微积分讲义

不同的。 （2） x0 点的空心邻域={x | 0 <| x − x0 |< δ } = (x0 − δ ) ∪ (x0 + δ )
0 <| x − 1 |< 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
作业：P39 2、6、8、10、13、14、22、25
第二节 函数
一、函数概念
1．函数的定义
f
X
Y
∀x
y
函数研究的是数集与数集之间的关系。 定义： 若 D 是一个非空实数集合，有一个对应规则 f ，使每一个 x ∈ D ，都有唯 一的实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 D 上的函数，或称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x) ， x ∈ D
微积分讲义
1、内容
经济应用数学基础，财经类，1 学年，第一学期周 5 学时，第二学期周 4 学时。
微分学，积分学
2、要求：
（1）搞清基本概念
不定 函数→极限→连续→导数→微分→ 定 积分→
⎧无穷级数应用 ⎩⎨微分方程应用
对象 基础 性质 核心 主要内容 主要内容
（2）掌握基本运算： 极限，导数，积分
（2）互异性 考虑：{1，2，3，1}集合有几个元素 （3）无序性 考虑：{1，2，3}与{3，1，2}相同不相同 2．集合的表示法 (1)列举法： A = {0，2，8}。 (2)描述法：用A = {x|x具有性质P}表示。 如：A = {x|x2–3x+2=0} (3)图示法：简单的一个平面区域代表一个集合（文氏图）
(3)函数的值域是由定义域和对应规则所确定的。
(4)对应规则 f 只对自变量起作用 f(x)=x2,f(x2+1)=(x2+1)2,f(f(x))=(f(x))2=x4
2、函数的图像（函数的几何意义：平面点集{(x, y) | x ∈ D f , y = f (x)} ） 在平面上取定一个直角坐标系 ，用x轴上的点表示自变量的值，用y轴上的
3．函数的表示法
（1）解析法（公式法） y=x 与 y= 3 x3 ,函数表达式不唯一！
（2）表格法
（3）图示法
（4）分段函数，即分段用几个式子来表示一个函数。
例如 y =
f
(x)
=
⎧x ⎩⎨2
−
x
x ∈[0,1] x ∈ (1,2]
⎧1 x > 0 符号函数 sgn(x) = ⎪⎨0 x = 0
⎪⎩−1 x < 0
推广：坐标空间：R×R×R={(x,y,z)| x∈R，y∈R ,z∈R }
五、区间和邻域
1、实数与实轴 实数充满整个数轴而没有空隙，也就是实数不仅具有稠密性，且具有连续性。
实数与数轴上的点之间建立了一一对应关系。 ⎧实数与数轴上的点是一一对应关系（数与形） ⎩⎨某一实数集A与数轴上的某一区间的对应关系
AB
3、差集:属于 A 而不属于 B 的所有元素构成的集合，称为 A 与 B 的差，记作 A-B，
A-B={x|x∈A 且 x∉B} 4、补集：
AB
全集：由所研究的所有事物构成的集合
−
补集：全集 U 中所有不属于 A 构成的集合称为 A 的补集，补集记为 A 或 A′ 。 A′ ={x|x∈U 且 x∉A}
| x − 3 |< 1 ： 2 < x < 4
| x − 5 |< 4 ：1 < x < 9
3、区间（与数集对应）interval
设 a∈R，b∈R，且 a<b, （1）开区间 (a,b) = {x | a < x < b} ，在数轴上则是以 a，b 为端点但不包含端点 a
和 b 的一条线段。
（2）闭区间[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b} ，在数轴上则是以 a，b 为端点，且包含端点 a 和 b 的一条线段。
如果 x 是集合 A 的元素，记作 x∈A，读作“x 属于 A”; 如果 x 不是集合 A 的元素，记作 x∉A，读作“x 不属于 A”。 N 表示全体自然数构成的集合； Z 表示全体整数构成的集合； Q 表示全体有理数构成的集合； R 表示全体实数构成的集合。 集合具有（1）确定性 考虑：中年人集合
（5）隐函数（与显函数对应）xy=1，Ax+By+C=0， e xy + y ln x − cos 2x = 0
由方程 F(x,y)=0 所确定的 y 与 x 的函数关系称为隐函数。隐函数不一定能够显
化例如
。 x2 + y 2 = r 2 ——多值函数
4、建立函数关系的实例 P
作业 P42 28（6）（7）30、37、38、45
x ：自变量， y ：因变量， f ：对应规则或函数关系 通常称 D 为函数 f 的定义域，记为
因变量y的变化范围称为函数f的值域，记为 Rf 。即
。
注意：定义域值域两个数集，一个对应法则
(1)函数定义的两个要素：对应法则（或称依存关系） f 和定义域 Df 。一个函 数由对应法则f与自变量的取值范围D所确定。因此，两个函数相等是指这两个函 数的 f 和 Df 都相等。 例如 y = arcsin(2 + x2 ) 不是函数关系（定义域不能为空）
,
则称函数f(x)在区间（a，b）内严格单调增加。
反之，若对任意两点当x1<x2时恒有 调减少。这两类函数统称为单调函数。
，则称函数f(x)在Df内严格单
如果能作出函数的图像，那么这个函数的单调性很容易得到,如
是一条抛
物线，它在
上单调减少，在
上单调增加。
以后利用导数工具能很方便地判断函数的单调性。
4．有界性 （区间内有界）
（3）重视实际运用：求围积，求极值
3、方法：多思考、多理解、多练习
初等数学：“常量”的数学，高等数学：“变量”的数学
第一章 函数
第一节 集合
一、集合的概念
1．集合 集合是具有某个共同属性的一些对象的全体，简称集，一般用大写字母 A、B、
C……表示。构成集合的每一个对象称为该集合的元素。 用小写字母 a、b、c…… 表示
（1）点 x0 的δ 邻域，是指以 x0 为中心,长度为 2δ 的开区间 (x0 − δ , x0 + δ ) ，即 | x − x0 |< δ ,δ > 0 。点 x0 称为该邻域的中心，δ 称为该邻域的半径，在数轴上的 表示为：
例如：2 的 3 邻域就是
即（-1,5）。注意：2 的 3 邻域与 3 的 2 邻域是
与
由于定义域不相等，他们就不是同一个函数。
y=2x 与 y=2v 是相同的函数（函数表示法的无关特性）
(2)定义域是允许自变量取值的范围
使函数式有意义（分母不为零，偶次根号下非负，
中
等
使实际问题有意义（对实际问题而言，如价格不能小于零）
例：自由落体运动 s = 1 gt 2 ，g 为常数， t ∈[0,+∞) 2
（3）半开半闭区间 (a,b] = {x | a < x ≤ b}，在数轴上则表示以 a，b 为端点且包含 左端点 a 的一条线段。类似的有[a, b) = {x | a ≤ x < b}。
上述端点为有限值的区间称为有限区间，有限区间可求区间长度 b-a。
（4）5 种无穷区间： (a,+∞) = {x | x > a} [a,+∞) = {x | x ≥ a} (−∞, b) = {x | x < b} (−∞, b] = {x | x ≤ b} (−∞,+∞] = {x | x ∈ R} = R 注意 ∞ 是一个记号，不是一个数，因此与 ∞ 相伴的肯定是圆括弧。 区间统称：区间 I （不分开闭，有限还是无限）
二、函数的几种简单性质
1．奇偶性（对称区间内的对称性）
设有函数
,其定义域 Df 关于原点O对称，
（1）如果对任何
，恒有
，则称函数为偶函数；
（2）如果对任何
，恒有
，则称函数为奇函数。
在几何上，偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点中心对称。 （*）除了奇函数和偶函数以外，还存在大量的非奇非偶函数，可以证明任何 一个函数一定能写成一个奇函数和一个偶函数之和。对于任意 y=f(x)， g(x)=f(x)+f(-x) 必定是偶函数，h(x)=f(x)-f(-x) x 的奇次幂是奇函数，x 的偶次幂是偶函数。 两个奇函数的积是偶函数，两个偶函数的积是偶函数，奇函数与偶函数的积是奇 函数。
2．周期性 （无穷区间上的周期性）
设有函数
若存在ω > 0 ,对一切
，则称
为周期函数，
的一个周期。
恒有
最小的正周期称为函数的周期，记为 T。如
，周期
。
并非所有的函数都有最小的正周期，如
周期 T 找不到。
3．单调性 （区间内的增减性）
函数 y = f (x) 在区间（a，b）内的任意两点 x1, x2 当x1<x2时，恒有
三、集合的运算律
集合运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律等一系列性质。
四、集合的笛卡尔乘积（有序集合）
(x,y)——二元有序数组，一般地，(x,y)≠(y,x) (x,y,z)——三元有序数组 定义：设有集合 A 和集合 B，当 x∈A，y∈B，称所有有序数组(x,y)所组成 的集合为集合 A 与 B 的笛卡儿乘积，记为 A×B= A×B={(x,y)| x∈A，y∈B} 例 1 A = {1,2,3,4}, B = {2,3} A × B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)} B × B = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} 例 2 A = {x | 0 ≤ x ≤ 2} ， B = {y | 0 ≤ x ≤ 1} A × B = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1} 矩形区域 例 3 坐标平面 R×R={(x,y)| x∈R，y∈R}——笛卡儿直角坐标系平面
4、邻域 ——特殊的开区间 | x − 2 |< 3 ：以点 2 为中心，区间长度为 2×3 的开区间 (2 − 3,2 + 3) | x + 2 |< 3 ：以点-2 为中心，区间长度为 2×3 的开区间 (−2 − 3,−2 + 3)
| x − x0 |< δ ：以点 x0 为中心，区间长度为 2δ 的开区间 (x0 − δ , x0 + δ ) ⇔ x0-δ<x< x0+δ
二、集合的运算
1、集合的并：
由集合 A 与集合 B 中的所有元素构成的集合称为集合 A 与 B 的并。记作 A∪B，
读作 A 与 B 的并，
AB
2、集合的交： 由集合 A 和集合 B 的所有公共元素构成的集合，称为集合 A 与 B 的交。记作
A∩B，读作 A 与 B 之交，
A∩B=Φ 什么意思？两个集合是分离的，没有公共元素
AB
3．集合的类型 (1)有限集：所包含的元素的个数只有有限个的集合称为有限集，如 A={1，2}是 有限集。 (2)无限集：所包含的元素的个数是无限个的集合称为无限集，如 B={x|x>0}是无 限集。 可列集、不可列集 (3)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作 Φ。
注意：0，{0}，Φ，{Φ}（含有一个元素空集的非空集合） (4)子集
y = 1/ x 在（0，2）内是无界的，在[1，+ ∞ ）内是有界的。
2、绝对值
|
x
|=
⎧x ⎩⎨−
x
x ≥ 0 ，几何意义： x 点与原点之间的距离 x<0
| x |< a, (a > 0) ⇔ −a < x < a
| x |> b, (b > 0) ⇔ x < −b或x > b
| x − a | ： x 点与 a 的距离
| x − 3 |= 1 ： x = 2 或 x = 4
设函数 y = f (x) 在区间（a，b）内有定义，如果 ∃ M>0，对于 ∀x ∈ (a,b) ，恒有
|f(x)| ≤ M，则称函数 y = f (x) 在区间（a，b）内有界。否则（如果不存在这样
的 M）称函数在区间内无界。
例如：
，由于| sin x |≤ 1 所以 f (x) = sin x 是 (−∞,+∞) 上的有界函数。
点表示函数值，这样，在Df内的每一个x及相应的函数值f(x)就确定了该平面直
角坐标系中的一个点P(x ，y)，当x在Df 内变动时，点P便在坐标平面上移动，所
有这些点的集合
就是函数
的图像，通常为平
面上的一条曲线。 把函数曲线投影到x轴，便在x轴上得到函数的定义域 Df 。 有一些特别的函数是不能用几何图形表示的。
若有两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，则称集合
A 是 B 的子集，记作
，读作 A 包含于 B 或 B 包含 A。
显然有， A ⊂ A, Φ ⊂ A 。
若集合 A 和集合 B 含有相同的元素，则两个集合相等，记作 A = B。
A = B ⇔ A ⊂ B且A ⊃ B