三角函数中“1”的代换
高中数学中“1”的代换
高中数学中“1”的代换高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效。
1．“1”在指数函数、对数函数中的应用例1：计算5lg 2lg 35lg 2lg 33++解法一：原式()()5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 22++-+= 5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 22++-=5lg 5lg 2lg 22lg 22++=()25lg 2lg +=1= 解法二：2lg 15lg 5lg 2lg 1-=⇒+=代入原式得()()2lg 12lg 32lg 12lg 33-+-+2lg 32lg 32lg 2lg 32lg 312lg 2323-+-+-+=1= 点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。
注：5lg 2lg 1+=例2：已知01>>>b a 且11log >-）（x b a ，求x 的取值范围。
解：首先01>-x ，即1>x又 a a x b =>-11log ）（，而1>a1log 01log b b x =>-⇒）（，而10<<b211<⇒<-⇒x x综合知21<<x点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性解之。
注：()()101log 001≠>=≠=b b a a b 且2．“1”在三角函数中的应用例3：已知2tan =α，求αα2cos 2sin +的值。
分析：由2tan =α可求出552sin ±=α，55cos ±=α代入计算，有点麻烦，不妨借助1的代换来解题。
解：原式1cos cos sin 22ααα+=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=（分子分母同除以α2cos ） 11t a n 1t a n 22=++=αα 点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。
三角函数转换公式大全总结
三角函数转换公式大全总结三角函数是数学中常见的一类函数，由于其定义在一个单位圆上，可以用来描述很多自然现象和物理现象。
在数学中，经常会使用一些三角函数的转换公式来简化计算和推导。
下面是常见的一些三角函数转换公式总结。
1.正、余函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)cos(x) = sin(x + π/2)这两个公式很容易理解，就是将正弦函数和余弦函数互换角度就可以得到。
2.平方和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)这两个公式可以用来计算两个三角函数之间的和差关系。
通过平方和差公式，可以将两个三角函数之和或之差转化为两个三角函数之积。
3.和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)这四个公式可以用来将两个三角函数的和或差表示为两个三角函数的积。
4.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan^2(x))这些公式可以用来计算两倍角度的三角函数值，可以用于简化计算和推导。
5.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x))/2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x))/(1 + cos(x)))这些公式可以用来计算半角的三角函数值，同样可以用于简化计算和推导。
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
2020学年高中数学第1章三角函数章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第１章三角函数任意角的三角函数概念(1）已知角α的终边过点P(-4m，3m）(m≠0），则2sｉｎα+ｃoｓα的值是＿_____＿＿．(２）函数y=错误!+错误!未定义书签。
的定义域是___＿＿＿＿_.思路点拨：(1）根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负.(２)利用三角函数线求解.（1）错误!未定义书签。
或－错误!(2)错误![(１)r=|OP|＝错误!未定义书签。
=5｜ｍ|。
当ｍ＞0时,sin α＝错误!未定义书签。
＝＼ｆ（３m,5m）＝＼ｆ(3，5）,cｏs α=错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
=-错误!未定义书签。
,∴2sin α＋cｏｓα＝错误!.当m<０时，sin α=错误!=错误!=-错误!未定义书签。
，cos α＝错误!＝错误!未定义书签。
＝错误!，∴2sin α+cos α＝-错误!.故2sin α＋cｏｓα的值是＼f(２,５）或－错误!未定义书签。
.（2)由错误!得错误!未定义书签。
如图，结合三角函数线知:错误!解得2k π≤ｘ≤２k π+错误!未定义书签。
(k ∈Z ),∴函数的定义域为错误!未定义书签。
]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(１)任意角和弧度制。
理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
(2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域．1．(1)已知角α的顶点在原点,始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边经过点P (－＼r(３）,y ），且ｓin α=错误!y (ｙ≠0）,判断角α所在的象限，并求cos α和ta ｎ α的值；（2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上,求１０ｓi ｎ α＋错误!的值．[解］ （１)依题意，点P 到原点Ｏ的距离为|PO ｜=错误!，∴sin α＝错误!未定义书签。
＝错误!＝错误!y .∵ｙ≠0，∴9＋3y 2＝１6,∴ｙ２＝错误!未定义书签。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
“1”在数学问题中的妙用
空集是一个极其特殊又非常重要的集合ꎬ它不含任 何元素ꎬ正 因 为 空 集 的 特 殊 性ꎬ 常 常 成 为 各 类 考 试 的 热 点. 而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解ꎬ 所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.
例 ４ 房间里有 ４ 个人ꎬ假定每个人的生日在 １２ 个
收稿日期:２０１８ － ０４ － １５ 作者简介: 王嫣然(２００１. ３ － ) ꎬ女ꎬ河北省衡水市人ꎬ在校学生.
— ２３ —
月中的某一个月是等可能的ꎬ求至少有两个人的生日在
同一个月的概率.
解 设事件 Ａ 表示至少有两个人的生日在同一个
月ꎬＰ( Ａ)
＝１
－
Ｐ( Ａ)
＝
１
－
１２
× １１ × １０ １２４
×９
＝
４１ ９６
.
五、整式的化简求值
对整式进行化简求值ꎬ有时可以利用“１” 进行恒等变
形从而解决问题.
例５
已知
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
０ꎬ 求
ｃ
æ１
ç
èａ
＋
１ ｂ
ö
÷
ø
＋
ｂ
æ１
ç
èｃ
＋
１ ａ
ö
÷
ø
＋
ａ
æ
ç
è
１ ｂ
＋
１ ｃ
ö÷的值. ø
解
原式
＝
ｃ
æ
ç
è
１ ａ
＋
１ ｂ
＋
１ ｃ
ö
数学等价代换公式
数学等价代换公式数学中的等价代换公式是一种重要的数学工具，它可以用来简化计算过程、转化复杂的表达式、证明定理等。
等价代换公式有很多种，下面我将介绍几个常见的等价代换公式，并说明它们的应用。
1. 分配律分配律是最基本的等价代换公式之一，用于展开括号。
它可以表示为：a(b+c) = ab+ac。
这个公式的应用非常广泛，可以用于化简多项式的乘法运算，展开括号后进行合并同类项等。
2. 合并同类项合并同类项是指将具有相同变量的项合并在一起，它可以用于简化代数表达式。
例如，对于表达式2x+3x，我们可以使用等价代换公式2x+3x = (2+3)x = 5x，将两个相同变量的项合并为一个。
3. 幂运算法则幂运算法则是用于计算幂运算的等价代换公式。
它包括以下几个规则：- a^m * a^n = a^(m+n)：两个相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
- (a^m)^n = a^(m*n)：一个幂的指数再次取幂，底数不变，指数相乘。
- (a*b)^n = a^n * b^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，分别对底数取幂后再相乘。
- (a^n)*(b^n) = (a*b)^n：幂的底数为两个数的乘积，指数不变，先分别对底数取幂，再将结果相乘。
4. 对数运算法则对数运算法则是用于计算对数运算的等价代换公式。
它包括以下几个规则：- log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y)：对数的底数为两个数的乘积，底数不变，分别对两个数取对数后再相加。
- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)：对数的底数为两个数的商，底数不变，分别对两个数取对数后再相减。
- log_a(x^n) = n*log_a(x)：对数的底数为一个数的幂，底数不变，将幂移到对数的前面。
5. 三角函数的等价代换公式三角函数的等价代换公式有很多种，常见的有：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1：三角函数sin和cos的平方和等于1，这是三角函数的基本等式之一。
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
5.3(一) 诱导公式(一)
反思 感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
跟踪训练3 化简下列各式：
cosπ＋α·sin2π＋α
(1)
；
sin－α－π·cos－π－α
12345
课堂小结
1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性； (2)诱导公式. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：符号的确定.
第五章 三角函数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四. 2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 公式二
1.角π＋α与角α的终边关于 原点 对称.如图所示.
3.已知tan α＝6，则tan(－α)＝ －6 .
4.sin 585°＝
－
2 2
.
解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)
＝－sin
45°＝－
2 2.
2 题型探究
PART TWO
一、给角求值
例1 求值： (1)cos－361π；
解
cos－361π＝cos－6π＋56π＝cos
－
3 3
.
解析 cosα＋56π＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3 3.
延伸探究 1.若本例(2)中的条件不变，如何求 cosα－136π？ 解 cosα－136π＝cos136π－α ＝cos2π＋π6－α ＝cosπ6－α＝ 33.
三角函数化一公式的推导
三角函数化一公式的推导这里我们将讨论三角函数化一公式的推导。
首先，我们需要了解单变量函数的定义和一般的函数形式。
单变量函数是一个变量求另一个变量的函数，它可以有不同的形式，如一次函数、多项式、双曲线、指数函数等。
一般来说，一元函数可以写成一般形式：f（x）=ax n+ a 1x n-1 +…+a n-1 x + a n，其中a n ≠ 0（n是正整数）。
接下来，我们来讨论三角函数化一公式。
三角函数化一公式主要是将一般多项式函数，如 f（x）=a x n+ a 1x n-1 +…+a n-1 x + a n，变换成三角函数的形式：f（x）=a 1a sin nx + a 2a cos nx +…，然后我们可以将这个公式简化为更容易理解的形式：f（x）=a 1a sin nx+ a 2acos nx+...。
三角函数化一公式的推导步骤如下：（1）假设f（x）=ax n+ a 1x n-1 +…+a n-1 x + a n 是一般多项式函数；（2）用下面的公式替换X：X=R cosθ 或X=R sinθ（3）求出f（x）的展开式，即：f（x）= a1a a nR ncos nθ + a2a a nR ncos nθ +…（4）利用ω = cosθ（或sinθ）的相关关系，重写f（x）的展开式，即：f（x）= a1a a nR nω n+ a2a a nR nω n-1+…（5）最后，使用下面的公式，将ω n替换成cos nθ（或sin nθ），求出最终的三角函数化一公式：f（x）=a 1a sin nx + a 2a cos nx +…以上就是三角函数化一公式的推导步骤。
三角函数化一公式可以帮助我们把一般多项式函数转换为更容易理解的形式，从而能够更方便地应用到函数分析中。
2021年高考数学理一轮复习 4-2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 精品课件
例 2 已知 f(α)＝sin(π－ cotα()－coαs－(2ππ－)siαn)(t－anπ(－－αα)＋32π) (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－32π)＝51，求 f(α)的值； (3)若 α＝－331π，求 f(α)的值．
[分析] 先用诱导公式逐项化简，再求值．
43，∴m＝
3 2.
(3)当 m＝ 23时，原方程变为 2x2－( 3＋1)x＋ 23＝0，
解得 x1＝ 23，x2＝21，
sinθ＝ ∴
3 2
cosθ＝ 或
3 2
，
cosθ＝21
sinθ＝21
又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6或 θ＝3π.
[规律总结] 在求角中，应注意同角所具有的 关系．同时在求角的大小时，应注意角的范 围.
求角问题
思维提示 注意角的范围
例 4 已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根
为 sinθ 和 cosθ，θ∈(0,2π)，求：
(1)1－sincθotθ＋1－cotsaθnθ 的值；
(2)m 的值；
(3)方程的两根及此时 θ 的值．
[解] (1)由韦达定理可知
sinθ＋cosθ＝ 32＋1，
备选例题 4 已知 sin(3π－α)＝ 2cos(32π＋β)和 3cos(－ α)＝－ 2cos(π＋β)，且 0＜α＜π，0＜β＜π，求 α 和 β 的值．
由①2＋②2，得
sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，
即 sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
∴sin2α＝12，sinα＝±
(2)左边＝sin2α·csoinsαα＋cos2α·csoinsαα＋2sinαcosα－csoinsαα ＝sin4α＋cossi4nαα＋co2sαsin2αcos2α－csoinsαα ＝1s－inαccooss2αα＝sinsiαnc2oαsα ＝tanα. ∴左边＝右边，原等式成立.
例谈“1”在解高中数学题中的妙用
知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。
三角函数的变量代换与化简
三角函数的变量代换与化简三角函数是数学中重要的概念，它们被广泛应用于各种数学和物理问题的求解中。
在解题过程中，变量代换与化简是常用的技巧，可以简化计算，并得到更简洁的表达形式。
本文将介绍三角函数的变量代换与化简的方法和应用。
一、变量代换的基本原理变量代换是一种将原来的变量替换为新的变量的方法，通过选择适当的代换变量，可以简化三角函数的表达式。
常见的变量代换包括：1. 正弦和余弦函数的半角代换：令θ = 2α，即表示将角度α代换为θ/2，通过代换后的角度可以得到正弦和余弦函数的更简洁的表达式。
2. 正切函数的半角代换：令θ = α/2，即表示将角度α代换为2θ，通过代换后的角度可以得到正切函数的更简洁的表达式。
3. 任意角的倍角代换：当需要求解正弦、余弦或正切函数的倍角时，可以通过代换θ =2α或θ = α/2的方式，将倍角问题转化为单角问题，从而简化计算过程。
二、变量代换的应用举例例一：求解三角函数的积分考虑求解∫(sinx)^2dx。
通过变量代换，令u = sinx，则du = cosxdx。
原积分转化为∫u^2du = u^3/3 + C，其中C为常数。
所以∫(sinx)^2dx = (sinx)^3/3 + C。
例二：化简三角函数的复杂表达式考虑化简sin(x + π/2)。
通过变量代换，令θ = x + π/2，则x = θ - π/2。
sin(x + π/2)可以表示为sin(θ + π/2 - π/2)，化简得到sinθ。
所以sin(x + π/2) = sinθ。
三、变量代换的注意事项在进行变量代换时，需要注意以下几点：1. 选择适当的代换变量：代换变量的选择要根据具体的表达式特点来确定，以便简化计算。
2. 调整积分的上下限：当进行积分运算时，要根据代换变量的变化来调整积分的上下限。
3. 恢复原始变量：在得到最终结果后，需要将代换的变量恢复为原始变量，以获得与问题相符的答案。
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三角函数中“1”的代换
义县高中 高一数学组 胡克让
三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。
这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。
这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。
在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。
常见的代换有：
22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan
cot 44
αα
αααα
αααα
αααααα
ππ=+=+-=-=-=⋅=⋅=⋅== 等等。
下面例析几道题，供同学们参考。
例1
已知sin cos 2
αα-=-，则tan cot αα+的值为 .
分析：本题解法有二，一种是将sin cos αα-=与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的
值即可，而将sin cos 2αα-=-
平方就能完成sin cos αα的求解，进而问题得以解决。
两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。
解析：sin cos αα-=
222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4
1sin cos 8
sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα
∴=-=+-∴=-+∴+=+==- 例2 已知1tan 3
α=-，求下列各式的值： （1）2232sin sin cos 5cos 2
αααα-+ （2）11sin cos αα
- 分析：这道题很多同学可能会去求解sin α与cos α的值，然后代入即解决了问题，这种思想简单直接，但运用起来却很繁琐，费力。
解决这道题简便的方法是将所求直接转化为tan α的关系式，这就需要将原来代数式中的“1”用22
sin cos αα+来代换。
解析：（1）原式2232sin sin cos 5cos 21
αααα-+= 222232sin sin cos 5cos 2sin cos αααααα
-+=+（分子分母同时除以2cos α） 2232tan tan 51032tan 120
ααα-+==+ （2）原式2222sin cos sin cos sin cos αααααα
+=+-（分子分母同时除以2cos α） 22tan 110tan 1tan 13
ααα+==+- 例3 化简：1tan 1tan θθ
+- 分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相关“1”用tan 4π
代换。
解析：原式tan
tan 4tan()41tan tan 4
πθ
πθπθ+==+- 例4 证明：2222tan sin tan sin αααα-=
分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。
无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。
解析：方法一（由右到左）
右边22222
tan (1cos )tan tan cos ααααα=-=- 22
2222sin tan cos tan sin cos αααααα=-=-=左边 因此 2222
tan sin tan sin αααα-=
方法二（由左到右） 左边2222222sin 1sin sin (1)sin (sec 1)cos cos ααααααα
=-=-=- 22sin
tan αα==右边 因此 2222tan
sin tan sin αααα-=
“1”的这种代换应用在这部分是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要同学们积累解题经验，参透其中的奥秘。