在Rt⊙EPC 中，PE=12∴由勾股定理得CP=6 √5∵PC 切⊙O 于点C∴⊙OCP=90°在Rt⊙OPC 中，∵tan⊙CPO= 12， ∴OC PC =12∴OC=3 √5 ，∴OP= √OC 2+PC 2 =152．【答案】（1）证明：如图1，延长 DB 至 H ，∵DG//BC ，∴∠CBH =∠D ，∵∠A=∠D，∴∠A=∠CBH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABC=90°，∴∠ABD=90°，∴AB⊙BD，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴AF=BF，∴⊙AOF＝⊙BOF＝90°，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF//BD，∴△EFO∽△EDB，∴OFBD=OE BE，∵AE=OE，∴OEEB=1 3，∴OF12=13，∴OF=4，∴OA=OB=OF=4，∴BE =OE +OB =2+4=6 ，∴DE =√BD 2+BE 2=√122+62=6√5 ．3．【答案】（1）证明：如图：首先连接OD ．∵AC⊙AB ，∴⊙BAC=90°，即⊙OAE=90°．在⊙AOE 与⊙DOE 中，OA=OD ，ED=EA ，OE=OE ，∴⊙AOE⊙⊙DOE （SSS ），∴⊙OAE=⊙ODE=90°，即OD⊙ED ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在⊙OAE 中，⊙OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理求得OE=5．∵AB 是直径，∴⊙ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊙BC ．又∵OA=OD ，AE=DE ，∴OE 垂直平分AD （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∴OE⊙AD ，∴OE⊙BC ，∴OA AB =OE BC =12（平行线分线段成比例定理）． ∴BC=2OE=2×5=10，即BC 的长度是10．4．【答案】（1）解：如图1，连接OC ，∵C 是弧FB ̀的中点， ∴弧FC=弧BC ̀̀，∴⊙FAC=⊙BAC ，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙BAC ，∴⊙FAC=⊙OCA ，∴AD⊙OC ，∵CD⊙AF ，∴CD⊙OC ，即CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°，∴⊙D=⊙ACB ，又⊙DAC=⊙CAB ，∴⊙DAC⊙⊙CAB ，∴AD AC =AC AB， 解得，AD= AC 2AB=6.4， 在Rt⊙ADC 中，CD= √AC 2−AD 2 =4.8．5．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴⊙BAC=90°，∵AD 平分⊙BAC ，∴⊙BAC=2⊙BAD ，∵⊙BOD=2⊙BAD ，∴⊙BOD=⊙BAC=90°，∵DP⊙BC ，∴⊙ODP=⊙BOD=90°，∴PD⊙OD ，∵OD 是⊙O 半径，∴PD 是⊙O 的切线；（2）证明：∵PD⊙BC ，∴⊙ACB=⊙P ，∵⊙ACB=⊙ADB ，∴⊙ADB=⊙P ，∵⊙ABD+⊙ACD=180°，⊙ACD+⊙DCP=180°，∴⊙DCP=⊙ABD ，∴⊙ABD⊙⊙DCP ，∴AB CD =BD CP∴AB•CP=BD•CD.（3）解：在 RtΔABC 中，∵tan∠ABC =2 ， AB =2√5 ，∴AC =2AB =4√5 ，∴BC =√AB 2+AC 2=10 ，∴OD =5 ，过点 C 作 CG ⊥DP ，垂足为 G ，则四边形 ODGC 为正方形，∴DG =CG =OD =5 ，∵BC ∥PD ，∴∠CPG =∠ACB ，∴tan∠CPG =tan∠ACB ，∴CG GP =AB AC，即 5GP =2√54√5 ， 解得， GP =10 ，∴DP =DG +GP =15 .6．【答案】（1）①；②（或①，③；或②，①；或②，③；答案不唯一） （2）解：条件:①，结论:②；连接BC ，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵sin⊙CAB= 1 2，∴BC= 12AB=BO，⊙D=⊙CAB=30°，∴⊙ABC=60°，∴⊙BCD=⊙ABC-⊙D=30°=⊙D，∴BD=BC，∴BD=BO；条件:①，结论:③；连接CO，∵sin⊙CAB= 1 2，∴⊙D=⊙CAB=30°，∵OA=OC，∴⊙OCA=⊙CAB=30°，在⊙DCA中，⊙DCO =180°-⊙D-⊙CAB-⊙OCA =180°-30°-30°-30°=90°，∴OC⊙DC，∴DC是⊙O的切线；条件:②，结论:①；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA∠D=∠CAD DO=AB，∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴BC=CO= 12AB，∴sin⊙CAB= 1 2；条件:②，结论:③；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA ∠D=∠CAD DO=AB∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴⊙DCO=⊙ACB=90°，∴CO⊙DC，∴DC是⊙O的切线.7．【答案】（1）证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴⊙ACB=90°，即⊙ACO+⊙OCB=90°.∵OA=OC ，⊙BCD=⊙A ，∴⊙ACO=⊙A=⊙BCD ，∴⊙BCD+⊙OCB=90°，即⊙OCD=90°，∴CD 是⊙O 的切线.（2）解：设CD 为x ，则AB= 32 x ，OC=OB= 34x ， ∵⊙OCD=90°，∴OD= √OC 2+CD 2=√(34x)2+x 2 = 54 x ， ∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x ， ∵⊙BCD ＝⊙A ，⊙BDC ＝⊙CDA ，∴⊙ADC⊙⊙CDB ，∴AC CB =CD BD， 即 2CB =x 12， 解得CB=1，∴AB= √AC 2+BC 2 =√5∴⊙O 半径是 √52. 8．【答案】（1）证明：如图1，连接 DF ，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB =BC =CD =DA ， AD//BC ， ∠DAB =∠C ，∵BF=BE，∴AB−BF=BC−BE，即AF=CE，∴ΔDAF≌ΔDCE（2）解：∵ΔDAF≌ΔDCE∴∠DFA=∠DEC.∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°，∴∠DEC=90°.∵AD//BC，∴∠ADE=∠DEC=90°，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线（3）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°，∴∠DFB=90°，∵AD=AB，DH=√5，∴DB=2DH=2√5，在RtΔADF和RtΔBDF中，∵DF2=AD2−AF2，DF2=BD2−BF2，∴AD2−AF2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−BF)2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−2)2=(2√5)2−22，∴AD=5．∴AF=3∴DF=√AD2−AF2=4∴四边形ABCD的面积=AB⋅DF=5×4=20．9．【答案】（1）证明：过点A作AG⊙DE，∴⊙AGD=90°在矩形ABCD 中，AD⊙BC ，⊙C=90°，∴⊙AGD=⊙C ，⊙ADG=⊙DEC∵AD=DE ，∴⊙ADG⊙⊙DEC∴AG=DC ，DG=EC ，∵AB=DC ，∴AG=AB ，即AG 为⊙A 的半径∴DE 是⊙A 的切线（2）解：连接AE ，由（1）可知，AG=AB ，⊙ABE=⊙AGE=90°，AE=AE ，∴⊙ABE⊙⊙AGE （HL ），∴BE=EG ，设DG=EC=x ，∵AB=2，BE=1，∴DE=x+1，DC=AB=2，在Rt⊙DEC 中，由勾股定理可得，x 2+22=(x +1)2解得，x =32， ∴AD=DE=52（3）解：过点F 作FH⊙DE ，∵AD =52，AF =AB =2， ∴DF =AD −AF =52−2=12， ∵FH⊙DE ，AG ⊥DE ，∴FH ∥AG ，∴⊙DFH⊙⊙DAG ，∴DF AD =FH AG ，即1252=FH 2， 解得FH =25， ∵DH =√(12)2−(25)2=310，DE =√(32)2−22=52， ∴EH =52−310=115∴tan⊙FED =FH EH =211， 10．【答案】（1）证明：如下图所示，连接OD ．∵AB ＝AC ，AE⊙BC ，∴CE ＝EB ，⊙DCE ＋⊙CFE ＝90°．∴CE =12BC ． ∵CD⊙AB ，∴DE =12BC ，⊙ADF=90°． ∴DE=CE ，⊙FAD ＋⊙AFD ＝90°，⊙ODA ＋⊙ODF ＝90°．∴∠DCE =∠CDE ．∵⊙AFD 和⊙CFE 是对顶角，∴⊙AFD ＝⊙CFE ．∴⊙FAD ＝⊙DCE ．∴⊙FAD=⊙CDE ．∵OA ＝OD ，∴⊙FAD ＝⊙ODA ．∴⊙ODA ＝⊙CDE ．∴⊙ODE=⊙ODF ＋⊙CDE ＝⊙ODF+⊙ODA=90°．∴OD⊙DE ．∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：如下图所示，连接BF ．∵CE ＝BE ，AE⊙BC ，CF=5，∴BF ＝CF ＝5．∵DF=3，∴DB =√BF 2−DF 2=4，CD =CF +DF =8．∵CD⊙AB ，∴⊙ADF=⊙CDB=90°．∴AF 是⊙O 直径．∵⊙FAD=⊙DCE ，即⊙FAD=⊙BCD ，∴⊙ADF⊙⊙CDB ．∴AD CD =DF DB． ∴AD 8=34． ∴AD ＝6．∴AF =√AD 2+DF 2=√62+32=3√5．11．【答案】（1）解： ∵α=90°=∠AOB ，∴∠AOP =∠BOH ，又 ∵OP =OH, OA =OB ，∴△AOP ≌△BOH ，∴∠OPA =∠OHB ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OPA =90° ，∴∠OHB =90° ，即 OH ⊥BH 于点H ，∴BH是⊙O的切线；（2）解：如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有OC⊥BC,OD⊥BD，∵OC=2,OB=4，∴cos∠BOC=OCOB=24=12，∴∠BOC=60°，同理∠BOD=60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α=90°，∴∠OHB=90°，∵OP=2，∴PH的长为90π×2180=π；当点H与点D重合时，α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°，∴PH的长为210π×2180=73π，∴当BH与⊙O相切时，旋转角α=90°或210°，点H运动路径的长为π或73π．（3）2+2√212．【答案】（1）解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，∴⊙AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是⊙ABD是中位线，∴OC⊙BD，∴⊙ABD ＝⊙AOC ＝90°，∴AB⊙BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，OC⊙BD ，∴⊙OCE⊙⊙BFE ，∴OC BF =OE EB， ∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4， OE EB =23， ∴2BF =23， ∴BF ＝3，在Rt⊙ABF 中，⊙ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5， ∵S ⊙ABF ＝ 12 AB•BF ＝ 12AF•BH ， ∴AB•BF ＝AF•BH ，∴4×3＝5BH ，∴BH ＝ 125． 13．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 平分⊙DAB ，∴⊙DAC ＝⊙CAB ，∵OA ＝OC ，∴⊙OCA ＝⊙CAB ，∴⊙DAC ＝⊙OCA ，∴OC⊙AD ，又AD⊙PD ，∴OC⊙PD ，∴PC 与⊙O 相切（2）证明：∵CE 平分⊙ACB ，∴⊙ACE ＝⊙BCE ，∴AE =BE ，∴⊙ABE ＝⊙ECB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙OBC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB ＝90°，∴⊙CAB+⊙ABC ＝90°，∵⊙BCP+⊙OCB ＝90°，∴⊙BCP ＝⊙BAC ，∵⊙BAC ＝⊙BEC ，∴⊙BCP ＝⊙BEC ，∵⊙PFC ＝⊙BEC+⊙ABE ，⊙PCF ＝⊙ECB+⊙BCP ，∴⊙PFC ＝⊙PCF ，∴PC ＝PF（3）解：连接AE ，在Rt⊙ACB 中，tan⊙ABC ＝ 43，AC ＝8， ∴BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝ √AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵AE =BE ，∴AE ＝BE ，则⊙AEB 为等腰直角三角形，∴BE ＝ √22AB ＝5 √2 . 14．【答案】（1）解： A 的坐标为（5，8）在直线y=x+m 上，∴8=5+m ，∴m=3，∴直线AB 解析式为y=x+3，∴B （0，3），设抛物线解析式为y=a （x ﹣2）2+k ，∵点A ，B 在抛物线上，∴{9a +k =8a +k =0， ∴{a =1k =−1， ∴抛物线解析式为y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3，顶点C （2，﹣1）①∵点P在线段AB上，∴P（x，x+3）（0≤x≤5），∵PE⊙x轴，交抛物线与E，P （x，x+3），∴E（x，x2﹣4x+3），∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，∴D（2，5），∴DC=6，∵四边形DCEP是平行四边形，∴PE=DC=6，∵PE=|﹣x2+5x|，⊙、当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6，∴x1=2（舍），x2=3，∴P（3，6），⊙、当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6，∴x3=﹣1，x4=6，∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）即：点P的坐标为（3，6）（2）解：∵点P（x，y）为直线AB上的一个动点，∴P（x，x+3），∴点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，∵点B（0，3），∴BP= √x2+(x+3−3)2=√2 |x|，∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，∴|x|= √22|x|，∴x=0（舍），②以PB为直径的圆能与x轴相切，∴|x+3|= √22|x|，∴x=﹣6﹣3 √2或x=﹣6+3 √2，∴P（﹣6﹣3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3√2，﹣3﹣3 √2）．故存在点P，坐标为P（﹣6+3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3 √2，﹣3﹣3 √2）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切15．【答案】（1）证明：连接OB，OP，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∠OAP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴∠OBP=∠OAP=90°∴OB⊥PB∴PB为⊙O切线；（2）解：设OB=OD=r，在Rt△OBC中，BC2+OB2=OC2∴r2+42=(2+r)2，∴r=3，∴OB=OD=3，AC=OA+OD+CD=3，设PB=PA=x，在Rt△PAC中，AC2+PA2=PC2∴x2+82=(x+4)2，解得x=6，∴PB=PA=6，在Rt△PAO中，OP=√OA2+AP2=3√5，连接AB与OP交于G，连接BD，∵OA=OB，PA=PB，∴AB⊙OP，AG=BG，∴S△AOP=12AG⋅OP=12OA⋅AP，即S△AOP=12AG⋅3√5=12×3×6，∴AG=65√5，在Rt△OAG中，OG=√OA2−AG2=35√5，∵OA=OD，AG=BG，∴BD=2OG=65√5，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴OP//BD，∴∠BDP=∠OPD，∠DBO=∠POE，∴PEDE=OPDB=52.16．【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊙AC，∴⊙OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE⊙BC，∴⊙1＝⊙B，⊙2＝⊙3，∵OB＝OD，∴⊙B＝⊙3，∴⊙1＝⊙2，在⊙AOE和⊙DOE中{OA=OD∠1=∠2 OE=OE，∴⊙AOE⊙⊙DOE，∴⊙ODE＝⊙OAE＝90°，∴OA⊙AE，∴DE为⊙O的切线（2）解：∵点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝2.4，∵⊙AOD＝2⊙B＝2×50°＝100°，∴图中阴影部分的面积＝2• 12×2×2.4﹣100⋅π⋅22360＝4.8﹣109π。
圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)
圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。
(完整版)中考数学-圆的切线证明综合试题
专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC.⌒⌒∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM⊥AC 于M求证：DM 与⊙O 相切.证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.⌒⌒∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且OA 2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD·OP ，.OCOPOD OC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD，△CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt△CFG 的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵D F⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE⊥CD，E 为垂足.∵AC，BD 与⊙O 相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴.ODOCOB AC = ∵OA=OB， ∴.ODOCOA AC = 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.∵AC，BD 与⊙O 相切，O∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.∵AC 与⊙O 相切，∴AC⊥AO.∵A C∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC∥BD，OA=OB ，CF=DF ，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴.CF CD OF ==21∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010中考题汇编：（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
2023年安徽中考数学总复习专题：圆的综合题(切线的性质)(PDF版,有答案)
2023年安徽中考数学总复习专题：圆的综合题1．如图，AB为半圆O的直径，BC切半圆O于点B，连结AC交半圆于点D，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．（1）求证：CB＝CF．（2）若EFFB=13，BC＝6，求AB的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，DC与⊙O相切于点C．连接BC，AC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若∠D＝45°，⊙O的半径为2，求线段AD的长．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．（1）求证：CM＝BM．（2）若AD＝23，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．（1）求证：∠PCB＝∠PAD；（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O 的切线交AC于点E，交BC的延长线于点F，连接OE．（1）求证：CE＝AE；（2）若OB＝3，CF＝2，求AE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．7．如图，在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：AB＝BC；（2）若DE＝3，AC＝610，求⊙O的半径．8．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB上一点，AC＞BC，AC的垂直平分线交⊙O于点E，交AC于点D，过点A作⊙O的切线交CE的延长线于点F．（1）求证：EA＝EF；（2）若OD＝1，OC＝2，求AF的长．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．10．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过C作⊙O的切线交AB的延长线于E，AD⊥CE 于D，连结AC．（1）求证：∠ACD＝∠ABC（2）若tan∠CAD=34，AD＝8，求⊙O直径AB的长．11．阅读下列材料，完成相应任务：古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点， ．求证： ．证明：（2）任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD、BC，若∠ADC ＝50°，∠BCD＝70°，OC＝6，求OP的长．参考答案1．（1）证明：如图，连结AE，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB，∴∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°﹣∠ABE，∴AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°，∴∠CFB＝∠AFE＝90°﹣∠DAE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，∴∠ABE＝∠DAE，∴90°﹣∠ABE＝90°﹣∠DAE，∴∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF．（2）解：如图，作CG⊥BF于点G，∵BC＝CF＝6，∴GF＝GB=12 FB，∵EFFB=13，∴EF=13 FB，∴EFGF=13FB12FB=23，∵∠FGC＝∠E＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AFE∽△CFG，∴AFCF=EFGF=23，∴AF=23CF=23×6＝4，∴AC＝AF+CF＝4+6＝10，∴AB=AC2―BC2=102―62=8，∴AB的长是8．2．（1）证明：连接OC，∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，即∠BCD+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠OBC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠A＝∠BCD；（2）解：在Rt△OCD中，∠D＝45°，OC＝2，∴OC＝CD＝2，∴OD=2OC＝22，∴AD＝OA+OD＝2+22．3．（1）证明：连接OD，OM，∵∠BAC＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵DM与⊙O相切于点D，∴∠ODM＝90°，∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），∴∠DOM＝∠BOM=12∠DOB＝30°，∴∠A＝∠BOM，∴AC∥OM，∵OA＝OB，∴BM＝CM；解法二：连接BD，∵DM，BC都是⊙O的切线，∴MD＝MB，∴∠MBD＝∠MDB，∵∠C+∠CBD＝90°，∠CDM+∠BDM＝90°，∴∠C＝∠MDC，∴MC＝MD，∴CM＝MB．（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，则DE＝D′E，∴点D与点D′关于AB对称，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝23，∠DAB＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝23×33=2，∴AB＝2BD＝4，∴OA＝OB＝OD=12AB＝2，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan30°＝4×33=433，∴CM＝BM=12BC=233，∵∠DOB＝60°，∴△DOB是等边三角形，∵DE⊥OB，∴OE＝EB=12OB＝1，∴DE=3OE=3，∴DE＝D′E=3，∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，∴△MBP∽△D′EP，∴BMD′E=BPEP，∴2333=BP1―BP，∴BP=2 5，∴AP＝AB﹣BP=18 5，∴AP的长为18 5．解法二：以B为原点，构造平面直角坐标系．作点D关于x轴的对称点F，连接FM交AB于点P，连接PD，此时PD+PM的值最小．由方法一可知F（﹣1，―3），M（0，233），设直线FM的解析式为y＝kx+b，则有―k+b=―3 b=233，∴直线FM放解析式为y=533x+233，令y＝0，可得x=―2 5，∴AP＝AB﹣PB=18 5．4．（1）证明：连接OC，∵CP与⊙O相切，∴OC⊥PC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB⊥DC，∴∠PAD+∠ADF＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，∴∠PCB＝∠PAD；（2）解：连接OD，在Rt△ODF中，OF=12 OD，则∠ODF＝30°，∴∠DOF＝60°，∵AB⊥DC，∴DF＝FC，∵BF＝OF，AB⊥DC，∴S△CFB＝S△DFO，∴S阴影部分＝S扇形BOD=60π×22360=23π．5．（1）证明：连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，OC为半径，∴AC是⊙O的切线，∵ED是⊙O的切线，∴DC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，∴CE＝AE；（2）解：连接OD，∵OB＝3，CF＝2，∴OB＝OC＝OD＝3，OF＝5∵DE是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∴DF=OF2―OD2=4，∵∠ODF＝∠ECF＝90°，∵∠F＝∠F，∴△CEF∽△DOF，∴FCFD=CEDO，即24=CE3，∴CE=3 2，∴AE＝CE=3 2．6．（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE，∵DE⊥CE，∴OC∥DE，∴∠ABD＝∠BOC，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A，∴∠ABD＝2∠A；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE＝2CE，∴tan D=CEDE=12，由圆周角定理得：∠A＝∠D，∴tan A=BCAC=12，∴BC＝4，∴AB=AC2+BC2=82+42=45，∵∠A＝∠BCE，∠ACB＝∠CEB，∴△ACB∽△CEB，∴BCBE=ABBC，即4BE=454，解得：BE=45 5．7．（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠C，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝CD=12AC＝310，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，在Rt△DEC中，DE＝3，∴CE=CD2―DE2=(310)2―32=9，∵∠ADB＝∠DEC＝90°，∠A＝∠C，∴△ADB∽△CED，∴ABCD=ADCE，∴AB310=3109，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．8．（1）证明：∵AF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AF⊥AB，∴∠CAF＝90°，∴∠CAE+∠EAF＝90°，∠ACF+∠F＝90°，∵ED垂直平分AC，∴EA＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠F＝∠EAF，∴EA＝EF；（2）解：连接OE，∵OD＝1，OC＝2，∴CD＝OD+OC＝3，∵ED垂直平分AC，∴AD＝DC，∴OA＝OE＝OD+AD＝1+3＝4，∴DE=OE2―OD2=42―12=15，∵AE＝EF，AE＝CE，∴EF＝CE，又∵AD＝CD，∴DE为△ACF的中位线，∴DE=12 AF，∴AF＝2DE＝215．9．（1）证明：连接OA，∵AE是⊙O切线，∴∠OAE＝90°，∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠ADE，∴OA∥DE，∴∠E＝180°﹣∠OAE＝90°，∴AE⊥DE；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，∴DF＝FC=12DC＝3，∠OFD＝90°，∵∠OAE＝∠E＝90°，∴四边形AEFO是矩形，∴EF＝OA＝5，AE＝OF，∴DE＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，在Rt△OFD中，OF=OD2―DF2=52―32=4，∴AE＝OF＝4，在Rt△AED中，AD=AE2+DE2=42+22=25，∴AD的长是25．10．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE与⊙O相切于点C，∴∠DCO＝90°，∴∠DCO﹣∠ACO＝∠ACB﹣∠ACO，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC；（2）解：∵AD⊥CE，∴∠D＝90°，∵tan∠CAD=34，AD＝8，∴CD＝AD•tan∠CAD＝8×34=6，∴AC=AD2+CD2=82+62=10，∵∠D＝∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，∴810=10AB，∴AB=25 2，∴⊙O直径AB的长为25 2．11．解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB、OP，求证：OP垂直平分AB．证明：连接OA、OB，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB、OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠DAO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，∵OB＝OC，∴∠DCB＝∠OBC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，∴∠AOB＝∠180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴OA⊥PA，∠AOP＝∠BOP＝30°，∴OP=OAcos∠AOP=632=43．。
中考数学专题复习《切线的判定与性质综合》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《切线的判定与性质综合》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．下列说法中正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．圆的切线垂直于半径C．经过半径的外端的直线是圆的切线D．圆的切线垂直于过切点的半径2．如图∠APB=300点O在射线PA上⊙O的半径为2 当⊙O与PB相切时OP的长度为（）A．3B．4C．2√3D．2√53．如图等边三角形ABC的边长为8 以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB AC相切则⊙O的半径为（）A．2√3B．3C．4D．4−√34．如图在⊙O中AB、AC是弦CD切⊙O于点C交射线OB于点D若∠BAC=25°则∠D的度数为（）A．50∘B．40∘C．30∘D．20∘5．如图AB是⊙O的直径C D是⊙O上的点∠CDB=15∘过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E则sinE的值为（）A．12B．√22C．√33D．√326．如图AC为⊙O的直径过圆上一点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点P连接AB BC若∠A=30°BC=2则线段BP的长度是（）A．3B．72C．2√3D．3√37．如图所示点A是半径为2的⊙O外一点OA＝4 AB是⊙O的切线B为切点弦BC⊙OA 连接AC则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2√2C．3D．√38．如图⊙ABC周长为20cm BC＝6cm 圆O是⊙ABC的内切圆圆O的切线MN与AB CA相交于点M N则⊙AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm9．如图以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D过D作半圆的切线与边AC交于点E过E作EF⊙AB与BC交于点F．若AB＝20 OF＝7.5 则CD的长为（）A．7B．8C．9D．1010．如图PQ PB QC是⊙O的切线切点分别为A B C点D在BC上若⊙D＝100° 则⊙P与⊙Q的度数之和是（）A．160°B．140°C．120°D．100°11．如图AB是⊙O的直径⊙O交BC的中点于D DE⊙AC于E 连接AD 则下列结论：①AD⊙BC ②⊙EDA＝⊙B ③OA＝1AC ④DE是⊙O的切线正确的个数是（）2A．1 个B．2个C．3 个D．4个12．如图在Rt△AOB中OA＝OB＝4√2⊙O的半径为2 点P是AB边上的动点过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点）则线段PQ长的最小值为（）A．2√3B．√3C．1D．213．如图在矩形ABCD中AB＝5 BC＝4 以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切切点为E边CD'与⊙O相交于点F则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．414．如图点A的坐标为（﹣3 2）⊙A的半径为1 P为坐标轴上一动点PQ切⊙A于点Q在所有P点中使得PQ长最小时点P的坐标为（）A．（0 2）B．（0 3）C．（﹣2 0）D．（﹣3 0）15．如图在直角坐标系中以点O为圆心半径为4的圆与y轴交于点B点A(8，4)是圆外一点直线AC与⊙O切于点C与x轴交于点D则点C的坐标为（）A．(2√32√3)B．(125−85)C．(165−125)D．(2√3−2)16．如图在Rt⊙ABC中⊙C=90° BC=6cm AC=8cm D是边BC上一点且BD﹕CD=1﹕2 点O在AD上⊙O与AB BC相切则⊙O的面积为（）A．πcm2B．43πcm2C．169πcm2D．2πcm217．如图在△ABC中AB=AC以AC边为直径作⊙O交BC于点D过点D作⊙O的切线交AB于点E交AC的延长线于点F若半径为3 且sin∠CFD=35则线段AE的长是（）A．245B．5C．194D．22518．已知：如图AB=BC⊙ABC=90° 以AB为直径的⊙O交OC于点D AD的延长线交BC于点E过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2=CE⋅CB②4EF2=ED⋅EA③∠OCB=∠EAB④DF=12CD.其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④19．如图AB为半圆O的直径AD BC分别切⊙O于A B两点CD切⊙O于点E连接OD OC下列结论：①⊙DOC＝90° ②AD+BC＝CD③S△AOD：S△BOC＝AD2：AO2④OD：OC＝DE：EC⑤OD2＝DE•CD正确的有（）A．①②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．①②⑤20．如图⊙O的直径AB垂直于弦CD垂足为点E P为⊙O上一动点P从A→D→B在半圆上运动（点P不与点A重合）AP交CD所在的直线于点F已知AB=10CD=8记PA=x AF为y则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．参考答案1．解：根据圆的切线的性质定理得：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故选D．2．解：设⊙O与PB的切点为点Q 连接OQ OQ为半径∴OQ⊥PQ∴ΔOPQ是直角三角形且有一锐角∠OPQ=∠APB=300∴OP=2OQ=4.故答案为：B.3．解：设⊙O与AC的切点为E连接AO OE⊙等边三角形ABC的边长为8⊙AC=8∠C=∠BAC=60°⊙圆分别与边AB AC相切∠BAC=30°⊙∠BAO=∠CAO=12⊙∠AOC=90°AC=4⊙OC=12⊙OE⊥ACOC=2√3⊙OE=√32⊙⊙O的半径为2√3故选A．4．解：连接CO ⊙∠BAC=25°⊙∠BOC=2∠BAC=50°⊙CD切⊙O于点C⊙∠OCD=90°故∠D=90°−∠BOC=40°故选B．5．解：如图连接OC由题意知OC⊥CE∠COB=2∠CDB=30°⊙∠OCE=90°⊙∠E=180°−∠COE−∠OCE=60°⊙sin∠E=sin60°=√32故选：D．6．解：⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ABC=90°⊙⊙A=30°⊙⊙ACB=60°⊙OB=OC⊙⊙BOC是等边三角形⊙OB=BC=2 ⊙BOC=60°⊙BP是⊙O的切线⊙⊙OBP=90°⊙⊙P=90°-⊙BOP=90°-60°=30°⊙OP=2OB=2×2=4在Rt⊙OBP中根据勾股定理得BP=√OP2−OB2=√42−22=2√3．故选C．7．解：连接OB OC⊙AB是圆的切线⊙⊙ABO＝90°在直角⊙ABO中OB＝2 OA＝4⊙⊙OAB＝30° ⊙AOB＝60°⊙OA⊙BC⊙⊙CBO＝⊙AOB＝60° 且S阴影部分＝S△BOC⊙⊙BOC是等边三角形边长是2⊙图中阴影部分的面积＝12×2×√3＝√3故选：D．8．解：⊙圆O是⊙ABC的内切圆圆O的切线MN与AB CA相交于点M N ⊙BF＝BE CF＝CD DN＝NG EM＝GM AD＝AE⊙⊙ABC周长为20cm BC＝6cm⊙AE＝AD＝AB+AC−BC2＝20−BC−BC2＝20−122＝4（cm）⊙⊙AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）故选：B．9．解：连结AD 如图⊙⊙BAC＝90° AB为直径⊙AC是⊙O的切线⊙DE为⊙O的切线⊙ED＝EA⊙⊙ADE＝⊙2⊙AB为直径⊙⊙ADB＝90°⊙⊙1+⊙ADE＝90° ⊙2+⊙C＝90°⊙⊙1＝⊙C⊙ED＝EC⊙CE＝AE⊙EF⊙AB⊙EF为⊙ABC的中位线⊙BF＝CF而BO＝AO⊙OF为⊙ABC的中位线⊙OF⊙AE⊙AE＝OF＝7.5⊙AC＝2AE＝15在Rt⊙ACD中BC＝√AB2+AC2＝√202+152＝25⊙⊙DCA＝⊙ACB⊙CD AC ＝ACBC即CD15＝1525⊙CD＝9．故选：C．10．解：连接OA OB OC AB AC⊙⊙D＝100°⊙⊙BAC＝180°−⊙D＝80°⊙⊙BOC＝2⊙BAC＝160°⊙⊙AOB＋⊙AOC＝360°−160°＝200°⊙PQ PB QC是⊙O的切线⊙⊙PBO＝⊙PAO＝⊙QAO＝⊙QCO＝90°⊙⊙P＋⊙Q＝2×360°−⊙PBO−⊙PAO−⊙QAO−⊙QCO−⊙AOB−⊙AOC＝720°−4×90°−200°＝160°故选：A．11．解：⊙AB是⊙O直径⊙⊙ADB＝90°⊙AD⊙BC 故结论①正确连接OD 如图⊙点D是BC的中点AD⊙BC⊙AC＝AB⊙⊙C＝⊙B⊙⊙B＝⊙ODB⊙⊙ODB＝⊙C OD⊙AC⊙⊙ODE＝⊙CED⊙ED是圆O的切线故结论④正确又OB＝OD⊙⊙ODB＝⊙B⊙AB为圆O的直径⊙⊙ADB＝90°⊙⊙EDA＋⊙ADO＝90° ⊙BDO＋⊙ADO＝90°⊙⊙EDA＝⊙BDO⊙⊙EDA＝⊙B 故结论②正确由D为BC中点且AD⊙BC⊙AD垂直平分BC⊙AC＝AB⊙OA＝1AB2AC 故结论③正确⊙OA＝12则正确结论的个数为4个．故选：D．12．解：连接OQ．⊙PQ是⊙O的切线⊙OQ⊙PQ根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2⊙当PO⊙AB 时 线段PQ 最短⊙在Rt △AOB 中 OA=OB=4√2⊙AB=√2OA=8⊙OP=OA•OB AB =4⊙PQ=√OP 2−OQ 2=2√3．故选：A ．13．解：如图 连接EO 并延长交CF 于点H⊙矩形ABCD 绕点C 旋转得矩形A 'B 'C 'D '⊙⊙B ′＝⊙B ′CD ′＝90° A ′B ′∥CD ′BC ＝B ′C ＝4⊙边A 'B '与⊙O 相切 切点为E⊙OE ⊙A ′B ′⊙四边形EB ′CH 是矩形⊙EH ＝B ′C ＝4OH ⊙CF⊙AB ＝5⊙OE ＝OC ＝12AB ＝52⊙OH ＝EH ﹣OE ＝32 在Rt⊙OCH 中 根据勾股定理 得CH =√0C 2−OH 2=√(52)2−(32)2=2, ⊙CF ＝2CH ＝4．故选：D ．14．解：连接AQ P A 如图⊙PQ切⊙A于点Q⊙AQ⊙PQ⊙⊙AQP＝90°⊙PQ＝√AP2−AQ2=√AP2−1当AP的长度最小时PQ的长度最小⊙AP⊙x轴时AP的长度最小⊙AP⊙x轴时PQ的长度最小⊙A（﹣3 2）⊙此时P点坐标为（﹣3 0）．故选：D．15．解：如图作AE⊥x轴于E CH⊥x轴于H连接OC⊙B(0，4)A(8，4)⊙AB=8AE=OB=OC=4AB⊥y轴⊙AB为⊙O的切线⊙直线AC与⊙O切于点C⊙OC⊥AC AC=AB=OE=8在△OCD和△AED中{∠ODC=∠ADE ∠OCD=∠AED OC=AE⊙△OCD ≌△AED⊙OD =AD ED =CD设 OD =x 则AD =x DE =OE −OD =8−x在 Rt △ADE 中 DE 2+AE 2=AD 2 即(8−x)2+42=x 2 解得x =5⊙OD =5 DE =CD =3⊙ △OCD ≌△AED⊙12 CH ⋅OD = 12 OC ⋅CD⊙CH = 3×45=125在 Rt △OCH 中 OH = √OC 2−CH 2=√42−(125)2 =165 ⊙C 点坐标为(165 −125 )． 故选：C ．16．解：过点O 作OE⊙AB 于点E OF⊙BC 于点F ． ⊙AB BC 是⊙O 的切线⊙点E F 是切点⊙OE OF 是⊙O 的半径⊙OE=OF在△ABC 中 ⊙C=90° AC=8 BC=6⊙由勾股定理 得AB=10又⊙BD ﹕CD=1﹕2 BC=6⊙BD=2 CD=4又⊙S △ABD =S △ABO +S △BOD⊙ 12AB•OE+12BD•OF=12BD•AC解得OE=43⊙⊙O的半径是43由此⊙O的面积是169π．故选：C．17．解：连接OD如图⊙AB=AC∴∠B=∠ACB∵OC=OD∴∠OCD=∠ODC∴∠B=∠ODC∴OD∥AB⊙DF为切线∴OD⊥DF∴AE⊥EF在Rt△ODF中∵sin∠CFD=ODOF=35，OD=3∴OF=5在Rt△AEF中∵sin∠F=AEAF=35∴AE=35(3+5)=245故选：A．18．解：连接BD⊙AB为直径⊙⊙ADB=90° 即⊙ADO+⊙ODB=90°⊙OD=OB⊙⊙OBD=⊙ODB⊙⊙ABC=90°⊙⊙CBD+⊙OBD=90°⊙⊙CBD=⊙ADO=⊙CDE⊙⊙BCD=⊙DCE⊙⊙CDE⊙⊙CBD⊙CD CB =CECD⊙CD2=CE⋅CB故①正确⊙⊙ABC=90° AB为直径⊙BC为⊙O的切线⊙DF为⊙O的切线⊙FD=FB⊙⊙FBD=⊙FDB⊙⊙EDF+⊙FDB=⊙DEB+⊙EBD=90°⊙⊙EDF=⊙DEB⊙EF=FD=FB⊙⊙EAB=⊙EBD⊙⊙EAB⊙⊙EBD同理EB2=ED⋅EA⊙EB=2EF⊙4EF2=ED⋅EA故②正确⊙⊙ODF=⊙OBF=90°⊙⊙DOB+⊙DFB=180°而⊙DFC+⊙DFB=180°⊙⊙DFC=⊙COB⊙CDF⊙⊙CBO⊙DF BO =CDCB⊙DF CD =BOCB=12⊙DF=12CD．故④正确⊙AO=DO⊙⊙OAD=⊙ADO假设③⊙OCB=⊙EAB成立则⊙OCB=12⊙COB⊙⊙OCB=30°而BOBC =BOAB=12与tan30°=BOAB=√33矛盾故③⊙OCB=⊙EAB不成立故③不正确综上正确的有①②④．故选：C．19．解：连接OE 如图所示：⊙AD与圆O相切DC与圆O相切BC与圆O相切⊙⊙DAO＝⊙DEO＝⊙OBC＝90°⊙DA＝DE CE＝CB AD⊙BC⊙CD＝DE＋EC＝AD＋BC 选项②正确在Rt⊙ADO 和Rt⊙EDO 中{OD ＝OD DA ＝DE⊙Rt⊙ADO⊙Rt⊙EDO （HL ）⊙⊙AOD ＝⊙EOD同理Rt⊙CEO⊙Rt⊙CBO⊙⊙EOC ＝⊙BOC又⊙AOD ＋⊙DOE ＋⊙EOC ＋⊙COB ＝180°⊙2（⊙DOE ＋⊙EOC ）＝180° 即⊙DOC ＝90° 选项①正确 ⊙⊙DOC ＝⊙DEO ＝90° 又⊙EDO ＝⊙ODC⊙⊙EDO⊙⊙ODC⊙OD CD ＝DE OD 即OD 2＝DC•DE 选项⑤正确⊙⊙AOD ＋⊙COB ＝⊙AOD ＋⊙ADO ＝90° ⊙A ＝⊙B ＝90° ⊙⊙AOD⊙⊙BOC⊙S ΔAODS ΔBOC ＝（AD OB ）2＝（AD AO ）2＝AD 2AO 2 选项③正确同理⊙ODE⊙⊙OEC⊙OD OC ＝DE OE 选项④错误 故选：C ．20．解：如图 分别连结OC AC CP BP在Rt⊙OCE 中 OC ＝5 CE ＝4⊙OE ＝3在Rt⊙ACE 中 AE ＝5＋3＝8 CE ＝4⊙AC ＝√82+42=4√5⊙⊙AFE ＝⊙ABP ＝⊙ACP ⊙CAP ＝⊙FAC⊙⊙ACP⊙⊙FAC⊙AC 2＝AP•AF 即xy ＝80⊙y ＝80x （0＜x≤10）⊙函数图象为第一象限内的双曲线的一部分故选：A ．。
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题-附答案
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC 于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．4．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接DB，过点E作EM∥BD，交BA 的延长线于点M．（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45º时，求图中阴影部分的面积．5．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点O是AB边上的点，以BD为弦的⊙O 交AB于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，OB=1求阴影部分的面积．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CD＝3cm，DE＝2.5cm，求⊙O直径的长．7．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE，CM⊥AE于点D．求证：CM是⊙O的切线．8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC=∠ABC连接DC交⊙O于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AD=4，E是CD的中点，求CE的长度．9．如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=20°，延长AB到点C，使得∠ACD=50°，求证：CD是⊙O的切线．10．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB＝BG＝2，求CD的长．二、综合题11．如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．⌢的中点，EF∥12．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，OC⊥AB，OC=5，BC与⊙O交于点D，点E是BDBC，交OC的延长线于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长.13．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，OBBE = 23，求BE的长.14．如图，△BEF内接于⊙O，BE=BF，BO的延长线交EF于点D.C是⊙O外一点，连接OC，BC，OC⊥BE 于点A.已知OA=2，AB=4，AC=8.（1）求证：BC是⊙O的切线.（2）求EF的长.15．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h.（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）若AB＝4，AC＝3，求dh的值.16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC平分∠BAD，点E为AB的延长线上一点，且∠ECB=∠CAD．（1）填空：∠ACB= ，理由是（2）求证：CE与⊙O相切（3）若AB=6，CE=4，求AD的长17．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．19．如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．（2）若AC=3CD，求∠A的大小．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若 AB=AD，AC=2 √2，tan∠ADC=3，求CD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE.（1）判断直线PQ与⊙O的关系；（2）若直径AB的长为4.当四边形AEOP为菱形时，求PE的长.答案1．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N∵⊙O与BC相切于点M∴OM⊥BC，OM为半径∴∠OMC=∠ONC=90°∵AC是菱形ABCD的对角线∴∠ACB=∠ACD∵OC=OC∴△OMC≌△ONC（AAS）∴ON=OM=半径，∠ONC=90°∴CD与⊙O相切．2．证明：过点O作OE⊥CD于点E∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°∴AD⊥CD，BC⊥CD∴AD∥OE∥BC∵OA=OB∴OE是梯形ABCD的中位线（AD+BC）∴OE= 12∵AD+BC=AB∴OE= 1AB2∵以AB为直径作⊙O．∴直线CD是⊙O的切线．3．解：（1）连接OE．∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB∵BE平分∠ABC∴∠OBE=∠EBC∴∠EBC=∠OEB∴OE∥BC∴∠OEA=∠C∵∠ACB=90°∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线；（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H由题意可知四边形OECH为矩形∴OH=CE∵BF=6∴BH=3在Rt△BHO中，OB=5∴OH=4∴CE=4．4．（1）连结OE，如图：∵DE垂直平分半径OA∴OC=∴∠OEC=30°∴（2）由（1）知：∠AOE=60°∴∴∠BDE=60°∵BD∥ME∴∠MED=∠BDE=60°∴∠MEO=90°∴EM是⊙O的切线。
中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图 已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦 点D 在AB 的延长线上 且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图 已知AB 是O 的直径 点P 在BA 的延长线上 弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ， 求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆 点D 在BC 延长线上 且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理 切线的判定定理 勾股定理 三角形的中位线定理 等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识 正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形 切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法 ．（1）点D 是BC 的中点 可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图 连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形 是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===． 【点睛】本题考查了切线的判定 弧与弦的关系 直径所对的圆周角是直角 勾股定理 等边三角形的性质与判定 垂径定理 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用 掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中 求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中 利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用 等腰三角形的性质 切线的判定 熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可． ）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图 复杂作图 切线的性质 等边三角形的判定与性质 弧长的计算 熟练掌握切线的性质 弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意 连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案． （2）根据题意 得到OBC △是等边三角形 求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式 得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示 连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质 解直角三角形 圆周角定理 平行四边形的性质垂径定理 等腰三角形的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定 勾股定理等知识 熟练掌握切线的判定定理 勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理 得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形 再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理和垂径定理 解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质 相似三角形的性质和判定 圆周角定理 勾股定理等知识点 作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径 得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径 且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线 切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题 掌握与圆有关的性质 正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析； 是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解； 本题考查了切线的判定 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 余角性质 根据题意 正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理 得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图 由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中 根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度 根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度 设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形， 熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。
中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案
中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案学校:班级:姓名:考号:1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.2．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．3．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝1弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线2于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．4．如图，Rt△ABC中∠C=90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O，与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC=∠A，求证：BD是⊙O的切线．5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝∠CAD＝30°.（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径.8．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E.(1)求证：直线BD与⊙O相切；(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）12．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为√5，OP=1，求BC的长．13．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长．14．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．15．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=13，BC=10，求CE的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4 √2，求EF的长．17．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）连接BT，若⊙O半径为1，AT= √3，求BT的长．18．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD 交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．答案解析1．证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AB为⊙D的切线∴∠B=90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD=DF∴AC与⊙D相切．2．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE ∴AB⊥CD∵BF∥CD∴BF⊥AB∴BF是⊙O的切线．3．解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G弧BC∵弧AC =12∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30°∵CE切⊙O于点C∴OC⊥CE，即∠DCO=90°∴在ΔDOC中∵DF//CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO，即DO平分∠CDG∵OC⊥CE,OG⊥DF ∴OC=OG（角平分线性质）∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线（垂径定理）.4．证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO．∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切．5．（1）证明：如图1，连接BD、OD∵AB是⊙O直径∴BD ⊥AC∵AB=BC∴AD=DC∵AO=OB∴OD 是△ABC 的中位线∴DO ∥BC∵DE ⊥BC∴DE ⊥OD∵OD 为半径∴DE 是⊙O 切线；（2）解：如图2所示，连接OG ，OD∵DG ⊥AB ，OB 过圆心O∴弧BG=弧BD∵∠A=35°∴∠BOD=2∠A=70°∴∠BOG=∠BOD=70°∴∠GOD=140°∴劣弧DG 的长是140π×5180=359π．6．解：（1）证明：连接OG∵弦CD ⊥AB 于点H∴∠HKA+∠KAH=90°∵EG=EK∴∠EGK=∠EKG∵∠HKA=∠GKE∴∠HAK+∠KGE=90°∵AO=GO∴∠OAG=∠OGA∴∠OGA+∠KGE=90°∴GO⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接CO，在Rt△OHC中∵CO=13，CH=12∴HO=5∴AH=8∵AC∥EF∴∠CAH=∠F∴tan∠CAH=tan∠F=128=32在Rt△OGF中，∵GO=13∴FG=13tan∠E =263．7．解：（1）AD是⊙O的切线，理由如下：连接OA∵∠B=30°∴∠O=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∵∠CAD=30°∴∠OAD=90°又∴点A在⊙O 上∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠OAC=∠O=60°∴∠OCA=60°∴△AOC是等边三角形∵OD⊥AB∴OD垂直平分AB∴AC=BC=5∴OA=5即⊙O的半径为5．8．(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD∴∠A＝∠ODA又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD ∴BD与⊙O相切．(2)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径∴∠ADE＝90°∴DE∥BC.又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB＝AD∶AE.∵AC∶AB＝4∶5令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.∵BC＝6，∴AB＝10∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.9．（1）连接OA∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD∴∠OAD=∠EDA∴OA∥CE．∵AE⊥DE∴∠AED=90°．∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线；（2）∵BD是直径∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm∴BD的长是4cm．10．（1）证明：如图(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.又∵OA="OD" ，∴∠1=∠3.∴∠2="∠3."∴OD∥AE.∵DE⊥AE∴DE⊥OD.而D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)过D作DG⊥AB 于G.∵DE⊥AE ，∠1=∠2.∴DG="DE=3" ，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理： OG＝＝＝4 ∴AG=AO+OG=5+4=9.∵FB是⊙O的切线， AB是直径∴FB⊥AB.而DG⊥AB∴DG∥FB. △ADG∽△AFB∴∴.∴BF=.11．（1）解：直线CD与⊙O相切∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°又∵OB=OC∴△OBC是正三角形∴∠OCB=60°又∵∠BCD=30°∴∠OCD=60°+30°=90°∴OC ⊥CD又∵OC 是半径∴直线CD 与⊙O 相切．（2）解：由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60° ∵OC=1∴CD= √3∴S △COD = 12 OC •CD= √32又∵S 扇形OCB = π6∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB = √32−π6=3√3−π6 ．12．（1）证明：连接OB ，如图∵OP ⊥OA∴∠AOP=90°∴∠A+∠APO=90°∵CP=CB∴∠CBP=∠CPB而∠CPB=∠APO∴∠APO=∠CBP∵OA=OB∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90° ∴OB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：设BC=x ，则PC=x在Rt △OBC 中，OB= √5 ，OC=CP+OP=x+1 ∵OB 2+BC 2=OC 2∴（ √5 ）2+x 2=（x+1）2解得x=2即BC 的长为2．13．（1）证明：连接OC，OC交BD于E∵∠CDB=30°∴∠COB=2∠CDB=60°∵∠CDB=∠OBD∴CD∥AB又∵AC∥BD∴四边形ABDC为平行四边形∴∠A=∠D=30°∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD∴OC⊥BD∴BE=DE∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4∴BE=OBcos30°=2 √3∴BD=2BE=4 √314．（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°又∵BC=3，AB=5∴由勾股定理得AC=4（2）解：证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线∴∠DAC=∠BAC又∵AD⊥DC∴∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DCA=∠CBA又∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC+∠OBC=90°∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线．15．（1）证明：连接OD∵D为BC的中点，O为AB的中点∴OD∥AC；∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是圆O的切线（2）解：连接 AD∵AB是直径∴AD⊥BC；∵D为BC的中点∴AD 是BC 的垂直平分线∴AC=AB=13；∵∠C=∠C ，∠DEC=∠ADC=90°∴△CDE ∽△CAD∴EC CD = DC AD ，而AC=AB=13，CD= 12 BC=5 ∴CE= 2513 ．16．（1）证明：连接OD∵AD 平分∠CAB∴∠OAD=∠EAD ．∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ．∴∠ODA=∠EAD ．∴OD ∥AE ．∵∠ODF=∠AEF=90°且D 在⊙O 上 ∴EF 与⊙O 相切．（2）证明：连接BD ，作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵AB=6，AD=4 √2∴BD= √AB 2−AD 2 =2∵OD=OB=3设OG=x ，则BG=3﹣x∵OD 2﹣OG 2=BD 2﹣BG 2，即32﹣x 2=22﹣（3﹣x ）2 解得x= 73∴OG= 73∴DG= √OD2−OG2 = 43√2∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB∴DE=DG= 43√2∴AE= √AD2−DE2 = 163∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴DFEF =ODAE，即EF−EDEF=ODAE∴EF−43√2EF=3163∴EF= 6421√2．17．（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA又∵AT平分∠BAD∴∠DAT=∠OAT∴∠DAT=∠OTA∴OT∥AC又∵CT⊥AC∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线（2）解：连接BT，如图2所示：∵AB是⊙O直径∴AB=2，∠ATB=90°∴BT= √AB2−AT2 = √22+(√3)2 =1．18．（1）解：连接OC ．∵AC=BC ，AD=CD ，OB=OC∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD又∵BD 是直径∴∠BCD=90°∴∠ACO=90°又C 在⊙O 上∴AC 是⊙O 的切线（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形 ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1∴∠CDO=∠DOC ，即△DCO 是等边三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2 在直角△BCD 中BC= √BD 2−CD 2 = √42−22 =2 √3 ． 又AC=BC∴AC=2 √3 ．作CE ⊥AB 于点E ．在直角△BEC 中，∠B=30°∴CE= 12 BC= √3∴S △ABC = 12 AB •CE= 12 ×6× √3 =3 √3 ．19．（1）证明：∵PF=PB∴∠PFB=∠PBF又∵∠DFE=∠PFB∴∠DFE=∠PBF∵AB 是圆的直径∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC ． 又∵OD ∥BC∴OD ⊥AC ．∴在直角△DEF 中，∠D+∠DFE=90° 又∵OD=OB∴∠D=∠DBO∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB ⊥AB ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥BC ，OA=OB ∴OE= 12 BC= 12 ×6=3．∵OD ⊥AB∴EC=AE ．∵在直角△OAE 中，OA= 12 AB= 12 ×10=5∴AE= √OA 2−OE 2 = √52−32 =4． ∴EC=4。
中考数学复习专项训练--圆的切线证明及圆内长度计算(含解析)
中考数学复习专项训练--圆的切线证明及圆内长度计算（含解析）一、综合题（共23题；共245分）1.（2021·肇源模拟）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：．（3）若PD=4，，求直径AB的长．2.（2021·南山模拟）如图，内接于，AB为直径，作交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点E且．（1）求证：直线CE是的切线；（2）如果，，求弦AC的长．3.（2021·光明模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O，D分别在AB，AC上，CD＝CB，⊙O 经过点B，D，弦DF⊥AB于点E，连接BF．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若∠C＝60°，BF＝3，求DF的长．4.（2021·三水模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．5.（2021·陕西模拟）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC 的垂线，交AC的延长线于点D.（1）求证：DP是⨀的切线；（2）若AC=5，,求AP的长.6.（2021·武汉模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cosC＝时，求⊙O的半径.7.（2021·铁东模拟）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．8.（2021九下·江阴期中）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB.（1）求证：PB是⊙O的切线.（2）若PB＝3，tan∠PDB＝，求⊙O的半径.9.（2021九下·叙州期中）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．10.（2021·兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝1，BC＝2，求⊙O的半径.11.（2021·白银模拟）如图，在菱形ABCD中，P为对角线AC上一点，AB与经过A、P、D三点的⊙O相切于点A.（1）求证：AP＝DP；（2）若AC＝8，tan∠BAC＝，求⊙O的半径.12.（2021·越城模拟）△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O 的切线DF，交AB的延长线于F.（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长.13.（2021·越城模拟）如图，已知与相切于点A，直线与相离，于点B，且与交于点的延长线交直线于点C.（1）求证：；（2）若的半径为3，求线段的长.14.（2021·长宁模拟）如图，是的直径，.（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值.15.（2021·郫都模拟）如图，中，.以AB为直径作，与AC相交于点D，连接BD.点E为上一点，且，连接EO并延长交CB的延长线于点F.（1）求证：；（2）求证：CE是的切线；（3）若，求AC的长.16.（2021·东台模拟）如图，以为直径作半圆O，C是半圆上一点，的平分线交于点E，D为延长线上一点，且.（1）求证：为的切线；（2）若，求的长.17.（2021·开江模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F.（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，sinC＝，求直径AB的长.18.（2021·淮安模拟）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P.点C 在OP上，且BC＝PC.（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长.19.（2021·咸宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，AD=1，BD=3，求AF的长.20.（2021·黄冈模拟）如图，是的直径，切于点，，的延长线交于点.（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长.21.（2021九下·咸宁月考）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于点E，∠BED=∠C.（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若OA=6，AC=8，求tan∠B的值.22.（2021·邹城模拟）如图，为⊙O的直径，弦于点M，过B点作，交的延长线于点E，连接．（1）求证：为⊙O的切线；（2）如果，求⊙O的直径．23.（2021·门头沟模拟）如图，AB是的直径，C是上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，．（1）求证：CE是的切线；（2）如果，，求AB的长．参考答案一、综合题1.【答案】（1）证明：连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵AB⊥CD，AB是直径，∴= ，∴∠DOP=∠COP，在△DOP和△COP中，，∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO=∠PCO=90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠PDO=90°，∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A=∠PDB，∵∠BPD=∠BPD，∴△PDB∽△PAD，∴，∴；（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB=∠DMB=90°，∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°，∴∠A=∠CDB，∵，∴，∵△PDB∽△PAD，∴∵PD=4，∴PB=2，PA=8，∴AB=8-2=6．【解析】【分析】（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；（3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案．2.【答案】（1）证明：连接，，，，，，，，，，，，，是的切线；（2）解：在中，，，，，，，，，，，在中，，在和中，，，，，即，．【解析】【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则，则可得出结论；（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出的长．3.【答案】（1）证明：连接OD，OC，如图：∵CD＝CB，OD＝OB，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）解：在四边形OBCD中，∠ODC＝∠OBC＝90°．∵∠BCD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠F＝∠BOD＝60°．∵DF⊥AB，∴EF＝BFcos60°＝3× ＝，∴DF＝2EF＝3．【解析】【分析】（1）连接OD，OC，根据“SSS”可得△OBC≌△ODC，进而可得结论；（2）根据圆周角性质可得∠F＝60°，再利用60°角的余弦可得EF的长，进而可得DF．4.【答案】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．5.【答案】（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P为的中点；∴∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP为⨀O半径；∴DP为⨀O的切线（2）解：连接BC，交于OP于点G；∵AB是圆O的直径；∴∠ACB为直角；∵∴sin∠ABC=AC=5,则AB=13,半径为由勾股定理的BC= ，那么CG=6又∵四边形DCGP为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP中，AP=【解析】【分析】（1）连接OP，根据等腰三角形的性质及弧、圆周角的关系，可求出∠3=∠2，从而得出OP∥DA，利用平行线的性质得出∠OPD=90°，根据切线的判定定理即证；（2）连接BC，交于OP于点G，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，=sin∠ABC=，从而求出AB=13，半径OB=，利用勾股定理求出BC=12，即得CG=6，根据矩形的性质，得出GP=DC=PO-OG=4，继而得出AD=AC+CD=9，在Rt△ADP中，利用勾股定理求出AP的长即可.6.【答案】（1）证明：连接OM，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠MBE，即∠OMB=∠MBE，∴OM∥BC，∴∠AMO=∠AEB=90°，∴AE与⊙O相切（2）解：∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴BE=CE，AE⊥BC，∵BC=6，cosC＝= ，∴BE=CE=3，AB=AC=9，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴，设半径为r，则，解得：r= ，即⊙O的半径为【解析】【分析】（1）连接OM，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠OBM=∠OMB=∠MBE，利用平行线的判定可证OM∥BC，可得∠AMO=∠AEB=90°，根据切线的判定定理即证；（2）利用等腰三角形三线合一的性质得出BE=CE，AE⊥BC，由cosC＝=，求出BE=CE=3，AB=AC=9，根据平行线可证△AOM∽△ABE，可得，设半径为r，则，求出r值即可.7.【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵DE⊥OA，∴∠HED＝90°，∴∠H＋∠D＝90°，∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，∴∠BOC＝∠D，∴∠H＋∠BOC＝90°，∴∠OCH＝90°，∴DC⊥OC，∴DC与⊙O相切；（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：则AG∥OC，∵DC⊥OC，∴∠OCH＝90°，∵∠BOC＝∠D，OC＝4，∴cos∠BOC＝＝，∴OH＝OC＝5，∴AH＝OA＋OH＝4＋5＝9，CH＝＝＝3，∵AG∥OC，∴△OCH∽△AGH，∴＝＝＝，∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，∴AC＝＝＝．【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA＋OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．8.【答案】（1）证明：，，，，，半径，是的切线.（2）解：如图，连接，，.和是的切线，，，设的半径是，则，切于点，，，，.【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可证得∠E=∠PBO，利用垂直的定义可证得∠E=∠PBO=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）连接OC，利用解直角三角形求出BD的长，利用勾股定理求出PD的长；再利用切线长定理可求出PC的长；设圆的半径为r，利用切线的性质证明△OCD是直角三角形，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值.9.【答案】（1）证明：∵OA= OD，∴∠A=∠ABD= 30°，∴∠A=∠ADO= 30°，∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°,∴∠ODB= 180° -∠DOB-∠B = 90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O 的切线；（2）解：)∵∠ODB= 90°，∠DBC= 30°,∴ OD=OB，∵OC = OD，∴BC=OC=1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）解：∵OD= 1，∴DE= 2，BD=，∴ BE==，∵BD是⊙O 的切线，BE是⊙O 的割线，∴BD2=BM·BE，.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO= 30°，求出∠DOB= 60°，再求出∠ODB = 90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD=OB，即可得到结论；(3)解直角三角形得到DE=2，BD=，根据勾股定理得到BE==，根据切割线定理即可得到结论.10.【答案】（1）证明：连结DO、DE，∵AE为直径，∴∠ADE=90°∵∠C＝90°，∴∠ADE=∠C＝90°，∴DE∥CB，∴∠EDB=∠DBC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠A＝∠CBD，∴∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，∵∠ODB=∠EDB+∠ODE=∠ADO+∠ODE=∠ADE=90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠CBD，∠DCB=∠BCA，∴△DCB∽△BCA，∴，∵CD＝1，BC＝2，∴，∵DE∥CB，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD=AC-CD=4-1=3，∴，∴，在Rt△ADE中，∴.【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由AE为直径，可得∠ADE=90°，结合∠C=90°，可得DE∥CB，可证∠A＝∠CBD=∠ADO=∠EDB，通过计算∠ODB=∠ADE=90°即可得出结论；（2）先证△DCB∽△BCA，可得比列，求出，再证△ADE∽△ACB，可得比列，求出，在Rt△ADE中由勾股定理算出AE ，进而由即可得到结果.11.【答案】（1）证明：连接DP、OP、OA，OP交AD于E，如图1∵直线AB与⊙O相切，∴OA⊥AB，∴∠BAC+∠OAP=90°，∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠BAC+∠OPA=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC+∠OPA=90°，∴OP⊥AD，∴，∴AP=PD（2）解：连接BD，交AC于点F，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分，∵AC=8，tan∠BAC=tan∠DAC= ，∴AF=4，tan∠DAC= ，∴DF=2，∴AD= ，∴AE= ，在Rt△PAE中，tan∠DAC= ，∴PE= ，设⊙O的半径为R，则OE=R- ，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R- ）2+（）2，∴R= ，即⊙O的半径为.【解析】【分析】（1）连接DP、OP、OA，OP交AD于E，由切线性质可得∠BAC+∠OAP=90°，由菱形的性质可得∠BAC=∠DAC，即∠DAC+∠OPA=90°，由垂径定理可得结果；（2）连接BD，交AC于点F，由菱形的性质可得DB与AC互相垂直平分，可得AF=4，tan∠DAC=，DF=2，根据勾股定理可得AD，即可得AE，由正切值可得PE，根据垂径定理和勾股定理可得半径.12.【答案】（1）证明：连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：连接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2 ，∴，设ON＝x，BN＝2 x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，解得x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得：OD⊥DF，由角平分线得∠BAD＝∠CAD，则所对的弧相等，由垂径定理得：OD⊥BC，从而得结论；（2）先得∠BOD＝∠BAC，根据tan∠BOD＝，设ON＝x，BN＝，利用勾股定理解决问题.13.【答案】（1）证明：如图，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠BAC=90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC=90°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=∠BPC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD=90°，∵OB=5，OP=3，∴PB=2，∴BC=AB= ，在Rt△PBC中，PC= ，∵∠DAP=∠CPB，∠APD=∠PBC=90°，∴△DAP∽△PBC，∴，即，解得：AP=【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAB=90°，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到∠BAC=∠BCA，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，根据勾股定理求出BC，PC，证明△DAP∽△PBC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.14.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线（2）解：∵BD=5，CD=4，∴BC=9，∵△ADC∽△BAC（已证），∴，即AC2=BC×CD=36，解得：AC=6，在Rt△ACD中，AD= ，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA-CD=2，在Rt△AFD中，AF=【解析】【分析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，从而可判断AC是⊙O的切线;（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.15.【答案】（1）证明：∵AB为的直径，，，，又，（2）证明：在和中，，，，，∴CE是的切线（3）解：，，，，，，，设，在中，，，，，【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出，根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出OF的长，求出，则可得出答案.16.【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴为的切线（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠AEB=90°，求得∠D=∠AFD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBF，求得∠DAB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠CBF=∠CAE=∠EBA，解直角三角形即可得到结论.17.【答案】（1）证明：连接OC，∵D 是的中点，∴∠AOD＝∠COD∵OA＝OC，∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°∵∠AOE＝2∠ACD，∠CAE＝2∠ACD，∴∠CAE＝∠AOE∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°∴AE是⊙O的切线（2）解：∵∠ACD＝∠B∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠ACD，∴，∴由勾股定理得：∵∠ACD＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD∴△DFH～△CFD∴∴∴设OA＝OD＝x，∴∵AF2+OF2＝OA2∴，解得：x＝10∴OA＝10∴直径AB的长为20.【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理可证得∠AOD＝∠COD，利用等腰三角形的性质可证得∠AFE＝90°，可推出∠E+∠EAF＝90°；再利用圆周角定理可证得∠AOE＝2∠ACD，∠CAE＝2∠ACD，可推出∠CAE=∠AOE，由此可证得∠E+∠AOE＝90°，利用三角形的内角和定理可求出∠EAO=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用已知条件易证∠ODB＝∠ACD，利用解直角三角形可求出HF的长，利用勾股定理求出DF的长；再证明△DFH～△CFD，利用相似三角形的对应边成比例可求出CF的长，设OA＝OD＝x，用含x的代数式表示出OF的长；然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，继而可求出直径AB的长.18.【答案】（1）解：直线BC是⊙O的切线，证明：连接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴，即，AP=9，∴BP=AP-BA=9-2=7.【解析】【分析】（1）连接OB，由等边对等角可得∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由∠A+∠P=90°，可得∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，可得结果；（2）连接DB，由直径所对的圆周角是直角可得∠ABD=90°，可得Rt△ABD∽Rt△AOP，根据相似三角形对应边成比例可得结果.19.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线.（2）解：在Rt△ABD中，.∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，∵∠DAF＝∠DBE，∴∠DAF＝∠ABD.∵∠ADB＝∠ADF，∴△ADF∽△BDA.∴，即∴.【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，根据角的和差以及圆周角定理、等量代换可得∠ABC＝90°可得结果；（2）由勾股定理可得AB，根据角平分线定义和圆周角定理可得△ADF∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例可得结果.20.【答案】（1）证明：连接，∵，∴，，∵，∴，∴，在与中，，∴.∴，∵切于点，∴，∴，∴，∴直线是的切线.（2）解：∵，∴，设，，由（1）证得，∴，∵，∴即∴，Rt△ADO中根据勾股定理可得：即，解得：r=1，∴.【解析】【分析】（1）连接OD，由平行线的性质以及等腰三角形的性质可推出∠1=∠2，从而可以利用SAS证明△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，然后由切线的性质可得∠ODB=90°，据此证明即可；（2）由平行线的性质可得∠DEO=∠2，进而求得tan∠DEO=，设OC=r，则BC=r，由全等三角形的性质可得BD=BC=r，然后利用平行线分线段成比例求出AD的值，接下来由勾股定理可求得r的值，进而得到AO的值.21.【答案】（1）证明：根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，∵∠BED=∠C，∴∠BAD=∠C，∵OC⊥AD，∴∠C+∠CAF=90°，∴∠BAD+∠CAF=90°，即：∠OAC=90°，且OA为半径，∴AC为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OAC中，∵OA=6，AC=8，∴OC=10，∵，∴，根据垂径定理可知，∴，∴，根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，∴，∴.【解析】【分析】（1）根据圆周角的性质得：∠BED=∠BAD，进而推出∠BAD=∠C，得到∠OAC=90°，据此证明即可；（2）首先由勾股定理可得OC=10，然后根据三角形的面积公式求出AF的值，根据垂径定理可得DF=AF=，由勾股定理求出OF的值，进而得到EF的值，根据圆周角的性质得：∠B=∠ADE，据此求解即可.22.【答案】（1）证明：，，．又为直径，为⊙O的切线；（2）解：为直径，，．∵弧BC=弧CD．，．．∴⊙O的直径．【解析】【分析】（1）先求出AB⊥BE，再根据AB为直径，进行求解即可；（2）先求出CM=3，再求出BM的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
圆切线的判定与性质综合(3大类题型)(解析版)--初中数学专项训练
圆切线的判定与性质综合(3大类题型)重难点题型归纳【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】【题型3圆切线的判定与性质综合】满分必练【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】1(2023春•保德县校级期中)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．【答案】见解答．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODE=∠AED=90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．2(2022秋•大连期末)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．求证：CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：连OD，如图，∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=∠ADE-∠C=60°-30°=30°，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠A=30°，∴∠EDO=90°，所以CD是⊙O的切线．3(2022秋•龙川县校级期末)如图，OA是⊙O的半径，∠B=20°，∠AOB=70°．求证：AB是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠AOB=70°，∠B=20°，∴∠OAB=180°-∠B-∠AOB=90°，∴OA⊥AB，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．4(2022秋•利通区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，在⊙D中，AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-30°=90°，∴AD⊥AC，又∵DA是半径，∴AC是⊙D的切线．5(2022秋•天河区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD，∵AO=OB，D为AC的中点，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．6(2022秋•阿瓦提县校级期末)已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB= AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．7(2022•昭平县一模)如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．(1)求AB的长；(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】(1)解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC=30°，OP⊥AB，∴∠AOC =60°，∴∠OAD =30°，∴OD =12OA =12×2=1，∴AD =3OD =3，又∵OP ⊥AB ，∴AD =BD ，∴AB =23；(2)证明：由(1)∠BOC =60°，而OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴BC =OB =OC ，∠OBC =∠OCB =60°，∴C 是OP 的中点，∴CP =CO =CB ，∴∠CBP =∠P ，而∠OCB =∠CBP +∠P ，∴∠CBP =30°∴∠OBP =∠OBC +∠CBP =90°，∴OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线．8(2022•漳州模拟)已知：△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB =AC ，∴BD =DC ，∵BO =OA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =180°-∠AED =90°，∴DE 是⊙O 的切线．9(2022秋•芜湖期末)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AC =CD =DB，DE ⊥AC ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OD ，∵AC =CD =DB，∴∠BOD =13×180o =60o ，∵CD =DB ，∴∠EAD =∠DAB =12∠BOD =30°，∵OA =OD ，∴∠ADO =∠DAB =30°，∵DE ⊥AC ，∴∠E =90°，∴∠EAD +∠EDA =90°，∴∠EDA =60°，∴∠EDO =∠EDA +∠ADO =90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】10(2022秋•长乐区期中)如图，在△OAB 中，OA =OB =5，AB =8，⊙O 的半径为3．求证：AB 是⊙O 的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，∵OA =OB ，AB =8，∴AC =12AB =4，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3，∵⊙O 的半径为3，∴OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．11(2022•八步区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，E 为AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 的长为半径作⊙D ，AB =5，BE =3．(1)求证：AC 是⊙D 的切线；(2)求线段AC 的长．【解答】(1)证明：过点D 作DF ⊥AC 于F ；∵AB 为⊙D 的切线，∴∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，∴BD =DF ，∴AC 与⊙D 相切；(2)解：在△BDE 和△DCF 中；BD =DF DE =DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △DCF (HL )，∴EB =FC ．∵AB =AF ，∴AB +EB =AF +FC ，即AB +EB =AC ，∴AC =5+3=8．12(秋•莆田期末)如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分∠BCD ．(1)求证：CD 是半圆O 的切线．(2)若AD =20，CD =50，求BC 和AB 的长．【解答】(1)证明：过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE=OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；(2)解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB=90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO=90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD=BF=20，DF=AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE=AD=20，EC=BC，∵CD=50，∴EC=CD-DE=50-20=30，∴BC=30，∴CF=BC-BF=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=DC2-CF2=502-102=206，∴AB=DF=206，∴BC的长为30，AB的长为206．【题型3 圆切线的判定与形式综合】13(2023•银川校级四模)如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴BD =DF ，∴⊙D 与AC 相切；(2)解：设圆的半径为x ，∵∠B =90°，BC =3，AC =5，∴AB =AC 2-BC 2=4，∵AC ，BC ，是圆的切线，∴BC =CF =3，∴AF =AB -CF =2，∵AB =4，∴AD =AB -BD =4-x ，在Rt △AFD 中，(4-x )2=x 2+22，解得：x =32，∴AE =4-3=1．14(2022秋•五莲县期中)如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OE ，并过点O 作OF ⊥CD ．∵BC 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥BC ，OE =OA ，又∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB =∠ACD ，∴OF =OE =OA ，即：CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵正方形ABCD 的边长为10，∴AB =BC =10，∠B =90°，∠ACB =45°，∴AC =AB 2+BC 2=102，∵OE ⊥BC ，∴OE =EC ，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC=OE2+EC2=2r，∵OA+OC=AC，∴r+2r=102，解得：r=20-102．∴⊙O的半径为：20-102．15(2023•甘南县一模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，AB=2，AC=3BC=23，∴BC=12∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，AC=3，AD=3CD=3．∴CD=1216(2023•夹江县模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若EA=1，ED=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解答；(2)4．【解答】解：(1)如图，连接OD，由OD=OA得：∠OAD=∠ODA，∵OC∥AD，∴∠DOC=∠ODA，∠BOC=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，又∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC=∠OBC，∵BC⊥AB，∴∠ODC=∠OBC=90°，又∵D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x，则：OD=x，OA=x+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2=OE2，∴32+x2=(x+1)2，解得：x=4，∴⊙O的半径为4．17(2022秋•盘山县期末)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线与AB的延长线相交于点P，且AC=PC，∠P=30°．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=6，求PC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)33．【解答】(1)证明：如图所示，连接OC，∵AC=PC，∠P=30°，∴∠A=∠P=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°，即OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB=6且AB是⊙O的直径，∴OC=1OA=3，2在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠P=30°，∴OP=2OC=6，∴PC=PO2-OC2=33．18(2023春•东营期末)如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．(1)求证：HB是⊙O的切线；(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．【答案】见试题解答内容【解答】证明：(1)如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HPA=∠HPB，∵OP=OH，∴∠OHP=∠HPA，∴∠HPB=∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB 是⊙O 的切线；(2)如图，过点O 作OE ⊥PC ，垂足为E ，∵OE ⊥PC ，OH ⊥BH ，BP ⊥BH ，∴四边形EOHB 是矩形，∴OE =BH =4，OH =BE ，∴CE =OH -2，∵OE ⊥PC∴PE =EC =OH -2=OP -2，在Rt △POE 中，OP 2=PE 2+OE 2，∴OP 2=(OP -2)2+16∴OP =5，∴AP =2OP =10，∴⊙O 的直径是10．19(2023•汉川市模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，直线BF 与AD 延长线交于点F ，且∠AFB =∠ABC ．(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD =12，BE =3，求⊙O 的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)152．【解答】(1)证明：∵AC =AC ，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠AFB =∠ABC ，∴∠ADC =∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵OB 为⊙O 的半径．∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为R ，连接OD ，如图，∵AB ⊥CD ，CD =12，∴CE =DE =12CD =6，∵BE =3，∴OE =R -3，在Rt △OED 中，∵OE2+DE2=OD2，∴R2=(R-3)2+62，解得：R=15 2．即⊙O的半径为15 2．20(2022秋•斗门区期末)如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)4．【解答】(1)证明：连接OC，则OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠OBC，∴∠ACP=∠OCB，∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°，∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，∴PC与⊙O相切．(2)解：∵PC=BC，∴∠P=∠B，∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠P，∴CA=PA=4，∵∠OCP=90°，∴∠ACO+∠ACP=90°，∠AOC+∠P=90°，∴∠ACO=∠AOC，∴CA=OA=OC=4．21(2023•黑龙江模拟)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)658．【解答】(1)证明：(1)连接OC ；∵AE ⊥CD ，CF ⊥AB ，又CE =CF ，∴∠1=∠2．∵OA =OC ，∴∠2=∠3，∠1=∠3．∴OC ∥AE ．∴OC ⊥CD ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥ED ，AB =10，BD =3，∴OB =OC =5．CD =OD 2-OC 2=39，∵S △OCD =12OC ⋅CD =12OD ⋅CF ，即12×5×39=125+3 ⋅CF ，∴CF =5398，∴OF =OC 2-FC 2=658，∴AF =OA +OF =5+258=658，在Rt △AEC 和Rt △AFC 中，CE =CF ，AC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △AFC (HL )，∴AE =AF =658．22(2023•宿豫区三模)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交BD 的延长线于点E ，CE =BC ．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CD =2，BD =2，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图，连接OE，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠5=90°．∵CE=BC，∴∠1=∠2．∵OE=OD，∴∠3=∠4．又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴∠2+∠3=90°，即∠OEC=90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BD=25，BC=CE=4．设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴OE2+CE2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，∴⊙O的半径为3．23(2023•东港区校级三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AD=3BD，且BE=4时，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)3．【解答】(1)证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵∠C=90°，∴∠OEC =90°，∴OE ⊥BC ，∵OE 为半径，∴BC 是⊙O 切线；(2)解：∵AD =3BD ，设BD =2x ，则AD =6x ，∴AO =OD =OE =3x ，∴OB =5x ，在Rt △OBE 中，根据勾股定理得：OE 2+BE 2=OB 2，∴(3x )2+42=(5x )2，∴x =1，∴OE =3x =3，∴⊙O 半径为3．24(2023•泗县校级模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为直径作⊙O ，在⊙O 上取一点D ，使CD =BC，过点C 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)若AB =10，AD =6，求AC 的长．【答案】(1)见详解；(2)45．【解答】(1)证明：连接OC ，如图，∵CD =CB，∴∠EAC =∠CAB ，∵EF ⊥AD ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∵OC =OA ，∴∠CAB =∠OCA ，∴∠EAC =∠OCA ，∴∠ACO +∠ACE =90°，即半径OC ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：连接BD ，交OC 于点G ，如图，∵AE ⊥EF ，OC ⊥EF ，∴AE ∥OC ，∵O 为AB 为中点，∴OG 为△ABD 中位线，∴OG=1AD=3，DG=BG，2∴DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC-OG=2，∵AB=10，∴OB=5，∴BG=OB2-OG2，∴DG=BG=4，∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，∴四边形DECG是矩形，∴DE=CG=2，EC=DG=4，∴AE=8，∴在△AEC中，AC=AE2+EC2=45．25(2023•荔湾区校级一模)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)12．【解答】(1)证明：如图所示，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图所示，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．∵∠EDC=30°，∴EC=12DC=12．∴EF=FC-EC=12．。
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专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD. ∴DM 与⊙O 相切 证明二：连结OD ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC. 又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM ⊥AC ，∴∠2+∠4=900∵OA=OD ，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC ，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC. D CD∴OB=BC=BD.∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900.∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形， ∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △∵O 是FG 的中点，∴O 是Rt △CFG 的外心.∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵D F⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∴DE=DF.∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴OD OC OB AC =. ∵OA=OB ，∴OD OCOA AC =.又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC ∽△ODC ，∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.∵AC ，BD 与⊙O 相切，O∵AC ∥BD ，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB ，∴△AOF ≌△BOD （AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD ，∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO.∵A C ∥BD ，∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴CF CD OF ==21.∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010中考题汇编：（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)求CF :CE 的值。
（2008中考）22．（本题8分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若35AC AB =，求AF DF 的值。
（2009中考）22．（本题满分8分）如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．（2010中考）22．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ．(1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．(第22题图)B C E B A O F D。