参数方程与摆线

参数方程与摆线

物理学中的物体运动方程,在数学上就是参数方程。参数方程对于解决实际问题具有重要意义。本专题将介绍参数方程的基本概念，给出参数方程的一个重要实例——摆线。摆线是一类十分重要的曲线，可以分为平摆线、圆摆线、渐开线三大类。我们常见的大部分曲线都可以看成是摆线的特例，如星形线、心脏线、阿基米德螺线、玫瑰线等等。摆线也是很有用的一类曲线,如最速降线就是平摆线；工厂中常用的齿轮通常是渐开线或圆摆线；公共汽车的两折门利用了星形线的原理。再如像收割机、翻土机等许多农业机械和工厂中的车床等,大都采用的是摆线原理。而且，摆线在天文中也有重要应用，行星相对地球的轨迹、月亮相对太阳的轨迹都可以看作是摆线。

本专题主要内容是参数方程与摆线，摆线可以利用向量方法通过参数方程表示出。因此本专题可以看成是“解析几何初步”“平面向量”“三角函数”等内容的综合应用和进一步深化。本专题首先介绍了曲线的一般表示方法，阐述了坐标系的类型和曲线方程的表现形式。这些内容是“解析几何初步”等内容的补充和完善，也是摆线内容的必备基础。通过对本专题的学习，学生将掌握参数方程的基本概念，了解曲线的表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。通过对天体轨道方程的学习和对摆线应用的了解，学生将体会到数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。通过对摆线的探索，学生将树立辨证统一的观点，提高数学抽象能力，发展创新精神。

内容与要求

1. 参数方程

（1）坐标与曲线方程

（2）曲线的一般方程

——隐式方程；

——参数方程；

——参数化与隐式化简介。

（3）特殊的参数方程

（4）参数方程的参数变换

①回顾直角坐标系的概念, 回顾(显式)曲线方程实例,比如抛物线y=x2等。

②给出曲线的显式、隐式和参数方程的定义，说明显式方程是隐式方程的特例，并通过实例(如圆等)，指出隐式方程和参数方程才是曲线的一般方程，介绍隐式方程和参数方程各自的优缺点，说明参数化与隐式化的作用。通过参数变换举例说明，同一曲线可以利用不同的参数来建立不同形式的参数方程，并指出常用的参数形式(如时间、转角和弧长等等)。

③特殊参数方程举例，参数变换简介。

2. 平摆线与圆的渐开线

（1）平摆线（“圆”在“直线”上滚动)

——标准平摆线；

——变幅平摆线；

——平摆线的用途。

（2）渐开线 (“直线”在“圆”上滚动)

——标准渐开线；

——变幅渐开线；

——渐开线的用途。

①介绍标准平摆线的实际背景(如前进中的自行车，车轮上偶然所粘的糖纸在空中画出的曲线,就是标准平摆线)，利用平面向量方法建立标准平摆线参数方程。

②介绍变幅平摆线的实际背景(如前进中的自行车，车轮幅条上一点或车轮气嘴在空中画出的曲线,就是短幅平摆线；如在火车前进时，紧扣在铁轨上的车轮的外边沿上的一点在空中画出的曲线就是长幅平摆线)。指出若考虑幅长变化，则可以将标准平摆线推广为变幅平摆线。变幅平摆线可作为学生作业或探究题材，要求学生建立平摆线的一般方程。

③指出渐开线的几何意义及渐开线与平摆线的对应性质，利用平面向量方法建立标准渐开线的参数方程。可将变幅渐开线的内容作为学生作业或探究素材，要求学生建立渐开线的一般方程。对渐开线与平摆线对应关系的探究，也可作为小科研活动的课题。

④介绍平摆线与渐开线的用途，如最速降线就是平摆线，齿轮的咬合可以利用渐开线等等。这些应用的数学证明可以作为阅读材料给出。“探究最速降线的用途”等题材，可以作为小科研活动的课题。

3. 圆摆线的概念

（1）外摆线 (两圆外切，“动圆”在“静圆”上滚动)

（2）内摆线 (两圆内切，“小圆”在“大圆”内滚动)

（3）环摆线 (两圆内切，“大圆”在“小圆”外滚动，类似呼啦圈的转动)

（4）圆摆线的对偶关系

①给出外摆线的定义，直接导出变幅外摆线的一般方程。讨论具体的外摆线(如心脏线等)，尝试通过改变两圆半径比和改变幅长，构造和探索各种外摆线。

②给出内摆线与环摆线的定义，指出外摆线、内摆线与环摆线的概念是依据生成方式给出的。利用图示法说明外摆线的一般方程，也适用于内摆线与环摆线，因此是圆摆线的一种统一方程(圆摆线统一方程Ⅰ——以转角为参数)。

③利用统一方程，讨论和探索具体的圆摆线(如星形线、玫瑰线都是内摆线，心脏线可以用环摆线表示等)，尝试通过改变两圆半径比和改变幅长，构造和探索各种圆摆线。直角坐标系与极坐标系下，特殊曲线的不同表示可以作为学生的探究课题。

④利用圆摆线的统一方程，通过代数变换导出对偶方程与对偶关系，举例说明对偶关系的几何意义。进而说明内摆线的对偶还是内摆线，外摆线与环摆线互相对偶。有条件的学校可以利用计算机来动态演示对偶现象。

4. 圆摆线与天体运行轨道

（1）理想模型——天体运行方程

（2）等效形式——天体轨道方程（同转轨道、异转轨道）

（3）方程的统一性质（圆摆线统一方程Ⅱ——以时间为参数）

——分类对应（由天体角速度决定：外摆线、内摆线、环摆线）；

——变幅关系（由天体线速度决定：标准、长幅、短幅）。

（4）方程的对偶性质

——对偶方程的表现形式；

——对偶关系（内摆线与内摆线对偶，外摆线与环摆线对偶）。

①给出太阳、地球、月亮系统的理想模型，指导学生导出月亮的运动方程，即天体运行方程。并介绍地心说、日心说和开普勒的椭圆轨道模型。

②利用曲线参数变换，通过简化天体运行方程，给出天体轨道方程。并根据方程性质，给出天体轨道方程的分类。

③介绍天体轨道方程的统一性，说明天体轨道方程就是摆线的统一方程；给出其与内摆线、外摆线、环摆线的对应关系；并给出具体的对偶关系。圆摆线统一方程Ⅱ的推导，可以作为学生小科研活动的课题。

④让学生观察天体轨道方程的对称性，推测轨道方程存在对偶表示；借助几何直观及平行四边形的性质，想象此时对偶模型新的几何形式。最后，通过代数变换导出对偶方程，此内容也可作为学生小科研活动的课题。

⑤作业或可选探究课题：讨论特殊曲线在圆摆线统一方程Ⅱ下的具体表示，观测行星运动的摆线行为，设计绘制摆线的机械装置。

附录一：摆线的应用选题

（1）最速降线是平摆线

（2）椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘

（3）圆摆线齿轮与渐开线齿轮

（4）收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计

（5）星形线与公共汽车门

（6）行星运动轨道的探索

这些选题可以作为选读材料，或作为课后探究和数学建模的题材。

附录二：摆线的统一方程

（1）圆摆线的弧长参数统一方程（圆摆线统一方程Ⅲ——以弧长为参数）

（2）摆线(平摆线、圆摆线、渐开线)的统一方程（大统一方程）

①此处内容可以作为选读材料，或作为课后探究与数学建模的题材。圆摆线（外摆线、内摆线、环摆线）的统一方程称为小统一方程，一般摆线(平摆线、圆摆线、渐开线)的统一方程称为大统一方程。

②圆摆线的统一方程Ⅲ可以由统一方程Ⅰ经简单变换后直接得到。大统一方程可以由小统一方程（统一方程Ⅲ）经简单的坐标水平平移而得到。平摆线、渐开线是大统一方程的极限状态。

说明与建议

（1）参数方程是本专题的主要工具，本专题的核心内容是利用参数方程学习、探索摆线的性质和作用。首先要说明曲线的表示方法，介绍坐标系的分类(直角坐标系、极坐标系)和曲线方程的三种形式，解释它们的关系。这也是对以前所学内容的补充。

（2）关注学生对已有的平面向量、三角函数等知识的运用，鼓励学生自主建立曲线方程，加强对学生自主探究方面的训练。以平摆线、渐开线作为摆线的基础，以圆摆线为核心，以天体运行为应用，以特殊方程为实例，注重摆线的实际背景，建立摆线的统一方程，了解摆线的性质，探索摆线的用处。

（3）注意曲线可以通过选择不同的参数,建立不同形式的参数方程，体会不同参数在建立曲线参数方程时的作用。圆摆线的三种小统一方程中，小统一方程Ⅱ（即天体轨道方程）最为优美，在表述曲线的分类关系、变幅关系和对偶关系时也最为简洁。

（4）可以在学生中成立摆线兴趣小组,组织学生在数学探究、实际应用、计算机探索等三个方面展开课外活动。