湖北省武昌实验中学高一年级3月月考数学试卷

湖北省武昌实验中学高一年级3月月考

数学试卷

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分）

1.

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1785S =，则7911a a a ++的值为

A.10

B.15

C.25

D.302.已知非零向量m 、n 满足4n m = 且()2m m n ⊥+ 则m 、n 的夹角为（）A.

6π B.3π C.2π D.23π3.已知向量()()2,1,,1a b λ=--= ，则a 与b 的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）

A.12λ>

B.12λ<-

C.12λ>-且2λ≠

D.无法确定4.

在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 己知60,4342A a b === ，,则B =（）

A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.以上都不对5.

在数列{}n a 中，若12a =，()*121n n n a a n a +=

∈+N ，则5a =（）A.

417 B.317 C.217 D.517

6.

在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，下列说法中正确的是（

）A.用a 、b 、c 为边长不可以作成一个三角形

B.用a 、b 、c 为边长一定可以作成一个锐角三角形

C.用a 、b 、c 为边长一定可以作成一个直角三角形

D.用a 、b 、c 为边长一定可以作成一个钝角三角形

7.

如图所示，等边△ABC 的边长为2，D 位边AC 上的一点，且

AD AC λ= ，ADE ∆也是等边三角形，若449

BE BD ⋅= ，则λ的值是（）

A.

23 B.3 C.34 D.138.

已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足56S S <且678S S S =>，则下列结论错误的是（）

A.6S 和7S 均为S n 的最大值

B.70

a =C.公差0

d < D.95S S >9.

已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的(

)（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A.重心外心垂心

B.重心外心内心

C.外心重心垂心

D.外心重心内心10.

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若

111tan tan tan A B C +=，则2223a b c ++

的最小值是（）A.5

B.8

C.7

D.611.

已知数列{a n }是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)

上的如下函数：①1()f x x

=；②2()f x x =；③()e x f x =；④()f x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A.①②

B.③④

C.①②④

D.②③④12.在平面上，12AB AB ⊥ ，12||||1OB OB == ，12AP AB AB =+ ，若1||2

OP < ，则||OA 的取值范围是（

） A.52 B.5722

C.2

D.2

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分）

13.

甲船在岛B 的正南A 处，6AB km =，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km .

14.

已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若13

n n S n T n +=+，则241524

a a

b b b b +=++______.15.

数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115

a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为________.

16.

给出下列六个命题:

①若R λ∈，则()()a b a b λλ⋅=⋅ ；

②0a ≠ ，若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ；

③若,,a b c 均为非零向量，则()()a b c b c a ⋅=⋅ ；

④若,a b b c ∥∥，则a c ∥；

⑤若AB DC = ，则A 、B 、C 、D 必为平行四边形的四个顶点；

⑥若||||a b > ，且,a b 同向，则a b > ．

其中正确的命题序号是__________．

三、解答题（本题共6道小题,共70分）

17.已知向量(1,0)a = ，)1,2(-=b

．（1）若ka b -

与3a b + 平行，求k 的值；

（2）若ka b - 与3a b +

垂直，求k 的值．

18.

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,

()()3a b c a b c a b c ac ++-+=、、．

（l ）求角B 的大小；（2）已知223

ac b =，且△ABC

，若a c <，求AC AB ⋅的值．19.

如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、()ββα>的终

边分别与单位圆交于A ，B 两点，点43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.（1）若点512,1313B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，求cos()αβ+的值：（2）若31010

OA OB ⋅= ，求sin β.20.

某地区2018年人口总数为45万.实施“放开二胎”新政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年每年人口比上年增加0.5万人，从2029年开始到2038年每年人口为上一年的99%.

（Ⅰ）求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式（注：2019年为第一年）；（Ⅱ）若新政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年后是否需要调整政策？（参考数据：100.990.9≈）21.

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，且

222sin sin sin sin A C A C B +-=.

（1）求角B 的大小；

（2）若2b =，求a c +的最大值.

22.

已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为n S ，且14234,216a S S S =+=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()*1n n

n b n a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T

.