高考数学阶段复习试卷三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题

1. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，已知：3C π=

，a b c λ+=（其中1λ>）

(1)当2λ=时，证明：a b c ==； (2)若3AC BC λ⋅=u u u r u u u r ，求边长c 的最小值.

2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=-

（1）求函数()f x 在区间[,]42

ππ上的值域；

（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =，求ABC ∆面积的最大值。

3. 已知函数2()22cos f x x x m =+-

(Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π

∈上有解，求m 的取值范围；(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对

的边，当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-，2b c +=时，求a 的最小值

4. 在ABC ∆中，sin A a =． (1)求角B 的值；(2)如果2b =，求ABC ∆面积的最大值．

5. 如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o

，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设AOP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.

6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5

C =． (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ︒

∠=，22OP =M 在线段P Q 上． (1)若5OM =PM 的长；

(2)若点N 在线段MQ 上，且30MON ︒∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．

试卷答案

1. 答案：(1)见解析

(2)见解析

分析：(1)∵a b c λ+=，由正弦定理得，sin sin sin A B C λ+==

2

sin sin()3B B π∴+-=sin()1,63

B B ππ+=∴=，∴AB

C ∆为正三角形，a b c ∴==.

(2)由余弦定理得；2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，

又由3AC BC λ⋅=u u u r u u u r 知：32,ab λ=再由a b c λ+=可得：

322232

2661c c c λλλλ=-⇒=-，设3

26()(1)1f λλλλ=>-，下面求()f λ的最值.求导函数

()f λ'=，当()0f λ'=时，解得λ=0,λλ==.由于当

1λ<<()0f λ'<；

当λ>()0f λ'>，故()f λ在上时减函数，在)+∞上是增函数，因此当λ=()f λ取极小值，

又在(1,)+∞上()f λ有且只有一个极值点，所以当λ=

()f λ取到最小

值.min ()f f λ==

于是在ABC ∆中边长c 存在最小值，不存在最大值，其最小值为min c =

=.

2. 答案：答案见解析

分析：（1）()2cos (sin )sin 222sin(2)3f x x x x x x x π===-

， 由

42x ππ剟 ，有22633

x πππ-剟，得函数()f x 的值域为[]1,2.

（2）由()f C =，有sin(2)32C π-

=，又角C 为锐角，则22333C πππ-<-<， 从而233C π

π

-=，得3C π

=

由余弦定理得：224a b ab +-=，又222a b ab +…

，故224a b ab ab =+-…。

从而1sin 24

ABC S ab C ab ∆=

=„故当a b =，即ABC ∆为正三角形时，ABC ∆. 3. 答案：答案见解析

分析：（1）()2sin(2)16f x x m π=++-，2sin(2)16m x π∴=++在[0,]2π内有70,2666

x x ππππ∴+Q 剟剟 02sin(2)3,036x m π

∴+∴剟剟

（2）3,()2sin(2)216m f A A π==+-=-Q ， 1sin(2),226266A A k ππππ∴+=∴+=+ 或5

22,()(0,),663A k k Z A A π

ππππ+=+∈∈∴=Q ，,23

A b c π=∴+=Q …当且仅当b c =时bc 有最大值1

22222cos ()343a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-

a ∴有最小值1，此时1

b

c ==

4. 答案：答案见解析

分析：(1)因为

sin sin a b A B =，sin A B a b =，

所以sin ,tan B B B ==

因为(0,)B π∈，所以3B π

=．

(2)因为3B π

=， 所以2221cos 22

a c

b B a

c +-==，