湖北省武昌实验中学高一年级3月月考数学试卷

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湖北省武昌实验中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

试卷第 3页，共 4页
21．设函数
f
(x)
11a1xa, 0(1xx)aa;
x
，其中 1.
a
为常数且 a (0,1)
.新定义：若
x0
满足
f f x0 x0 .但 f x0 x0 .则称 x0 为 f (x) 的回旋点.
（1）当
a
1 2
时，求
f
f
4 5
的值并判断
4 5
是否为回旋点；
10．下面结论正确的是（）
A．若
x
1 2
，则
2x
1 的最大值是 2x 1
1
B．函数 y
x 5 x 4 的最小值是 2
C．函数 y
5x x
2
（
x
1 2
, 2
）的值域是
2, 5 4
2
D．
x
0
，
y
0
且
x
y
2
，则
y
x 1
3 x
的最小值是
3
11．命题“对任意的 m 1,1 ，总存在唯一的 x 0,3，使得 x2 2 x am 1 0 ”成立的
围为（）
A． 1 a 0 或 1 a 1
2
6
3
B． 1 a 0 或 1 a 2
2
6
9
C．
1 3
a
1 6
或
0
a
2 9
D．
1 3
a
1 6
或
0
a
1 3
7．已知不等式
1 a2
16 b2
1
x 2
x2
对满足 4a b1 a

湖北省普通高中高一下学期三月份月考数学试题含答案

湖北省普通高中高一下学期三月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对 2.已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88 D.0.953.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解 4.已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定5.已知数列1234,,,,2345，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有（）A.0个B.1个C.2个D.3个 6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.237.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则 sin α＝( )．A.3365B.6365 C ．－3365D.－63658.函数2sin()cos()()36y x x x ππ=--+∈R 的最小值等于( )A.3-B.2-C.5-D.1- 9.化简cos 20cos351sin 20=-( )A.1B.2C.2D.310.在数列{}n a 中，()()111,1223nn n a a a n -==-≥，则5a 等于（）A. 163-B. 163C. 83-D. 83二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11. 已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为。

2023-2024学年湖北省武汉高一下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉高一下册3月月考数学试题一、单选题1．已知{}e ,xA y y x -==∈R ，[]{}32cos ,0,πB y y x x ==-∈，则A B = （）A ．(]0,1B ．[]1,5C ．(]0,5D ．[]1,1-【正确答案】B【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】当0πx ≤≤时，1cos 1x -≤≤，则[]{}[]32cos ,0,π1,5B y y x x ==-∈=，又因为{}()e ,0,xA y y x ∞-==∈=+R ，因此，[]1,5A B ⋂=.故选：B.2．O 是平行四边形ABCD 外一点，用OA 、OB 、OC表示OD ，正确的表示为（）A ．OD OA OB OC =++ B ．OD OA OB OC=+- C ．OD OA OB OC =-+ D ．OD OA OB OC=-- 【正确答案】C【分析】设AC BD E = ，则E 为AC 、BD 的中点，利用平面向量的线性运算可得出OB OD OA OC +=+，即可得解.【详解】设AC BD E = ，则E 为AC 、BD 的中点，如下图所示：所以，()()()()2OA OC OE EA OE EC OE EA OE EA OE +=+++=++-=，同理可得2OB OD OE += ，所以，OB OD OA OC +=+ ，因此，OD OA OB OC =-+.故选：C.3．ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若3a =，b =60B =︒，则边c 长为（）．AB．32C32D【正确答案】A【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】在ABC 中，因为3a =，b =60B =︒，所以2222cos b a c ac B =+-，即21293c c =+-，解得32c +=或32（舍去），所以32c =.故选：A.4．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()ππtan πsin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）．A ．925-B ．925C ．1625-D ．1625【正确答案】A【分析】先根据三角函数的定义求得角α的三角函数值，再利用诱导公式化简即可得解.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点为43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以33435sin ,cos ,tan 45545ααα==-==--，则()()ππ9tan πsin cos tan cos sin 2225αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅+=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.5．已知ABC 的外接圆圆心为O ，20OA AB AC ++= ，OA AB = ，则向量BC 在向量BA上的投影向量为（）．A ．BAB ．BA-C ．14BAD．【正确答案】A【分析】根据20OA AB AC ++= ，可得点O 为BC 的中点，再根据OA AB = ，可得π3ABC ∠=且2BC BA =，最后根据投影向量的定义即可得解.【详解】因为20OA AB AC ++=，所以2AO AB AC =+ ，所以点O 为BC 的中点，即BC 为ABC 的外接圆的直径，又OA AB OB == ，所以AOB 为等边三角形，所以π3ABC ∠=且2BC BA = ，所以向量BC 在向量BA上的投影向量为cos BA BA BC ABC BA BA BA BA∠⋅=⋅=.故选：A.6．已知ππsin 2cos sin 44αβαβ⎛⎫⎛⎫++=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）．A ．()tan 1αβ+=B ．()tan 1αβ+=-C ．()tan 1αβ-=D ．()tan 1αβ-=-【正确答案】D 【分析】将π4αβ++看成是π4α+与β的和，由两角和的正弦公式化简，得出,Z 4ππk k αβ-=-+∈，根据选项计算结果.【详解】sin=sin[]44ππαβαβ++++（（πsin cos cos sin 44παβαβ=+++（）（2cos sin 4παβ=+（）则有sincos cos sin 044ππαβαβ+-+=（）（，即0πsin=4αβ+-（），则Z ππ,4k k αβ+=+∈，即,Z 4ππk k αβ-=-+∈则tan=αβ-（）1-.故选：D7．已知cos1a =，()cos sin1b =，()sin cos1c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c>>【正确答案】D【分析】根据余弦函数的单调性即可比较,a b ，构造函数()sin g x x x =-，里导数判断函数的单调性即可比较,a c ，即可得解.【详解】因为π1sin102>>>，所以()cos1cos sin1<，即b a >，cos10>，令()sin g x x x =-，则()()1cos 00g x x x '=-≥>，所以函数()g x 在R 上递增，所以()()cos100g g >=，即()cos1sin cos1>，所以a c >，所以b a c >>.故选：D.8．对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量a 、b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和a b 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b b a += （）．A ．32B ．2C ．52D ．3【正确答案】B【分析】由已知得集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 的元素特征，再分析a b 和a b 的范围，由定义得cos a a a b b a ab θ=⋅⋅=，2cos 2cos a a b b b a b b θθ===⋅⋅ ，可得出a b 、b a的值，即可得解.【详解】首先观察集合113,1,,0,,1,,2,2222n n ⎧⎫⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，从而分析a b 和a b 的范围如下：因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 12θ<<，而cos a a a b b a a b θ=⋅⋅=，且0≥> a b ，可得0cos 1baθ<< ，又因为2n b a n ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭Z ，所以，1cos 2b a θ=，从而12cos b a θ= ，所以，2cos 2cos a a b b b a b bθθ===⋅⋅，又因为21cos 12θ<<，所以12a b << ．且a b 也在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中，故有32a b = ，因此，31222a b b a +=+= .故选：B.二、多选题9．要得到sin y x =函数到的图象，只需将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π8个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍B ．向左平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍C ．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π8个单位长度D ．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π4个单位长度【正确答案】AD【分析】根据三角函数图象变换可得出结论.【详解】法一：将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象先向左平移π8个单位长度，可得到函数ππsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得函数的图象上每点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数sin y x =的图象；法二：将函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移π4个单位长度，可得到函数sin y x =的图象.故选：AD.10．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列命题正确的是（）．A ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的垂心B ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过ABC 的外心C ．若AB AC AB AC +=-，则ABC 为直角三角形D ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为30【正确答案】ACD【分析】推导出PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，可判断A 选项；利用设ABAE AB = ，AC AF AC = ，则1AE AF ==，以AE 、AF 为邻边作平行四边形AEQF ，利用菱形的几何性质可判断B 选项；由AB AC AB AC +=- 可得()()22AB ACAB AC+=-，利用平面向量垂直的数量积表示可判断C 选项；分析可知()30AB AC CB -⋅=，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得cos A 的最小值，结合角A 的取值范围可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由题意可得()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以，PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，故P 为ABC 的垂心，A 对；对于B 选项，设ABAE AB=，ACAF AC=，则1AE AF ==，以AE 、AF 为邻边作平行四边形AEQF ，则平行四边形AEQF 为菱形，则ABACAQ AE AF ABAC=+=+，所以，AB AC AP AQ AB ACλλ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为AQ 平分BAC ∠，故AP 必经过ABC 的内心，B 错；对于C 选项，由AB AC AB AC +=- 可得()()22AB ACAB AC+=-，整理可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，故ABC 为直角三角形，C 对；对于D 选项，()3AB AC CB -⊥，则()()()33AB AC CB AB AC AB AC-⋅=-⋅- 2222434cos 30AB AB AC AC c cb A b =-⋅+=-+= ，所以，22334cos c b c b A bc b c +==+≥=cos A ≥当且仅当=c 时，等号成立，又因为0180A << ，故030A <≤ ，即角A 的最大值为30 ，D 对.故选：ACD.11．水车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图是水车示意图，其半径为3m ，中心O 距水面2m，一盛水斗从点032P ⎫-⎪⎪⎝⎭处出发，逆时针匀速旋转，60s 转动一周．假设经t 秒后，该盛水斗旋转到点P 处，此时水斗距离水面高度为h ，则下列说法正确的是（）．A ．高度h 表示为时间t 的函数为：()ππ3sin 20306h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭B ．高度h 表示为时间t 的函数为：()ππ3sin 20303h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭C ．当50s t =时，该盛水斗在水面下1m 处D ．该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为20s 【正确答案】ACD【分析】设高度h 表示为时间t 的函数为()()πsin 0,0,02h A t B A t ωϕωϕ⎛⎫=++>><≥ ⎪⎝⎭，根据题意求得,,,A B ωϕ，即可判断AB ；令50s t =，即可判断C ；令()ππ3sin 250306h t t ⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，解之即可判断D.【详解】设高度h 表示为时间t 的函数为()()πsin 0,0,02h A t B A t ωϕωϕ⎛⎫=++>><≥ ⎪⎝⎭，由题意可得2π60T ω==，所以π30ω=，max min 5,1h h ==-，所以5,1A B A B +=-+=-，所以3,2A B ==，则()π3sin 2030h t t ϕ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，当0=t 时，则313sin 2222h ϕ=+=-=，所以1sin 2ϕ=-，则π2π6k ϕ=-+或5π2π,Z 6k k -+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()ππ3sin 20306h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误；当50s t =时，5ππ3sin 2136h ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以当50s t =时，该盛水斗在水面下1m 处，故C 正确；令()ππ3sin 250306h t t ⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，则ππsin 1306t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππ2π,Z 3062t k k -=+∈，则2060,Z t k k =+∈，所以该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为20s ，故D 正确.故选：ACD.12．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）．A ．若2ab c >，则π3C <B ．若2a b c +>，则π3C >C ．若333a b c +=，则π2C <D ．若()222222a b c a b +<，则π3C >【正确答案】AC【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB 选项的正误；利用反证法结合余弦定理可判断C 选项的正误；利用特殊值法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由余弦定理可得2222221cos 1122222a b c ab c c ab C ab ab ab ab +--=≥=->-=，当且仅当a b =时取等号，0πC << ，故π03C <<，A 选项正确；对于B 选项，2a b c +> ，则()224a b c +>，则()224a b c+<，由余弦定理可得()()22222222326214cos 22882a b a ba b aba b c ab ab C abababab ++-+-+--=>=≥=，当且仅当a b =时取等号，0πC << ，故π03C <<，B 选项错误；对于C 选项，假设π2C ≥，则222cos 02a b c C ab+-=≤，即2220a b c +-≤，所以222c a b ≥+（1），故c a >，c b >，对（1）式两边同时乘以c 得，32233c ca cb a b ≥+>+，与333a b c +=矛盾，所以假设不成立，即π02C <<成立，故C 选项正确；对于D ，取2a b ==，1c =，满足()222222a b c a b +<，且22271cos 282a b c C ab +-==>，则π03C <<，故D 选项错误.故选：AC.三、填空题13．物体在力F 的作用下，由点()10,5A 移动到点()4,0B ，已知()4,5F =- ，力F对该物体所做功的大小为__________．【正确答案】1【分析】根据功的意义，计算F AB ⋅即可.【详解】由题意得()65AB =-- ，，所以F 对物体做的功()()()()()56546551W F AB -⋅==-⋅-=⨯-+-⨯-=4，，．故114．已知α=__________．【正确答案】2tan α【分析】利用同角三角函数的平方关系可化简所得代数式.【详解】因为α为第一象限角，则cos 0α>，0sin 1α<<，2sin 2tan cos ααα===.故答案为.2tan α15．已知正六边形123456A A A A A A 内接于单位圆，设点P 为边12A A 上的动点，则222126PA PA PA ++ L 的取值范围__________．【正确答案】21122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】因为正六边形123456A A A A A A 内接于单位圆，所以正六边形边长为1，以1A 为原点，12A A 为x 轴建立直角坐标系，写出各点坐标，设(),0,01P x x ≤≤，向量坐标公式计算各个向量，进行平方求和，结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】建立直角坐标系，如图所示，因为正六边形123456A A A A A A 内接于单位圆，所以正六边形边长为1，()()12330,0,1,0,,22A A A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，((4561,,22A A A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点P 为边12A A 上的动点，设(),0,01P x x ≤≤，()1,0PA x =- ，()21,0PA x =-，33,22PA x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，((45611,,2PA x PA x PA x ⎛=--=-- ⎝⎭ ，()()222222222126331313244132PA PA P x x x x A x x ⎛⎫⎛⎫-++-+++--+ ⎪ ⎪⎝++=+-+⎭+⎝⎭ L 221216612622x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当12x =时，原式有最小值212，当0x =或1时，原式有最大值12.所以222126PA PA PA ++ L 的取值范围是21,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.21,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．已知0θ>，存在实数ϕ，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得对任意n *∈N ，()cos n θϕ+<θ取最小值时，ϕ的取值范围是__________．【正确答案】π7π,630⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】作出单位圆，作π6AOx BOx ∠=∠=，分析可知π3θ>以及2πθ*∈N ，求出θ的最小值，可得出π11π66π11π466π02ϕϕθϕ⎧<<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即可求得ϕ的取值范围.【详解】如下图的单位圆，作π6AOx BOx ∠=∠=，由题意可知n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域，所以，()()π13n n AOB θϕθϕθ++-+=>∠=⎡⎤⎣⎦，因为()cos n θϕ+<n *∈N 恒成立，所以，2πθ*∈N ，不妨设2πk θ*=∈N ，则2πk θ=，又因为2ππ3k θ=>，则k 6<，故当5k =时，θ取最小值2π5，因此只需π11π66π8π11π656π02ϕϕϕ⎧<<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得π7π630ϕ<<.故答案为.π7π,630⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知1e 、2e 是夹角为π3的两个单位向量，1232a e e =- ，1223b e e =- ．(1)求a b ⋅ 的值；(2)求a 与a b - 的夹角的余弦值．【正确答案】(1)112【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b ⋅ 的值；（2）计算出()a ab ⋅- 、a r 、a b - 的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与a b - 的夹角的余弦值.【详解】（1）解.()()2212121212π11132236613cos 6613322a b e e e e e e e e ⋅=-⋅-=+-⋅=+-⨯= （2）解：由题意，设a 与a b - 的夹角为θ，且12a b e e -=+ ，()()()2212121212π133232cos 32322a ab e e e e e e e e ⋅-=-⋅+=-+⋅=-+= ，a =a b -=所以()32cos 14a a b a a b θ⋅-=⋅- ，因此，a 与a b -.18．设函数()f x a b =⋅ ，其中向量()2cos ,1a x =，()cos sin 2b x x m =+ ．(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)若当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的最大值为4，求m 的值．【正确答案】(1)()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∈Z (2)1m =【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换化简可得出()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的单调性求出函数()f x 在R 上的增区间，与[]0,π取交集可得结果；（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得π23x +的取值范围，可得出函数()f x 的最大值，即可求得实数m 的值.【详解】（1）解：()22cos 21cos 22f x a b x x m x x m=⋅=+=++ π2sin 216x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，令π26z x =+，[]0,πx ∈，因为2sin 1y z m =++的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∈Z ，由()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，得()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，所以，函数()f x 在R 上的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，记()πππ,π36A k k k ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则[]π2π0,π0,,π63A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3轾犏犏臌.（2）解：π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ5π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，因此π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，有()max 214f x m =++=，解得1m =．19．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若()222tan a c b B +-=．(1)求角B 的大小；(2)若角B cosC A -的取值范围．【正确答案】(1)π3B =或2π3(2)1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用余弦定理结合切化弦可求得sin B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）求得π3B =，可得出2π03A <<cos C A -的表达式，利用正弦型cos C A -的取值范围．【详解】（1）解：()222tan a c b B +-= ，222tan 22a cb B ac +-∴=，sincos tan cos sin cos B B B B B B ∴=⋅=，()0,B π∈ ，π3B ∴=或2π3.（2）解：B 为锐角，π3B ∴=，又πA B C ++=，2π03A ∴<<，π1cos cos sin cos cos 322C A A A A A A ⎫⎛⎫-=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1πcos sin 226A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2π03A <<∵，则π5π666A π<+<，1πsin 126A ⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，cos C A -的取值范围是1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦．20．如图，某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，AB ＝AC ＝2km ．为迎接“五一”观光游，现对该地块进行改造，在边界BC 上选择中点D ，修建观赏小径,DE DF ，点E 、F 分别在边界AB 、AC 上（不含端点），且4EDF π∠=，在区域BDE 和区域CDE 内种植郁金香，区域AEDF 内种植牡丹．设BDE α∠=．(1)当3πα=，求区域BDE 的面积；(2)求区域AEDF 的面积()S α的取值范围．【正确答案】(2)1,22⎛ ⎝【分析】（1）利用正弦定理可求3BE =-，利用公式可求面积.（2）利用正弦定理可求,BE CF ，利用面积公式可求()S α，利用换元法可求其范围.【详解】（1）3πα=，在△BDE中，BC =512BED π∠=，由正弦定理得：5sin sin 123BD BE ππ=，解得3BE =-所以1sin 24BDE S BE BD π=⋅⋅= （2）由题意知42ππα<<，在△BDE 中，由正弦定理得：sin sin 4BE BD παα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以sin 4BE απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在△CDF中，同理可得4sin CF παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=．所以()112sin sin 2424S BD BE CD CF ππα⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭sin()sin 422sin sin()4πααπαα⎡⎤+⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，设sin 141sin tan t πααα⎛⎫+ ⎪⎫⎝⎭=+⎪⎝⎭，则()122S t t α⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为42ππα<<，故()111,2tan α+∈，故2t ⎛∈ ⎝，设()1f t t t =+，任意1212t t <<<，则有()()()()121212121t t t t f t f t t t ---=，121t t <<<，故1212120,0,10t t t t t t >-<-<，故()()120f t f t ->即()()12f t f t >，故()f t 在2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，同理()f t 在(为增函数，故当t ∈⎝时，有122t t ≤+<，所以112,222S t t ⎛⎫⎛=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝．21．（1）用向量方法证明：对于任意的,,,a b c d ∈R ，恒有不等式()()()22222ac bd a b c d +≤+⋅+．（2）已知1==a b r r ，求2a b a b -++ 的最大值．【正确答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）构造向量(),m a b = ，(),n c d = ，θ为向量m 、n 的夹角，根据数量积的坐标运算及向量的模的坐标表示即可得证；（2）设()1,0a = ，()cos ,sin b αα= ，根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示，将2a b a b -++ 平方结合柯西不等式即可得解.【详解】（1）构造向量(),m a b = ，(),n c d = ，θ为向量m 、n 的夹角，cos m n m n θ⋅=u r r u r r Q ，m n m n ∴⋅≤u r r u r r ，当且仅当cos 1θ=，即m 、n 同向共线时取等号，ac bd ∴+a b c d =时取等号，()()()22222ac bd a b c d ∴+≤++；（2）设()1,0a = ，()cos ,sin b αα= ，则()1cos ,sin a b αα-=--r r ，()212cos ,2sin a b αα+=+r r ，所以2a b a b -++=r r r r=所以()25271222cos2cos22αα⎫⎛⎫≤+-++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当且仅当1cos4α=时取等号，所以2a b a b-++≤r rr r2a b a b-++r r r r．22．在ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，且2AO OC=，R为BO和CP的交点，设,AB a AC b==.(1)试用,a b表示AR；(2)若H在边BC上，且RH BC⊥，设||2||1,a bθ==，为,a b的夹角，若2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求||||CHCB的取值范围.【正确答案】(1)1142AR a=+；(2)19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由点共线可得PR PCλ=，BR BOμ=，结合线性运算可得12AR a bλλ-=+，()213AR a bμμ=-+，由平面向量基本定理得方程组解出,λμ，即可求解；（2）由（1）及题设可得1124RC b a=-，()()CH kCB k AB AC k a b==-=-，再由RH BC⊥可得cosθ关于k的表达式，结合2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎣⎦，即可求出k的范围，即可求解.【详解】（1）由,,P R C三点共线可得，存在实数λ使PR PCλ=，即()AR AP AC APλ-=-，整理得()112AR AP AC a bλλλλ-=-+=+；又由,,B R O 三点共线可得，存在实数μ使BR BO μ= ，即()AR AB AO AB μ-=- ，整理得()()2113AR AB AO a b μμμμ=-+=-+ ；由平面向量基本定理得11223λμμλ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12λ=，则1142AR a =+ ；（2）由（1）知：12PR PC = ，则()111111222224RC PC AC AP AC AB b a ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ ，由,CH CB 共线，设,0CH kCB k => ，则()()CH kCB k AB AC k a b ==-=- ，又RH BC ⊥，有()()()()11024R R b H BC RC CH BC C CH AC B a ka k A b b a ⋅-⎛⎫-+⎝=+⋅=-+⋅-⋅= ⎪=⎭ ，又||2||1a b == ，，则335(2)024k k a b -++-⋅= ，即3352(2)cos 024k k θ-++-=，可得352cos 342k k θ-=-，由2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即3511232242k k --≤≤-，解得19428k ≤≤，故||||CH CB 的取值范围为19,428⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

湖北省高一下学期3月月考数学试题(解析版)

数学试题命题人：孟梦考试时间：2023年3月13日14：00-16：00一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（）5a ＝4b ＝·12a b - ＝a b A. B. C. － D. 35-b 35b 34b 34b 【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量等于与向量同向的单位向量和向量在向量上的投影(实数)的a b b a b 向量的数乘积，根据已知条件计算即得. ()2·a b b b 【详解】向量在向量上的投影向量为, a b ()2·123444a b b b b b =-=-⨯ 故选：C2. 已知，，则“”是“”的（） 02πα<<02βπ<<αβ=sin 2sin 2αβ=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意，，若，则，故，即“”可推02πα<<02βπ<<αβ=22αβ=sin 2sin 2αβ=αβ=出“”； sin 2sin 2αβ=若，结合，，则有，或者，故或sin 2sin 2αβ=02απ<<02βπ<<22αβ=22αβπ+=αβ=，即“”推不出“”.2παβ+=sin 2sin 2αβ=αβ=故“”是“”的充分不必要条件.αβ=sin 2sin 2αβ=故选：A.3. 设，向量，，，且，，则（）, x y ∈R (,1)a x = (1,)b y = (2,4)c =- a c ⊥ //b c ||a b += A. B. C.D. 10【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直平行关系明确参数，从而可得所求向量的模.【详解】∵向量，，，且，， (,1)a x = (1,)b y = (2,4)c =- a c ⊥ //b c∴ ，∴， 240420x y -=⎧⎨--=⎩22x y =⎧⎨=-⎩∴，，，(2,1)a = (1,2)b =-()3,1+=- a b ∴. ||a b +== 故选：B. 4. （） ⋅sin 40sin 80cos 40cos 60︒︒⋅=+A. B. C. D.12-12【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.【详解】因为 sin 40sin 80sin 6020sin 602013cos 40cos 60cos 4022︒︒︒︒︒︒︒︒︒⋅-⋅+==++（）（），所以原式22222313cos 20sin 20sin 2014443322sin 202sin 2044︒︒︒︒︒--===--（）（）=故选：C5. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A. B. C. D.12x π=6x π=-3x π=-12x π=-【答案】B【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到，再整体代入即可求得对称轴方程. 2cos(2)13y x π=++【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得到，再向左平移个单位， 2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π得到， 2cos[2()12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++令，，则，. 23x k π+=πZ k ∈26k x ππ=-Z k ∈显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合. =0k 6x π=-故选：B6. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ．设，，则（）AB mAM = AC nAN = m n +=A. 1B. 2C.D. 312【答案】B【解析】【分析】本题应用两个结论：，点O 是BC 的中点； ()12AO AB AC =+ 三点共线：若A 、B 、C 三点共线，则． ,1OA OB OC λμλμ=++=u u r u u u r u u u r 【详解】由题意得， ()()112222m n AO AB AC mAM nAN AM AN =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为M 、O 、N 三点共线，所以，解得， 122m n +=2m n +=故选B ． 7. 已知向量，满足：，，设与的夹角为，则的最小值为a b 3a b -= 2a b = a b - a b + θcos θ（）A. B. C. D. 45351325【答案】B【解析】【分析】，求出，根据数量积的定义求夹角，由判别式求得最小值．2b t = a b + 【详解】令，则， 2b t = 2244a b t == 则，，2222()29a b a b a a b b -=-=-⋅+= 259a b t ⋅=- 由得，59224t a b a b t -=⋅≤= 9t ≤由得，59224t a b a b t -=⋅≥-=-1t ≥所以，19t ≤≤，a b +===所以， ()()cos a b a b a b a b θ+⋅-===+- =令，显然，，所以，， 2109t y t =-0y >21090t yt y -+=2100360y y ∆=-≥925y ≥时，， 925y =9[1,9]5t =∈所以． cos θ35=故选：B.8. 函数的零点个数是（） ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A.B.C. D. 1567【答案】D【解析】【分析】令，利用诱导公式化简可得，然后分类讨论，利用正切函数的()0f x =(2π)sin cos 0x x x -+=图象和性质即可求解.【详解】令，即， ()0f x =ππ(2π)cos sin 022x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时， (2π)sin cos 0x x x -+=3πππ3π5π,,,,22222x ≠--方程可化为，tan π2x x =-在同一直角坐标系中分别做出与的图象，tan y x =π2y x =-由图可知：当时， 3πππ3π5π,,,,22222x ≠--函数与的图象有6个交点，分别为,tan y x =π2y x =-,,,,,A B C D E F又因为，满足方程，所以也是函数的一个零点，综上，函数π2x =(2π)sin cos 0x x x -+=π2()f x 的零点个数是， ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7故选：.D 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（）a b cA. 若，则与中至少有一个为B. 若，则 0a b ⋅= a b 0 a b ⊥ 0a b ⋅=C. 向量与向量夹角的范围是D. a b [0,)π()()0b c a c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦ 【答案】AC【解析】【分析】根据互相垂直的平面向量的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质逐一判断即可.【详解】A ，当为非零向量，且时，，所以A 选项错误.,a b a b ⊥ 0a b ⋅= B ，若，则，B 选项正确. a b ⊥ πcos 02a b a b ⋅=⋅⋅= C ，向量与向量夹角的范围是，所以C 选项错误. a b[]0,πD ，，D 选项正确. ()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ 故选：AC10. 已知函数，下列关于函数f (x )说法正确的是（） ()1π3sin 126f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭A. 最小正周期为πB. 图象关于直线对称 2π3x =C. 图象关于点对称 π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数13sin2y x =π3f (x )的图象【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的周期性、对称性、三角函数图象变换等知识确定正确答案. 【详解】的最小正周期，A 选项错误.()f x 2π4π12T ==，所以图象关于直线对称，B 选项正确. 12πππ2362⨯+=()f x 2π3x =由于，， 1ππ0236⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭π13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以图象关于点对称，C 选项错误. ()f x π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得， 13sin 2y x =π31π1π3sin 3sin 2326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向上平移1个单位长度可得到，D 选项正确. ()1π3sin 126f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭故选：BD11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭（）A. 的最小正周期是()f x π3B. 若，则 2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 ()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ωD. 若，则的取值范围是 π6ϕ=-ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【解析】【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出范围后判断ωωD. 【详解】对于A ，因为函数在区间上单调递减，所以， ()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭5π2ππ2636T ≥-=所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A 错误； ()f x π3T ≥()f x π3对于B ，因为，所以的图像关于点对称， 2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，故B 正确； 3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于C ，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭π3()f x 2ππ3k ω⨯=，因为，所以， 6k ω=π3T ≥2π6T ω=≤又，所以，所以，0ω>06ω<≤6ω=即满足条件的有且仅有1个，故C 正确；ω对于D ，由题意可知为单调递减区间的子集， 2π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，其中，解得，， 2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩Z k ∈123125k k ω+≤≤+k ∈Z 当时，，当时，， 0k =12ω≤≤1k =2245ω≤≤故的取值范围是，故D 正确. ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：BCD12. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（）O ABC A 0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r rR λμ∈，A. 当时，直线过边的中点； λμ=OC AB B. 若，且，则； 1OA OB OC === ==1λμ32OA AB ⋅=-u u r u u u r C. 若时，与的面积之比为；=2=3λμ，AOB A AOC A 2:3D. 若，且，则满足.0OA OB ⋅= 1OA OB OC === λμ，22+=1λμ【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B ，由条件可判断为等边ABC A 三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于C ，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可OA AB ⋅判断与的面积之比；对于D ,由得，，平方后AOB A AOC A 0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r r ()OC OB OA λμ=-+u u u r u u u r u u r 结合数量积的运算可推得结果.【详解】对于A ，设AB 的中点为D ，则当时，有, λμ=20OC OB OA OC OD λμλ++=+=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r r即得O,C,D 三点共线，故直线过边的中点，故A 正确；OC AB 对于B ，由于且时，，1OA OB OC === ==1λμ0OC OB OA ++= 故O 为的外心和重心，故为等边三角形，ABC A ABC A则 ,由可得， 30BAO ∠=1OA OB OC === ||21cos30AB =⨯⨯=故，故B 正确； 31cos1502OA AB ⋅==-o u u r u u u r 对于C ，延长OA 至,使 , 延长OB 至,使,A '3OA OA '=B '2OB OB '=连接,设其中点为E ,连接OE 并延长至，使 ,A B ''C 'EC EO '=连接 ,则四边形是平行四边形，,A C B C ''''OA C B '''所以，而时，， 23OB OA OB OA OC ''+=+= =2,=3λμ230OC OB OA ++=u u u r u u u r u u r r故,即三点共线，且，0OC OC '+=u u u r u u u r r ,,C O C '||||OC OC '=u u u r u u u r 根据同底等高三角形面积相等，则,2AOC AOC AOB AOB S S S S ''===A A A A 即与的面积之比为,故C 错误；AOB A AOC A 1:2对于D ，因为，且，0OA OB ⋅= 1OA OB OC === 由得，，0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r r ()OC OB OA λμ=-+u u u r u u u r u u r 所以,即，故D 正确，2222221OC OB OA OB OA λλμμ=+⋅+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r 22+=1λμ故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________.a b 2a b -= a b 【答案】 ##3π60【解析】【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.2a b -=【详解】由､均为单位向量，，a b 2a b -= 得：，即，223a b -= 22443a a b b -⋅+= 所以， 1,,[0,],cos ,23a b a b a b ππ⋅=〈〉∈〈〉= 故答案为：3π14. 如图，扇形OPQ 的半径为1，圆心角为θ，且，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇tan 2θ=形，当tan ∠POC =__________时，矩形ABCD 的周长最大，最大周长为__________.【答案】 ①. ## ②. 120.5【解析】【分析】设，利用的周长，结合三角函数的性质求出最值即可.POC α∠=αABCD 【详解】设，,02POC αα∠=<<则， sin sin ,cos ,tan 2AD AD BC OB OA αααθ=====所以， sin cos 2AB αα=-所以矩形的周长为， ABCD sin 2cos 2sin sin 2cos 2ααααα⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭()αϕ=+其中，则， cos tan 2ϕϕϕ===π3π2ϕ<<所以当时，矩形的周长最大， π2αϕ+=ABCD此时， πsin ππcos 2,tan tan 2π22sin cos 2ϕϕαϕαϕϕϕ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭且矩形ABCD 故答案为：.1215. 如图，在菱形ABCD 中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为12BE BC = 2CF FD =AE EF ⋅__________．【答案】 ()21,9--【解析】【分析】利用向量的运算法则以及向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可. 【详解】依题意，因为在菱形ABCD 中，，，12BE BC = 2CF FD =所以，12BE EC AD == 2233CF CD AB ==- 所以()()AE EF AB BE EC CF ⋅=+⋅+ 112223AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，22211364AB AB AD AD =-+⋅+2496cos ,AB AD =-++ 6cos ,15AB AD =- 因为，所以.()cos ,1,1AB AD ∈- ()6cos ,1521,9AB AD -∈--故答案为：.()21,9--16. 已知函数图像的两条相邻对称轴之间()()ππsin 2cos cos 0,02424x x f x x a a ωωωω⎛⎫⎛⎫=++->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的距离小于，，且，则的最小值为_____________. ππ3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ω【答案】7【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简，再由题设条件推得，从而推得()f x πππ,Z 26k k θω=-+∈，再利用基本关系式求得，由此求得的最小值. π1tan6aω=a ω【详解】因为()ππsin 2cos cos 2424x x f x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππsin 2cos cos 24242x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2cos sin 2424x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin 2x a x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中， sin cos x a x ωω=+)x ωθ=+()tan 0a a θ=>由题意可得，又，所以， 112ππ22T ω=⋅<0ω>1ω>因为，则为的最值，所以，π()6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x πππ,Z 62k k ωθ+=+∈所以，故，πππ,Z 26k k θω=-+∈ππsin π26tan ππcos π26k k ωθω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，21,Z k m m =+∈πππππsin πsin 2ππcos 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；πππππcos πcos 2ππsin 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，2,Z k m m =∈πππππsin πsin 2πcos 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；πππππcos πcos 2πsin 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， πππsin πcos 1266tan ππππsin tan cos π6626k a k ωωθωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以， ()π1tan06a aω=>因为，所以，ππ33f ωθ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 3ωθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，ππππsin πcos 3266k ωωω⎛⎫+-+=±=⎪⎝⎭πcos 6ω=所以， π1sin6aω=因为，所以，解得， 22ππsincos 166ωω+=222133111a a a ⨯+=++a =所以，故，所以， πtan6ω==πππ,Z 66n n ω=+∈16,Z n n ω=+∈又因为，所以的最小值为. 1ω>ω7故答案为：.7【点睛】关键点睛：本题的突破口是充分利用辅助角的值，结合三角函数的基本关系式求得值，从而确a 定的范围.ω四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （1）化简:；()()()()πtan πcos 2sin 2cos πsin ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭---（2）已知，，，求的值.π3π24βα<<<()12cos 13αβ-=()3sin 5αβ+=-sin 2α【答案】（1）；（2）. 1-5665-【解析】【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可；（2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得π3π24βα<<<3ππ2αβ<+<π04αβ<-<，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.()sin αβ-()cos αβ+【详解】（1）；()()()()()πtan πcos 2πsin tan cos cos 21cos πsin cos sin αααααααααα⎛⎫--+ ⎪-⋅⋅⎝⎭==-----⋅-（2）因为， π3π24βα<<<所以，， 3ππ2αβ<+<π04αβ<-<所以，()5sin 13αβ-===，()4cos 5αβ+===-所以()()()()()()sin 2sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=-++=-++-+⎡⎤⎣⎦. 541235613513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18. 在中，向量，向量，且满足．ABC ()2cos ,1m B =u r()1sin ,sin 2n B B =- m n m n +=- （1）证明，并求角的大小； m n ⊥B （2）求的取值范围． sin cos AC +【答案】（1）证明见解析，30B =︒（2） ⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据，可得，根据数量积的坐标表示求得，即可得解；m n m n +=- 0m n ⋅=cos B （2）根据三角形内角关系，利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】证明：由，得，m n m n +=- ()()22m nm n +=-u r ru r r 故有，所以，0m n ⋅= m n ⊥由，，()2cos ,1m B =u r()1sin ,sin 2n B B =-+所以有，得 2cos sin 2sin 22cos 0m n B B B B ⋅=-==u r rcos B =又，所以； 0180B ︒<<︒30B =︒【小问2详解】解：， ()()3sin cos sin cos 30sin 302A C A A A A A +=-︒+==-︒又，则，， 0150A ︒<<︒3030120A -︒<-︒<︒()1sin 3012A -<-︒≤所以 sin cos A C <+≤即的取值范围是． sin cos A C +⎛ ⎝19. 已知函数的部分图象如图所示，其中的图像与()()sin 0,0,02f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭()f x 轴的一个交点的横坐标为.x 12π-（1 （2）求函数在区间上的最大值和最小值．()f x ,212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1），()2sin(2)6f x x π=+,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2 2-【解析】【分析】（1）由三角函数的图象与性质求解，（2）由整体代换法求解，【小问1详解】由图知，，， 2A =(),61244TT ππππ--==∴=22Tπω∴==， 2sin(2)2,0,6626f ππππφφφ⎛⎫=⋅+=<<∴=⎪⎝⎭，()2sin(2)6f x x π∴=+由得，2(2,2)622x k k πππππ+∈-++x ∈,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故的递增区间是()f x ,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【小问2详解】时，，，,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52[,663x πππ+∈-()[f x ∈-在区间 ()f x \,212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-20. 已知函数. ()22cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求函数f (x )的单调递减区间；（2）若函数在区间(0,)上有两个零点，求实数k 的取值范围. ()()g x f x k =-π2【答案】（1）；π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）. (【解析】【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即可；()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性求出值域，即可求出()k f x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭实数k 的取值范围．【小问1详解】，22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-sin 2cos 2x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令， ππ3π2π22π,242k x k k +≤+≤+∈Z解得， π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 则的单调递减区间为；()f x π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【小问2详解】函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，()()g x f x k =-π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()k f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭当时，，单调递增，π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，单调递减，ππ,82x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ5π2,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，，，()π014f ==ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π5π124f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭要使在上有两个解，则. ()k f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(k ∈即k 的取值范围为.(21. 如图，在中，设，，，，已知，，ABC A AC a = AB b =||2a = ||3b =2DB AD = 2CE EB =，与交于点O ．60BAC ∠=︒CD AE（1）求的值；AE DC ⋅（2）若，求的值．0OC OD μλ+= λμ【答案】（1）1（2） 6【解析】【分析】（1）先以，为基底表示、，再去求即可；a b AE DC AE DC ⋅ （2）依据向量共线列出关于的方程，即可求得的值．λλ，，2212()3333AE AC CE a CB a b a a b ==+=+-=++ 13DC AC AD a b =-=- 则．22121152333399a b a b a C b A a b E D ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221512223313929=⨯+⨯⨯⨯-⨯=所以． 1AE DC ⋅=【小问2详解】若,则 0OC OD μλ+= ()1CO OD CD CD CB BD λλλλμλμμλμλμ====++++2221233333CB BA CB CA CB CB CA λλλλμλμλμλμλ⎛⎫⎛⎫=+=+-=⋅+⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 1223CE CA λλμλμλ=⋅+⋅++ 因为A ，O ， E 三点共线，所以，所以， 12123λλμλμλ⋅+⋅=++67λμλ=+6λμ=22. 定义在区间上的函数且为奇函数． [4,4]-1()1(R,01xa f x ab b +=-∈>+1)b ≠（1）求实数的单调性：a ()f x （2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值222(1)22cos )1b f m b θθ+++>-A π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m 范围．【答案】（1）1；答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用即可求出，然后利用奇函数的定义进行检验；分和结合单(0)0f =1a =01b <<1b >调性的定义进行讨论即可；（2）题意可得到，利用可得到()π(2sin 21)26f m f θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分和两种情况进行讨论即可[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭01b <<1b >因为是奇函数，所以，解得， 1()11xa f xb +=-+1(0)1011a f +=-=+1a =所以，检验：，满足题意； 2()11xf x b =-+22()()11011x x f x f x b b --+=-+-=++任取，且，12,[4,4]x x ∈-12x x <则， ()()2121221111x x f x f x b b ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()1212211x x x xb b b b -=++因为，，所以，，12,[4,4]x x ∈-12x x <110x b +>210x b +>当时，，所以即， 01b <<12x x b b >()()210f x f x ->()()21f x f x >此时在上单调递增；()f x [4,4]-当时，，所以即， 1b >12x x b b <()()210f x f x -<()()21f x f x <此时在上单调递减； ()f x [4,4]-【小问2详解】，2π22cos 2cos 212sin 216θθθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭由可得，222(1)22cos )1b f m b θθ+++>-A ()22π1(2sin 21)261b f m f b θ-⎛⎫+++>= ⎪+⎝⎭因为，所以，所以，所以π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π2π6π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+1πs ,in 2126θ⎡⎤∈⎢⎥⎭⎣⎛⎫+ ⎝⎦⎪，[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭所以，解得，2434m m +≥-⎧⎨+≤⎩61m -≤≤当时，由在上单调递增可得恒成立， 01b <<()f x [4,4]-π2sin 2126m θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭所以，解得；2261m m +>⎧⎨-≤≤⎩01m <≤当时，由在上单调递减可得恒成立， 1b >()f x [4,4]-π2sin 2126m θ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭所以，解得；3261m m +<⎧⎨-≤≤⎩61m -≤<-当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是01b <<m {}01m m <≤1b >m {}61m m -≤<-；【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立； ()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立； ()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立； ()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立 ()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

湖北省武汉市武昌实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

湖北省武汉市武昌实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=r r，且()2a b +r r ∥()2a b -r r ，则（） A ．1,13x y ==B ．1,42x y ==-C ．12,4x y ==D ．1,1x y ==- 2．已知空间向量()1,1,2a =-r ，()1,2,1b =-r ，则向量b r 在向量a r上的投影向量是（）A ．⎝⎭B ．()1,1,1-C ．555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4的概率为（）A ．23B ．12C ．13 D ．164．如图，空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在OA 上，且23OM OA =u u u u r u u u r ，点N 为BC 中点，则MN u u u u r等于（）A ．111222a b c +-r r rB ．211322a b c -++r r rC ．221332a b c +-r r rD ．221332a b c -+-r r r5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A B C D 6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．167．阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy 中，方程0Ax By C ++=（A B ､不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O xyz -中，方程0Ax By Cz D +++=（A B C ､､不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点()000,,P x y z 一个法向量为(),,n a b c =r平面α方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A B C D 8．三棱锥A BCD -满足4+=+=BC AC BD AD ，二面角C AB D --的大小为60︒，CD AB ⊥，AB =1CD =，则三棱锥A BCD -外接球的体积为（）A ．7πB ．28π3C ．27D二、多选题9．已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（） A ．若A 与B 相互独立，则()12P A B =U B ．若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C ．若A 与B 互斥，则()12P A B =U D ．若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =10．若三棱锥M ABC -的体积是三棱锥P ABC -体积的13，且23PM PA PB PC λ=-+u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λ的值可能为（）A ．13B ．23C ．13-D ．32-11．如图，四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，且AD ∥,22BC AD BC ==，1,AP BP Q ==是棱PD 的中点，π2APB ADC BCD ∠∠∠===，则（）A ．CQ ∥平面PAB B ．CQ ⊥平面PADC ．CQ 和平面PBCD ．四面体Q BCD -外接球的表面积为5π2三、填空题12．直线1l 过点()4,A a ，()1,3B a -两点，直线2l 过点()2,3C ，()1,2D a --两点，若12l l ⊥，则a =.13．已知集合{}1,3M =，在M 中可重复地依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是．14．已知21,e e u r u u r 是空间单位向量，1212e e ⋅=u r u u r .若空间向量b r满足1252,2b e b e ⋅=⋅=u r u u r r r ，且对于任意,R x y ∈，()()()120102001,R b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈u r u r u r u r r r ，则0y =，b =r.四、解答题15．已知平面内两点()6,6A -，()2,2B ．(1)求过点()1,3P 且与直线AB 垂直的直线l 的方程．(2)若ABC V 是以C 为顶点的等腰直角三角形，求直线AC 的方程．16．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101p p <<，收到0的概率为11p -；发送1时，收到0的概率为()2201p p <<，收到1的概率为21p -．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．(1)已知1223,34p p ==．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p 的取值范围．17．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，12π3BAA ∠=，1π3CAA ∠=，1AB AC ==，12AA =，点O 是1B C 与1BC 的交点．(1)用向量AB u u u r，AC u u u r ，1AA u u u r 表示向量AO u u u r ；(2)求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值； (3)判定平面ABC 与平面11B BCC 的位置关系．18．如图1，直角梯形ABED 中，1,2,,AB AD DE AD DE BC DE ===⊥⊥，以BC 为轴将梯形ABED 旋转180︒后得到几何体W ，如图2，其中,GF HE 分别为上下底面直径，点,P Q 分别在圆弧,GF HE 上，直线//PF 平面BHQ .(1)证明：平面BHQ ⊥平面PGH ；(2)若直线GQ 与平面PGH P 到平面BHQ 的距离； (3)若平面BHQ 与平面BEQ 夹角的余弦值为13，求HQ ．19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++-V 球面．(1)若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；(2)若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则： ①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈u u u r u u u r，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．。

湖北省武昌实验中学高一年级三月月考小题答案

3
3
3
3
3
2
1 1 2 5
2 2 1
5
1 2
b a − b = a + a b − b = 22 + 2 3 − 32 = 1 ．
3
3 3
9
9
3
9
2 9
所以 AE DC = 1 ．
（2）若 OC + OD = 0 ,则 CO =
3 +
因为 A，O， E 三点共线，所以
)
1

2
6

+
= ， =6
= 1 ，所以
2 + 3 +
+ 7
a +1
a +1
− 1 = 0 ，解得 a = 1 ，
− 1 是奇函数，所以 f (0) =
x
1+1
b +1
2
2
2
−1 + x
− 1 ，检验： f (− x) + f ( x) = − x

19. （1）由图知 A = 2 ，

6
− (−

12
)=

4
=
2
T
,T = ， =
= 2，
4
T

f = 2sin(2 + ) = 2,0 , = ，
6
2
6
6

f ( x ) = 2sin(2 x + ) ，
6
由 2x +

6
(−

2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期3月月考数学试题 (含答案)

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e = B ．12||||1e e += C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．B ．C ．D ．5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．3106．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A B ．C ．78D ．78-7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+ B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+ D ．2233AB AD+ 8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A ．116+B ．116C ．1112+D ．1112二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-上的最大值为2C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =，b =，45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若22sin sin sin 2ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a ab a b b <>=⊗ ．已知非零向量m，n 满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗ 都是整数，则m n⊗的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则b在a方向上的投影向量的模长是．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S 中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC =，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅的取值范围．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？20．（本题满分12分）在ABC ∆中，222a a c b =+-=．（1）若b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．答案和解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．设点A (1，2)，B (3，5)，将向量AB 按向量a ＝(－1，－1)的方向平移后得到''A B 为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，7)【正确答案】B 2．已知3cos 5α=，02πα<<，则sin()πα+的值为()A ．45-B ．35-C ．35D ．453cos 5α=，02πα<<，4sin 5α∴==，4sin()sin 5παα∴+=-=-．【正确答案】A 3．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥，则下列结论正确的是()A ．12e e =B ．12||||1e e +=C ．212()2e e += D ．12||2e e -= 根据题意，依次分析选项：对于A ，12e e ⊥ ，则12,e e方向不同，A 错误；对于B ，12||||112e e +=+=，B 错误；对于C ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅=，则有222121212()22e e e e e e +=++⋅= ，C 正确；对于D ，12e e ⊥ ，则120e e ⋅= ，则有222121212()22e e e e e e -=+-⋅= ，则12||e e -=D 错误．【正确答案】C4．如图，A ，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m ，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为()A ．52mB ．53mC ．55mD ．56m在ABC ∆中，75ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，可得180607545CAB ∠=︒-︒-︒=︒，又因为得10BC m =，由正弦定理可得：sin sin BC ABCAB ACB=∠∠，可得3sin 21056sin 22ACBAB BC CAB ∠=⋅=⋅=∠．【正确答案】D5．已知点(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，则OA 与AB的夹角的余弦值为()A ．45-B ．45C ．310-D ．310(0,0)O ，(1,2)A -，(1,1)B ，∴(1,2)OA =- ，(2,1)AB =-，故cos OA < ，2222122(1)45(1)22(1)AB -⨯+⨯->==--+⋅+-．【正确答案】A 6．已知1sin()124πα-=，则5cos(2)(6πα+=)A ．158B ．158-C ．78D ．78-1sin()sin()12412ππαα-==--，1sin()124πα∴-=-，则2517cos(2)cos(2)2sin ()1216612168πππααα+=--=--=⨯-=-．【正确答案】D7．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，则(AG =)A ．2133AB AD+B ．1233AB AD+C ．3344AB AD+D ．2233AB AD+建立平面直角坐标系，如图所示：矩形ABCD 中，2AB AD =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点，设(2,0)B ，则(0,1)D ，1(2,)2E ，(1,1)F ，3(2G ∴，3)4；∴3(2AG = ，34，(2,0)AB = ，(0,1)AD = ，设AG xAB y AD =+ ，则3(2，3)(24x =，)y ，即32234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得34x =，34y =；∴3344AG AB AD =+ ．【正确答案】C8.在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为()A．116+B ．116C．1112+D ．1112设||AB c = ，||AC b = ，根据题意得cos 9cos 1sin 62bc A b c A bc A ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得3b =，5c =，4sin 5A =，3cos 5A =，∴||4CB = ，∴34||||CA CB x y CP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+，又A 、P 、B 三点共线，∴134x y+=，∴2121111111()(3412321212x y x y x y x y y x +=++=+++=，当且仅当13432x yx y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6(46)5x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．【正确答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是()A ．最小正周期为πB ．在区间[,]36ππ-C ．图象的一个对称中心为(,0)3π-D ．图象的一条对称轴为直线12x π=()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()sin(2)3g x x π=+的图象；所以函数的最小正周期为π，当12x π=时，函数取得最大值1．【正确答案】AD10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c．若a =，b =45B =︒，则角A 的可能取值是()A ．30︒B ．150︒C ．60︒D ．120︒在ABC ∆中，由于a =b =45B =︒，利用正弦定理：sin sin a bA B=，解得sin 2A =；由于sin b a B >；所以60A =︒或120︒．【正确答案】CD11．对于ABC ∆有如下命题，其中错误的是()A ．若222sin sin sin ABC +<，则ABC ∆为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC ∆的面积为32C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形D ．P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC ∆的重心对于A ，因为222sin sin sin A B C +<，通过正弦定理可知222222cos 02a b c a b c C ab+-+<⇒=<，故ABC ∆是钝角三角形，故A 错；对于B ，若1,30AB AC B ===︒，假设BC x =，由余弦定理可知22212x x =+-，可解得1x =或2x =当111,1224ABC BC S ∆==⨯⨯=，当112,2222ABC BC S ∆==⨯=，故B 错；对于C ，若sin 2sin 2A B =，则由22A B =或者22A B π=-，即A B =或者2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或者直角三角形，故C 错；对于D ，P 在ABC ∆所在平面内，若0PA PB PC ++=，取BC 中点D ，连接PD ，所以有2PB PC PD DB PD DC PD +=+++=，又因为0PA PB PC ++= ，所以PB PC PA +=- ，所以2PA PD -=，所以A ，P ，D 三点共线，且||2||AP PD =．所以P 是ABC ∆的重心，故D 正确．【正确答案】ABC12．对任意两个非零向量a ，b ，定义新运算：||sin ,||a a b a b b <>=⊗ ．已知非零向量m ，n满足||3||m n > ，且向量m ，n 的夹角(,)42ππθ∈，若4()m n ⊗ 和4()n m ⊗都是整数，则m n ⊗ 的值可能是()A ．2B ．52C ．3D ．4由题意可得||sin ()||4n kn m k Z m θ==∈⊗．因为||3||0m n >>，所以||10||3n m <<，因为(,)42ππθ∈，所以2sin 12θ<<，所以||10sin ||3n m θ<< ，即1043k <<，解得403k <<，因为k Z ∈，所以1k =，所以||sin 1||4n n m m θ==⊗ ，则||1||4sin n m θ= ，故2||sin 4sin ||m m n n θθ==⊗，因为(,)42ππθ∈，所以sin 12θ<<．因为||10||3n m <<，所以1104sin 3θ<<，所以3sin 4θ>，所以3sin 14θ<<，所以29sin 116θ<<，则294sin 44θ<<，即9(,4)4m n ∈⊗ ．【正确答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，则x =．(1,2)a =与(3,)b x =- 是共线向量，∴312x -=，则6x =-．【正确答案】6-14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==- ，则b 在a方向上的投影向量的模长是．(1,3),(2,4)a b ==-，∴123(4)10a b ⋅=⨯+⨯-=-，||a == ，故b 在a方向上的投影向量为1||||a b a a a ⋅⋅= ，3)(1=-，3)-，=．15．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A 、(2,3)B 、(3,1)C -，∴(1,1)AB = ，(2,3)AC =- ，∴(3,2)AB AC +=- ，(1,4)AB AC -=-，||AB AC ∴+=，||AB AC -= ，∴以线段AB ，AC．16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且(cos )a c B C =+，则ABC ∆面积的最大值是，此时ABC ∆外接圆的半径为．因为(cos )a c B C =，由正弦定理得sin sin (cos )sin()A C B C B C =+=+，所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B +=+cos sin cos C C B C =，因为cos 0C ≠sin C B =，由正弦定理得b ，由题意可得S ==，当29c =时，三角形ABC 的面积最大，此时3c =，b ==，9311sin 3422S bc A ===⨯3sin A ⨯，解得1sin 2A =，设ABC ∆外接圆的半径为R ，2sin a R A=，可得3212R =，可得3R =．；3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=．（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅=，1c =，求b 的值．解：（1）因为2sin 3sin cos 0a C c A B -=，由正弦定理可得23cos 0ac ac B -=，因为0ac ≠，所以2cos 3B =；（2）因为2BA BC ⋅=，所以cos 2ac B =，所以3ac =，因为1c =，所以3a =，由余弦定理22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =．18．（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．（1）若12DE DC = ，求AC EF ⋅ 的值；（2）求EA EF ⋅ 的取值范围．解：（1）由图知：,AC AD DC CB AB AC AB AD DC =+=-=-- ，所以111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=- ，所以211()()()22AC EF AD DC AB AD AD AB DC AB AD DC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ ，又224AB AD CD ===，//AB CD ，90DAB ∠=︒，所以21(02420)22AC EF ⋅=⨯+⨯--= ．（2）由（1）知：11()22EF EC CF EC CB EC AB AD DC =+=+=+-- ，令EC DC λ= 且01λ，则11(1),(()22EA DA DE DA DC EF DC AB AD λλ=-=--=-+- ，所以221111()(1)()()()2222EA EF DA DC DC DA AB AD DC AB DC AD λλλλ-⋅=-⋅---+⋅+-⋅-⋅ 21114(1)(24()244λλλ=-++=--．则1[,2]4EA EF ⋅∈- ．19．（本题满分12分）某地一天的时间(024x x ，单位：时）随气温(C)y ︒变化的规律可近似看成正弦函数sin()y A x B ωϕ=++的图象，如图所示．（1）根据图中数据，试求sin()(0y A x B A ωϕ=++>，0ω>，0)πϕ-<<的表达式．（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23C ︒，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？解：（1）由题意可知，2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得6A =，20B =，又153122T =-=，所以24T =，则212T ππω==，当3x =时，14y =，即36cos()201412πϕ++=，即cos()14πϕ+=-，即2,4k k Z πϕππ+=+∈，所以32,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，故34πϕ=，所以36cos()20124y x ππ=++，[0x ∈，24]；（2）令36cos()2023124y x ππ=++，可得31cos()1242x ππ+，即322,31243k x k k Z ππππππ-+++∈，解得132452k x k -+-+，k Z ∈，当1k =时，1124x ，故老张该日可在[11x ∈，19]这一时段外出活动，活动时长最长不超过19118-=小时．20．（本题满分12分）在ABC ∆中，22222,2a a c b ac =+-=．（1）若5b =，求sin C ；（2）若ABC ∆存在且唯一确定，求b 的取值范围．解：（1）2222a c b ac +-，∴222222a c b ac +-=，2cos 2B ∴=．0B π<< ，∴4B π=．由余弦定理可得2222cos b c a ca B =+-．225(22)224c c π=+-⨯．得2430c c -+=．1c ∴=，或3c =．由正弦定理可得sin sin c b C B =．∴当1c =时，10sin 10C =．当3c =时，310sin 10C =．（2）由余弦定理知22224b c c π=+-⨯．22480c c b ∴-+-=．①当2b =时，2c =，满足题意．②当b =0c =（舍)，或4c =，满足题意．综上，当2b =，或b 时，ABC ∆存在且唯一确定．21．（本题满分12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+ ，(cos ,2)b m θ=- ，函数()f a b θ=⋅ ．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围．解：（1）()2sin cos (2)(sin cos )f a b m θθθθθ=⋅=+-+ ，当0m =时，11()2sin cos 2(sin cos )22(16666622f πππππ=++=⨯⨯⨯+=．（2）2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+ ，∴不妨令sin cos t θθ=+，则22sin cos 1t θθ=-，此时sin cos )4t πθθθ=+=+，[0θ∈ ，]2π，[44ππθ∴+∈，34π，[1t ∴∈，∴原问题等价于不等式241(2)23t m t m t -+-+>-对所有[1t ∈恒成立，242(2)2t t m t t∴++>+-，20t +> ，24222(2))222t t t t t t t m t t t t ++++++∴<==+++，2t t += ，当且仅当2t t =，即t =时，等号成立，此时2()min t t +=，m ∴<，故实数m 的范围为(-∞，．22.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-．（1）证明：2B A =；（2）求函数2()sin 6sin 6cos6cos 6()f x m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．（1）证明：因为cos()(cos cos )cos a A B b A a B A -=-，所以sin cos()(sin cos sin cos )cos A A B B A A B A -=-，所以sin cos()sin()cos A A B B A A -=-，所以sin cos()sin()cos 0A A B A B A -+-=，即sin[()]0A A B +-=，即sin(2)0A B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，02B π<<，所以22A B ππ-<-<，所以20A B -=，即2A B =．（2）解：因为ABC ∆是锐角三角形，所以02A π<<，022B A π<=<，032A ππ<-<，所以64A ππ<<，所以576444A πππ<+<，从而21sin(642A π-+<-，所以)14A π+<-，设sin 6cos 6t A A =+，则[4t A π=+∈1)-，设函数211()22g t t mt =+-，则其图象的对称轴方程为t m =-，①当m -<，即m >()g t 在[，1)-上单调递增，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为1(2-，)m -．②当212m +-<-，即212m +()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为211[22m --，)m -．③当1m <-<-，即1m <<时，()g t 在[，)m -上单调递减，在(,1)m --上单调递增，因为211()22g m m -=--，1(2g =，所以f （A ）的值域为211[22m --，1]2-．④当1m --，即1m 时，()g t 在[，1)-上单调递减，因为1(2g =，(1)g m -=-，所以f （A ）的值域为(m -，1]2-．综上所述，当m >f （A ）的值域为1(2-，)m -；当m f （A ）的值域为211[22m --，)m -；当1m <<时，f （A ）的值域为211[22m --，1]2-；当1m 时，f （A ）的值域为(m -，1]2-．。

湖北省高一3月月考数学试题

湖北省高一3月月考数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·南昌月考) 若，则点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2020高一下·金华月考) 已知角的终边经过点(3，4)，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·丽水期末) 已知，，，且，则的值（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·龙岩期中) sin810°+cos（﹣60°）=（）A .B . ﹣C .D .5. （2分）若函数（）是奇函数，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高二上·遵义期中) 已知，则（）A .B .C .D .7. （2分）设,,.则它们的大小关系是（）A . p<n<mB . n<p<mC . m<p<nD . m<n<p8. （2分） (2019高三上·眉山月考) 已知函数的部分图象如图所示，点在图象上，若，，且，则（）A . 3B .C . 0D .9. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知，是方程的两根，且，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·静宁模拟) 函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A . ， ]（k∈z）B . ， ]（k∈z）C . ， ]（k∈z）D . ， ]（k∈z）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2020·上海模拟) 在中，，则面积的最大值是________12. （1分）(2020·淄博模拟) 已知，则 ________13. （1分）扇形的半径为6，圆心角为，则此扇形的面积为________．14. （1分） (2018高一下·珠海月考) 已知为锐角，且，则________．15. （1分） (2015高三上·泰州期中) 设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （5分） (2019高三上·深圳期末) 已知分别是锐角的内角的对边，.（1）求；（2）若，且边上的高为，求的周长.17. （10分）已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．（Ⅰ）若|+|（O为坐标原点），求与的夹角；（Ⅱ）若，求3sinα﹣cosα的值．18. （10分）求值（1）求值：（2）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．19. （10分）(2017·浙江) 已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．20. （10分） (2018高三上·广东月考) 已知函数，其最小正周期为．（1）求的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．21. （15分） (2019高三上·北京月考) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

湖北省武昌2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷含答案

湖北省武昌高一年级三月月考数学试卷（答案在最后）命题教师：高一数学组考试时间：2024年3月25日下午15：00—17：00一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin1,cos1,tan1,1的大小关系是（）A.tan11cos1sin1>>>B.tan11sin1cos1>>>C.1tan1sin1cos1>>>D.1sin1cos1tan1>>>【答案】B 【解析】【分析】先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定tan1、cos1、sin1的取值范围，即可比较大小.【详解】因为1801571845π︒'=≈︒>︒，所以1弧度为第一象限角，在第一象限，tan y x =单调递增，所以tan1tan 451>︒=；在第一象限，cos y x =单调递减，所以cos1cos 452<︒=，在第一象限，sin y x =单调递增，所以1sin 90sin1sin 452=︒>>︒=；综上所述，有tan11sin1cos1>>>.故选：B2.若向量a b ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+ ，若()a ta b ⊥+ ，则实数t =（）A.12-B.12C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+ 两边平方得22b a b =⋅ ，结合条件可得b a = ，又由()a ta b ⊥+，可得20t a a b ⋅+⋅=，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ .即22b a b =⋅ ，也即22cos 3b a b π= ，所以b a = .又由()a ta b ⊥+ ，得()0a ta b ⋅+=，即20t a a b ⋅+⋅= .所以2221122ba b t ab⋅=-=-=- 故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.3.已知向量()2,0a = ，3sin ,2b α⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若b 在a 上的投影向量1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则向量a 与b 的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量求出13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，再求向量a 与b 的夹角.【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，与a同向的单位向量为e ，∵b 在a上的投影向量为1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,0a = ，∴()()2sin cos sin 12,0,0240,a b a b e a aαθα⋅⋅=⋅===⎛⎫⎪⎝⎭，∴1sin 2α=，∴1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1cos 2a b a b θ⋅==，∵[]0,πθ∈，∴π3θ=，∴a 与b的夹角为π3，故选：C.4.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为（）A.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭B.ππ2sin 1303h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C.ππ2sin 1306h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D.ππ2sin 1606h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.【详解】设点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为()πsin (00)2h A t B A ωϕωϕ=++>><，，由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A B =⎧⎨=⎩，由2π60T ω==，可得π30ω=由t =0时h =0，可得2sin 10ϕ+=，则1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，则π6ϕ=-则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：A5.如图，在ABC 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ==== ，则BE =（）A.1181515a b - B.28315a b -C.1181515a b -+D.28315a b -+【答案】C 【解析】【分析】结合图形由向量的线性运算可得.【详解】因为,2BC AC AB b a BD DC =-=-=，所以()2233BD BC b a ==- ，()221333AD AB BD a b a b a =+=+-=+，又因为4AE ED = ，所以11212155331515DE DA b a b a ⎛⎫==-+=--⎪⎝⎭，所以()221118315151515BE BD DE b a b a a b =+=---=-+，故选：C.6.已知A 为锐角，cos tan22sin A A A =-，()215tan 15A B -=，则tan B =（）A.17-B.17C.17-D.17【答案】A 【解析】【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简cos tan22sin AA A=-，求sin A ，再求tan A ，再由两角差的正切公式求tan B .【详解】因为cos tan22sin A A A =-，所以sin2cos cos 22sin A AA A=-，所以22sin cos cos 12sin 2sin A A AA A=--，又A 为锐角，cos 0A >，所以()22sin 2sin 12sin A A A -=-，解得1sin 4A =，因为A为锐角，所以cos 4A =，tan 15A =又215tan 15A B -=（）所以()()()tan tan tan tan 1tan tan 171515A AB B A A B A A B --⎡⎤=--==-⎣⎦+-.故选：A.7.已知函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，且在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（）A.(0,1]B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.[1,)+∞ D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，确定ϕ的取值，解得()()2sin f x x ω=-，令t x ω=，结合已知条件根据2sin y t =-的单调区间，取值情况得到关于ω的不等式，求解即可.【详解】因为函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，所以ππ2k ϕ=+()Z k ∈，又因为0πϕ<<，所以π2ϕ=，所以()π()2cos()2cos(2sin 2f x x x x ωϕωω=+=+=-；令t x ω=，因为π2π23x -≤≤，则π2π23x ωωω-≤≤，即π2π23t ωω-≤≤，2sin y t =-的减区间为ππ2π2π22k t k -+≤≤+()Z k ∈，又()f x 在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以π2π,23ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈的子集，因为0ω>，所以π02ω-<，2π03ω>，只有0k =时区间ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈是由负到正，所以有：ππ222ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，134ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得34ω≤；因为函数()f x 在[0,]π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，相当于2sin y t =-，在[]0,πω上只有一个最小值，所以有：ππ25ππ<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，125<2ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1522ω≤<；综上取交集有：341522ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，解得1324ω≤≤.故选：D8.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为A.12+B.2C.D.【答案】B 【解析】【分析】解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B ++，然后利用辅助角公式以及二倍角公式sin sin A B C +的最大值；解法2sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值.【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C=++)sin sin cos C C B C B =++≤2=≤=，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B ；法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤+=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个等式中正确的是（）A.tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=+B.14sin10cos10-=︒︒C.已知函数()sin f x x x =+，则()f x 的最小正周期是2πD.已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin sin sin αβαβ+=，则()()cos sin sin sin cos cos αβαβαβαβ+++1【答案】AB 【解析】【分析】根据()tan 60tan 2535︒=︒+︒展开化简得到A 正确，利用三角恒等变换得到B 正确，计算()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得到C 错误，均值不等式等号成立条件不成立，D 错误，得到答案.【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒即tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=A正确；()2cos 10601cos10cos 70441sin10cos10sin10cos10sin 20sin 202︒+︒︒︒︒-===⋅=︒︒︒︒︒︒，B正确；()πππsin cos 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+≠ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；()2sin 2sin cos 2cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+=，即2tan 2tan tan tan αβαβ+=，()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-++=+1111tan tan tan tan 1211tan tan tan tan 2αβαβαβαβ=-++=-≥=，当且仅当11tan tan tan tan 2αβαβ=时等号成立，即tan tan αβ=，2tan tan 2αβ+=，方程无解，故D 错误.故选：AB.10.已知,(0,)αβπ∈，5sin 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 435πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()αβ-=（）A.3365-B.6365-C.3365D.6365【答案】CD 【解析】【分析】先计算得到cos 32611πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3sin 35πβ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，再利用()sin αβ-=sin 632πππαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开得到答案.【详解】(),0,αβπ∈，7,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，51sin ,(,),cos 61326162213ππππααπα⎛⎫⎛⎫+=<+∈∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2,333πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，3cos sin 55433ππββ⎛⎫⎛⎫-=∴-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；sin()sin cos 63263πππππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦[cos cos sin sin ]6363ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1245333sin()(13513565αβ-=--⨯+⨯=，当3sin 35πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1245363sin()[(13513565αβ-=--⨯+⨯-=，故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换sin()sin 632πππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是解题的关键.11.对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（）A.对任意的k ，()f x 的最大值为1B.当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素C.当3k =时，()f x 在()0,2p 内只有一个零点D.当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】【分析】取1k =利用辅助角公式以及正弦函数的性质得出max ()1f x =>，从而判断A ；由平方关系判断B ；由33sin cos 0x x +=得出sin cos x x =-，结合函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 图象的交点个数判断C ；根据二倍角公式化简解析式，再由正弦函数的性质得出值域判断D.【详解】对于A 项，当1k =时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，max ()1f x =>，故A 错误；对于B 项，22()sin cos 1f x x x =+=，即()f x 的值域为{}1，故B 正确；对于C 项，由33sin cos 0x x +=，解得sin cos x x =-，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 的图象如下图所示由图可知，函数sin ,cos y x y x ==-在()0,2p 内有两个交点，即()f x 在()0,2p 内有2个零点，故C 错误；对于D 项，()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f x x x x x x x x =+=+=--，因为[]2sin 20,1x ∈，所以max min 111()101,()11222f x f x =-⨯==-⨯=，即()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题在解决C 项时，关键是将函数()f x 的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，从而得出零点个数.三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分．12.已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+=______.【答案】133【解析】【分析】利用2(),()αβαβαβαβα+=++=+-将条件整理可得3sin()sin 13cos()cos .αβααβα+=+从而可得解.【详解】2(),()αβαβαβαβα+=++=+- ，8cos(2)5cos αββ∴++8[cos()cos sin()sin ]5[cos()cos sin()sin ]αβααβααβααβα=+-+⋅++++)cos 13sin()si s n 3co (0βααβαα-+==+，3sin()sin 13cos()cos .αβααβα∴+=+13tan()tan .3αβα∴+=【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“2(),()αβαβαβαβα+=++=+-”，属于难题.13.若2π5sin cos 2)31010ααβα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭，且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是_________．【答案】7π4【解析】【分析】先由降幂公式得到sin 25α=，再由同角三角函数关系得到cos 25α=-和()cos 10βα-=-，然后经过拆角和余弦展开式化简得到结果.【详解】2π1cos 2π1115sin cos 2cos 222sin 2323222210ααααααα--⎛⎫⎛⎫++=++=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 25α=，因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 25α==-，因为3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π24βα≤-≤，又sin()10βα-=，所以()cos 10βα-==-，所以()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα⎛⎡⎤+=+-=---= ⎣⎦ ⎝⎭因为5π2π4αβ≤+≤，所以7π4αβ+=，故答案为：7π4.14.已知函数()=sin()f x A x ωϕ+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且2π9MN =，则(π)f 的值为_________【答案】【解析】【分析】由图像确定A ，设出()()1122,,,M x y N x y ，结合2π9MN =确定ω，再代入4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭得到ϕ，最后代入求值即可.【详解】由图像可知2A =，设()()1122,,,M x y N x y ，由2π9MN =可得212π9x x -=，令()2sin 1x ωϕ+=-，可得125ππ,66x x ωϕωϕ+=-+=-，则()212π2π2π3393x x ωωω-=⇒⨯=⇒=，把4π,09⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 结合五点法可得4ππ2sin 033ϕϕ⎛⎫-+=⇒= ⎪⎝⎭，所以()π4ππ2sin 3π+2sin 33f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故答案为：四、解答题、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知(1,a = ，4b = ，且()()2315a b a b -⋅+=-．当k 为何值时，（1）向量2a kb +与ka b -互相垂直；（2）向量- a kb 与2ka b - 平行.【答案】（1）1k =或2k =-.（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合数量积运算求出a b ⋅，根据向量垂直列式求解；（2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小问1详解】∵(1,a = ，∴3a ==，∵()()2315a b a b -⋅+=- ，∴2235215a a b b -⋅-=- ，∴223352415a b ⨯-⋅-⨯=- ，∴2a b ×= ，若向量2a kb + 与ka b - 互相垂直，则()()20a kb ka b +⋅-= ，∴()222220ka kb k a b -+-⋅= ，∴()222234220k k k ⨯-⨯+-=，∴220k k +-=，解得1k =或2k =-.【小问2详解】因为cos ,2a b a b a b ⋅== ，即34cos ,2a b ⨯=，则1cos ,16a b =≠± ，所以,a b不共线，若向量- a kb 与2ka b - 平行，则存在实数λ使得()22a kb ka b ka b λλλ-=-=- 成立，所以1k λ=且2k λ-=-，解得k =.16.已知函数()22sin cos f x x x x =+-．()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2-【解析】【分析】()1利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递减区间；()2利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，由,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得274,336x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭结合正弦函数的单调性，求得()g x 的值域．【详解】()1函数()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，∴当3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，可得2sin 233y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()22sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，,128x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，274,336x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，()21sin 4,1,32x y g x π⎛⎫⎛⎤∴+∈-∴= ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦的值域为(]1,2-．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.17.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）m =（2）764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴a b +===∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2cos a b x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴312741273477mm m m≤<≤<≠∴727637{84m m m ≤<≤<≠∴764m ≤<.18.某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y （单位：3/m h ）关于时间t （单位：h ）的关系均近似地满足函数sin()(0,0,0)y A t b A ωϕωϕπ=++>><<，其图象如图所示：（1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产(0)t t >时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过310/m h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【答案】(1)2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭;(2)8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)至少需推迟2小时投产.【解析】【分析】(1)由图可得:,A b ,利用周期公式可求出ω,(3,2)代入求出ϕ,即可得函数解析式;(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 833W t t ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简即可得出8,(0)36W t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭;(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产,据题意得，2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得1cos cos sin sin 13333m t t m ππππ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭,1化简即可得出,1cos32m π≤-,借助图象性质即可得解．【详解】由图可得:2,4A b ==2632sin 43y t ππωωπϕ=∴=⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭由过点(3,2)可得:sin 1ϕ=所求函数的解析式为2cos 4(0)3y t t π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.(2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为2cos (1)4,3t π⎛⎫++⎪⎝⎭乙车间为2cos 43t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,根据题意可得t 时刻的排污量:2cos (1)2cos 8332coscos 2sin sin 2cos 8333333cos 833836W t t t t t t πππππππππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++=-+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8,(0)36W t t ππ⎛⎫∴=++≥ ⎪⎝⎭(3)设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产，根据题意可得:2cos ()42cos 41033t m t ππ⎛⎫⎛⎫++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭coscos sin sin cos 1333331cos cos sin sin 133331122cos 1cos 332t m t m m t t m m m πππππππππππ∴-+≤⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭+≤∴≤-由函数周期性知(0,6)m ∈,可得:24333m πππ≤≤24m ∴≤≤所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产.【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,及()sin y A x ωϕ=+的图象性质在实际问题中的应用,难度较难.19.已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．（1）若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；（2）若m ＝1，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若1m 、2R m ∈，且1π,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2π()cos 04f x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．【答案】（1）()2,0（2）是（3）(]1,8【解析】【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；(2)1m =时,判断是否存在k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.【小问1详解】根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,【小问2详解】若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时π2π3k n =±,Z n ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.【小问3详解】假设存在实数()0m k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()(),m f x f x k f x k ⋅=++-成立则()()()()22211cos coscos 1cos21cos222m x x k x k x k x k ⎡⎤⎡⎤=++-=++++-⎣⎦⎣⎦()()()1111cos21cos21cos2222m x x k x k ⎡⎤⎡⎤∴+=++++-⎣⎦⎣⎦cos21cos2cos2sin2sin21cos2cos2sin2sin2m m x x k x k x k x k ∴+=+-+++()1cos222cos2cos2,m x x k ∴+=+12ππ,,24m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 均为函数2()cos 04f x x x π⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，()()12π1cos222cos2cosπ22cos2,1cos222cos2cos 2,2m x x x m x x ∴+=+=-+=+=ππ0020cos2142x x x <≤∴<≤∴<≤ ()222122222212sin 22cos22sin 212tan ,1cos212cos 1cos 1cos2cos x x x m x m x x x x x ---∴=====++-+()2244124411π4tan ,4tan ,(0)cos cos 4m m x h x x x x x ∴+=+=+<≤设，函数单调递增，()()π0,4h h x h ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭即()221218h x m m <≤∴+的取范围为(]1,8。

湖北省武昌实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

湖北省武昌实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin1,cos1,tan1,1的大小关系是（）A ．tan11cos1sin1>>>B ．tan11sin1cos1>>>C ．1tan1sin1cos1>>>D ．1sin1cos1tan1>>>2．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．12- B ．12 CD． 3．已知向量()2,0a =r，sin b α⎛= ⎝⎭r ，若b r 在a r 上的投影向量1,02c ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π34．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的一个函数解析式为（）A ．ππ2sin 1306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππ2sin 1303h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．ππ2sin 1306h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．ππ2sin 1606h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5．如图，在ABC V 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ====u u u r u u u r u u u r u u u r r r u u u r u u u r ，则BE =u u u r （）A ．1181515a b -r rB ．28315a b -r rC ．1181515a b -+r rD ．28315a b -+r r6．已知A 为锐角，cos tan22sin A A A =-，()tan A B -=tan B =（）A ．BC ．D 7．已知函数()2cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象关于原点对称，且在区间π2π,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线=2y -有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（）A ．(0,1]B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[1,)+∞D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为A 12 B ．2 C D二、多选题9．下列四个等式中正确的是（）A ．tan 25tan3525n3ta 5︒︒︒+︒=B ．14sin10=︒C ．已知函数()sin f x x x =，则()f x 的最小正周期是2π D ．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin sin sin αβαβ+=，则()()cos sin sin sin cos cos αβαβαβαβ+++的最小110．已知,(0,)αβπ∈，5sin 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 435πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()αβ-=（） A ．3365- B ．6365- C ．3365 D ．6365 11．对于函数()sin cos k k f x x x =+，k N +∈，下列说法正确的是（）A ．对任意的k ，()f x 的最大值为1B ．当2k =时，()f x 的值域中只有一个元素C ．当3k =时，()f x 在()0,2p 内只有一个零点D ．当4k =时，()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，且cos()cos 0αβα+≠，则tan()tan αβα+=.13．若2πsin cos 2)3ααβα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭，且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是．14．已知函数()=sin()f x A x ωϕ+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且2π9MN =，则(π)f 的值为四、解答题15．已知(a =r ，4b =r ，且()()2315a b a b -⋅+=-r r r r ．当k 为何值时， (1)向量2a kb +r r 与ka b -r r 互相垂直；(2)向量-r r a kb 与2ka b -r r 平行.16．已知函数()22sin cos f x x x x =+()1求函数()f x 的单调减区间；()2将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在,128ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．17．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ，函数 ()1f x a b m a b =⋅-++v v v v ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦. （1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.18．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y （单位：3/m h ）关于时间t （单位：h ）的关系均近似地满足函数sin()(0,0,0)y A t b A ωϕωϕπ=++>><<，其图象如图所示：（1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产(0)t t >时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过310/m h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？19．已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．(1)若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；(2)若m ＝1，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若1m 、2R m ∈，且1π,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2π()cos 04f x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．。

2020-2021学年湖北省武汉市某校高一(下)3月月考数学试卷

2020-2021学年湖北省武汉市某校高一（下）3月月考数学试卷一、选择题1. 如果角α的终边过点(−√3,−1)，则sinα的值等于( )A.1 2B.−12C.−√32D.−√332. cos(−11π6)=( )A.√32B.−√32C.12D.−123. 若cosθ<0，tanθ<0，则θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4. sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘=( )A.−√32B.√32C.−12D.125. 已知sinθ+3cosθsinθ−2cosθ=2，则tanθ的值为( )A.−4B.7C.−7D.46. 若cos(α+π6)=45，则cos(2α+π3)的值为( )A.−2425B.2425C.−725D.7257. 将函数f(x)=sin2x的图像向左平移π6个单位长度后，得到y=g(x)的图像，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是()A.g(x)的最小正周期为2πB.g(x)的图像关于直线x=π12对称C.g(x)的最大值为√3+1D.g(x)在(π6,2π3)上为单调减函数8. 已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，若使得f(x)在区间[−π3,φ]上为增函数的整数ω有且仅有一个，则实数φ的取值范围是()A.(π12,π6] B.[π12,π6] C.(π6,π3] D.[π6,π3]二、多选题下列命题中是真命题的为()A.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”B.函数f(x)=cos x向右平移π2个单位得到函数解析式g(x)=sin xC.函数f(x)=x2−1的零点为(−1,0)，(1,0)D.∃x0∈R，tan x0=2已知A=|sinα|sinα+|cosα|cosα+|tanα|tanα(k∈Z)，则A的值可以是( )A.3B.−3C.1D.−1已知f(x)=sin|x|+|sin x|，下列说法正确的是()A.f(x)为偶函数B.f(x)关于x=π2对称C.f(x)的值域是[0,2]D.f(x)为周期函数一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D.点P距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4sin(π30t+π6)+2三、填空题√1+2sinπ+2cosπ+2=________.函数y=cos(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为2π，则ω=________．tan10∘+tan20∘+tan10∘⋅tan20∘⋅tan30∘的值是________.对于函数f(x)=2sin x−2−sin x，有如下结论：①f(x)在R上是奇函数；②π为f(x)的一个周期；③当x=π2时f(x)取得最大值；④f(x)在区间(−π2,π2)上单调递增．其中所有正确结论的序号是________.四、解答题(1)化简：√1−sin2α(α∈(3π2,2π))；(2)化简：√12+12√12+12cos2α(α∈(3π2,2π)).已知tanα=2，求下列各式的值：(1)4sinα+3cosα5cosα−3sinα；(2)4sin2α+3cos2α已知cosα=−45，α∈(0,π)，sinβ=−513，β是第三象限角，求：(1)sinα与cosβ的值；(2)cos(α+β)．已知函数f(x)=2sinωx−2√3cosωx+1(ω>0)的最小正周期是π．(1)求ω值；(2)求f(x)的对称中心；(3)将f(x)的图象向右平移π3个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间．已知函数f(x)=cos(2ωx+π3)+2cos2ωx(ω>0)，x1，x2是方程f(x)=1−√3的两个不相等的实根，且|x1−x2|的最小值为π .(1)求函数f(x)的解析式；(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[1−√3,0]，求m的取值范围 .函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)若∀x∈[−π4,π4]，[f(x)]2−mf(x)−1≤0，求m的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省武汉市某校高一（下）3月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】任意角的三角函数【解析】由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．【解答】解：点(−√3,−1)到原点的距离r=√(−√3)2+(−1)2=2，由定义知sinα=yr =−12.故选B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，比较基础．2.【答案】A【考点】诱导公式【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：cos(−11π6)=cos11π6=cos(2π−π6)=cosπ6=√32．故选A．【点评】本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值，需熟记公式以及特殊角的三角函数值，属于基础题．3.【答案】B【考点】三角函数值的符号象限角、轴线角【解析】根据cosθ<0，在二，三象限，且tanθ<0，在二，四象限，综合可得答案．【解答】解：∵cosθ<0，∴ θ在第二，三象限.∵ tanθ<0，∴ θ在第二，四象限.综合可得：θ是第二象限角．故选B．【点评】本题考查三角函数值的符号，牢记：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解题的关键．4.【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式【解析】根据两角和的正弦公式即可求解．【解答】解：由两角和的正弦公式可得：sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘=sin(20∘+10∘)=sin30∘=12．故选D．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．5.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】直接利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：sinθ+3cosθsinθ−2cosθ=2，可得：tanθ+3tanθ−2=2，解得tanθ=7．故选B．【点评】本题考查三角函数化简取值，同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式【解析】由已知结合二倍角的余弦公式即可求解．【解答】解：cos(α+π6)=45，则cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725.故选D．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础试题．7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的周期性正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性正弦函数的对称性【解析】解析：本题考查三角函数的平移，周期，最值，单调性，对称性的问题，只能一个一个去算，得到答案。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册3月月考数学试题一、单选题1．设点A (1,2)，B (3,5)，将向量AB按向量a ＝(－1,－1)的方向平移后得到A B '' 为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7)【正确答案】B【分析】向量是可以平移的，因为向量AB 平移后仍是AB.【详解】因为A (1,2)，B (3,5)，所以AB＝(2,3)，向量是可以平移的，因为向量AB平移后仍是AB,故向量AB 按向量a ＝(－1,－1)的方向平移后得到A B '' 为AB＝(2,3)，故选：B 2．已知3cos 5α=，π02α<<，则()sin πα+的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【正确答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin α，再由诱导公式计算可得；【详解】解：因为3cos 5α=，π02α<<，所以4sin 5α=，所以()4sin πsin 5αα+=-=-；故选：A3．已知12,e e 是单位向量，且12e e ⊥ ，则下列结论正确的是（）A ．12e e =B ．121e e += C ．()2122e e += D ．122e e -= 【正确答案】C【分析】根据单位向量的定义即可判断AB ；根据数量积的运算律即可判断C ，根据数量积的模的计算方法即可判断D.【详解】解：因为12,e e是单位向量，所以121e e == ，又12e e ⊥，所以120e e ⋅= ，所以12e e ≠ ，故A 错误；122e e +=，故B 错误；()22212121222e e e e e e +++⋅==，故C 正确；12e e - ，故D 错误.故选：C.4．如图，,A B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C ，测得BC 的距离10m,75,60ABC ACB ∠∠==，则,A B 两点间的距离为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据正弦定理求解即可【详解】因为75,60ABC ACB ∠∠== ，故180756045BAC ∠=--= ，由正弦定理，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，故102AB =故选：D5．已知点()()()0,0,1,2,1,1O A B -，则OA 与AB的夹角的余弦值为（）A ．45-B ．45C ．310-D ．310【正确答案】A【分析】根据题意写出OA 、AB,带入,cos AB A OA OA A OA B B ⋅=⋅即可算出答案.【详解】由题意知：(1,2)OA =- ，(2,1)AB =-.所以.4cos 5,OA AB A A A O O BA B =-⋅=⋅故选：A.6．已知1sin 412πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ．C ．78D ．78-【正确答案】D【分析】利用诱导公式可得51cos()412πα+=-，再由二倍角余弦公式求5cos 26πα⎛⎫+ ⎝⎭.【详解】由51sin()cos[()1212]cos()2412ππππααα-=-+-=-+=，即51cos()412πα+=-，又255cos 22c 71os ()1628ππαα⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭.故选：D7．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，,E F 分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则=AG （）A ．2133+ AB AD B ．1233+AB AD C ．3344+AB AD D ．2233+AB AD 【正确答案】C【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.【详解】根据题意：()12AG AE AF =+又12=+=+ AE AB BE AB AD12AF AD DF AD =+=+ 所以3344AG AB AD =+ 故选：C本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.8．在ABC 中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S = ，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CBCP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y+的最小值为（）A ．1163+B ．116C ．11123+D ．1112【正确答案】C【分析】由已知条件求得解得b ，c ，cos A ，再求得CB ，可得到134x y+=，用基本不等式求21x y +的最小值.【详解】设||AB c = ，||AC b = ，根据题意得cos 9cos 1sin 62bc A b c A bc A ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得3b =，5c =，4sin 5A =，3cos 5A =，4CB =∴34||||CA CB x y CP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+，又A 、P 、B 三点共线，∴134x y+=，∴2121111111()(3412321212x y x y x y x y y x +=++=++≥+=当且仅当13432x y x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(()645435x y ⎧⨯⎪=⎪⎨⨯-⎪=⎪⎩时，等号成立．故选：C关键点睛：解题的关键是由已知条件求出,,a b c 后，再由,,A P B 三点共线，得134x y+=，所以212134x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简后结合基本不等式可求出其最小值，二、多选题9．把函数()sin f x x =的图像向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值为2C ．图像的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线12x π=【正确答案】AD【分析】根据伸缩平移变换可得函数()g x 的解析式，进而判断各选项中图像性质.【详解】()sin f x x =的图像向左平移3π个单位长度得函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；由,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，得22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则当232x ππ+=，即12x π=时，()g x 取最大值为1，B 选项错误；令23x k ππ+=，Z k ∈，得+62k x ππ=-，Z k ∈，所以函数()g x 的对称中心为+,062k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不成立，C 选项错误；令232x k πππ+=+，Z k ∈，解得122k x ππ=+，Z k ∈，所以函数()g x 的对称轴为122k x ππ=+，Z k ∈，当0k =时，12x π=，D 选项正确；故选：AD.10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若a =，b =45B = ，则角A的可能取值是（）A ．30B ．150C ．60D ．120【正确答案】CD【分析】根据正弦定理，求得sin 2A =，结合AB >，即可求解.【详解】在ABC 中，因为a =，b =，45B = ，由正弦定理可得sin sin a b A B =，则sin sin 2a B Ab ==，因为a b >，所以A B >，则60A = 或120A =o .故选：CD.11．对于ABC 有如下命题，其中错误的是（）A ．若222sin sin sin ABC +<，则ABC 为锐角三角形B ．若1,30AB AC B ===︒，则ABC 的面积为2C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．P 在ABC 所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是ABC 的重心【正确答案】ABC【分析】根据正余弦定理和三角形的面积公式可以推理出三角形的形状和面积，结合向量和三角形的重心性质可以判断选项正确与否.【详解】对于A ，因为222sin sin sin A B C +<，通过正弦定理可知222222cos 02a b c a b c C ab+-+<⇒=，故ABC 是钝角三角形，故A 错；对于B，若1,30AB AC B ===︒，假设,BC x =由余弦定理可知22212,x x =+-⋅可解得1x =或2x =当1,BC=11122ABC S △=⨯=当2,BC=112222ABC S △=⨯=故B 错；对于C ，若sin 2sin 2,A B =则由22A B =或者2π-2A B =即A B =或者π2A B +=，则ABC 是等腰三角形或者直角三角形，故C 错；对于D ，P 在ABC所在平面内，若0PA PB PC ++=，取BC 中点D ，连接PD ，所以有2PB PC PD DB PD DC PD +=+++=,又因为0PA PB PC ++=，所以PB PC PA +=- ，所以2PA PD -= ，所以,,A P D 三点共线，且2AP PD=,所以P 是ABC 的重心，故D 正确；故选：ABC12．对任意两个非零向量,a b，定义新运算.sin ，⊗= a a b a b b已知非零向量,m n 满足3> m n 且向量,m n 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()4⊗ m n 和()4⊗ n m 都是整数，则⊗ m n 的值可能是（）A ．2B ．52C ．3D ．4【正确答案】BC【分析】由题意可得sin 4θ⊗== n k n m m 、⊗m n sin 14θ==n m，利用θ的范围，可得9,44⎛⎫⊗∈ ⎪⎝⎭ m n 从而定点答案.【详解】由题意可得()sin 4θ⊗==∈ n k n m k Z m ，因为30m n >>，，所以||103||<<n m ，因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 12θ<<，所以||10sin 3||θ<<n m ，即1043k <<，解得403k <<，因为Z k ∈，所以1k =，所以⊗ m n sin 14θ== n m ，则14sin θ= n m ，故2||sin 4sin ||θθ⊗== m m n n ，因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 12θ<<，因为0||13||<<n m ，所以1104sin 3θ<<，所以3sin 14θ<<，所以29sin 116θ<<，则294sin 4,4θ<<即9,44⎛⎫⊗∈ ⎪⎝⎭m n .故选：BC.三、填空题13．若()1,2a =r与()3,b x =- 是共线向量，则x =___________.【正确答案】6-【分析】由两向量共线的坐标表示计算即可得出答案.【详解】因为()1,2a = 与()3,b x =-r共线所以.()1236x x ⨯=⨯-⇒=-故答案为.6-14．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则b 在a 方向上的投影向量的模长是___________．【分析】根据数量积、模的坐标表示求出a b ⋅ 、a r ，再根据1a b a a a⋅⋅求出b 在a方向上的投影向量，从而求出其模；【详解】解：因为(1,3),(2,4)a b ==-，所以()123410a b ⋅=⨯+⨯-=- ，a =所以b 在a 方向上的投影向量为)()11,31,3a b a a a⋅⋅==--，=；15．在平面直角坐标系xoy 中，点A (1，2)、B (2，3)、C (3，－1)，以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____【分析】根据A (1，2)、B (2，3)、C (3，－1)，得到()()1,1,2,3AB AC ==-，然后利用向量的加法和减法运算法则求解.【详解】解：因为A (1，2)、B (2，3)、C (3，－1)，所以()()1,1,2,3AB AC ==-，所以()()3,2,1,4AB AC AB AC +=--=-，则13,AB AC AB AC +==-所以以线段AB ，AC ，四、双空题16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S (其中S 为三角形面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 所对应的三边，若3a =且()cos a c B C =+，则ABC 面积的最大值是________，此时ABC 外接圆的半径为____【正确答案】3【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质计算可得面积最大值，从而求出c ，再由余弦定理求出A ，最后由正弦定理求出外接圆的半径．【详解】解：因为(cos )=+a c B C ，由正弦定理得sin sin (cos cos )sin()A C B C B C ==+，所以sin cos cos sin cos sin cos C B C C B C C B +=+，cos sin cos C C B C =，因为cos 0C ≠，sin C B =，由正弦定理得b =，由题意可得S =当29c =即3c =时三角形ABC 的面积最大，最大值为max 4S=，所以b =3a =，所以222cos 2b c a A bc +-==又()0,A π∈，所以6A π=，设ABC 外接圆的半径为R ，则3261sin 2a R A ===，所以3R =；3．五、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 3sin cos 0a C c A B -=.(1)求cos B 的值；(2)若2BA BC ⋅=uu r uu u r，1c =，求b 的值.【正确答案】(1)23【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出cos B ；（2）根据数量积的定义求出ac ，即可求出a ，再由余弦定理计算可得；【详解】（1）解：因为2sin 3sin cos 0a C c A B -=，由正弦定理可得23cos 0ac ac B -=，因为0ac ≠，所以2cos 3B =（2）解：因为2BA BC ⋅=uu r uu u r，所以cos 2ac B =，所以3ac =，因为1c =，所以3a =，由余弦定理22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b .18．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC = ，求AC EF ⋅的值；(2)求EA EF ⋅的取值范围.【正确答案】(1)2；(2)1[,2]4-.【分析】（1）由AC AD DC =+ 、11()32EF DC AB AC =+-，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求AC EF ⋅即可.（2）令ED CD λ= 且01λ≤≤，同（1）应用向量数量积的运算律得到EA EF ⋅关于λ的表示式，即可求值.【详解】（1）由图知：AC AD DC =+ ，CB AB AC AB AD DC =-=-- ，所以111()222EF EC CF DC CB AB AD =+=+=- ，所以1()(21)(2AD DC AB AD AD AB DC AB AC EF +-=-⋅=⋅+⋅⋅ 2)AD DC AD -⋅ ，又224AB AD CD ===，//AB CD ，90DAB ∠=︒，所以21(02420)22AC EF ⋅=⨯+⨯--= .（2）由（1）知：11()22EF EC CF EC CB EC AB AD DC =+=+=+-- ，令EC DC λ= 且01λ≤≤，则(1)EA DA DE DA DC λ=-=-- ，11()()22EF DC AB AD λ=-+- ，所以22111((1)()()222EA EF DA DC DC DA AB AD λλλ⋅=-⋅---+⋅+ 1()2DC AB DC AD λ--⋅-⋅= 21114(1)()24()244λλλ-++=--.则1[,2]4EA EF ⋅∈- .19．某地一天的时间(024x x ，单位：时)随气温()oC y 变化的规隼可近似看成正弦函数()sin y A x B =++ωϕ的图象，如图所示.（1）根据图中数据，试求()sin y A x B =++ωϕ(0,0,0)A ωπϕ>>-<<的表达式.（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于o 23C ，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？【正确答案】（1）36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）老张可在11:0019:00 外出活动，活动时长最长不超过8小时；【分析】（1）首先求出A 、B ，再根据函数的周期求出ω，最后根据函数过点()3,14求出ϕ，即可得到函数解析式；（2）依题意令23y ≥，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；【详解】解：（1）依题意可得2614A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得620A B =⎧⎨=⎩，又1532T =-即224T πω==，解得12πω=，所以6sin 2012y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数过点()3,14，所以6sin 3201412πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，解得32,4k k Z πϕπ=-+∈，因为0πϕ-<<，所以34πϕ=-，所以36sin 20124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）依题意令36sin 2023124x ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即31sin 1242x ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以3522,61246k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈解得11241924,k x k k Z+≤≤+∈因为024x 所以1119x ≤≤，又19118-=即老张可在11:0019:00 外出活动，活动时长最长不超过8小时；20．在ABC 中，222a a c b =+-.(1)若b =sin C ；(2)若ABC 存在且唯一确定，求b 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)2b =或b ≥【分析】（1）由222a c b +-，利用余弦定理求得角B ，然后利用余弦定理求得c 的值，然后利用正弦定理求得sin C ；（2）ABC 存在且唯一确定，则sin b a B =，或b a ≥，从而求得b 的范围.【详解】（1）因为222a c b +-，所以222cos 2a c b B ac +-===因为0B π<<，所以4B π=.由余弦定理知2222cos .b c a ca B =+-2222cos 4c c π=+-⨯.得2430c c -+=.所以1c =，或3c =.由正弦定理知sin sin c b C B=.所以，当1c =时，sin C =当3c =时，310sin 10C =.（2）由（1）得4B π=，ABC 存在且唯一确定，则sin 2b a B ===，或b a ≥=综上，当2b =或b ≥时，ABC 存在且唯一确定.21．已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+= ，(cos ,2) m b θ-= ，函数()f a b θ=⋅ ，（1）当0m =时，求函数π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【正确答案】（1）12+；（2）(,-∞【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示化简()f θ，将π6θ=代入即可求解；（2）将()f θ代入，令sin cos t θθ=+，则2sin 21t θ=-，t ⎡∈⎣，将不等式转化为关于t 的不等式，再分离m 转化为最值问题即可求解.【详解】（1）因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+= ，(cos ,2) m b θ-= ，()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+ ，当0m =时，()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++ ，ππππ1sin 2sin cos 2163662222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444 ,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t-+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立，即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立，因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立，令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <，因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥=++当且仅当2t t=即t =时，等号成立()g t取得最小值所以m <，所以实数m的范围为(,-∞.22．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知()()cos cos cos cos a A B b A a B A -=-．(1)证明：2B A =．(2)求函数()()sin 6sin 6cos6cos6f A m A A A m A m R =+⋅+∈的值域．【正确答案】(1)证明见解析(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）利用正弦定理及正弦差角公式得到sin(2)0A B -=，结合π2π2A B -<-<求出20A B -=，证明出结论；（2）利用辅助角公式和同角三角函数关系，换元后得到()21122g t t mt =+-，结合)1t ⎡∈-⎣，对m 进行分类讨论，求解出m 不同取值范围下的函数值域.【详解】（1）证明：因为()()cos cos cos cos a A B b A a B A -=-，所以()()sin cos sin cos sin cos cos A A B B A A B A -=-⋅，所以()()sin cos sin cos A A B B A A -=-，所以()()sin cos sin cos 0A A B A B A -+-=，所以()sin 0A A B ⎡⎤+-=⎣⎦，即()sin 20A B -=．因为△ABC 是锐角三角形，所以02A π<<，所以02B π<<，所以22A B ππ-<-<，则20A B -=，即2B A =．（2）因为△ABC 是锐角三角形，所以02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<，则576444A πππ<+<，从而1sin 642A π⎛⎫-+<- ⎪⎝⎭≤，故sin 614A π⎛⎫+<- ⎪⎝⎭．设sin 6cos 6t A A =+，则)614t A π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭，21sin 6cos 62t A A -=．设函数()21122y g t t mt ==+-，则其图象的对称轴方程为t m =-．①当m -<m >()g t在)1⎡-⎣上单调递增，因为(12g =，()1g m -=-，所以()f A的值域是1,2m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；②当m ≤-≤，则12m ≤()g t在m ⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在(),1m --上单调递增，因为()21122g m m -=--，()1g m -=-，所以()f A 的值域是211,22m m ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭；③当112m -<-<-，即112m <<时，()g t在m ⎡⎤-⎣⎦上单词递减，在(),1m --上单调递增，因为()21122g m m -=--，(12g =，所以()f A的值域是2111,222m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦；④当1m -≥-，即1m £时，()g t在)1⎡-⎣上单词递减，因为(12g =，()1g m -=-，所以()f A 的值域是1,2m ⎛⎤- ⎥⎝⎦．综上，当m >时，()f A 的值域是1,2m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；当12m ≤时，()f A 的值域是211,22m m ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭；当112m +<<时，()f A 的值域是2111,222m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦；当1m £时，()f A 的值域是1,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦．。

湖北省武汉市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题

湖北省武汉市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点A (1，－2)，B (－3，1)，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A ．43(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．34(,)55-2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3．若a ＝(1，1)，b ＝2，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．在∥ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则∥ABC 的形状一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，a ＋b )，q ＝(b ，c －a )．若//p q ，则角C 的大小为（） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心7．在三角形ABC 中，已知三边之比::2:3:4a b c =，则sin 2sin sin 2A BC-的值等于（） A ．1B ．2C ．2-D ．128．已知ABC 中，2AB =，1AC =，1AB AC ⋅=，O 为ABC 所在平面内一点，且满足230OA OB OC ++=，则OA BC ⋅的值为（） A ．4- B ．1- C ．1D ．4二、多选题9．已知平面向量,,a b c ，下列命题正确的有（） A ．若()()0a b a b +⋅-= ，则a b = B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ， C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．a b a c c b -≤-+-10．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的值可以是（）A B ．1 C D ．211．在∥ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足B ＝60°，c ＝2的三角形有唯一解，则b 的值可以为（） A ．1BC ．2D ．312．给出下列四个命题，其中正确的是（）A ．非零向量a ，b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角是30°B ．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则向量a 在向量bC ．若单位向量,a b 夹角为120°，则当2a xb + (x ∥R)取最小值时x ＝1D ．已知OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )，若∥ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m >－34三、填空题13．若ABC ∆中，AC =045A =，075C =，则BC =_______． 14．设向量132,sin ,,cos ,223a b αα⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若//a b ,则5sin(2)6πα-的值是___________．15．在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且AB mAE =，(0,0)AC nAF m n =>>，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为___________16．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km ，水的流速为2km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6min ，则客船在静水中的速度为___________km/h ．四、解答题 17．已知向量AB ＝(3，1)，AC ＝(－1，a )，a ∥R ，若△ABC 为直角三角形，求a 的值．18．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,2a b B A ===. （I ）求cos A 的值；（II ）求c 的值.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，△ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.(1)用a ，b 表示AC ，AE ； (2)求∥BAE 的余弦值.20．已知函数()()23π2021πsin sin 12f x x x x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的对称轴方程； (2)若对于任意的ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围. 21．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量(cos ,cos )m A B =，(,2)n a c b =-，且//m n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =b c +的取值范围.22．已知在∥ABC 中，AB ＝1，BC AC ＝2，点O 为∥ABC 的外心， (1)求圆O 的面积；(2)若AO ＝x AB ＋y AC ，求x ，y 的值.。

高一数学-武汉三中高一数学3月月考试题

武汉三中2024届高一数学3月月考一、单选题2022.3.231.已知)3,(),2,1(m b m a =−=→→，若→→⊥b a ，则m 的值为（） A.32 B.23 C.3 D.-12.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“==1a b ”是“2()2a bi i +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知a 与b →的夹角为120︒，3a →=，a b →→+=b →=（） A ．2B ．1C ．4D ．34.两个大小相等的共点力12F F ，，当它们夹角为90︒时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为120︒时，合力大小为（）A ．40NB ．C ．D ．5.在ABC △中,ABC △的面积为34，且c a A b 2cos 2=+，8=+c a ，则其周长是（）A.38+ B.10C.12D.328+6.中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH ，如图所示，若2AB a =，则AC AE ⋅=（）A ．(24a+B ．(24a+C ．(28a+D ．(28a+7.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（）A ．45,3,=︒==A c aB ．5,60==︒=a c CC ．45︒=a b BD ．2,3,==b c ABC 的面积为328.在平面四边形ABCD 中，已知ABC △的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．49. 设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122−C ．实数12a =−是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 10. 如图，在ABC △中，BD BC λ=，其中[0,1],,4,56B AB BC πλ∈===，则（）A ．当23λ=时，2133AD AC AB =+B ．当23AB BD ⋅=−时，15λ= C ．当1λ=时，ABD △的面积最大D ．当35λ=时，AD BC ⊥11.下列条件能判断ABD △是钝角三角形的是（） A.b BC AB 2=⋅→→B.6,5,4===c b aC.sin sin sin c b Aa b C B−=++ D.C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+ 12.定义两个非零平面向量的一种新运算sin ,a b a b a b *=⋅⋅<>，其中,a b <>表示a ，b 的夹角，则对于两个非零平面向量a ，b ，下列结论一定成立的有（） A ．a 在b 方向上的投影向量为sin ,b a a b b<>⋅ B ．()()2222*a b a ba b +⋅=⋅C ．若()()*a b a b λλ=⋅ D ．若*0a b =，则a 平行于b三、填空题13. 若复数31i 2z ai−=−为实数，则实数a 的值为_______.14. 在ABC 中，n b n n a 4),0(32=>=，则使ABC △有解的A 的范围是____________15. 已知复数z 与i z 822−+）（都是纯虚数，则z=_______________ 16. 在等腰直角三角形ABC 中，已知AB =AC =1，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且→→→→==AC n AF AB m AE ,，其中)21,0(),1,0(∈∈n m ，且12=+n m ，若EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则||→MN 的最小值是___________17.（1）解复数方程：2||0x x +=()x C ∈；（2）已知23i −+是方程220x px q ++=(,)p q R ∈的一个根，求实数p 、q 的值．18.如图，在ABC 中，已知CA =1，CB =2，60ACB ︒∠=．（1）求AB →；（2）已知点D 是AB 上一点满足AD AB λ→→=，点E 是边CB 上一点，满足EB CB λ=．是否存在非零实数入，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a b c 、、cos cos CA= （1）求A ；（2）若6a =，求ABC △面积的取值范围.20、在ABC △中，已知(cos ,sin 2sin ),(2cos cos ,sin )m B B C n C B B m n →→→→=−=+⊥，且. （1）求A 的大小；（2）若3=BC ，求AB +AC 的范围.21、在ABC △sin sin cos sin B CC C A++=.(1)求A ；(2)若ABC △的内切圆半径2r =，求AB AC +的最小值.22、如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒、30︒和60︒．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．。