双曲线及其标准方程习题
(完整word版)双曲线及其标准方程练习题.doc
2.2.1 双曲线及其标准方程x 2 y 2 ）1.已知方程1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是（9 kk 3A.3＜k ＜9B.k ＞3C.k ＞9D.k ＜32.方程 x 2 +(k-1)y 2=k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是 （ ）A.k ＜-1B.k ＞ 1C.-1＜ k ＜1D.k ＜ -1 或 k ＞ 13.方程x 2y 2 1表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（）sincosA.二B.四C.二或四D.一或三4.已知双曲线的焦点 F 1（-4，0），F 2（ 4， 0），且经过点 M （2 6 ，2）的双曲线标准方程是 ______.5.双曲线的焦点在 x 轴上，且经过点 M （3，2）、N （-2，-1），则双曲线标准方程是 ______.双曲线x 2 y 2 1 上点 P 到左焦点的距离为 6，这样的点有 ______个.6.12437.双曲线 3x 2 -y 2=2 的右支上有一点 P ， P 到 x 轴、 y 轴的距离之比为，则点 P 的坐标是______.8.若双曲线 x 2 -4y 2 =4 的焦点是 F 1、F 2 过 F 1 的直线交左支于 A 、B ，若|AB|=5，则△ AF 2B 的周长是 ______.1 / 39.已知双曲线 x2y 2 1 ,过它的焦点且垂直于 x 轴的弦长是 ______. 25 2410.在双曲线 x 2-y 2 =4 上的一点，使该点与焦点的连线互相垂直，则这个点坐标是______.11. 已知 12 是双曲线 x 2 21 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠ F 1 PF2 F 、 F y4=90°，求△ F 1PF 2 的面积 .2 / 3参考答案1. C2. C3. C4. y 2 x 2 15. x 2y 2 16. 39 77 73 57.（2 6, 6 ） 8. 189.483510.（ 6 ， 2 ），（- 6 ， 2 ），（ 6 ，- 2 ），（- 6 ，- 2 ）∵ 为双曲线 x 2y 21 上的一个点且 F 1、2 为焦点. 11. P4F∴ ||PF 1|-|PF 2||=2a=4,|F 1 F 2|=2c=2 5∵∠ F 1PF 2=90°∴在 Rt △PF 1F 2 中 ,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20∵（ |PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1 |2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16∴20-2|PF 1||PF 2|=16∴ |PF 1| ·|PF 2|=2∴SF PF12|PF 1| |PF ·2|=1 12由此题可归纳出 S △ F1PF2=b 2cot ∠F 1PF223 / 3。
双曲线及其标准方程(修改版)
F2
x
F1 (0,-c) , F2 (0,c)
F1
| ( y c)2 x2 ( y c)2 x2 | 2a.
化简为：
c2 a2 b2
三.双曲线两种标准方程的比较
x2 y 2 1(a 0,b 0) a2 b2 y
M
F1 O F2 x
y2 a2
x2 b2
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
（
15 3
,
2 ），求双曲线的标准方程。
设法一： 设法二：
这些方法 叫待定系
数法
设法三：
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（
2,
3），（
15 3
,
2），求双曲线的
标准方程。
随堂练习
1 已知方程
x2 2m
y2 m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是____m_＜__－__2_____
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ，| |PF1| - |PF2| | = 6
若 |PF1|=10, 则|PF2|=__4_或__1_6___
题后反思： 求标准方程要做到 先定型，后定量。
例2 已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上
的两点P1、P2的坐标分别（ 2, 3），
新高考数学总复习双曲线的定义标准方程及其几何性质课件教案练习题
2 2
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 .
2 2
2 2
4.与双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2 - 2 =t(t≠0).
5.双曲线的离心率公式可表示为e= 1 +
9 7
返回 27
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=
2 2
2x是双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线,
且点(2 3,2 3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(
2 2
A. - =1
3 4
2 2
B. - =1
3 6
2 2
C. - =1
6 12
2 2
D. - =1
12 24
)
2 2
【解析】选C.由双曲线C: 2 - 2 =1,则其渐近线方程为y=± x,由题意可得: =
可得b= 2a,将(2 3,2
12 12
3)代入双曲线方程可得 2 - 2 =1,解得a2=6,b2=12,
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
返回 3
【命题说明】
考向
考法
高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准
方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题
或填空题形式出现.
预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在
A. 37+4
双曲线练习题(含答案)
双曲线练习题(含答案)双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )A ．双曲线B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y24＝1 D.y 23－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26 9．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2 二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y2＝1焦点相同，则a＝________.20．双曲线以椭圆x29＋y225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13.B 14. D二、填空题1. 10 2. 234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、[答案] A [解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5、[答案] C [解析]ab<0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab<0.6、[答案] C [解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、[答案] D [解析]由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x>0)8、[答案] D [解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2，∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c2a 2＝a 2＋b 2a2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2.14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案] 833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
双曲线及其标准方程2
(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为 340m/s,求曲线方程.
小结
1.用待定系数法求双曲线标准方程的步骤: (1)定位:确定焦点位置,若不能确定,应分 类讨论 定型:求a,b,c 的值. (2)若过两点,无法判断焦点位置的设法.
2.用定义法求双曲线标准方程的思考
双曲线及其标准方程
第二课时
目标
1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程 的求法,特别是待定系数法、定义法; 2.能运用双曲线的定义及标准方程解决实 际问题.
复习
1.双曲线的定义及其注意点; 2.双曲线的标准方程及a,b,c间的关系; 3.椭圆与双曲线的比较.
定义 图象
双曲线定义及标准方程
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
变题1.已知动圆与定圆C1:(x+5)2+y2=49,C2: (x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心的轨迹方程.
什么时候
是另外一
变题2.双曲线
x2 9
y2 1上有动点支P呢,F?1、F2
是其两焦点,求ΔP F1F2的重心M的轨迹方
程.
3.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时 间比在B处晚2s,
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系来自定义 方程椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a x2 y2 a2 b2 1(a b 0) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
2010届高三数学复 习题：双曲线及其标准方程新人教A版
2010届高三数学复习题：双曲线及其标准方程
一、选择题
1．是第四象限的角，方程所表示的曲线是（）．A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
2．已知圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（）．
A．； B．
C． D．
3．若椭圆和双曲线有相同的焦点，，为椭圆与双曲线的公共点，则等于（）．
二、填空题
4．若方程表示双曲线，则的取值X围是________．
5．已知曲线，过焦点的弦长为，另一焦点为，则的周长为_______________．
6．双曲线的焦点坐标是__________．
三、解答题
7．若椭圆与双曲线有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于，求椭圆及双曲线方程．
8．过双曲线的右焦点作倾角为30°的直线，交双曲线于，两点，求．
9．是双曲线上任意一点，是右焦点，在、的延长线上，，求点轨迹方程．
10．已知双曲线，过点能否作直线交双曲线于、两点，且线段中点为？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
参考答案：
一、选择题：1．C 2．B 3．A
二、填空题：4．或5．6．
三、解答题：
7．，． 8．3． 9．．
10．设过的直线方程为代入整理得：
…①，又设、，若为的中
点，则，即，解得．这时①化为，，无实解，故不存在满足条件的直线．。
双曲线新课习题集
双曲线及其方程 （第一课时）一、 教学目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导。
二、 重点：双曲线的定义和标准方程。
难点：标准方程的推导。
三、 基本概念：1、双曲线的定义： 叫做双曲线的焦点。
叫做双曲线的焦距。
2、注意：0〈2a<21F F =2c3、思考：当2a=2c 时轨迹如何？ ，当2a>2c 时又如何？四、 双曲线的标准方程及其推导。
（一） 双曲线的标准方程的推导： 1.建立直角坐标系：2.写出适合条件的动点M 的集合：3.列方程：4.化简方程：（二） 双曲线的标准方程：1、焦点在X 轴上时： 2、焦点在Y 轴上时： 3、a 、 b 、 c 的关系 五、典型例题：例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别是（-5,0）,(5,0), 双曲线上的点与两个焦点的距离的差的绝对值等于8； （2） 两个焦点的坐标分别是（0，-6），（0，6），且双曲线经过点A （-5，6）.思考：如果已知点M （x,y ）与点F 1（-5，0）的距离比它与点F 2（5，0）的距离大8，求M 点的轨迹方程。
并与例1（1）比较有什么联系和区别？例2、已知双曲线1453622=-y x （1）求此双曲线的左、右焦点F 1，F 2的坐标；（2） 如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于16，求点P 与焦点F 2的距离六、基本练习：1、根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）a=3,b=4, 焦点在X 轴上；（2）两个焦点的坐标分别是F 1（0，-6）, F 2 (0，6), 经过点A （2，-5）.（3） 焦点在X 轴上，经过点P （4，-2）和点Q （2,622）；（4） a=5,c=8;2、已知双曲线方程1201622=-x y （1）求双曲线的焦点F 1，F 2的坐标。
（2）如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于8，求点P 与焦点F 2的距离。
七、巩固提高：1、若11222=+++λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围2、求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P （3，415）和Q （,3165）两点的双曲线方程。
双曲线的标准方程
C y
|BC|－|AC|
| AB | = 4 ＜|AB|=8
A
∴点B的轨迹为A、B为焦点的 双曲线的左支 2c=8, 且2a=4, ∴顶点C的轨迹方程为
2 2
2
O
B
x
x y =1 ( x＜2 ) 令y=0得 x=2 － 4 12
1 2 c
本题也可直接用坐标表示 a b
作业:1.课本 P
67 2.已知动圆 ⊙ P 与 ⊙ F 1 : ( x 5 ) 2 y 2 3 6 内切,且 过点 F 2 ( 5 , 0 ) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
x
x 4
2
习题 2.3B 组第 2 题
2
选做作业:
1.设 F 1 , F 2 是双曲线 且满足 F 1 P F 2
即
x 42 y 2
x 42 y 2
4
变式训练：
2.已知动圆 ⊙ P 与 ⊙ F 1 : ( x 5 ) y 36 内切,且 过点 F 2 (5, 0 ) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
2 2
x
2
y
2
1 ( x 3)
9
16
例2:如果方程
x
2
线，求m的取值范围.
2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y
2
2
2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB 过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选D.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，2.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足，且，则该双曲线离心率为．【答案】.【解析】，在中，设，则，.【考点】双曲线的离心率.3.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.5.已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )．A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵抛物线的焦点F（，0），∴由题意知双曲线的一个焦点为F（c，0），>a,（1）即p>2a．∴双曲线方程为，∵点M是双曲线与抛物线的一个交点, 若,∴p点横坐标x=，代入抛物线y2=8x得P，把P代入双曲线P，得，解得或因为p>2a．所以舍去，故（2）联立（1）（2）两式得c=2a,即e=2．故选A．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的离心率的求法．6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率的值是．【答案】【解析】根据渐近线方程有,可知其渐近线的斜率的绝对值小于1,所以两条渐近线的倾斜角分别是与,则根据,得,根据双曲线中有则离心率为.【考点】双曲线渐近线,离心率.7.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可得，所以，所以该双曲线的离心率，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.8.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.【考点】双曲线的渐近线方程10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以三角形为等腰三角形，因此到直线的距离等于底边上的高线长，从而因此又所以该双曲线的渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线11.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．12.若双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为．【答案】.【解析】由双曲线的渐近线方程为及性质可知，两边平方得，即.【考点】双曲线的几何性质.13.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 .【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，∴；双曲线的焦点到其渐近线的距离.【考点】双曲线的定义、抛物线的定义.14.已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在曲线上,∠=,则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】题中唯一的条件是，为了充分利用此条件，我们设，且不妨设，则根据双曲线定义有，对利用余弦定理有，即，因此可求得，下面最简单的方法是利用面积法求得到轴的距离，，可得。
高二数学双曲线及其标准方程
x2 y 2 (4) 1(m 0, n 0) m n
F1( 6,0), F2 ( 6,0)
(2)a 2, b 2, c 2 , F1(2,0), F2 (2,0) F1 (0, 7 ), F2 (0, 7 )
返回
(4)a m, b n , c m n , F1( m n ,0), F2 ( m n ,0)
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“－”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
B
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
双曲线及其标准方程
揭西县棉湖中学 林悦娜
复习
定义
方程
例题
练习
小结
课后练习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 引入问题 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
返回 拉链实验
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
x y 2. 1(m n 0) 是否表示双曲线？ m n
2
2
双曲线及其标准方程练习题及答案
4．P为双曲线 上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．内切或外切
C．外切 D．相离或相交
5．双曲线 的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，Байду номын сангаас1）∪（1，+∞）
6．若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 、 ，P是两曲线的一个公共点，则 的值是（
A．m-aB．
C．
二、填空题
7．双曲线 的一个焦点是 ，则m的值是_________。
8．过双曲线 的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
答案与提示
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A
二、7．-28．
三、9方程为 （y≠0） 10．不存在
11．A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是 ，求它的另一个焦点 的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线 相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
一、选择题：
1．已知点 和 ，曲线上的动点P到 、 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
双曲线及其标准方程练习题.doc
课时作业（十）［学业水平层次］1表示双曲线，则加的取值范围（D. |m|^2【解析】 T 已知方程表示双曲线，（2+加）（2—加）>0. /. —2<m<2.【答案】A2. 设动点P 到A （—5,0）的距离与它到B （5,0）距离的差等于6,则 戶点的轨迹方程是（）2 2 2 2 A 」丄=1=1 宀9 16-116_i 2 2 22 C.g —話=l （xW —3） D.g —牯=1（x23）【解析】 由题意知，轨迹应为以A （-5,0）, B （5,0）为焦点的双 曲线的右支.由c=5, a=3,知b 2= 16,2 2:.P 点的轨迹方程为寺一話=1（心3）.【答案】D3. （2014-福州高级中学期末考试）已知双曲线的中心在原点，两 个焦点円，兄分别为（书，0）和（一书，0）,点P 在双曲线上，且PF1 丄戶尸2，AP^F O 的面积为1,则双曲线的方程为（） 一、选择题A. —2＜加＜2B. m ＞0A •厂c.j-y 2=i【解析】由S 〔|PF1F+|PF2|2 = （2书）2,即2a=4,解得a=2,又c=\[5,所以b=l,故选C.【答案】C2 24. 已知椭圆方程予+牙=1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点 是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A.^2B.^3C. 2D. 3【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a=l,c 2 c=2,所以双曲线的离心率为e=~=^=2.【答案】C二、填空题2 25. 设点P 是双曲线牙一話=1上任意一点，F”巧分别是其左、 右焦点，若|戶刊=10,则戶刊= ___________ .【解析】 由双曲线的标准方程得a=3, b=4. 于是 c=-\/a 2+b 2=5.(1) 若点P 在双曲线的左支上，则\PF2\-\PFr | = 2a=6, \PF 2\ = 6+|戶円| = 16;(2) 若点P 在双曲线的右支上，贝川阳一|阳 =6,•••1戶尸21 = 1戶尸11一6= 10—6=4.在△4BP中，利用正弦定理和双曲线的定义知, |sin A—sin B\sin P综上，IPF2| = 16 或4.【答案】16或46.(2014-河南省洛阳高一月考)已知Fi(—3,0), F2(3,0),满足条件|MiM“2l = 2加一1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的______________ •(填序号)①2；②一1；③4；④一3.2 2【解析】设双曲线的方程为孑一右=1,则c=3, V2a<2c=6,5 7 1|2m—1|<6,且|2加一1|工0, •••—㊁SV刁且加工刁.••①②满足条件.【答案】①②7・(2014-哈尔滨高二检测)已知的顶点4、B分别为双曲线c：看—的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则回書严 1 的值等于.2 2 ________________________________________________________【解析】由方程話—卷=1知cr=l6,kr=9,即a=4, c=#16+9||PB|-|B4||_2a_2X4_4\AB\=2c=2X5 = 5-4【答案】|三、解答题8.求与双曲线予一号=1有相同焦点且过点戶(2,1)的双曲线的方程.【解】*.*双曲线予一号=1的焦点在兀轴上.2 2依题意，设所求双曲线为寺一缶=l(a>0, Z?>0).又两曲线有相同的焦点，•I /+F=4+2 = 6.①2 2又点P(2,l)在双曲线歩一*=1上，4 1••厂产②由①、②联立，得a2=b2=3,2 2故所求双曲线方程为专一'=】•9.已知方程2+y2=4,其中R为实数，对于不同范围的E值分别指出方程所表示的曲线类型.【解】(1)当k=0时，y=±2,表示两条与x轴平行的直线；(2)当k=l时，方程为H+y2=4,表示圆心在原点，半径为2的圆；V2%2(3)当kVO时，方程为；一~^=1,表示焦点在y轴上的双曲线；k2 2(4)当OVkVl时，方程为才+才=1,表示焦点在兀轴上的椭圆；k2 2(5)当E>1时，方程为才+眷=1,表示焦点在y轴上的椭圆.k［能力提升层次］2 2 2 21.椭圆牙+^2=1与双曲线乡一牙=1有相同的焦点，则a的值为（）A. 1B.^2C. 2D. 3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在兀轴上，且a>0.4—a?=a+2, a2a—2=0,.'.a= 1或a=—2（舍去）.故选A.【答案】A2.（201牛桂林高二期末）已知Fi、局为双曲线C：x~y2=l的左、右焦点，点P 在C 上，ZF i PF2=6Q°,则PF I|-|PF2|^于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x~y= 1 中，a=l, b=l, c=y[2,则|PK| —|戶尸21 = 2°=2, |尸1局1 = 2返，\F}F^= \PF X |2+|PF2|2 - 2|PF! | • |PF2| • cos Z F!PF2,8 = |PF1|2+|PF2|2-2|PF]|-|PF2|-|,••.8=4+|"i||PF2l, A |PF I||PF2|=4.故选B.【答案】B2 23.（2014•福建省厦门一中期末考试）已知双曲线話一去=1的左焦点为尸，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆X2+/=16相切于点N, M 为线段PF的中点，0为坐标原点，则|MN —|M0| =【解析】设F是双曲线的右焦点，连PF'（图略），因为M,0分别是FP, FF'的中点，所^\MO\=^\PF' I,又0州=yJ\OFf~\ONf = 5,且由双曲线的定义知\PF\~\PF' \ = &故\MN\-\MO\ = \MF\-\FN\~^\PF' \=^(\PF\~\PF' |)-|FN|=|x8 —5 = —1.【答案】一12 24.已知双曲线話一才=1的两焦点为尸1、尸2.—►—►(1)若点M在双曲线上，且MF l MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3迈，2),求双曲线C的方程.【解】(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h,—►―►MF2=0,MFV则MF］丄M”2,设\MF^\=m, \MF2\ = n,由双曲线定义知，m—n=2a=&又m+ “2 = (2c)2 = 80,②由①②得加•“ = &1 1 =4=刁円尸2|•力，⑵设所求双曲线C的方程为由于双曲线C 过点（3返，2）, 所以 16_久—4+1=1,解得久=4或久=—14（舍去）.2 2所求双曲线C 的方程为診一竟=1. 16——A 4+久 =1(—4<2<16),。
双曲线及其标准方程张妍
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
y
F2
M
y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 2 2 a b a b ① 方程用“－”号连接。 ② a, b 大小不定。
2 2
B
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
解：∵ F1 F2 10 >6,
PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 ( 5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
方 程
焦 点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
移项两边平方后整理得： cx a 2 a
两边再平方后整理得：c 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 2
2 2 x y 两边同除以a 2 (c 2 a 2 ), 得 2 2 1 2 a c a
【精品】高二数学 8.3双曲线及其标准方程(备课资料)大纲人教版必修
●备课资料一、双曲线及其标准方程的学习对双曲线的学习同椭圆一样是通过它的图象研究它的性质的，而熟练掌握双曲线的定义及其标准方程是我们对它深入讨论的基础知识和基本技能.1.深入理解双曲线的定义平面内到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两个焦点的距离叫焦距，用集合语言可叙述为：点集P ={m ||MF 1|-|MF 2||=2a ,a ＞0,2a ＜|F 1F 2|}问题：如果点M 到平面内两个定点F 1、F 2满足条件|MF 1|-|MF 2|=±2a (a ＞0)，则它的轨迹一定是双曲线吗？反过来，如果平面内一个点M 的轨迹是双曲线，一定有|MF 1|-|MF 2|=±2a (a ＞0)这一条件吗？分析：让学生通过具体实际操作过程，不难发现并得出满足|MF 1|-|MF 2|=±2a (a ＞0)且2a ＜|F 1F 2|条件时，才能是双曲线，反过来，也可以得到.如果点M 的轨迹是双曲线，一定有|MF 1|-|MF 2|=±2a (a ＞0)这一条件成立.评析：“动点M 到两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值|MF 1|-|MF 2|=±2a (a ＞0)”是“点M 轨迹是双曲线”的必要而不充分条件.注意：双曲线的定义是我们对它方程式的推导的依据.提供以下题目以熟练双曲线的定义.（1）方程|2222)5()5(y x y x +--++|=6表示什么曲线.答案：双曲线（2）方程2222)4()4(y x y x +--++=6表示什么曲线？答案：双曲线的右支（3）方程2222)4()4(x y x y +--++=8表示什么曲线？答案：以点（0，4）为端点，沿着y 轴正向的一条射线2.熟练掌握双曲线的标准方程问题一，在学习双曲线的标准方程时，应注意些什么？答：①把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，那么这个位置是标准位置，若方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为正且分母为a 2，含y 2的项为负且分母为b 2，所以方程为12222=-by a x . 如果双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，那么这个位置也是标准位置.若方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为负且分母为b 2，含y 2的项为正且分母为a 2,所以方程为12222=-bx a y . ②“定量”和“定位”，要求出双曲线的标准方程，就要求出a 2、b 2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a 2、b 2的方程组，解得a 2、b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a 、b 、c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a 2、b 2在方程中的位置. ［例1］讨论192522=---ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 分析：由于k ≠9,k ≠25,则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25,k ＞25,分别进行讨论.解：（1）当k ＜9时，25-k ＞0,9-k ＞0,所给方程表示椭圆，此时a 2=25-k ,b 2=9-k ,c 2=a 2-b 2=16，这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）.（2）当9＜k ＜25时，25-k ＞0,9-k ＜0,所给方程表示双曲线，此时，a 2=25-k ,b 2=9-k ,c 2=a 2+b 2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）.（3）当k ＞25,k =9,k =25时，所给方程没有轨迹.评述：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感.问题二，在具体求双曲线标准方程时，应怎样进行“巧设巧求”呢？下面通过具体例子说明.［例2］根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）过点P （3，415），Q （-316，5）且焦点在坐标轴上. （2）c =6,经过点（-5，2），焦点在x 轴上.（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点（32，2） 解：（1）设双曲线方程为122=-ny m x ∵P 、Q 两点在双曲线上 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259n mn m解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x 评述：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.注意：此种设法在本书教案§8.1.2备课资料例1的（1）小题已经用过，我们不难发现对于椭圆与双曲线，这种设法都可以用.（2）∵焦点在x 轴上，c =6∴设所求双曲线方程为1622=--λλy x (其中0＜λ＜6) ∵双曲线经过点（-5，2） ∴16425=--λλ ∴λ=5或λ=30（舍去） ∴所求双曲线方程是1522=-y x 评述：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.（3）设所求双曲线方程为：141622=+--λλy x (0＜λ＜16) ∵双曲线过点（32，2） ∴1441618=++-λλ ∴λ=4或λ=-14（舍） ∴所求双曲线方程为181222=-y x 评述：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法. （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.二、参考练习题1.选择题（1）已知方程13922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A.3＜k ＜9 B.k ＞3C.k ＞9D.k ＜3答案：C（2）方程x 2+(k -1)y 2=k +1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是 （ ）A.k ＜-1B.k ＞1C.-1＜k ＜1D.k ＜-1或k ＞1答案：C（3）方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（ ） A.二 B.四 C.D.一或三答案：C2.填空题 （1）已知双曲线的焦点F 1（-4，0），F 2（4，0），且经过点M （26，2）的双曲线标准方程是______.答案：17922=-x y （2）双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M （3，2）、N （-2，-1），则双曲线标准方程是______.答案：1573722=-y x ●备课资料一、双曲线及其标准方程的学习要在熟练掌握双曲线及其标准方程的基础上，灵活地将它应用于双曲线有关的问题中，培养学生对知识的重新组合能力和分析问题、解决问题的能力.1.双曲线及其标准方程在一些问题中的应用.［例1］已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且|PF 1||PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：∵点P 在双曲线的左支上∴|PF 1|-|PF 2|=6∴|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=36∴|PF 1|2+|PF 2|2=100∵|F 1F 2|2=4c 2=4(a 2+b 2)=100∴∠F 1PF 2=90°评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.［例2］已知F 1、F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2 =90°，求△F 1PF 2的面积.分析：利用双曲线的定义及△F 1PF 2中的勾股定理可求△F 1PF 2的面积.解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且F 1、F 2为焦点.∴||PF 1|-|PF 2||=2a =4|F 1F 2|=2c =25∵∠F 1PF 2=90°∴在Rt △PF 1F 2中|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20∵（|PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16∴20-2|PF 1||PF 2|=16∴|PF 1|·|PF 2|=2∴S 2121=∆PF F |PF 1|·|PF 2|=1 由此题可归纳出S △F1PF2=b 2cot ∠221PF F 评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.2.利用双曲线定义求动点的轨迹［例3］已知两点F 1（-5，0）、F 2（5，0），求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹. 分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线.∵c =5,a =3∴b 2=c 2-a 2=52-32=42=16 ∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线. 评述：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解.［例4］在△ABC 中，BC =2，且sin C -sin B =21sin A ,求点A 的轨迹. 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？ 解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B （-1，0），C （1，0）.设A （x ,y ），由sin C -sin B =21sin A 及正弦定理可得： |AB |-|AC |=21|BC |=1 ∵BC =2∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：12222=-by a x (a ＞0,b ＞0) ∴2a =1,2c =2∴a =21,c =1 ∴b 2=c 2-a 2 =43 ∴所求双曲线方程为4x 2-342y =1 ∵|AB |-|AC |=1＞0∴x ＞21 ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分［例5］求下列动圆圆心M 的轨迹方程:(1)与⊙C :(x +2)2+y 2=2内切，且过点A （2，0）（2）与⊙C 1：x 2+(y -1)2=1和⊙C 2:x 2+(y +1)2=4都外切.（3）与⊙C 1:(x +3)2+y 2=9外切，且与⊙C 2:(x -3)2+y 2=1内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的⊙C 1、⊙C 2的半径为r 1、r 2且r 1＞r 2，则当它们外切时，|O 1O 2|=r 1+r 2;当它们内切时，|O 1O 2|=r 1-r 2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M 的半径为r(1)∵⊙C 1与⊙M 内切，点A 在⊙C 外∴|MC |=r -2,|MA |=r ,|MA |-|MC |=2∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：a =22,c =2,b 2=c 2-a 2=27 ∴双曲线方程为2x 2-722y =1(x ≤-2) (2)∵⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切∴|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +2,|MC 2|-|MC 1|=1∴点M 的轨迹是以C 2、C 1为焦点的双曲线的上支，且有：a =21,c =1,b 2=c 2-a 2=43 ∴所求的双曲线方程为：4y 2-342x =1(y ≥43) (3)∵⊙M 与⊙C 1外切，且与⊙C 2内切∴|MC 1|=r +3,|MC 2|=r -1,|MC 1|-|MC 2|=4∴点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且有：a =2,c =3,b 2=c 2-a 2=5∴所求双曲线方程为：15422=-y x (x ≥2) 评述：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题的常用而重要的方法.（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.二、参考练习题1.填空题（1）双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6，这样的点有______个. 答案：3（2）双曲线3x 2-y 2=2的右支上有一点P ，P 到x 轴、y 轴的距离之比为23，则点P 的坐标是______.答案：（6,362±） （3）若双曲线x 2-4y 2=4的焦点是F 1、F 2过F 1的直线交左支于A 、B ，若|AB |=5，则△AF 2B的周长是______.答案：18（4）已知双曲线1242522=-y x ,过它的焦点且垂直于x 轴的弦长是______. 答案：548 （5）在双曲线x 2-y 2=4上的一点，使该点与焦点的连线互相垂直，则这个点坐标是______.答案：（6，2），（-6，2），（6，-2），（-6，-2）2.思维拓展训练题求与⊙C 1:x 2+(y -1)2=1和⊙C 2：x 2+(y +1)2=r 2（r ＞0）都外切的动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M （x ,y ），半径为R ，则有以下关系：|MC 1|-|MC 2|=（R +1）-（R +r ）=1-r|C 1C 2|=2①当0＜r ＜1时，⊙C 1、C 2相离，又有：|MC 1|-|MC 2|=1-r ＜|C 1C 2|=2且|MC 1|＞|MC 2|,则点M 的轨迹为双曲线下支 设其方程为12222=-by a y (y ＜0)，得 a =21r -,c =1,b 2=c 2-a 2=4)3)(1(r r -+ ∴所求点的轨迹方程为： 1)3)(1(4)1(4222=-+--r r x r y (y ＜0) ②当1＜r ＜3时，⊙C 1、⊙C 2相交，有 |MC 1|-|MC 2|＜|C 1C 2|,且|MC 1|＜|MC 2| ∴点M 的轨迹为双曲线 1)3)(1(4)1(4222=-+--r r x r y 的上支位于圆C 1、C 2之外的部分，且过圆C 1、C 2的交点 解⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+22222)1(1)1(ry x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=414)9)(1(222r y r r x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=414)9)(1(222r y r r x ∴所求点的轨迹方程为：1)3)(1(4)1(4222=-+--r r x r y (y ≥412-r ) ③当r =1时，⊙C 1、C 2外切，这时有|MC 1|=|MC 2| ∴所求点M 的轨迹为线段C 1C 2的垂直平分线，即y =0 ④当r =3时，⊙C 1、⊙C 2内切，这时有： |MC 2|-|MC 1|=2=|C 1C 2|∴所求点M 的轨迹为一条射线 即x =0(y ≥2)⑤当r ＞3时，⊙C 2内含⊙C 1 ∴此时点M 无轨迹。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.【答案】【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.【考点】直线与双曲线的位置关系.2.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为( )A．0B．1C．2D．3【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选A.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，3.已知抛物线（）的焦点为双曲线（）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线（）的焦点，它也是双曲线（）的一个焦点，所以有①，由两曲线交点的直线恰过点，可知它们在第一象限的交点为，此点也在双曲线上，故有②，由①②消去，得，即，即，因为，所以，选择B，求离心率的值关键是寻找到关于的等式，然后转化到的方程，从而解出.【考点】圆锥曲线的性质4.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．3D．2【答案】D.【解析】如图，根据对称性，，∴为等边三角形，∴，∴.【考点】双曲线离心率的计算.5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由方程表示双曲线知，又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以，即，所以故选C.【考点】双曲线的标准方程与简单几何性质.6.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】D【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C错．对于选项D:由外角平分线定理得：，故选D．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．7.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线离心率=( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵，联立得：，化简得=.故选A【考点】双曲线的性质及其方程;渐近线方程;离心率8.已知双曲线的左右焦点分别是,过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 ( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】由双曲线的标准方程可知点坐标为，过点斜率不存在的直线，即,与双曲线的交点，代入可求得为，则，又双曲线两顶点分别为，即实轴长为,结合图像，由双曲线的对称性知满足条件的直线还有两条.故共有三条直线满足条件.【考点】双曲线的几何性质.9.如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】由双曲线方程的标准形式可知，解得：或．【考点】本题考查双曲线标准方程的形式.10.是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）焦点在轴上的双曲线渐近线方程为；（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．【答案】存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【解析】先根据（1）的条件设出双曲线的方程，再设双曲线上的动点，然后利用两点间的距离公式得出，结合，最后化简得到，根据二次函数的图像与性质确定的最小值（含），并由计算出的值，如果有解并满足即可写出双曲线的方程；如果无解，则不存在满足要求的双曲线方程.试题解析：由（1）知，设双曲线为设在双曲线上，由双曲线焦点在轴上，，在双曲线上关于的二次函数的对称轴为即所以存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【考点】1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.二次函数的图像与性质.11.设抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为【答案】8【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的焦点为，所以【考点】抛物线及双曲线的焦点12.双曲线的焦距是10，则实数的值是（）A．B．4C．16D．81【答案】C【解析】由双曲线的方程，可得，而，所以由可得，故选C.【考点】双曲线的定义及其标准方程.13.双曲线的焦距为A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件知，∴，∴.【考点】双曲线的定义.14.已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是【答案】【解析】根据题意知，若焦点在轴上，则，∴，∴方程是：；若焦点在轴上，则，∴，∴方程为：.【考点】双曲线的应用.15. .设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设F（c，0），B（0，b），则直线FB的斜率是，相对应的渐近线的斜率为，由题可得∵，∴两边同除以ac得：即可解得离心率.【考点】双曲线的几何性质.16.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是A．B．C．或D．以上答案均不对【答案】A【解析】解：，由方程表示双曲线，根据双曲线标准方程的特点，有解之得：，故选A.【考点】1双曲线的标准方程；2、一元二次不等式的解法.17.已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由双曲线的对称性可知为的中点，又因为为等边三角形，所以。
双曲线及其标准方程复习课
2
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引申: 能将Ax2 By2 C化归到双曲线的标准方 程, 并指出a, b, c吗？
例2：求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上， c 6 且经过点（－5，2）； （2）过点 ( 15,4) 且与椭圆4x2+3y2=108有共同的焦点； （3）经过 P 两点． 1 ( 3,1), P 2 (2, 2 )
总结：求双曲线的标准方程：先定位再定量 ③当焦点所在的坐标轴不明确时，通常要进行分类讨论，有 时为了避免运算量过大，可设双曲线方程为mx2-ny2=1，然 后再根据条件确定m和n的值．
x2 y2 例3 : 设M是双曲线 1上一点, F1、F 2分别 4 5 为其左、 右焦点．
（1）若CD为过F1的弦，且|CD|=6，求△F2CD的周长； （2）若N是MF1的中点，且|ON|=3（O是坐标原点）及其标准方程 （复习课）
1、下列方程表示双曲线的是 思考：
．
A. x 2 y 2 6 x 9 x 2 y 2 6 x 9 6 B. x y 6 x 9 x y 6 x 9 4
2 2 2 2
C. x 2 y 2 6 x 9 x 2 y 2 6 x 9 8 D. x y 6 x 9 x y 6 x 9 8
变式1 : 一动圆与已知圆 O1 : ( x 3) 2 y 2 1外切，
2 与圆O2：（x 3） y 2 81外切切，试求动圆
圆心的轨迹方程 .
变式2：已知动圆M过定点A（ 3， 0），并且与定 圆B： ( x 3) 2 y 2 64外切，求动圆圆心 M的轨 迹方程.
2 2 2 2
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线. 问题：若焦点在y轴上，即F1(0,-3)，F2(0,3)，方程 形态又会是如何？
双曲线及其标准方程练习题
3.2.1 双曲线的定义及其标准方程(作业)一、选择题1.已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）A .x 225－y 224＝1B .y 225－x 224＝1C .x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D .x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 2.方程x 22+m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A .－2＜m ＜2B .m ＞0C .m ≥0D .｜m ｜≥23.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）满足b a＝√52，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）A .x 24－y 25＝1B .x 28－y 210＝1C.x 25－y24＝1D.x24－y23＝14.双曲线x 225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A.1或21B.14或36C.2D.215.若双曲线E：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝（）A.11B.9C.5D.36.（多选）过点（1，1），且ba＝√2的双曲线的标准方程可以是（）A.x 21 2－y2＝1B.y212－x2＝1C.x2－y 21 2＝1D.y2－x212＝1二、填空题1.已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为 .2.若点P 是双曲线x 29－y 216＝1上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为 .三、解答题1.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，√10）；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上.。
11.5双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、课前准备复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =二、新课导学问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？※ 典型例题例1、已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 .例2、 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？※ 动手试试练1、求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．练2、点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．三、总结提升1 ．双曲线的定义；2 ．双曲线的标准方程．※ 知识拓展GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用．在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．※ 当堂检测1、动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2、双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13、双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.D.4、已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．5、 已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．6、求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．7、相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？双曲线及其标准方程练习题1、若方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．(5,10) B ．(－∞，5) C ．(10，＋∞) D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)2、以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( ) A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 3、在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线4、若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2| 等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．125、已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.566、设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. 7、已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3，2)，则双曲线的标准方程是________．8、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．9、已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．10、求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)． (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．11、焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．12、设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求C 的圆心轨迹L 的方程．13、如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．。
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双曲线及其标准方程习
题
LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
[学业水平训练]
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支
C．两条射线D．一条射线
解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|，
所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线．
2．若方程x2
10－k ＋
y2
5－k
＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．(5,10) B．(－∞，5)
C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5<k<10.
3．以椭圆x2
3
＋
y2
4
＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程
是( )
－y2＝1 B．y2－x2
3
＝1
－y2
4
＝1 －
x2
4
＝1
解析：选 B.椭圆x2
3
＋
y2
4
＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，
A
2
(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2
－x2
3
＝1.
4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D.将方程化为
y2
－
n
m
－
x2
－
n
m
＝1.
5．若点M在双曲线
x2
16
－
y2
4
＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|
等于( )
A．2 B．4
C．8 D．12
解析：选 B.双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2
m
－
x2
9
＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2
m
－
x2
9
＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝
52，解得m＝16.
答案：16
7．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3，2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c ＝2，又点P 到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a ，
2a ＝|－3－02＋[2－－2]2－－3－02＋2－22|＝2，∴a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3.又焦点在y 轴上，
∴双曲线的方程为y 2
－x 2
3＝1.
答案：y 2
－x 2
3
＝1
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2
12
＝1上一点M 的横坐标为3，则点M
到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(9
4
，5)．
(2)与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)．
解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
32a 2
－9
b 2
＝1，25a 2
－8116b 2＝1，
解得⎩⎨⎧
a 2
＝16，
b 2
＝9，
所以双曲线的方程为y 216－x 2
9
＝1.
(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由题意知c ＝2 5.
因为双曲线过点(32，2)，
所以322a
2－4
b
2＝1.
又因为a 2＋b 2＝(25)2， 所以a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线的方程为
x 212
－y 28
＝1. 10．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．
解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
因为双曲线过点P (42，－3)，
所以32a
2－9
b
2＝1.①
又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以QF 1→·QF 2
→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2
＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③
所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是
x 216－y 2
9
＝1. [高考水平训练]
1．已知双曲线x 26－y 2
3
＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直
线F 2M 的距离为( )
解析：选C.
不妨设点F 1(－3,0)， 容易计算得出
|MF 1|＝36＝6
2
，
|MF 2|－|MF 1|＝2 6.
解得|MF 2|＝5
2
6.
而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝1
2
|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为6
5
.
2．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2
→
＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为
x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2
.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得
20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 2
4
－y 2＝1.
答案：x 2
4
－y 2＝1
3．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求C 的圆心轨迹L 的方程．
解：设两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，两圆相离，
由题意得||CF 1|－|CF 2||＝4＜25＝|F 1F 2|， 从而得动圆的圆心C 的轨迹是双曲线，
且a ＝2，c ＝5，所以b ＝
52－22＝1，
所求轨迹L 的方程为x 2
4
－y 2＝1.
4．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2
16
＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 解：双曲线的标准方程为x 29－y 2
16
＝1，
故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.
故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，
∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，
∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1
2
×32＝16.。