最新的年高考数学(理科)专题六三角函数精准培优专练(含答案)

培优点六 三角函数

1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<<

<<

，π3

cos 45

α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值． 【答案】

5665

【解析】∵3πππ442

αββα⎛⎫+=

+--- ⎪⎝⎭， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫∴+=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

∵π3π044βα<<

<<，ππ024α∴-<-<，3π3π

π44

β<+<，

π4sin 45α⎛⎫

∴-=- ⎪⎝⎭，3π12cos 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，

()1234556sin 13551365

αβ⎛⎫∴+=--⋅-⋅=

⎪⎝⎭．

2．三角函数的值域与最值

例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭，

（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

的值域．

【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ

32k x k =

+∈Z ；

（2）3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

． 【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

132222

cos 2222x x x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭

2213

cos22sin cos 2x x x x =++-

1331

cos22cos22cos222

x x x x x =--

πsin 26x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭

πT ∴= 对称轴方程：()ππππ

2π6232k x k x k -

=+⇒=+∈Z ． （2）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ,122x ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

，ππ5π2,636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，

()π3sin 26f x x ⎡⎤⎛

⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝

⎭⎣⎦．

3．三角函数的性质

例3：函数()32cos 2f x x x =+（ ） A ．在ππ,36⎛⎫

-- ⎪⎝⎭上单调递减

B ．在ππ,63⎛⎫

⎪⎝⎭上单调递增

C ．在π,06⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上单调递减

D ．在π0,6⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递增

【答案】D

【解析】()31π32cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛

⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

， 单调递增区间：()πππππ

2π22πππ26236

k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈Z

单调递减区间：

()ππ3ππ2π2π22πππ26263

k x k k x k k +≤+≤+⇒+≤≤+∈Z ∴符合条件的只有D ．

一、单选题

对点增分集训

1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫

+

⎪⎝⎭

的值为（ ） A ．1

3-

B ．79-

C ．13

D ．79

【答案】B

【解析】由题得2ππππcos 2=cos π2cos 2cos23336αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2π1712sin 12699α⎡⎤⎛⎫⎛

⎫=---=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣

⎦．故答案为B ．

2．函数()π2sin 26f x x ⎛

⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ）

A ．ππ,63⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【答案】B

【解析】∵()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()π2sin 26f x x ⎛

⎫=-- ⎪⎝⎭，

令

ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5π

ππ,36

k x k k +≤≤+∈Z ． 取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π,36⎡⎤

⎢⎥⎣⎦．故选B ．

3．已知1tan 4tan θθ+

=，则2πcos 4θ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭（ ）

A ．1

5

B ．14

C ．13

D ．12

【答案】B

【解析】由1tan 4tan θθ+=，得sin cos 4cos sin θθ

θθ

+=，即

22sin cos 4sin cos θθθθ+=， ∴1sin cos 4θθ=，∴2π1cos 2π1sin 212sin cos 2cos 4222θθθθθ⎛

⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝

⎭