[1,N]离散均匀分布-描述统计

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第一章离散随机信号统计分析基础

❖ 如果我们把对温漂电压的观察看作为一个随机试验，那么，每一次的记录，就是
随机试验的一次实现，相应的结果就是一个样本函数：
xi (t)
❖
所能有经样历本的函整数个的过x集程i (合，t)该集合就i＝是1一,个2随,…机过,N程,，N也→即随∞机，信就号构，成记了之温为漂：电压可
X(t)
物随机变理量意义：x1 (t1 ), x2 (t1 ), , xN (t1 )
lim
M
1 2M
1
M
x(n)x(n
nM
m)
x
(m)
例1.2.3 讨论例1.2.1随机相位正弦序列的各
态遍历性。
解对 X (n) Asin(2fnTs )，其单一的时间样本
x(n) Asin(2fnTs ) ，为一常数，对 X (n)
作时间平均，显然
mx (n)
lim
M
2
1 M
自相关函数和自协方差函数的关系
❖ 1 X (m) X (m) mX2 XY (m) XY (m) mX mY
❖ 2当 mX 0 时
X (m) X (m) XY (m) XY (m)
工程实际中，当m趋于无穷大时，可以认为不相关，存在：
lim
m
X
(m)
E[
X
*
(n)
X
自相关函数 X (n1, n2 ) 和 n1,n2 的选取无关，而仅和 n1, n之2 差有关，那么，我们称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。其具有以下的统计特征. ❖ 1）均值为常值。
2）自相关函数和自协方差函数均只是m的函数。
目的：使问题简化，实际工程中大部分属于这种
严平稳随机信号：指概率特性不随时间的平移而变化（或说与时间基准点无关）的随机信号。只有当X(n)是高斯随机过程时，宽平稳才是严平稳。

[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[105]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N Out[107]= 1.概率密度（质量）函数:Out[108]= 1NkN n k N n k 1&&k N 0 1 1 1N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 1N n k 1&&k N 0 N n TrueOut[109]= 2.累积分布函数:Out[110]= Floor k N n1 k N1k N0True Out[111]= 3.生存（可靠性）函数：Out[112]=1k 11 1 N Floor kN n1 k N 0TrueOut[113]= 4.逆生存函数：Out[114]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N1 1 q 1n 01True,0 1 q 1n 1Out[115]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[116]=1 k NN n1 k 2&&k N 0 1k 2 0 k N 11 k NN n 1 1 k N N n1 1 1 k NN n k 2&&k N 0 0TrueOut[117]= 6.矩母函数 MGF :Out[118]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[119]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[120]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[121]=8.累积量母函数 CGF :Out[122]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[123]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[124]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[125]=10.特征函数:Out[126]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[127]=11.均值:Out[128]=1 N N n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 nOut[129]=12.中位值:Out[130]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1Out[131]=13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb3Out[132]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 4 1 n N 0 4 1 n 114 1 n 0N True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 341nN 0341n11 341n 0NTrue,0341n1Out[133]=14.q 分位数:Out[134]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N q 1n 0 q 1n 11q 1n 0N True,0 q 1n 1Out[135]=15.方差:Out[136]=1 N 11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[137]=16.标准差:Out[138]=1 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[139]=17.一、三四分位数间矩:4 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[140]=ConditionalExpressionN Max 1,Ceiling 341nN341n1&&41n 1N Max 1,Ceiling 4 1 n N341n 1&&41n 1Max 1,Ceiling 341n N Max 1,Ceiling 4 1 n N 341n 1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[141]=18.偏度系数:Out[142]=21 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N33N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N 3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n3 2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb5Out[143]=19.峰度系数:Out[144]=31 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N46Nn1 N11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nBernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,N5 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n26 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n2 Out[145]=20.四分偏度系数:Out[146]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 34N Max 1,Ceiling 34 1n N 2Max 1,Ceiling 2 1 n NN Max 1,Ceiling 34 1n N341 342N Max 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n N34N 2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NN Max 1,Ceiling 4 1 n N 34Max 1,Ceiling 34 1n N2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NTrueOut[147]=21.r阶原点矩矩:Out[148]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[149]=22.r阶中心矩:Out[150]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[151]=23.r阶阶乘矩:Out[152]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[153]=24.r阶累积量:Out[154]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[155]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb7Out[156]=k 1NLog1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue8 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb。

[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本中位数分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本中位数的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,2n 1 ,n 1 ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N 1.概率密度（质量）函数:BetaRegularized 1N kN,1 n,1 n BetaRegularized kN,1 n,1 n k 1&&k N 01 BetaRegularized 1 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0 0True2.累积分布函数:BetaRegularized Floor kN,1 n,1 n 1 k N1k N0True3.生存（可靠性）函数：1k 1BetaRegularized N Floor kN,1 n,1 n 1 k N0True4.逆生存函数：ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 InverseBetaRegularizedq,1 n,1 nInverseBetaRegularizedN InverseBetaRegularized 1True5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb1 BetaRegularized k N N,1 n,1 n1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 BetaRegularized k N N,1 n,1 nBetaRegularized 1 k NN,1 n,1 nBetaRegularized 1 k N N ,1 n,1 nk 2&&k N 0True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 11.均值:Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n 12.中位值:ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized NTrue13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb3ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True14.q分位数:ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized q,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True15.方差:Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n16.标准差:StandardDeviationOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n17.一、三四分位数间矩:4[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression 1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularizedNMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1NMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 10True0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 118.偏度系数:Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n19.峰度系数:Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n20.四分偏度系数:1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize1,1 n,1 n &&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb54,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Indeterminate InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n ComplexInfinity InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized3 4,1 n,1 n1 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 1 Max 1, Ceiling N InverseBetaRegularized1 4,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularized2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 1,1 n,1 n N Max 1,0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&& InverseBetaRegularized1&&6[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression4,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularized11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1 11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized3,1 n,1 n 1&&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb7Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n4,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nN Max 1,CeilingN InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nTrue&&8 [1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb0 InverseBetaRegularized 12,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 121.r 阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 22.r 阶中心矩:CentralMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 23.r 阶阶乘矩:FactorialMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 24.r 阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 25.信息熵：k 1NLogBetaRegularized 1Nk N ,1 n,1 n BetaRegularized k N,1 n,1 n k 1&&k1 BetaRegularized 11N,1 n,1 n k 1&&k BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k 0True[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb9。

06离散型连续型随机变量的分布

dx
18
注意要点
x
（2）从几何上看定义中的 F( x) f (t)dt y F (x) = P {X ≤ x }
o
x
x
（3）密度函数不是唯一的。
因为改变 f (x) 在个别点上的函数值，不会改变分布函数 F(x) 的值。
19
2、概率密度函数的性质：
2、概率密度函数的性质：
(1) f ( x) 0;
P{X 0}, P{X 1}, P{X 2}
7
（3）P{ X 1} F ( 1 ) 0.6
2
2
P{1 X 3} F ( 3) F ( 1 ) 0.9 0.6 0
P{1 X 2} P{X 1} P{X 2} 0.4
8
1、(0-1)分布
二、常见的离散型分布
分布列为： X 0
1
P 1 p p
2、二项分布
2、二项分布
在独立试验概型中，进行 n 次重复试验时 A 发生 k 次的概率已知为：
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, ..., n)
如果用随机变量 X 表示 A 发生的次数，则 X 的可能取值为：k = 0, 1, 2, …, n ，相应的分布律为：
1、(0-1)分布
若随机变量 X 只取两个值 x0 和 x1 ，并且
已知 P{ X x0 } 1 p, P{X x1} p，
称随机变量 X 服从两点分布。
特别：若 x0 0, x1 1, 则称为(0-1)分布。
其分布律为：P{ X k} pk (1 p)1k , (k 0,1)
k!
则称 X 服从参数为λ的泊松(Poisson)分布。
记为： X ~ ( )，容易验证：

统计学第3章数据分布特征描述

2．比较同一现象在不同空间或不同阶段的发展水平，反映现象变化特征、趋势和规律性。能消除总体规模差异造成的不利影响；在一定程度上减弱偶然因素的影响。
3．分析现象之间的依存关系。如研究劳动者文化程度与收入的关系。
4．（数值）平均指标是推断统计中的重要统计量，是进行统计推断的基础。
几种常见的位置特征数
N
MH

N

i 1
1
1 xi
wi

wi
i 1
N

i 1
1 xi
wi
N
wi
i 1
MH

1 N1

N N1

i1 xi i1 xi
N
k0:几何平均数加权
N
M G i 1w i x 1 w 1x2 w 2 xN w N
简单
M G N x 1x 2 x N
fi
i1
i 1(xifi)254 674 58 012 1110 ％ 01.7 1％
n(xifi) i1 xi
1 2％ 6 56 1 4％ 0 75 1 4％ 2 80 10350
（四）几何平均数（Geometric mean）
简单几何平均数— n个变量值连乘积的n次方根。
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
调和平均数，也称倒数平均数。各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。计算公式为：
n
xHx11m1x12m12... x1nmn
m1m2... mn
m1m2 ... mn
与单项式分组资料一样，采用加权算术平均数计算。

第二章数理统计基本概念11

, Xn)
定义为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
① 代表性：样本的每个分量 X i 与总体X 有相同的
分布函数；
② 独立性：X1, X 2, , X n 为相互独立的随机变量，
满足以上条件的样本 ( X1, X 2, , X n ) 称为来自总体
X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。
样本的一次具体实现 (x1, x2, , xn ) 称为样本值。
2.性质
(1)由定义可见，1 Y n2
F X n1
~F(n2,n1)
(2) X的数学期望为:
E( X ) n2 n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
F 分布的分位点对于给定的正数
的点
为
称满足条件分布的上分位点
表中所给的都是很小的数，如0.01，0.05等当较大时，如0.95，
n
1 n
1
n
D( X )
D( n
i 1
Xi )
n2
D(
i 1
Xi )
1 n2
nD( X
)
D(X ) n
(3) E(S 2 ) D( X )
E
S2
E
1
n
1
n i 1
X
2 i
nX
2
n
1 1
nE
X
2
nE
X
2
n n 1
D X E2 X D X E2 X
n
n 1
且 X 与 Y 独立, 是取自Y的
样本,
分别是这两个样本的均值,
分别是这两个样本的样本方差, 则有
1)

常见的离散型随机变量的概率分布标准版文档

(II) 贝努里概型和二项分布例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.
我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，
生男孩的概率为 p.
男女
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
X的概率分布是：
X可取值0,1,2,3,4.
X()=
1, = 1 0, = 2
例 5 200件产品中,有196件是正品,4
件是次品,今从中随机地抽取一件,若规
定
1, 取到合格品
X()=
0, 取到不合格品
则 P{X=1}=196/200=0.98, P{X=0}=4/200=0.02
故 X服从参数为0.98的两点分布 . 即 X ∼ B(1,0.98).
注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P(A)1p；（3）各次试验相互独立.
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2. 随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率.
X= X1+X2+ +Xn 其密度函数和分布函数常用和
表示：
~N(0,1)
(IV)、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 (x)和(x)表示：
(x)
1
x2
e2,
x
2
(x) 1

第三章统计学数据分布特征的描述

测定集中趋势指标的作用
1．反映变量分布的集中趋势和一般水平。
如用平均工资了解职工工资分布的中心，反映职工工资的一般水平。
2．可用来比较同一现象在不同空间或不同阶段的发展水平。
不受总体规模大小的影响；在一定程度上使偶然因素的影响相互抵消。
3．可用来分析现象之间的依存关系。
如研究劳动者的文化程度与收入的关系。
社会经济统计中所应用的调和平均数通常是加权算术平均数的变形。
已知各组变量值 xi 和（xi fi）而缺乏 fi 时，加权算术平均数通常可变形为调和平均数形式来计算。
例3-4
解：
n
n
xi fi (xi fi )
x i1
i1
256 475 480
1211 100％ 11.7％
x f! 1
x2 f2
... xk fk
x fi n i 1
fi i
i1
适用于各个变量值之间存在连乘积关系的场合。
主要用于计算现象的平均发展速度；也适用于对某些具有环比性质的比率求平均。
例3-5
某企业产品的加工要顺次经过前后衔接的五道工序。本月该企业各加工工序的合格率分别为88％、85％、90％、92％、 96％，试求这五道工序的平均合格率。
第三章数据分布特征的描述
第一节统计变量集中趋势的测定第二节统计变量离散程度的测定第三节变量分布的偏度与峰度第四节利用Excel计算描述统计
指标
第一节统计变量集中趋势的测定
一测定集中趋势的指标及其作用二数值平均数三众数与中位数
一、测定集中趋势的指标及其作用
集中趋势(Central tendency)
12 22800 0.120

概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数

4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布，简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解：以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为

均匀分布方差公式推导

均匀分布方差公式推导均匀分布方差，又称秩和型方差，是生物统计学中常用的概率模型，它能够描述某种现象或事件出现的频率分布状态。

讨论均匀分布方差的推导，应从数理统计的角度出发，首先关注方差的概念、性质，确定它的定义及应用，然后从均匀分布的定义和实现入手，最后得到均匀分布方差的推导公式。

一、方差的概念、性质方差，是指位置离散程度的度量，它的本质是一个实数，可以形象地表示数据集中元素偏离平均值的程度。

方差可以用来在数据集中出现的频率分布上发现数值范围，以及说明数据集中数据离散程度。

方差的定义：设数据集中有n组数据，期望值$E(x)=frac{1}{n}sum_{i=1}^n x_i$，其方差可以表示为：$sigma^2=E[(x-E(x))^2]=frac{1}{n}sum_{i=1}^n (x_i-E(x))^2$，即样本方差的定义。

方差的性质：方差的基本性质有三条：（1）非负性：方差的值不可以为负，即$sigma^2geq 0$；（2）尺度不变性：数据集中发生所有数值的变化时，方差的值也会发生相应的改变；（3）一致性：每次重复实验的方差值结果都应该相同。

二、均匀分布的定义和实现均匀分布，是一种经典的数据分布模型，它表示某种现象出现的频率分布，其特点是元素各自出现的概率相等，即该分布的概率密度函数为常数，可以用数学公式$f(x)=frac{1}{b-a}$表达，其中a为均匀分布的下界，b为均匀分布的上界。

均匀分布的实现：一般用随机数（Random Number）方法来实现。

随机数方法是一种使用计算机程序模拟生成均匀分布值序列的方法。

计算机程序中可以定义一定范围内（a,b）的整数序列，让程序模拟抛硬币或掷骰子等随机操作，从而在该范围内生成均匀分布序列。

三、均匀分布方差公式推导均匀分布方差，也称秩和型方差，是描述某种现象或事件出现的频率分布的概率分布模型，常用于生物统计学中。

在均匀分布条件下，样本空间是固定的，取值范围是a到b，样本容量为n，每个样本取值的概率均为$frac{1}{n}$，则方差的推导公式记为：$sigma^2=frac{b-a}{n}frac{n+1}{12}$。

13种常见的统计分布ppt课件

属性
✓ 连续型分布 ✓ 用于描述以方向、位置、周期性（环形）时间、角度等为测度
单位的数字特征
应用
✓ 医学领域内一些现象是以方向或时间度量，具有周期性特点，如某疾病在一年内各月份的发生数、胎儿在一昼夜间各时点分娩的频度
✓ 有些数据本身就是以角度来表示：如脑电阴图的上升角，气象环境的风向玫瑰图
✓ 这些数据不能用通常的均数、标准差描述
1 二项分布 Binomial Distribution
应用条件
✓ 各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料
✓ 已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。
✓ n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。
9 F分布 F Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 用于方差Γ分布 Γ Distribution or Gamma Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 正偏态分布，常用于正偏态分布的拟合
11 圆形分布 Circular Distribution
5 均匀分布 Uniform Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 数值计算的误差分析 ✓ 任意分布的随机数
理解
✓ 均匀分布在自然情况下极为罕见，而人工栽培的有一定株行距的植物群落即是均匀分布
✓ 均匀，表示可能性相等的含义
6 正态分布 Normal Distribution
属性
✓ 连续型分布 ✓ 自然界、人类社会、心理和教育中大量现象均按正态形式分布，

[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本最小值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最小值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[53]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,1"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,NOut[54]=OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[55]= 1.概率密度（质量）函数:Out[56]= 1 kN n 1 1N k N n k 1&&k N 0 N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 N n k 1&&k N 0 1 1 1N n TrueOut[57]= 2.累积分布函数:Out[58]=1 1 Floor kN n1 k N 1k N0TrueOut[59]= 3.生存（可靠性）函数：Out[60]=1k 1 N Floor k N n1 k N 0TrueOut[61]= 4.逆生存函数：Out[62]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q1n 0 q1n 1N q1n 01True,0 q1n 1Out[63]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[64]=1 k N Nn1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 1 k N Nn11 k N Nn1k N Nnk 2&&k N 00TrueOut[65]= 6.矩母函数 MGF :Out[66]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[67]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[68]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[69]=8.累积量母函数 CGF :Out[70]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[71]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[72]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[73]=10.特征函数:Out[74]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[75]=11.均值:Out[76]=Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[77]=12.中位值:Out[78]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1Out[79]=13.四分位数列表:Out[80]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 34N 0 1 341n 111 341n 0NTrue,0341n1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 4 1 n N 0 1 4 1 n 111 4 1 n 0NTrue,0 4 1 n 1[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb3Out[81]=14.q 分位数:Out[82]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N 1 1 q 1n 0 1 1 q 1n 111 1 q 1n0NTrue,0 1 q 1n 1Out[83]=15.方差:Out[84]=Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[85]=16.标准差:Out[86]=StandardDeviation OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[87]=17.一、三四分位数间矩:Out[88]=ConditionalExpression1 Max 1,Ceiling N 341n N341n 1&&41n 11 Max 1,Ceiling N 4 1 nN341n1&&41n 1 Max 1,Ceiling N 341nN Max 1,Ceiling N4 1 nN341n1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[89]=18.偏度系数:Out[90]=Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[91]=19.峰度系数:Out[92]=Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[93]=20.四分偏度系数:4 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[94]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 341 Max 1,Ceiling N 34 1n N2Max 1,Ceiling N 2 1 n N1 Max 1,Ceiling N 34 1n N342 Max 1,Ceiling N 34 1n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n N342Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n N1 Max 1,Ceiling N 4 1 n N34Max 1,Ceiling N 34 1n N 2Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n NTrueOut[95]=21.r阶原点矩矩:Out[96]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[97]=22.r阶中心矩:Out[98]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[99]=23.r阶阶乘矩:Out[100]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[101]=24.r阶累积量:Out[102]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[103]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb5Out[104]=k 1NLog1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 1 1Nn True1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 11Nn True6 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb。

[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布

离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 N1,N2 区间内离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、生存函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

"四.样本极大值分布："dist DiscreteUniformDistribution N1,N2 ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist12[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist,k Log PDF dist1,k , k,N1,N2Clear dist1四.样本极大值分布：1.概率密度（质量）函数:1 k N11 N1 N2 n 11 N1 N2 1 k N11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 1 11 N1 N2 n k N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 01 11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 N1 N2 n True2.累积分布函数:1 N1 Floor k 1 N1 N2 n N1 k N21k N20True3.生存（可靠性）函数：1k N11 1 N2 Floor k1 N1 N2 n N1 k N20True4.逆生存函数：ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N21 1 q 1n 0N1True,0 1 q 1n 1 5.风险函数（故障率）:1 k N21 N1 N2 n0 k N1 1&&k N2 01k N1 1 0 k N2 11 k N21 N1 N2 n 1 1 k N21 N1 N2 n1 1 1 k N21 N1 N2 n k N1 1&&k N2 00True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t11.均值:1 N211 n 1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N212.中位值:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 113.四分位数列表:[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb3ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2 0 4 1 n 1N14 1 n 0N2True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpression 1 N1 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N2 0341n1N1 341n 0N2True,0341n114.q 分位数:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 q 1n 0 q 1n 1N1q 1n 0N2True,0 q 1n 115.方差: 1 N1 2 1 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 BernoulliB3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N23 n16.标准差:4 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb1 N1 21 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N217.一、三四分位数间矩:ConditionalExpression1 N1 N2 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 341n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2018.偏度系数: 1 N1 321 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N233 1 N1 22 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 31 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N12 2 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb51 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N23 219.峰度系数: 1 N1 431 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N244 1 N1 32 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N26 1 N1 2 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N26 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 61 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N221 N12 2 1 N1 2 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N24 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N2 41 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 3 3 1 N1 22 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N11 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb713 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N213 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n 4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2220.四分偏度系数:8 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nbConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2341 342 2N1 2N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2341 N1 N2 2Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N234Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2True21.r阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r22.r阶中心矩:CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 23.r阶阶乘矩:FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 24.r阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb9"25.信息熵："k N1N2Log1 k N11 N1 N2n11 N1 N21 k N11 N1 N2nk N1 0&&k N2 01 111 N1 N2nk N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 0 111 N1 N2n k N1 0&&k N2 0 1 N1 N2 nTrue11 N1 N2N1 k N20True10 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb。

数学基础-概率论01（离散型分布）

数学基础-概率论01（离散型分布）⽬录：1.离散型1.1 单点分布单点分布(one-point distribution)亦称⼀点分布，或称退化分布，是⼀种最简单的离散型分布。

假如随机变量X仅取数值a，即P{X=a}=1，则称随机变量X服从单点分布或退化分布。

单点分布的均值E(x)=a，⽅差Var(x)=0。

如果随机变量X有有限均值和零⽅差，则随机变量X服从单点分布。

概率函数：$$P(x)= \begin{cases} {1}, & \text {x=a} \\ 0, & \text{x!=a} \end{cases}$$期望值$E(X)=a$；⽅差 $Var(X)=0$特点：该分布下数据衡等于a1.2 两点分布两点分布( two-point distribution)即“伯努利分布”或者0-1分布，是⼀个离散型概率分布。

在⼀次试验中，事件A出现的概率为P，事件A不出现的概率为q=1-p概率函数：$$P(x)= \begin{cases} p, & \text {x=a} \\ q, & \text{x=b} \end{cases}$$两点分布的均值$E(X)=pa+qb$，⽅差$V(X)=pq(a-b)^2$。

特点：该分布下数据仅有两个可取值，且任意⼀次随机，取a或b的概率不变1.3 均匀分布离散型均匀分布是⼀个离散型概率分布，其中有限个数值拥有相同的概率,典型的如抛硬币，掷⾊⼦概率密度函数：期望：$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx=\int_{a}^{b} \frac{x}{b-a}dx=\frac{b-a} {2}$⽅差：$V(X)=\frac {(b-a)^2} {12}$特点：1.4 ⼆项分布⼆项分布就是重复n次独⽴的伯努利试验,在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变，则这⼀系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，⼆项分布服从0-1分布。

数理统计6：泊松分布，泊松分布与指数分布的联系，离散分布参数估计

数理统计6：泊松分布，泊松分布与指数分布的联系，离散分布参数估计前两天对两⼤连续型分布：均匀分布和指数分布的点估计进⾏了讨论，导出了我们以后会⽤到的两⼤分布：β分布和Γ分布。

今天，我们将讨论离散分布中的泊松分布。

其实，最简单的离散分布应该是两点分布，但由于在上⼀篇⽂章的最后，提到了Γ分布和泊松分布的联系，因此本⽂从泊松分布出发。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：泊松分布简介泊松分布是⼀种离散分布，先给出其概率分布列。

若X∼P(λ)，则P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,⋯它的取值是⽆限可列的。

为什么泊松分布会与指数分布、Γ分布有联系呢？这是因为，它们三个都是随机事件发⽣的⼀种描述。

实际上，指数分布的参数λ是⼀种速率的体现，它刻画了随机事件发⽣的速率。

⽽指数分布随机变量的取值，就代表某⼀事件在⼀定的速率下发⽣的时刻距离计时原点的长度。

Y∼E(λ)，就代表Y对应的事件事件的发⽣速率是λ，所以平均发⽣时间就在在1/λ处。

这也可以作为E(Y)=1/λ的⼀种解释。

指数分布具有⽆记忆性，这与随机事件的发⽣相似，即已经发⽣历史事件对未来不产⽣影响，⽤数学语⾔说就是P(Y>s+t|Y>s)=P(Y>t)。

这指的是，如果⼀个事件平均会在s时间后发⽣，但是⽬前经过了t时间还没有发⽣，则事件的平均发⽣时间就移动到t+s时间后。

它不会因为你已经等了t时间，就会更快地发⽣。

⽽如果把n个独⽴同分布于E(λ)指数分布随机变量相加，得到的⾃然就是恰好发⽣k个事件的平均时间，这个时间Z∼Γ(n,λ)，本质还是⼀种时间的度量。

但Z就不具有⽆记忆性了，这是因为，经过t时间后可能已经发⽣了n−1个事件就差最后⼀个没有发⽣，也可能⼀个事件都没发⽣还需要n个才能凑齐。

泊松分布则刚好相反，指数分布和Γ分布都是限定了发⽣次数，对发⽣时间作度量；泊松分布则是限定了时间1，求随机事件在这⼀段时间内发⽣的次数服从的概率分布。

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2
[1,N]离散均匀分布.nb
InterquartileRange dist "18.偏度系数 :" Skewness dist "19.峰度系数 :" Kurtosis dist "20.四分偏度系数 :" QuartileSkewness dist "21.r阶原点矩 :" Moment dist, r "22.r阶中心矩 :" CentralMoment dist, r "23.r阶阶乘矩 :" FactorialMoment dist, r "24.r阶累积量 :" Cumulant dist, r "25.信息熵：" Assuming N 1 && N Integers,
离散均匀分布 DU 1， N
基于 Wolfram Mathematica 9, 下表给出了 1, N 区间内离散均匀分布 DU 1， N 的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、 r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。一、计算表达式：
True
1 r FactorialPower 1,r 1 N r FactorialPower 1 N,r N 1 r
r
0
0 24.r阶累积量:
1 N 2 1 Nr BernoulliB r r
True
r
1 0 && r 2
Mod r, 2 True
0 25.信息熵： Log N
HurwitzZeta r,1
1 2
N 2 Max 1, Ceiling 2 3N Max 1, Ceiling 4 Max 1, Ceiling
3N 4
Bernou
1 N N HurwitzZeta r,
1 N 2
0 0 && Mod r, 2 0
r
0 23.r阶阶乘矩:
5.风险函数（故障率）:
1 1 k N
1
k
N
0
True MGF :
6.矩母函数
[1,N]离散均匀分布.nb
3
t
1 N t
1
t
N
7.中心矩母函数 CMGF :
1 2
1 N t
t t
1 N t
1
N
8.累积量母函数 CGF :
t 1 N t t
Log 1 N
9.阶乘矩母函数 FMGF :
t t t Nt
15.方差: 1 1 12 16.标准差: 1 2 N2 3 N2
4
[1,N]离散均匀分布.nb
17.一、三四分位数间矩: N Max 1, Ceiling 4 18.偏度系数: 0 19.峰度系数: 3 3 5 1 4 N2 Max 1, Ceiling 4 3N
20.四分偏度系数: N Max 1, Ceiling 4 N Max 1, Ceiling 4 21.r阶原点矩: BernoulliB 1 r, 1 N 1 22.r阶中心矩: 1
Sum PDF dist, k Log PDF dist, k
, k, 1, N
二、输出结果：
1.概率密度（质量）函数:
1 N
1
k
N
0
True
2.累积分布函数:
Floor k N
1
k
N
1 0
k N True
3.生存（可靠性）函数： 1
N Floor k N
k 1
1 k N
0
True
4.逆生存函数： ConditionalExpression Max 1, Ceiling N 1 N 1 q 0 q q 0 True 1 ,0 q 1
1
N
10.特征函数:
t t t Nt
1 11.均值: 1 2 N
N
12.中位值: N Max 1, Ceiling 2 13.四分位数列表: N Max 1, Ceiling 4 14.q分位数: ConditionalExpression Max 1, Ceiling N q 1 N 0 q q 0 True 1 ,0 q 1 , Max 1, Ceiling 2 N , Max 1, Ceiling 4 3N
dist DiscreteUniformDistribution 1, N "1.概率密度（质量）函数 :" PDF dist, k "2.累积分布函数 :" CDF dist, k "3.生存（可靠性）函数：" SurvivalFunction dist, k "4.逆生存函数：" InverseSurvivalFunction dist, q "5.风险函数（故障率）:" HazardFunction dist, k "6.矩母函数 MGF :" MomentGeneratingFunction dist, t "7.中心矩母函数 CMGF :" CentralMomentGeneratingFunction dist, t "8.累积量母函数 CGF :" CumulantGeneratingFunction dist, t "9.阶乘矩母函数 FMGF :" CharacteristicFunction dist, t "10.特征函数 :" CharacteristicFunction dist, t "11.均值 :" Mean dist "12.中位值 :" Median dist "13.四分位数列表 :" Quartiles dist "14.q分位数 :" Quantile dist, q "15.方差 :" Variance dist "16.标准差 :" StandardDeviation dist "17.一、三四分位数间矩 :"