微积分讲义

（3）半开半闭区间 (a,b] = {x | a < x ≤ b}，在数轴上则表示以 a，b 为端点且包含 左端点 a 的一条线段。类似的有[a, b) = {x | a ≤ x < b}。
上述端点为有限值的区间称为有限区间，有限区间可求区间长度 b-a。
（4）5 种无穷区间： (a,+∞) = {x | x > a} [a,+∞) = {x | x ≥ a} (−∞, b) = {x | x < b} (−∞, b] = {x | x ≤ b} (−∞,+∞] = {x | x ∈ R} = R 注意 ∞ 是一个记号，不是一个数，因此与 ∞ 相伴的肯定是圆括弧。 区间统称：区间 I （不分开闭，有限还是无限）
AB
3、差集:属于 A 而不属于 B 的所有元素构成的集合，称为 A 与 B 的差，记作 A-B，
A-B={x|x∈A 且 x∉B} 4、补集：
AB
全集：由所研究的所有事物构成的集合
−
补集：全集 U 中所有不属于 A 构成的集合称为 A 的补集，补集记为 A 或 A′ 。 A′ ={x|x∈U 且 x∉A}
二、函数的几种简单性质
1．奇偶性（对称区间内的对称性）
设有函数
,其定义域 Df 关于原点O对称，
（1）如果对任何
，恒有
，则称函数为偶函数；
（2）如果对任何
，恒有
，则称函数为奇函数。
在几何上，偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点中心对称。 （*）除了奇函数和偶函数以外，还存在大量的非奇非偶函数，可以证明任何 一个函数一定能写成一个奇函数和一个偶函数之和。对于任意 y=f(x)， g(x)=f(x)+f(-x) 必定是偶函数，h(x)=f(x)-f(-x) x 的奇次幂是奇函数，x 的偶次幂是偶函数。 两个奇函数的积是偶函数，两个偶函数的积是偶函数，奇函数与偶函数的积是奇 函数。
2．周期性 （无穷区间上的周期性）
设有函数
若存在ω > 0 ,对一切
，则称
为周期函数，
的一个周期。
恒有
最小的正周期称为函数的周期，记为 T。如数都有最小的正周期，如
周期 T 找不到。
3．单调性 （区间内的增减性）
函数 y = f (x) 在区间（a，b）内的任意两点 x1, x2 当x1<x2时，恒有
点表示函数值，这样，在Df内的每一个x及相应的函数值f(x)就确定了该平面直
角坐标系中的一个点P(x ，y)，当x在Df 内变动时，点P便在坐标平面上移动，所
有这些点的集合
就是函数
的图像，通常为平
面上的一条曲线。 把函数曲线投影到x轴，便在x轴上得到函数的定义域 Df 。 有一些特别的函数是不能用几何图形表示的。
y = 1/ x 在（0，2）内是无界的，在[1，+ ∞ ）内是有界的。
不同的。 （2） x0 点的空心邻域={x | 0 <| x − x0 |< δ } = (x0 − δ ) ∪ (x0 + δ )
0 <| x − 1 |< 2
作业：P39 2、6、8、10、13、14、22、25
第二节 函数
一、函数概念
1．函数的定义
f
X
Y
∀x
y
函数研究的是数集与数集之间的关系。 定义： 若 D 是一个非空实数集合，有一个对应规则 f ，使每一个 x ∈ D ，都有唯 一的实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 D 上的函数，或称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x) ， x ∈ D
(3)函数的值域是由定义域和对应规则所确定的。
(4)对应规则 f 只对自变量起作用 f(x)=x2,f(x2+1)=(x2+1)2,f(f(x))=(f(x))2=x4
2、函数的图像（函数的几何意义：平面点集{(x, y) | x ∈ D f , y = f (x)} ） 在平面上取定一个直角坐标系 ，用x轴上的点表示自变量的值，用y轴上的
| x − 3 |< 1 ： 2 < x < 4
| x − 5 |< 4 ：1 < x < 9
3、区间（与数集对应）interval
设 a∈R，b∈R，且 a<b, （1）开区间 (a,b) = {x | a < x < b} ，在数轴上则是以 a，b 为端点但不包含端点 a
和 b 的一条线段。
（2）闭区间[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b} ，在数轴上则是以 a，b 为端点，且包含端点 a 和 b 的一条线段。
如果 x 是集合 A 的元素，记作 x∈A，读作“x 属于 A”; 如果 x 不是集合 A 的元素，记作 x∉A，读作“x 不属于 A”。 N 表示全体自然数构成的集合； Z 表示全体整数构成的集合； Q 表示全体有理数构成的集合； R 表示全体实数构成的集合。 集合具有（1）确定性 考虑：中年人集合
AB
3．集合的类型 (1)有限集：所包含的元素的个数只有有限个的集合称为有限集，如 A={1，2}是 有限集。 (2)无限集：所包含的元素的个数是无限个的集合称为无限集，如 B={x|x>0}是无 限集。 可列集、不可列集 (3)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作 Φ。
注意：0，{0}，Φ，{Φ}（含有一个元素空集的非空集合） (4)子集
x ：自变量， y ：因变量， f ：对应规则或函数关系 通常称 D 为函数 f 的定义域，记为
因变量y的变化范围称为函数f的值域，记为 Rf 。即
。
注意：定义域值域两个数集，一个对应法则
(1)函数定义的两个要素：对应法则（或称依存关系） f 和定义域 Df 。一个函 数由对应法则f与自变量的取值范围D所确定。因此，两个函数相等是指这两个函 数的 f 和 Df 都相等。 例如 y = arcsin(2 + x2 ) 不是函数关系（定义域不能为空）
与
由于定义域不相等，他们就不是同一个函数。
y=2x 与 y=2v 是相同的函数（函数表示法的无关特性）
(2)定义域是允许自变量取值的范围
使函数式有意义（分母不为零，偶次根号下非负，
中
等
使实际问题有意义（对实际问题而言，如价格不能小于零）
例：自由落体运动 s = 1 gt 2 ，g 为常数， t ∈[0,+∞) 2
,
则称函数f(x)在区间（a，b）内严格单调增加。
反之，若对任意两点当x1<x2时恒有 调减少。这两类函数统称为单调函数。
，则称函数f(x)在Df内严格单
如果能作出函数的图像，那么这个函数的单调性很容易得到,如
是一条抛
物线，它在
上单调减少，在
上单调增加。
以后利用导数工具能很方便地判断函数的单调性。
4．有界性 （区间内有界）
（2）互异性 考虑：{1，2，3，1}集合有几个元素 （3）无序性 考虑：{1，2，3}与{3，1，2}相同不相同 2．集合的表示法 (1)列举法： A = {0，2，8}。 (2)描述法：用A = {x|x具有性质P}表示。 如：A = {x|x2–3x+2=0} (3)图示法：简单的一个平面区域代表一个集合（文氏图）
2、绝对值
|
x
|=
⎧x ⎩⎨−
x
x ≥ 0 ，几何意义： x 点与原点之间的距离 x<0
| x |< a, (a > 0) ⇔ −a < x < a
| x |> b, (b > 0) ⇔ x < −b或x > b
| x − a | ： x 点与 a 的距离
| x − 3 |= 1 ： x = 2 或 x = 4
（1）点 x0 的δ 邻域，是指以 x0 为中心,长度为 2δ 的开区间 (x0 − δ , x0 + δ ) ，即 | x − x0 |< δ ,δ > 0 。点 x0 称为该邻域的中心，δ 称为该邻域的半径，在数轴上的 表示为：
例如：2 的 3 邻域就是
即（-1,5）。注意：2 的 3 邻域与 3 的 2 邻域是
3．函数的表示法
（1）解析法（公式法） y=x 与 y= 3 x3 ,函数表达式不唯一！
（2）表格法
（3）图示法
（4）分段函数，即分段用几个式子来表示一个函数。
例如 y =
f
(x)
=
⎧x ⎩⎨2
−
x
x ∈[0,1] x ∈ (1,2]
⎧1 x > 0 符号函数 sgn(x) = ⎪⎨0 x = 0
⎪⎩−1 x < 0
（5）隐函数（与显函数对应）xy=1，Ax+By+C=0， e xy + y ln x − cos 2x = 0
由方程 F(x,y)=0 所确定的 y 与 x 的函数关系称为隐函数。隐函数不一定能够显
化例如
。 x2 + y 2 = r 2 ——多值函数
4、建立函数关系的实例 P
作业 P42 28（6）（7）30、37、38、45
设函数 y = f (x) 在区间（a，b）内有定义，如果 ∃ M>0，对于 ∀x ∈ (a,b) ，恒有
|f(x)| ≤ M，则称函数 y = f (x) 在区间（a，b）内有界。否则（如果不存在这样
的 M）称函数在区间内无界。
例如：
，由于| sin x |≤ 1 所以 f (x) = sin x 是 (−∞,+∞) 上的有界函数。
二、集合的运算
1、集合的并：
由集合 A 与集合 B 中的所有元素构成的集合称为集合 A 与 B 的并。记作 A∪B，
读作 A 与 B 的并，
AB
2、集合的交： 由集合 A 和集合 B 的所有公共元素构成的集合，称为集合 A 与 B 的交。记作