1.3 矢量场的通量及散度

1.3 矢量场的通量及散度
1.3.1 矢量场的概念
定义：空间区域V 内的某一物理系统的状态，可以用一个矢量函数F (r ，t )来描述。

对于V 中任意一点r ，若F (r ，t )有确定的值与之对应，则称F (r ，t )是定义于V 区域上的矢量场。

矢量场也有两个特点：①F (r ，t )为空间坐标的函数（点函数），显示单值性；
②F (r ，t )要占有一个空间。

矢量场也分恒稳矢量场F (r )和时变矢量场F (r , t )。

矢量场F (r ，t )可用矢量线（简称F 线）来形象地描述。

F 线是带有箭头的空间曲线，其上任一点的切线方向即为该处矢量场的方向，F 线的疏密反映矢量场分布的弱或强，矢量线互不相交。

直角坐标系下矢量场可表为：
()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++= (1.3.1)
F 线上的任一线元矢量d l 总是与该处的F 共线，有
0d =⨯l F
即
()()()0d d d d d d =-+-+-z
y
x
y
x
z
x
z
y
x F y F z F x F y F z F e
e e
则F 线的微分方程
z
y x F z
F y F x d d d == (1.3.2) 1.3.2. 矢量场的通量
（1）恒稳液流场v (r )
液体流动形成液流场，其中每一点的流动特点用流速v （r ）表示，反映单位时间内流过与该处液流方向垂直的单位面积的液体体积的多少。

恒稳之意是指与时间无关
恒稳液流场 ⇔恒稳流速矢量场v （r ）。

2）流量概念
面元矢量：对于S 面上的任意面元d S ，指定其正法向方向，设置正法向单位矢量e n ，确定了正法向方向的面元称为面元矢量，表示为d S =d S e n 。

流量：设面元矢量d S 与该处v 间的夹角为θ，则穿过该面元d S 的元流量为
ψd = v n d S = v cos θ d S = v ‧d S (1.3.3)
累加S 面上所有面元的元流量，得穿过S 面的流量
⎰⎰⋅==s
S v d d ψψ （1.3.4）
推广流量的概念，对于任意闭合面，有v （r ）在闭面S 上的闭合面积分
⎰⋅=s d s v ψ （1.3.5）
规定闭面上各d S 的方向为外法线方向，上式就表示流出闭面S 的净流量。

净流量实际上是流出闭面S 与流入闭面S 的流量之差，若
0>ψ ：表示流出多于流入，说明S 内有产生液体的“正源”； 0<ψ ：说明S 内有“吞食”液体的转换器或“负源”； 0=ψ ：表示流出与流入S 的液体相等，S 内无“源”。

即v 的闭合面积分起到检源作用。

（3）矢量场的通量与闭合面通量
将流量和闭合面流量概念推广到一般矢量场F (r )，有通量⎰⋅s s F d 和闭合面通量
⎰⋅s d s F 概念。

分析⎰⋅s d s F
内有负源
闭面内有正源闭面内无源闭面S S S ⇒
<⋅⇒>⋅⇒=⋅⎰⎰⎰0
d 0d 0d s s s s F s F s F
显示了它的检源作用。

θ
e n
v
S
v 线 d s
在直角坐标系中，设
()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++=
d S = d y d z
e x + d x d z e y + d x d y e z
则通量为
⎰⎰++=⋅=s z y x s y x F z x F z y F d d d d d d d s F ψ （1.3.6）
1.3.3. 散度的概念
研究矢量场，需要知道产生闭合面通量的通量场源的逐点分布情况。

为此还需引入矢量场散度的概念。

（1）定义：设矢量场F (r )在其定义域V 内连续、可微，在场中任取一点P ，包围它作一微小的闭合面S ，其内的体积为∆V 。

计算⎰
⋅s d S F ，令∆V 向着P 点收缩，若极限
V
s V ∆⋅⎰→∆s
F d lim
存在，就称它为P 点处F (r )的散度（divergence ）
V
s
V ∆⋅=⎰→∆s F F d lim
div 0
(1.3.7)
分析定义：①散度是标量，它表示在场中任一点处单位体积内场源发出的净通量，反映该点通量源发出闭合面通量的能力，是通量源强度的量度。

②散度通常是空间坐标的函数，它能描述通量源的逐点分布情况。

散度为零、为正或负，反映出场中某点的是无源的、有正（负）源存在或该区域为有源区。

（2）散度的直角坐标表达式 矢量场F (x ,y ,z )中任一点
(x ,y ,z ) ，以它为顶点作边长分别为
∆x 、∆y 、∆z 的小平行六面体，其体积∆V =∆x ∆y ∆z 。

在六面体三顶点a 、b 、
c 处有沿坐标轴正方向的矢量场分矢
量F x (x+∆x ，y ，z )、F y (x ，y+∆y ，z )
y,z )
和F z (x ，y ，z+∆z )。

在点（x ，y ，z ）处按泰勒级数展开
z
z z z y y y y x
x x x z z
x,y,z F x,y,z F z x,y,z y y x,y,z F x,y,z F y,z x,y x x x,y,z F x,y,z F x,y,z x e F e F e F ])
()([)(])
()([)(])
()([)Δ(∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈+
在小六面体的任一面元上，矢量场的法向分量可看成近似不变，有
V
z
F y F x F y x F y x z z
F F z x F z x y y
F F z y F z y x x
F F z y x z z
z y y
y x x
x ∆∂∂+∂∂+∂∂=∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂+⋅≈⎰
)()]
)[()]
)[()])[(d s s F
由定义式得
z F y F x F V
iv z
y x
s
V ∂∂+∂∂+∂∂=
∆⋅=⎰→∆s F F d lim d 0
（1.3.8）
可写成
z
F y F x F z
y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇F （1.3.9）
F ⋅∇表示F (r )的散度，称“⋅∇”为散度算符。

1.3.4. 有关散度运算的几个关系式
（1） 对于相对坐标矢量函数)(r r F '-，有
F F ⋅∇'-=⋅∇ （1.3.10）
（2） 相对位置矢量)(r r R '-的散度为
3=⋅∇R （1.3.11）
（3）对于标量场f (r )和矢量场F (r )之积f F 有
F F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )( （1.3.12）
证：设
f (r ) =f (x ,y ,z )
F ( x,y,z ) = F x ( x,y,z ) e x + F y ( x,y,z ) e y + F z ( x,y,z ) e z
有
)()(z z y y x x fF fF fF f e e e F ++⋅∇=⋅∇
F
F ⋅∇+⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=
f f z
f
F y f F x f F z F y F x F f z
f
F z F f y f F y F f x f F x F f fF z
fF y fF x z y x z y x z z y y x x z y x )
()()
()()()()()( （4）对于R 及其模R ，有
03=⋅∇R
R
（1.3.13）
作业： 10
补充题：试证明 03=⋅∇R
R。