第七章不等式

第七章 不等式

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7.1 不等式的性质

典例精析

题型一 比较大小

【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2

(a ＞2)，n ＝x －

2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )

A.m ＜n

B.m ＞n

C.m ≥n

D.m ≤n

【例2】已知－π2≤α＜β≤π

2，求α＋β2，α－β2的取值范围.

7.2 简单不等式的解法

典例精析

题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x 2－2x －3＞0；

(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(∁R A )∩B .

【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌

握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.

【变式训练1】设函数f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),

0()

0(22

x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1

的解集为( )

A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)

B.[－3，－1]

C.[－3，－1]∪(0，＋∞)

D.[－3，＋∞)

题型二 解含参数的一元二次不等式问题

【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ).

【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.

【变式训练2】解关于x 的不等式

ax －1

x

＋1

＞0.

题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系

【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集.

7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

典例精析

题型一 平面区域

【例1】已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )

的图象如图所示，则平面区域⎪⎩

⎪

⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )

A.2

B.4

C.5

D.8

【解析】选B.由f ′(x )的图象可知，f (x )在[－2,0]上是减函数，在[0，

＋∞)上是增函数.

因为f (－2)＝f (4)＝1，所以当且仅当x ∈(－2,4)时，有f (x )＜f (－2)＝f (4)＝1.

作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.

【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

【变式训练1】若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )

所形成的平面区域的面积是(

)

A.12

B.π4

C.1

D.π2

【解析】选C.当a ＝b ＝1时，满足x ＋y ≤1，且可知0≤a ≤1，0≤b ≤1，所以点P (a ，b )所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.

题型二 利用线性规划求最值

(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1

的取值范围.

【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.

(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2

)2＝9

2.

(3)z ＝2·y －(－1

2)

x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1

2)连线斜率的2倍.

因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围为[34，7

2

].

【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.

【变式训练2】已知函数f (x )＝1

3

x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求

a＋b的最小值.

【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.

所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.则

作出点(a，b)表示的平面区域.

令z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0与6a－b＋9＝0的交点A的坐标为(－1,3).

当直线z＝a＋b过点A(－1,3)时，z＝a＋b取最小值2.

题型三线性规划的实际应用

【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？

【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z＝6x＋10y，

当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350,100)时，z＝6x＋10y最大.

z max＝6×350＋10×100＝3 100，

所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.

【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，y≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.

【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元.

【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z＝140x＋120y，约束条件为