第5课时 二次函数
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
C．b＝－9，c＝－5
D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5 化为顶点式为
y＝(x－
3 2
)2＋ 141.
将 y＝(x－3 )2＋11 向左平移 3 个单位长度，
2
4
再向上平移 2 个单位长度，
即为 y＝x2＋bx＋c.则
y＝x2＋bx＋c＝(x＋
3 2
)2＋ 19
4
，
化简后得 y＝x2＋3x＋7，
2
答：对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数y 1 (x 6)2 3 2
可以看作是由y 1 x2 2
怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6
个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个
单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21的图象
O (1)
如果 a > 0，当x< b 时，y 随
2a
x 的增大而减小；当 x > b
2a
时，y 随 x 的增大而增大；当
x x= b 时，函数达到最小值，
2a
最小值为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
y x b
2a
O
x
(2)
如果 a < 0，当 x < b 时，y 随 x
顶点坐标 对称轴
(1,1)
x=1
(0,-1)
y轴
(
1 3
,-6)
直线
x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1 最小值-6
2020-2021年九年级下册华东师大版数学习题课件 26.2.2 第5课时二次函数最值的应用
二次函数的最值在实际生活中的应用
5．(3分)一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)与飞行时间t(秒)满足 函数关系h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．1米 B．5米 C．6米 D．7米 6．(3分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形 ABCD的最大面积是( C ) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
解：(1)设 AD＝x 米，则 AB＝1002－x .依题意，得x（1002－x） ＝450， 解得 x1＝10，x2＝90.∵a＝20，且 x≤a，∴x＝90 舍去，∴利用旧墙 AD 的长为 10 米
(2)设 AD＝x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米，①如果按图① 方案围成矩形菜园，依题意，得 S＝x（1002－x） ＝－12 (x－50)2 ＋1 250，0<x≤a，∵0<a<50，∴x≤a<50 时，S 随 x 的增大而增 大，当 x＝a 时，S 最大＝50a－12 a2.
【素养提升】 14．(24分)(教材P20试一试变式)空地上有一段长为a米的旧墙MN，某 人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米． (1)已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且 围成的矩形菜园面积为450平方米．如图①，求所利用旧墙AD的长； (2)已知0<a<50，且空地足够大，如图②.请你合理利用旧墙及所给木栏 设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求出面积的 最大值．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)设计费能达到24 000元吗？为什么？ (3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时PPT课件(华师大版)
例 3 [教材补充例题]
2
(1)已知 0≤x≤1,那么函数 y=-2x +8x-6 的
最大值是 ( B )
B.0
A.-6
C.2
D.4
2
(2)函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是 ( C )
A.4 和-3
B.-3 和-4
C.5 和-4
D.-1 和-4
第5课时
二次函数最值的应用
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第5课时
二次函数
二次函数最值的应用
目标突破
总结反思
第5课时
二次函数最值的应用
目标突破
目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例 1 [教材补充例题] 如图 26-2-4,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12
第5课时
二次函数最值的应用
2
2
则 y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x +360x-9600=-3(x-60) +1200.
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,y 有最大值,最大值为 1200,∴销售该
苹果每天能获得的最大利润是 1200 元.
上面的解答过程正确吗?如果不正确,错在哪里?并写出正确的
cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动(不
与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(不
与点 C 重合),点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(第5课时)
二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质 班级： 姓名：一、阅读课本：第18页问题3．作图并“比较图像” 二、学习目标：会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象；掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 三、探索新知： 画出函数221x y -=，2)1(21+-=x y ，y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．由图象归纳： 2．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2－1．四、理一理知识点2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．五、课堂练习2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝12x2相同的解析式为（）A．y＝12(x－2)2＋3 B．y＝12(x＋2)2－3C．y＝12(x＋2)2＋3 D．y＝－12(x＋2)2＋34．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为__________________． 六、目标检测1．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 2抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 ． 3图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）Ａ．h m = Ｂ．k n = Ｃ．k n > Ｄ．0h >，0k >4．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）ABCD5．将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．6．一条抛物线的对称轴是x ＝1，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个） 7.已知二次函数的图象顶点是P (1,－3),且经过(2,0),求这个函数的解析式.8.已知y = a (x － h )2+ k 是由抛物线y =－21x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线.(1)求a 、h 、k 的值; (2)在同一直角坐标系中,画出y = a (x － h )2+ k 和y =－21x 2的图象;(3)当x 取何值时,y 随的增大而增大?(4)观察y = a (x －h )2+ k 的图象,你能说出对于一切x 的值,x21()2y x m n =-+函数y的取值范围吗?9.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 一辆货运卡车高5.4m，宽4.2m，它能通过该隧道吗？(3) 如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有4.0m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？。
2.2 二次函数的图象与性质 第5课时 教案
一、情境导入在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙的身高是1.5米，距甲拿绳的手水平距离为1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏，恰好通过．你能根据以上信息确定学生丁的身高吗？二、合作探究探究点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质【类型一】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的性质若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－b2a＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故选C.方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－b2a＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________(填序号)．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；因为对称轴在y轴右侧，∴对称轴为－b2a＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正确．故答案为①②③.方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()解析：若函数y＝mx＋m中的m＜0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－b2a＝－22m＝－1m＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误，D选项正确；若函数y＝mx＋m中的m＞0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－b2a＝－22m＝－1m＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误．故选D.方法总结：熟记一次函数y＝ax＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【类型四】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与几何图形的综合已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点．(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积S △MCB .解析：(1)将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物线的解析式先求出点M 和点B 的坐标，可将S △MCB 化为其他图形面积的和差来解．解：(1)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)令y ＝0，得(x －5)(x ＋1)＝0，解得x 1＝5，x 2＝－1，∴点B 的坐标为(5，0)．由y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，得点M 的坐标为(2，9)．作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB ＝S 梯形MEOB －S △MCE －S △OBC ＝12(2＋5)×9－12×4×2－12×5×5＝15. 方法总结：本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型五】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的实际应用跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E .以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD 之间且离点O 的距离为t 米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t 的取值范围．解析：(1)已知抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋0.9，选定抛物线上两点E (1，1.4)，B (6，0.9)，把坐标代入解析式即可得出a 、b 的值，继而得出抛物线解析式；(2)求出y ＝1.575时，对应的x 的两个值，从而可确定t 的取值范围．解：(1)由题意得点E 的坐标为(1，1.4)，点B 的坐标为(6，0.9)，代入y ＝ax 2＋bx ＋0.9，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋0.9＝1.4，36a ＋6b ＋0.9＝0.9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.1，b ＝0.6.故所求的抛物线的解析式为y ＝－0.1x 2＋0.6x ＋0.9； (2)157.5cm ＝1.575m ，当y ＝1.575时，－0.1x 2＋0.6x ＋0.9＝1.575，解得x 1＝32，x 2＝92，则t 的取值范围为32＜t ＜92.方法总结：解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．三、板书设计二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）函数有最小值B．对称轴是直线x=A．C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞03．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或24．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________．5．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________．6．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=_________．7．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．8．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．9．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________个；（2）∠求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；∠求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学过程中，注重为。
第5课时：二次函数的图象与性质(4)
第六章 二次函数 第5课时：二次函数的图象与性质（4）班级 姓名 学号学习目标：1、会用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式；2、会用公式法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标；3、理解函数c bx ax y ++=2的性质。
问题探索： 知识回顾： 1、填表：2①++x x 42＝(x ＋ )2； ②+-x x 272＝(x － )2； ③++=++22)3(126x x x ； ④+-=+-22)27(137x x x .探索与思考1：函数322++=x x y 的图象是抛物线吗?问题1：用配方法将二次函数4212++-=x x y 化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.练一练：用配方法把下列二次函数化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标.(1)4822+-=x x y ； (2)xx y 232--=；(3)142+--=x x y ； (4)92312+-=x x y .探索与思考2：二次函数的顶点坐标公式.用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式. 问题2：用公式法求下列二次函数的顶点坐标. (1)2122--=x x y ； (2)22134x x y -+=. (3)13432-+=x x y ； (4)x x y 6232--=.探索与思考3：二次函数c bx ax y ++=2的性质.二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )， 对称轴是 的直线(当0=b 时， 对称轴是 ). (1)若0>a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . (2)若0<a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . 练一练：填表：问题3：已知二次函数21222-++-=m x x y 。
26.2 二次函数的图象与性质(第5课时)
a＜0
向下
对称轴
顶点坐标 最值 增减性
直线x=h
（ h, k ） 当x=h时，y最小值=k 当x＜h时，y随x的增 大而减小；x＞h时，y 随x的增大而增大.
直线x=h
（ h, k ） 当x=h时，y最大值=k 当x＞h时，y随x的增大 而减小；x＜h时，y随x 的增大而增大.
二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系
上下平移
y = ax2
左右平移
二次项系数a不变.
1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验 证.
3 2 1. y 2x 3 5; 2. y 0.5x 1 ; 3. y 4 x 1; 3 2 2 2 4. y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y 4 x 3 . Nhomakorabea1
1 2 怎样移动抛物线 y x 就可以得到抛物线 2
1 y ( x 1) 2 1？ 2
平移方法2 向左平移 1 2 1 2 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 个 向 单 下 位 平 移 1
1 y
1 y ( x 1) 2 1 2
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
探究归纳
例1 画出函数 y 点与对称轴. 解: 先列表 x
1 y ( x 1) 2 1 2
1 ( x 1) 2 1的图象.指出它的开口方向、顶 2
· · · －4
· · ·
－3 -3
－2 -1.5
-1 -1
0 -1.5
直线x=-1
第5课时二次函数
第5课时：二次函数编者：曹金凤 审核：郭红霞 班级_________第一部分 预习案 学号_________一、知识回顾 姓名_________1、一次函数、二次函数的图象及性质2、 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系二、基础训练1．设函数()21f x mx mx =--，若()0f x <的解集为R ，则实数m 的取值范围是 ．2．若12,x x 是方程24420x mx m -++=的两个实数根，则2212x x +的最小值为 ．3．二次函数的图象经过点(1,2),(0,7)-，且对称轴为2x =，则函数的解析式为 ．4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+-=0,0,2)(22x mx x x x x x f 为奇函数，若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，则实数a 的取值范围为_______________．三、我的疑惑第二部分 探究案问题1．根据下列条件求二次函数()y f x =的解析式（1）图象顶点坐标为(2,1)-，与y 轴交点坐标为(0,11)（2）()f x 满足(0)1f =且(1)()2f x f x x +-=（3）()f x 的零点为22--和22+-，且(0)1f =问题2. （1）已知函数b ax x x f ++=2)(的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)6,(+m m ，求实数c 的值。
（2）已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值．问题3．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围．我的收获第三部分训练案1．若函数f(x)＝ax2－6x＋2的图象与x轴有且只有一个公共点，则a＝________.2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．3．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α<1<β<2，则实数m的取值范围是. 4．设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为______．5．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．6．已知()()()2f x x a x b =---，,m n 是方程()0f x =的两根，且,a b m n <<，则实数,,,a b m n 的大小关系是________．7．是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]，若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．8．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。
教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.二次函数的图象和性质的推导和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。
3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。
二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件
A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1， 顶点坐标：(1，-2)
动脑筋 画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第5课时)》示范教学设计
二次函数的图象和性质（第5课时）教学目标1．针对具体的系数取值，能画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象，并能指出如何由y ＝ax 2的图象平移得到．2．能根据表达式说出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过自主画图探索活动，增进学生对抛物线自身特点的认知与对二次函数图象和性质的理解，体会数形结合思想的应用．教学重点抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系．教学难点理解a ，h ，k 三个字母系数对二次函数图象的影响．教学过程知识回顾二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质：【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质的知识，为引出新课“二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究新知【问题】在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x =-，()2122y x =--，()21212y x =--+的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，再分别画出它们的图象．根据所画图象，学生回答：教师提问：结合所画图象，观察三个二次函数的顶点坐标和对称轴有什么关系？ 学生观察图象，思考并回答，教师总结．教师追问：三个二次函数图象之间的位置有什么关系？教师提示：可以类比前面研究“抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系”的方法来思考问题．学生根据提示，分小组讨论，并作答．抛物线212y x =-向右平移2个单位长度，就得到抛物线()2122y x =--．抛物线()2122y x =--向上平移1个单位长度，就得到抛物线()21212y x =--+．教师总结：它们的图象只有位置不同．【设计意图】巩固学生对描点法画函数图象的认识，为进一步探究抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系作铺垫．二、典例精讲【例1】画出函数()21112y x =-+-的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．怎样移动抛物线212y x =-可以得到抛物线()21112y x =-+-？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，画出它的图象．根据所画图象，学生回答：抛物线()21112y x =-+-的开口向下，对称轴是x ＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．教师提问：抛物线212y x =-和抛物线()21112y x =-+-有什么关系？学生分小组讨论，尝试利用函数平移知识作答，教师总结．【归纳】一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．【新知】抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的特点：（1）当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． （2）对称轴是x ＝h ． （3）顶点坐标是(h ，k )．（4）如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小． 【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？【师生活动】教师提出问题，学生分小组讨论，并派学生代表回答．【答案】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线经过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3，解得34a =-．因此()23134y x =--+(0≤x ≤3)． 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管长2.25 m ．【设计意图】通过例1和例2的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象与性质二、抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax ²(a ≠0)的位置关系课后任务完成教材第37页练习．。
22.1 二次函数的图象和性质(第5课时)
这节课你有什么收获？
九、作业： 教科书习题22.1第6题，第7题（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
十、课后反思
课题
22.1二次函数的图象和性质（第5课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
本节课是在讨论了二次函数 的图象和性质的基础上对二次函数y = ax 2+bx+c的图象和性质
进行研究．主要的研究方法是通过配方将y=ax 2+bx+c向 转化，体会知识之间内在联系．在
具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a＞0和a＜0的情况，再从特殊到一般，得出y=ax 2+bx+c
的图象和性质．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点
五、教学难点
六、教学方法
自主、合作、探究
七、教具
多媒体
八、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
激情导入
展示目标
明确学习目标
自主学习
问题1
如何研究二次函数 的图象和性质？
你能画出 的图象吗？
如何直接画出 的图象？
观察图象，二次函数 的性质是什么？
小组合作
你能用前面的方法讨论二次函数y = -2x 2 - 4x +1的
图象和性质吗？
你能说说二次函数y = ax 2 + bx + c的图象和性质吗？
达标测评
2）二次函数y = -2x 2 + 4x -1，
当x _____时，y随x的增大而增大，
当x ______时，y随x的增大而减小．
二次函数的图象与性质第5课时二次函数yax2bxc的图象与性质课件北师大版数学九年级下册
简记： 左同 右异
ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
b
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0
图象过原点
c
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
简记： 左同 右异
例 二次函数y=αx2+bx+c的图象如图，则( C )
A.b>0,c>0
B.b>0,c<0
C.b<0,c<0
D.b<0,c>0
y
由与轴交点在轴负半轴上得：c<0
由对称轴在轴右侧得：
b 2a
＞0
又开口向上得：a>0
∴b<0
O
x
针对训练 D
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
问题 怎样将y=2x2－8x+7化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式？
例1：①求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
解： y = 2x2－8x+7
y=2x2－8x+7
= 2(x2－4x)+7 “提”：提出二次项系数；
= 2(x2－4x+4)－8+7
“配”：括号内配成完全平 方式(一次项系数绝对值一
B B
二、二次函数系数与图象的关系
(1)a决定抛物线的开口方向
当a >0时，开口向上； y
当a <0时，开口向下． y
O
x
O
x
(2)b与a决定对称轴的位置
当b与a同号，即
b 2a
＜0
时，
对称轴在y轴左侧；
2214二次函数第5课时(上下左右平移)课件-浙江省台州市书生中学人教
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
1.y
=
2x+
32
-
1, 2
2.y
=
-
1 3
x
+
12
-
5.
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2 的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?
它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数
-2
2
4
6 什么8?
?
-1
(3)他们的增减性如何？
-2
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次 函-3 数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
-4
那么y=- 3(x-1)2-2,是哪个二次函数怎么移动得到的?
-5
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(xh)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看 成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单 位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿 对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上 平移;当k<0时,向下平移)得到的.
抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点： 1.a决定它的开口方向; 2.对称轴是直线 x= h; 3.顶点坐标（h,k）.
反之，当顶点坐标为（h,k）时，我们可以设 二次函数为 y=a(x-h)²+k
1.根据下列条件,,求二次函数的关系式． （1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8） （2）已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点
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二次函数（一）
【学习目标】 理解二次函数的概念，熟练掌握二次函数的图像与性质. 【学习重点】 基本初等函数的图像及性质. [自主学习]
1.什么叫做二次函数？它的图象是什么？
答：_______________，y 叫做x 的二次函数。
它的图象是一条________。
(考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式) 2.二次函数的解析式的三种形式
一般式:)0(2
≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是 ；顶点为 ； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ； 顶点式：h k x a y +-=2
)(；对称轴方程是 ；顶点为 ； 3.二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的单调性：
当0>a 时： 为增函数； 为减函数；
当0<a 时： 为增函数； 为减函数；（填写单调区间） [基础训练]
1. 若函数y=(m －2)x 2
+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 .
2．抛物线y=2x 2+4x+m 2
－m 经过坐标原点，则m 的值为 . 3．抛物线y=x 2
+bx+c 的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 4．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴
5. 二次函数y=3x 2
－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 .
6. 已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 .
7. 已知二次函数y=－12 x 2+3x+5
2
的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则
y 1,y 2,y 3的大小关系为 . [技能提升]
1. 在同一坐标系中，函数y= ax 2+c 与y= c
x
(a<c)图象可能是图所示的( )
A B C D
2．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
3. 已知二次函数y=x 2
－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围.
二次函数（二）
【学习目标】熟练掌握二次函数的图像与性质，从而能判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
体会高中数学中数形结合的思想.
【学习重点】基本函数图像的综合运用. [自主学习]
1. 二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的内在联系.
(1)f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像与x 轴交点的横坐标是方程___________的实根. (2)若21,x x 为f(x)=0的实根，则f(x)在x 轴上截得的线段长应|21x x -|=___________. (3)当_________________时，恒有f(x)>0; 当__________________时，恒有f(x)<0. (4)若21,x x 为f (x)=0的实根，则当0>a ,∈x _______________时，f(x)>0； 当0<a ,∈x _______________时，f(x)<0.
2. 设f (x)=ax 2+bx+c(a>0), 则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况. (1)若],[2-n m a
b ∈，则
=max f ______________,=min f ___________________. (2)若],[2-n m a
b ∉，则
=max f ______________,=min f ___________________.
[基础训练]
1. 函数f(x)= x 2+2x-4的图象与x 轴的交点为A 和B ，则他们的坐标分别为
___________________，|AB|=___________.
2. 函数f(x)＝－3x 2
＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
3. 不等式0322
>+-x x 的解集为____________________________.
4. 不等式0322≥+--
x x 的解集为____________________________.
5. 求下列函数的最大、最小值.
(1)y=x 2
+x-1,x ∈[-3,-1] (2)y=2x 2
+3x,x ∈[-2, 1] (3)y=-x 2
+2x-1,x ∈[3,5] [技能提升] 1.已知
a ax x x f -++=3)(2，若]2,2[-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 得取值范围.
2.已知方程0)1(2)122
=-+-+m mx x m （有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.。