2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题(解析版)
人教A版2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本题共10小题）1．已知球的半径为1，则该球的体积是（）A．B．πC．D．4π2．两直线l1：kx﹣y+1＝0，l2：4x﹣ky+4＝0垂直，则k为（）A．不存在B．0 C．﹣1 D．13．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D为BC的中点，则＝（）A．+﹣B．++C．+﹣D．++4．若点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＞19 D．a＜195．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β则m∥nC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n 6．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．B．3 C．4 D．67．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（）A．B．C．D．8．已知圆锥PO，A，B，C是底面圆周上任意的三点，记直线PA与直线BC所成的角为θ1，直线PA与平面ABC所成的角为θ2，二面角P﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3B．θ3≤θ1C．θ1≤θ2D．θ2≤θ39．已知B1，B2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个短轴端点，P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知△ABC，AB＝AC，D是BC上的点，将△ABD沿AD翻折到△AB1D，设点A在平面B1CD 上的射影为O，当点D在BC上运动时，点O（）A．位置保持不变B．在一条直线上C．在一个圆上D．在一个椭圆上二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，则2a﹣b＝．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是．14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，则AC1的长度为．15．一动圆截直线3x﹣y＝0和3x+y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，若A1B和A1D与平面α都成60°角，则A1C与平面α所成角的余弦值为．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．18．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，ABCD是菱形，点E在A1D上，且A1E＝2ED．（Ⅰ）证明：BD1⊥AC；（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．19．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），D（0，a）四点在同一个圆E上．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆E上，求x2+2x+y2的取值范围．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD＝BC＝CD＝1，AB ＝2，．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．21．已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且经过点，A，B是椭圆E上两点，．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案一、选择题（本题共10小题）1．已知球的半径为1，则该球的体积是（）A．B．πC．D．4π【分析】直接由球的体积公式求出球的体积．解：由球的体积公式V＝•R3＝，故选：C．2．两直线l1：kx﹣y+1＝0，l2：4x﹣ky+4＝0垂直，则k为（）A．不存在B．0 C．﹣1 D．1【分析】利用直线垂直的性质求解．解：根据直线垂直的条件可得，4k+k＝0，所以k＝0，故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，D为BC的中点，则＝（）A．+﹣B．++C．+﹣D．++【分析】如图所示，D为BC的中点，＝，代入＝﹣即可得出．解：如图所示，∵D为BC的中点，∴＝，∴＝﹣＝﹣，故选：C．4．若点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＞19 D．a＜19【分析】点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧，那么把这两个点代入3x﹣y+7，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围．解：∵点A（2，0），B（a，4）在直线y＝3x+7的两侧；∴（2×3+7）（3a﹣4+7）＜0，即：3a+3＜0，解得a＜﹣1．故选：A．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β则m∥nC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n 【分析】本题考查平面的基本性质及推论，考察空间点线面的位置关系，要依据4个公理以及公理2的3个推论判断，首先画出图象，然后利用图象判断．否定时举出反例即可，使用排除法．解：A、m⊥n，m⊥α，n∥β，如图，α与β相交，故A错误，B、若m∥α，n∥β，α∥β，如图m，n相交，故B错误，C、若m∥n，m∥α，n∥β，α∥β，故C错误，D、若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，则m⊥n，正确．故选：D．6．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是（）A．B．3 C．4 D．6【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．解：画出可行域，表示的区域如图，要求x+y的最小值，就是x+y在直线x+2y﹣4＝0与直线x﹣y＝0的交点N（，）处，目标函数x+y的最小值是．故选：A．7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出AB与两个半平面的棱所成的角为∠ABD，利用边角关系，求出∠ABD的正弦值，得出结论．解：如图，AB的两个端点A∈α，B∈β，过A点作AA′⊥β，交β于A′，连接BA′，则∠ABA′为线段AB与β所成角，且∠ABA′＝30°，同理，过B作BB′⊥α，交α于B′，则∠BAB′为BB′与α所成角，且∠BAB′＝30°．过B作BD∥A′B′，且BD＝A′B′，则∠ABD为所求，∴A′B′BD为矩形，设AB＝2，在直角△ABB′中，BB′＝AB sin30°＝＝1，在直角△ABA′中，AA′＝AB sin30°＝＝1，A′B＝AB cos30°＝＝所以BD＝，同理AD＝，所以sin∠ABD＝，故∠ABD＝45°故选：B．8．已知圆锥PO，A，B，C是底面圆周上任意的三点，记直线PA与直线BC所成的角为θ1，直线PA与平面ABC所成的角为θ2，二面角P﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3B．θ3≤θ1C．θ1≤θ2D．θ2≤θ3【分析】根据题意，求出，sinθ3＝＝sinθ2，得出结论．解：如图，直线PA与平面ABC所成的角θ2＝∠PAO，，二面角P﹣AB﹣C即平面PAB与底面所成的角，作PM⊥AB，连接OM，根据三垂线定理，OM⊥AB，故θ3＝∠PMO，sinθ3＝＝sinθ2，又θ3，θ2都是锐角，所以θ3≥θ2，故选：D．9．已知B1，B2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个短轴端点，P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，可得：≤2b，化为：≥．利用e＝＝，即可得出范围．解：∵P是椭圆上任意一点，|PB1|≤|B1B2|，∴≤2b，化为：≥．∴e＝＝≤．又e∈（0，1）．∴e∈（0，]．故选：C．10．已知△ABC，AB＝AC，D是BC上的点，将△ABD沿AD翻折到△AB1D，设点A在平面B1CD 上的射影为O，当点D在BC上运动时，点O（）A．位置保持不变B．在一条直线上C．在一个圆上D．在一个椭圆上【分析】为计算简便，不妨设△ABC为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC中点M，利用AO⊥OC，AO⊥OM即可得到轨迹方程解：为计算简便，不妨设△ABC为等腰直角三角形，令BC＝2，且令∠B1DC＝90°，以BC中点M为空间原点，MA为z轴，建立空间直角坐标系，设BD＝a（0＜a＜2），B1A＝BA＝，设O（x，y，z），则C（0，1，0），A（0，0，1），M（0，0，0），D（0，a﹣1，0），所以＝（x，y，z﹣1），＝（x，y﹣1，z），＝（x，y，z），因为AO⊥OC，所以•＝x2+y（y﹣1）+z（z﹣1）＝0，同理AO⊥OM，所以•＝x2+y2+z（z﹣1）＝0，两式相减得y＝0，代入得x2+z（z﹣1）＝x2+（z﹣）2＝，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，则2a﹣b＝ 1 ．【分析】三点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，可得k AB＝k BC，利用斜率计算公式即可得出．解：三点A（1，1），B（0，﹣1），C（a，b）在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴＝，化为：2a﹣b＝1．故答案为：1．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，所以几何体的体积为：＝．故答案为：．13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是 1 ．【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出半径解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl＝2πr得l＝2r，而S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π故r2＝1解得r＝1故答案为：114．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60°，则AC1的长度为．【分析】设＝，，，则两两夹角为60°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得．我们易根据向量数量积的运算法则，求出AC1的模，即AC1的长；解：设＝，，，则两两夹角为60°，且模均为1．∴||2＝（）2＝3+6×1×1×＝6，∴|AC1|＝6，即AC1的长为．故答案为：．15．一动圆截直线3x﹣y＝0和3x+y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为xy＝10 ．【分析】动圆截直线3x﹣y＝0和3x+y＝0所得的弦长分别为8，4，利用点到直线的距离公式，可求MA2，MC2由垂径定理可得，MA2+AB2＝MC2+EC2，化简即可．．解：如图所示，设点M（x，y），由条件可得，AB＝4，EC＝2，由点到直线的距离公式可得，MA2＝，MC2＝由垂径定理可得，MA2+AB2＝MC2+EC2，∴+6＝+4，化简可得，xy＝10．∴点M的轨迹方程为xy＝10，故答案为：xy＝10．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，若A1B和A1D与平面α都成60°角，则A1C与平面α所成角的余弦值为．【分析】设直线l过点A1且垂直于α，则A1B与A1D都与直线l夹角为30°，连结BD，由题意得△A1BD是等边三角形，取BD中点E，由题意得A1E可以承担直线l的角色，由题意知A1C与直线l（直线A1E）的余弦值恰为A1C与平面α所成角的正弦，由此能求出A1C与平面α所成角的余弦值．解：设直线l过点A1且垂直于α，则A1B与A1D都与直线l夹角为30°，连结BD，由题意得△A1BD是等边三角形，取BD中点E，由题意得A1E可以承担直线l的角色，但同时与直线A1B、A1D夹角为相等的直线，最小也要30°，∴此时直线l是唯一的，由题意知A1C与直线l（直线A1E）的余弦值恰为A1C与平面α所成角的正弦，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A1C＝＝2，CE＝＝，A1E＝＝，∴设A1C与平面α所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴A1C与平面α所成角的余弦值为：cosθ＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．已知直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．（Ⅰ）证明：直线l恒过定点；（Ⅱ）设O是坐标原点，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．【分析】（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，结合直线方程的点斜式可求．（2）先求k OA，然后根据直线垂直与斜率的关系即可求解．解：（1）由直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0，变形为：k（x﹣3）＝y﹣1，结合直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点A（3，1），（2）∵OA⊥l，且k OA＝1，∴直线l：kx﹣y﹣3k+1＝0的斜率k＝﹣1．18．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，ABCD是菱形，点E在A1D上，且A1E＝2ED．（Ⅰ）证明：BD1⊥AC；（Ⅱ）证明：BD1∥平面ACE．【分析】（Ⅰ）连结BD，交AC于O，推导出AC⊥BD，AC⊥DD1，从而AC⊥平面BDD1，由此能证明BD1⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD1∥平面ACE．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，交AC于O，∵AA1⊥平面ABCD，ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴BD1⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设OB＝a，OC＝b，AA1＝c，则B（a，0，0），D1（﹣a，0，c），A（0，﹣b，0），C（0，b.0），A1（0，﹣b，c），D（﹣a，0，0），E（﹣，﹣，），＝（﹣2a，0，c），＝（0，2b，0），＝（﹣，，），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝c，得＝（c，0，2a），∵＝﹣2ac+2ac＝0，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．19．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），D（0，a）四点在同一个圆E上．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆E上，求x2+2x+y2的取值范围．【分析】（Ⅰ）设过A、B、C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，求得D、E、F的值，可得圆的方程，把D点坐标代入，即可求得a值；（Ⅱ）点P（x，y）在圆E：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5上，由x2+2x+y2＝（x+1）2+y2﹣1，其几何意义为圆E上的点到M（﹣1，0）距离的平方减1，求出|EM|，则答案可求．解：（Ⅰ）设过A、B、C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，得，解得：D＝﹣2，E＝﹣6，F＝5，得圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+5＝0．将点D的坐标代入上述所得圆的方程，得a2﹣6a+5＝0，解得a＝1或5；（Ⅱ）点P（x，y）在圆E：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5上，x2+2x+y2＝（x+1）2+y2﹣1，其几何意义为圆E上的点到M（﹣1，0）距离的平方减1．如图：|EM|＝，∴x2+2x+y2的最小值为＝；x2+2x+y2的最大值为．∴x2+2x+y2的取值范围是[，]．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD＝BC＝CD＝1，AB ＝2，．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．【分析】（I）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，连接OC，先证明PO⊥OC，再证明PO⊥平面ABCD，最后得出结论；（II）分别延长AD，BC交于E，过D作DH⊥PE与点H，连接BH，BD，∠DHB为所求的二面角的平面角，在Rt△DHB中，求出结果即可．解：（I）证明：取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，连接OC，在直角梯形ABCD中，易知∠DAB＝45°，∠ADC＝135°，AD＝，所以OC＝＝＝，由OP＝，PC＝，所以PO2+CO2＝PC2，所以PO⊥OC，又AD∩OC＝0，所以PO⊥平面ABCD，又PO在平面PAD内，故平面PAD⊥平面ABCD；（II）如右图，分别延长AD，BC交于E，过D作DH⊥PE与点H，连接BH，HD，AD＝，BD＝，AB＝2，所以BD⊥AD，由AD＝平面PAD∩平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，结合（I），则∠DHB为所求的二面角的平面角，DE＝，由PE＝＝，在三角形PDE中，由，DH＝，所以tan∠DHB＝，则cos∠DHB＝，故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．21．已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且经过点，A，B是椭圆E上两点，．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）由焦点坐标及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（Ⅱ）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线AB的方程，联立与椭圆的方程，求出两根之和与两根之积，及判别式大于零得出的参数范围，写出数量积的表达式，由均值不等式求出范围．解：（Ⅰ）由题意：c＝1，＝，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程：+y2＝1；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设x＝m，代入椭圆中整理得：m2+2y2＝2，∴y2＝，∴y＝±，∵AB＝，∴2•＝，解得：m2＝1，∴m＝±1．∴＝x2﹣y2＝1﹣＝；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝kx+m，设A（x，y），B（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，解得：m2＜1+2k2，x+x'＝，xx'＝，yy'＝k2xx'+km（x+x'）+m2＝，AB＝＝2，由题意得：2＝1+2k2，整理得：m2＝•，＝xx'+yy'＝＝＝＝+，令t＝2k2﹣1＞0，2k2＝t+1∴＝＝＝∈（，3﹣]，综上所述的取值范围[，3﹣]。
浙江省绍兴市诸暨中学 2019-2020学年高二数学文下学期期末试卷含解析
浙江省绍兴市诸暨中学 2019-2020学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数（）A．在区间内均有零点 B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点参考答案：D略2. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是( )A．21 B．20 C．19 D．18参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．3. 设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则参考答案：B4. 在等比{a n}数列中，a2a6=16，a4+a8=8，则=（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a4、a8的值，进一步求出q2=1，再由等比数列的通项公式求得a10，a20，则答案可求．【解答】解：在等比{a n}数列中，由a2a6=16，a4+a8=8，得，解得，∴等比数列的公比满足q2=1．则，，∴．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．5. 下面的程序运行后第3个输出的数是（）A．2 B．C．1 D．参考答案：A第一次：，第二次：，故选A6. 设函数f（x）在R上存在导数，，有，在(0, +∞)上，，若，则实数m的取值范围为（）A．[2,+∞) B．[3,∞) C．[－3，3] D．(－∞,－2]∪[2,+∞)参考答案：B7. 在等比数列中,则( )A B CD参考答案：A8. 已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（）A．公差； B．在所有中，最大；C．满足的的个数有11个； D．；参考答案：C略9. 函数的递增区间为（）A. (0,1)，(3,+∞)B. (1,3)C. (－∞,1)，(3,+∞)D. (3,+∞)参考答案：A分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.详解：，，增区间.故答案为：A.点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.10. 有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲线的方程．【解答】解：由题得，双曲线的焦点坐标为（，0），（﹣，0），c=：且双曲线的离心率为2×==?a=2．?b2=c2﹣a2=3，双曲线的方程为=1．故答案为： =1．12. 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．参考答案：①③⑤考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．解答：解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．13. 数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则参考答案：114. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在第______象限．参考答案：二【分析】求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限.【详解】解：，故复数对应点的坐标为，故复数对应点在第二象限.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的几何意义，运算正确与否是解题正确与否的关键，属于基础题.15. 函数的图象在处的切线方程为，则．参考答案：－316. 数列前n项的和为（）A．B．C． D．参考答案：B17. 设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为其前n项和，若S6=5a1+10d，则S n取最大值时，n= ．参考答案：5或6【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由S6=5a1+10d，可得6a1+=5a1+10d，化为a6=0．又公差d＜0，即可得出．【解答】解：由S6=5a1+10d，可得6a1+=5a1+10d，化为a1+5d=0，∴a6=0．又公差d＜0，因此S n取最大值时，n=5或6．故答案为：5或6．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年浙江绍兴市高二上学期期末调测数学试题 含答案
绍兴市2019学年第一学期高中期末调测高 二 数 学注意事项：1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.2．全卷满分100分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1．已知球的半径为1，则该球的体积是 A ．43 B ．π C ．43π D ． 4π 2．两直线1:10l kx y -+=，2:440l x ky -+=垂直，则k 为A ．不存在B ．0C ．1-D ．1 3．如图，在三棱锥ABC O -中，D 为BC 的中点，则=ADA .1122OA OC OB +-u u u r u u u r u u u r B . 1122++u u ur u u u r u u u r OA OB OCC .1122OB OC OA +-u u u r u u u r u u u rD . 1122OB OC OA ++u u ur u u u r u u u r4．若点(2,0)A ，(,4)B a 在直线73+=x y 的两侧，则a 的取值范围是A ．1-<aB ．1->aC ．19>aD ．19<a 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若n m ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ B ．若//m α，//n β，//αβ，则n m // C ．若n m //，//m α，//n β，则//αβ D ．若m α⊥，//n β，//αβ，则nm ⊥6．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥--≥-+.0,032,042y x y x y x ，则y x +的最小值是A ．83B ．3C ．4D ．6A第3题图7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是ο30，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为A ．6π B ． 4π C ． 3π D ． 2π 8．已知圆锥PO ，A ，B ，C 是底面圆周上任意的三点，记直线PA 与直线BC 所成的角为1θ，直线PA 与平面ABC 所成的角为2θ，二面角C AB P --A ．13θθ≤ B． 31θθ≤ C ．12θθ≤D ．23θθ≤9．已知1B ，2B 是椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的两个短轴端点，P 是椭圆上任意一点，112||||PB B B ≤，则该椭圆离心率的取值范围是A ．(0,2 B ．2 C ． D ． 10．已知△ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将△ABD 沿AD 翻折到△1AB D ，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O A ．位置保持不变 B ．在一条直线上 C ．在一个圆上 D ．在一个椭圆上二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则b a -2= ▲ ． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是第8题图B1第10题图侧视图正视图11第12题图13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是▲ ．14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111D C B A ABCD -， 以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60︒， 则1AC 的长度为 ▲ ．15．一动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦长分别为8，4， 则该动圆圆心的轨迹方程为 ▲ ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的顶点C 在平面α上， 若1A B 和1A D 与平面α都成60︒角，则1A C 与平面α三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本题满分10分）已知直线l ：310kx y k--+=，k ∈R ． （Ⅰ）证明：直线l 恒过定点；（Ⅱ）设O 是坐标原点，若⊥OA l ，求k 的值．第16题图1第14题图18．（本题满分10分）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -，1AA ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，点E 在1A D 上，且12A E ED =． (Ⅰ)证明：1BD AC ⊥； (Ⅱ)证明：1//BD 平面ACE ． 19．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，)2,1(-A ，)1,2(B ，)4,3(C ，()0，D a 四点在同一个圆E 上． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若点),(y x P 在圆E 上，求222++x x y 的取值范围． 20．（本题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -，ABCD 是梯形，//AB CDAB BC ⊥，1PA PD BC CD ====，2AB =，PC =．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值． 21．（本题满分12分）已知椭圆E :22221x y a b+=)0(>>b a 的一个焦点为(1,0)F ，且经过点(1,2，A ，B 是椭圆E上两点，||AB =B 1第18题图A第20题图（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求OA OB u u u r u u u r的取值范围．。
2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知球的半径为1，则该球的体积是（ ） A ．43B ．πC ．43π D ．4π【答案】C【解析】直接由球的体积公式求出球的体积即可． 【详解】由球的体积公式34433V R ππ=⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题考查球的体积公式，属于基础题．2．两直线1l ：10kx y -+=，2l ：440x ky -+=垂直，则k 为（ ） A ．不存在 B ．0C ．1-D ．1【答案】B【解析】利用直线垂直的性质求解即可． 【详解】根据直线垂直的条件可得，40k k +=，所以0k =. 故选：B ． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．3．在三棱锥O ABC -中，若D 为BC 的中点，则AD u u u r=（ ）A ．1122OA OC OB +-u u ur u u u r u u u rB ．1122OA OB OC ++u u ur u u u r u u u rC ．1122OB OC OA +-u u ur u u u r u u u rD ．1122OB OC OA ++u u ur u u u r u u u r【答案】C【解析】如图所示，D 为BC 的中点，()12OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，代入AD OD OA =-u u u r u u u r u u u r 即可得出． 【详解】如图所示，D Q 为BC 的中点， ()12OD OB OC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，()12AD OD OA OB OC OA ∴=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：C ． 【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a >-C ．19a >D ．19a <【答案】A【解析】点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，那么把这两个点代入37x y -+，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a 的取值范围．【详解】Q 点()2,0A ，(),4B a 在直线37y x =+的两侧，()()2373470a ∴⨯+-+<，即：330a +<，解得1a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβ B ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n C ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥ D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ【答案】C【解析】试题分析：A 中,αβ可能相交，B 中,m n 可能相交或异面，D 中,αβ可能相交.【考点】空间点、线、面的位置关系.6．若实数x y ，满足不等式组2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值是（ ）A ．83B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值即可． 【详解】画出可行域2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，表示的区域如图，要求x y +的最小值，就是x y +在直线240x y +-=与直线0x y -=的交点44,33N ⎛⎫⎪⎝⎭处， 目标函数x y +的最小值是83． 故选：A ． 【点睛】本题考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，考查计算能力．7．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30°，则这条线段所在直线与这个二面角的棱所成角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】根据题意作出AB 与两个半平面的棱所成的角为ABD ∠，利用边角关系，求出ABD ∠的正弦值，得出结论． 【详解】如图，AB 的两个端点A α∈，B β∈， 过A 点作'AA β⊥，交β于'A ，连接BA '，则'ABA ∠为线段AB 与β所成角，且'30ABA ∠=︒，同理，过B 作'BB α⊥，交α于B'，则'BAB ∠为'BB 与α所成角，且'30BAB ∠=︒,过B 作''BD AB P ，且''BD AB =，则ABD ∠为所求，''ABBD ∴为矩形，设2AB =，在直角'ABB ∆中，1'3012BB ABsin AB =︒==， 在直角'ABA ∆中，1'3012AA ABsin AB =︒==，3'303A B ABcos AB =︒== 所以22''2BD A B A D =-=，同理2AD =所以22sin ABD ∠=， 故45ABD ∠=︒ 故选：B ． 【点睛】本题考查直线和平面所成的角，异面直线所成的角，属于中档题．8．已知圆锥PO ，A B C ，，是底面圆周上任意的三点，记直线PA 与直线BC 所成的角为1θ，直线PA 与平面ABC 所成的角为2θ，二面角P AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．13θθ≤B ．31θθ≤C ．12θθ≤D ．23θθ≤【答案】D【解析】根据题意，求出2PO sin PA θ=，32PO POsin sin PM PAθθ=≥=，得出结论． 【详解】如图，直线PA 与平面ABC 所成的角2PAO θ∠=，2POsin PAθ=，二面角P AB C --即平面PAB 与底面所成的角，作PM AB ⊥，连接OM ，根据三垂线定理，OM AB ⊥， 故3PMO θ∠=，32PO POsin sin PM PAθθ=≥=， 又3θ，2θ都是锐角， 所以32θθ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面，异面直线所成的角，属于中档题．9．已知1B ，2B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个短轴端点，P 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．60,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．6,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】P 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤，可得：222a b b +≤，化为：221.3b a ≥利用221c b e a a==-，即可得出范围．【详解】P Q 是椭圆上任意一点，112PB B B ≤， 222a b b ∴+≤，化为：2213b a ≥．2261.c b e a a ∴==-≤又()0,1e ∈，60,.3e ⎛⎤∴∈ ⎥ ⎝⎦故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知ABC V ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上【答案】C【解析】为计算简便，不妨设ABC V 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设ABC V 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA ==(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =u u u r，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-u u u r ，(),,MO x y z =u u u u r ， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=u u u r u u u r ， 同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=u u u r u u u u r ，两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．二、填空题11．已知点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，则2a b -=______． 【答案】1【解析】三点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【详解】三点()1,1A ，()0,1B -，(),C a b 在同一直线上，AB BC k k ∴=，111010ba----∴=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______．【答案】13【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P ABCD -，所以几何体的体积为：1111133⨯⨯⨯=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题． 13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ． 【答案】1【解析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出半径. 【详解】设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ， 则由2l r ππ=得2l r =， 而22·233S r r r r ππππ=+== 故21r =， 解得1r =， 故答案为：1. 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：()1圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；()2圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，以A 为同一顶点的三条棱长均为1，且两两的夹角为060，则对角线AC 1的长是 . 【答案】【解析】本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．解：设。
浙江省绍兴市诸暨市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.设集合–1,{023}1U =,,,，{1,2}A =-，{1,2,3}B =，则()UB A =（ ）A. {}0B. {}2C. {1,2}-D.{1,1,2,3}-2.13tan6π的值是（ ）B. D.3.若lgsin 0x =，则x =（ ） A. 2()k k Z π∈B. 2()2k k Z ππ+∈ C. 2()2k k Z ππ-∈D.()2k k ππ+∈Z4.下列函数在(0,2)上递增的是（ ） A. ()sin 2y x =-B. 2x y e-=C. ()22y x =-D.12y x =-5.比较下列三个数的大小：log a =2log 3b =，3log 2c =（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. a c b <<6.函数3()log (2)1x a f x x a -=-++，（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 点坐标为（ ）A. (2,1)B. (3,2)C. (0,1)D. (3,3)7.对于函数1()1x f x x +=-的性质，下列描述①函数()f x 在定义域内是减函数；②函数()f x 是非奇非偶函数；③函数()f x 的图象关于点(1,1)对称．其中正确的有几项（ ） A. 0B. 1C. 2D. 38.设函数()tan f x x =，1244n x x x ππ-≤<<<≤的12,,,n x x x ，不等式()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤恒成立，则M 的最小值是（ ） A. 3B. 23C. 1D. 29.已知函数()248f x x x =-+，[1,]x m ∈，4()g x x x=+，[1,]x n ∈，若()f x 与()g x 值域都是[4,5]，则点(,)m n 所代表的区域是（ ）A. B.C. D.10.对任意x ∈R ，不等式sin()cos()04x ax b ππ+⋅+≤恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（ ） A.2222B. 2222-C. 2222--D.2222-二、填空题（本大题共7个小题．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.函数y x =____，函数y x=的值域是____________. 44(1)π-=_________，22031(8)3e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭___.13.已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则[](10)f f -=_____，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是________. 14.已知tan 2α=，则sin sin 2cos ααα=+_____，33sin sin 2cos ααα=+______ 15.若39log log 2x x=；则x =______. 16.函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，则ϕ的取值范围为_______.17.已知函数32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有211212()()0x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.18.已知4sin 5α=-，且cos 0α>． (1)确定角α的象限并求cos α，tan α的值； (2)求sin()3cos()27sin()cos()2παπαππαα-++-++的值．三、解答题（5小题，共74分；解答题须写出必要的计算、推理或证明过程） 19.已知集合()(){}230|A x x a x a =-⋅--<，{1,2,3}B = (1)若1a =，求AB ；(2)若3a ≠，写出A 对应的区间，并在{1,2}AB =时，求a 的取值范围．20.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：(1)求()f x 的解析式； (2)()f x 向右平移6π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间； (3)若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且6(||)f x ≥，求x 的取值范围． 21.已知函数31()log (0,0)xf x a b a bx-=>>+其定义域内是奇函数． (1)求a ，b 的值，并判断()f x 的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；(2)解关于x 不等式42421()()122x x x x f f ---+<．22.已知()222f x x ax =-+．(1)若()f f x ⎡⎤⎣⎦和()f x 有相同的值域，求a 的取值范围；(2)若()0f a <，且0a >，设()f x 在[1,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的取值范围．浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.设集合–1,{023}1U =,,,，{1,2}A =-，{1,2,3}B =，则()UB A =（ ）A. {}0B. {}2C. {1,2}-D.{1,1,2,3}-【答案】A 【解析】 【分析】根据并集与补集的运算求解即可.【详解】由题, {1,1,2,3}A B -⋃=,故()UB A={}0.故选：A【点睛】本题主要考查了并集与补集的运算,属于基础题型. 2.13tan6π的值是（ ） A.3B. 3-D.【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简再求解即可. 【详解】13tantan 66ππ==故选：A【点睛】本题主要考查了诱导公式与正切函数值,属于基础题型. 3.若lgsin 0x =，则x =（ ） A. 2()k k Z π∈B. 2()2k k Z ππ+∈ C. 2()2k k Z ππ-∈D.()2k k ππ+∈Z【答案】B 【解析】 【分析】根据对数与三角函数的值求解即可.【详解】因为lgsin 0x =,故sin 1x =,故x =2()2k k Z ππ+∈.故选：B【点睛】本题主要考查了对数的基本运算与正弦函数的最大值性质,属于基础题型. 4.下列函数在(0,2)上递增的是（ ） A. ()sin 2y x =-B. 2x y e-=C. ()22y x =-D.12y x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项中函数特征可以先考虑函数在()22,0t x =-∈-上的单调性直接判断即可. 【详解】设()22,0t x =-∈-,则对A, ()si sin n 2y x t =-=在()2,0t ∈-上先减再增. 对B, 2x t y ee -==在()2,0t ∈-上单调递增.对C, ()222y x t =-=在()2,0t ∈-上单调递减. 对D, 112y x t==-在()2,0t ∈-上单调递减. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数的单调区间的判定,属于基础题型.5.比较下列三个数的大小：log a =2log 3b =，3log 2c =（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性与函数的区间判定即可.【详解】由题, 3log log 2c a ==,又332log 2log 31log 3c b =<=<=.故a c b <<. 故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数值的大小判定,利用对数函数单调性以及判断函数值所在的区间分析即可.6.函数3()log (2)1x a f x x a -=-++，（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 点坐标为（ ）A. (2,1)B. (3,2)C. (0,1)D. (3,3)【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数恒过()1,0,指数函数恒过()0,1求解即可.【详解】由题,当21x -=且30x -=时, 3x =.此时33(3)log (32)12a f a -=-++=.故P 点坐标为(3,2). 故选：B【点睛】本题主要考查了指对数函数的定点问题,属于基础题型. 7.对于函数1()1x f x x +=-的性质，下列描述①函数()f x 在定义域内是减函数；②函数()f x 是非奇非偶函数；③函数()f x 的图象关于点(1,1)对称．其中正确的有几项（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移的方法分析函数1()1x f x x +=-与1y x =的关系即可.【详解】因为1122()1111x x f x x x x +-+===+---,故1()1x f x x +=-是由1y x =先横坐标不变,纵坐标变为原来的两倍(此时不影响函数的单调性与对称性)变为2y x=；再向右平移1个单位得到21yx ；再往上平移1个单位得到2()11f x x =+-.其图像为故①错误.②③正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了分式函数的图像变换与性质,属于基础题型. 8.设函数()tan f x x =，1244n x x x ππ-≤<<<≤的12,,,n x x x ，不等式()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤恒成立，则M 的最小值是（ ） 3 B. 3 C. 1 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性与正负去绝对值分析即可. 【详解】由题意,必存在{},1,2,3...i x i n ∈使得1210 (4)4i i n x x x x x ππ+-≤<<≤≤<<≤.由()tan f x x =的图像知,在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增. 故()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-()()()()()()12231i i f x f x f x f x f x f x -=-+-++-+()()()()()()1211...i i i i n n f x f x f x f x f x f x +++--+-++-()()()()()()1100244i n i f x f x f x f x f f f f ππ+⎛⎫⎛⎫=-+-≤--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以2M ≥. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求恒成立的问题,属于中等题型. 9.已知函数()248f x x x =-+，[1,]x m ∈，4()g x x x=+，[1,]x n ∈，若()f x 与()g x 值域都是[4,5]，则点(,)m n 所代表的区域是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析,m n 分别满足的范围即可.【详解】画出二次函数的图像可得,令()24851,3f x x x x =-+=⇒=.所以当[]2,3m ∈时()f x 值域是[4,5]同理24()55401,4g x x x x x x =+=⇒-+=⇒=,且4()42g x x x x=+=⇒=. 所以当[]2,4n ∈时()f x 值域是[4,5]综上, []2,3m ∈,[]2,4n ∈. 故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数的范围问题,需要算出临界条件,同时分析当参数变化时函数的变化情况.属于中等题型. 10.对任意x ∈R ，不等式sin()cos()04x ax b ππ+⋅+≤恒成立，则()sin a b +和()sin a b -分别等于（ ） A.2222B. 2222-C. 2222--D.2222-【答案】B 【解析】【分析】由题意可知,sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+恒异号.再根据三角函数图像性质求解,a b即可. 【详解】因sin()cos()04x ax b ππ+⋅+≤恒成立.故sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+恒异号.由三角函数图像知, sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+只可能是如图的关系,即sin()4y x ππ=+与cos()y ax b =+图像关于x 轴对称.故a π=,cos()y x b π=+且当sin()4y x ππ=+取最大值时,cos()y x b π=+取最小值.此时122,424x k x k k Z ππππ+=+⇒=+∈. 故0012,4k b k k Z πππ⎛⎫++=+∈ ⎪⎝⎭.根据周期性,不妨设00k k ==, 此时344b b πππ+=⇒=.此时有,34b a ππ== 故()72si sin n4a b π=+=-,()2sin 4sin a b π-==故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图像的综合运用,需要根据题意找到两个三角函数之间的关系,再根据取最值时的横坐标分析求解即可.属于中等题型.二、填空题（本大题共7个小题．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.函数y =____，函数y=的值域是____________. 【答案】 (1). [)0,+∞ (2). ()0,∞+ 【解析】 【分析】(1) 根据根号下大于等于0求解即可.(2) 0且分母不为0求解即可. 【详解】(1)易得定义域是[)0,+∞(2)00≠,0>,故()0,y=+∞ 故答案为：(1). [)0,+∞ (2). ()0,∞+【点睛】本题主要考查了常见函数的定义域与值域,属于基础题型.=_________，22031(8)3e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭___. 【答案】 (1). 1π- (2). 4- 【解析】 【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】11ππ=-=-(2) ()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-. 故答案为：(1). 1π- (2). 4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.13.已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则[](10)f f -=_____，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1). 2 (2). []1,10-【分析】(1)先求解(10)f -的值再代入对应的区间求解即可. (2)分情况讨论a 的取值范围即可.【详解】(1)[]()2(10)(10)100lg1002f f f f ⎡⎤-=-===⎣⎦.(2)当0a ≤时,由2111a a ≤⇒-≤≤,此时10a -≤≤ 当0a >时,由lg 1010a a ≤⇒<≤,此时010a <≤ 综上, 实数a 的取值范围是[]1,10- 故答案为：(1). 2 (2). []1,10-【点睛】本题主要考查了分段函数的求解与应用,属于基础题型. 14.已知tan 2α=，则sin sin 2cos ααα=+_____，33sin sin 2cos ααα=+______ 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】(1)分子分母同时除以cos α再代入tan 2α=求解即可.(2)分子分母同时除以cos α再代入tan 2α=,利用同角三角函数的公式求解即可. 【详解】(1)sin tan 21sin 2cos tan 2222ααααα===+++.(2)()332222sin tan 21sin 2cos sin tan 2cos 2sin cos ααααααααα===+⋅++ 故答案为：(1).12(2). 1 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的运用,需要根据题意分子分母同时除以cos α进行求解.属于基础题型. 15.若39log log 2x x=；则x =______. 【答案】4 【解析】利用换底公式化成同底的对数方程求解即可.【详解】因为21393323log log lo 12g log log 2x x x x x ====.故122xx =,即()2404x x x x =⇒-=. 由对数函数定义域有0x >,故4x =. 故答案为：4【点睛】本题主要考查了对数的换底公式与求解.属于基础题型. 16.函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，则ϕ的取值范围为_______. 【答案】0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求解对称轴的表达式,再利用x 的范围得出ϕ的取值范围即可. 【详解】由题, sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<的对称轴为22x k πϕπ+=+⇒22k x ππϕ+-=.故262366k k ππϕπππππϕ+-<<⇒-<-<,即66k k πππϕπ-<<+. 因为02πϕ<<所以06πϕ<<.故答案为：0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数性质的综合运用,需要根据题意先求解对称轴表达式再代入对应的关系进行求解.属于中等题型.17.已知函数32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有211212()()0x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,-+∞ 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x=再利用单调性求解即可. 【详解】由题,因为12,[1,)x x ∈+∞,故将211212()()0x f x x f x x x ->-两边同时除以12x x 得121212()()0f x f x x x x x ->-.即()()f x g x x=在[1,)x ∈+∞为增函数.故3222()2x ax axg x x ax a x++==++为减函数.又其对称轴为4a x =-且在[1,)x ∈+∞为增函数.故144aa -≤⇒≥-. 故答案为：[)4,-+∞【点睛】本题主要考查了构造函数利用函数的单调性求解参数的问题,包括二次函数动轴定区间的方法等.属于中等题型.三、解答题（5小题，共74分；解答题须写出必要的计算、推理或证明过程） 18.已知4sin 5α=-，且cos 0α>． (1)确定角α的象限并求cos α，tan α的值； (2)求sin()3cos()27sin()cos()2παπαππαα-++-++的值．【答案】（1）α为第四象限角，34cos ,tan 53αα==-，83=-（2）34【解析】 【分析】(1)根据正余弦的正负分析象限,再根据同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用诱导公式化简后再代入数值计算即可.【详解】(1)因为4sin05α=-<,cos0α>可知角α为第四象限角,43sin45cos,tan35cos35αααα-===-=-.1sin1sinαα=--+33cos cos18553441sin1sin331155αααα=-=-=-=--++-(2)原式cos3cossin sinαααα-=+cos3sin4αα=-=.【点睛】本题主要考查了诱导公式与同角三角函数的化简求值,属于基础题型.19.已知集合()(){}230|A x x a x a=-⋅--<，{1,2,3}B=(1)若1a=，求A B；(2)若3a≠，写出A对应的区间，并在{1,2}A B =时，求a的取值范围．【答案】（1）{}3A B⋂=（2）(]1,0a∈-【解析】【分析】(1)求解二次不等式再求交集即可.(2)由题意,分3a>和3a<两种情况进行讨论分析,再列出区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】（1）由题意知：{}{}2|680|24=-+<=<<A x x x x x{}3A B∴=（2）[]{}|(2)(3)0A x x a x a=-⋅-+<法一：当3a>时,(3,2)A a a=+,A B=∅,不合题意,当3a<时,()2,3A a a=+,所以,1,2,3A A∈∉,即21,23,33a a a<<++≤(]1,0a∴∈-.法二：当3a>时,(3,2)A a a=+；当3a<时,()2,3A a a=+由1,2,3A A∈∉,得(21)(2)0(22)(1)0(23)0a aa aa a-+<⎧⎪-+<⎨⎪-≥⎩.解得(]1,0a∈-【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与根据集合的关系求参数的问题,需要根据题意分参数的范围进行讨论,同时根据题意列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中等题型.20.函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,[0,2))Aωϕπ>>∈的图象如图所示：(1)求()f x的解析式；(2)()f x向右平移6π个单位后得到函数()g x，求()g x的单调递减区间；(3)若,2xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且6(||)f x≥，求x的取值范围．【答案】（1）()2)3f x xπ=+（2）3,44k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）{},66xπππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据题意先得2A=,再根据周期求得=2ω,再代点计算得=3πϕ即可.(2)根据三角函数平移的方法求得()g x,再代入单调递减区间求解即可.(3)根据(||)f x ≥sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,再求[]0,x π∈时的解,再根据(||)f x 的对称性求解即可.【详解】（1）由题意知：7,,41234πππ==-=T A 2T ππω∴==即=2ω,2(21)3k πϕπ⋅+=+,02ϕπ≤<,,=3πϕ∴())3f x x π∴=+（2）法一：()2()263g x x x ππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦322222k x k ππππ∴+≤≤+,∈k Z 即3,44ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦x k k k Z . 法二：()f x 的一个递减区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,周期是π, 则()f x 的递减区间是7,1212ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z 向右平移6π个单位后,()g x 的递减区间是3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 先考虑[]0,x π∈,则22333x πππ≤+≤或7233x ππ+=. 06即或ππ≤≤=x x由()f x 图象的对称性,得{},66x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式与三角函数单调区间和性质的运用,属于中等题型.21.已知函数31()log (0,0)xf x a b a bx-=>>+其定义域内是奇函数． (1)求a ，b 的值，并判断()f x 的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；(2)解关于x 不等式42421()()122x x x x f f ---+<．【答案】（1）1a =，1b =31()log 1xf x x-=+是区间(1,1)-上的减函数.见解析（2）01x <<. 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域,再根据奇函数的性质求解即可.(2)根据(1)中31()log 1x f x x -=+,再令422x xt -=,再根据()f x 的性质求解不等式,最后再化成关于x 的不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知()f x 定义域:()()1010x x bx a a bx->⇒-+<+,解得(,1)ab -故()f x 是(,1)ab -上的奇函数, (0)0f ∴=,即111a a =∴=31()log 1xf x bx -=+333111()log ()log log ,1111x x bxf x f x b bx bx x+-+-==-=-==-+-此时函数()f x 的定义域为(1,1)-,所以1,1a b ==注：也可以先利用定义域对称求b 的值,再验证()()f x f x -=-3312()log log (1)11x f x x x-==-++ 由于211u x=-+在区间(1,1)-上是减函数,值域为(0,)+∞, 函数3log y u =是区间(0,)+∞上是增函数, 所以31()log 1xf x x-=+是区间(1,1)-上的减函数.（2）令422x xt -=,则原不等式即1()()12f t f t +-<由111112t t -<<⎧⎪⎨-<-<⎪⎩得112t -<< 此时333132132log log log 33112112t t t t t t t t ----⎛⎫⎛⎫+<⇒< ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭, ()(1)(32)3(1)(12)270t t t t t t --<++⇒+>,解得72t <-或0t >. 所以01t <<,420104222x xx x -<<⇔<-<令20x m =>则解22(1)0100(2)(1)0122m m m m m m m m m m m ->⎧><⎧<-⎧⇒⇒⎨⎨⎨-+<-<<-<⎩⎩⎩或故12122x m <<⇒<<. 故解得01x <<【点睛】本题主要考查了对数函数的运算以及奇偶性的运用,同时也考查了根据函数的性质与换元法求解函数不等式的问题.属于难题. 22.已知()222f x x ax =-+．(1)若()f f x ⎡⎤⎣⎦和()f x 有相同的值域，求a 的取值范围；(2)若()0f a <，且0a >，设()f x 在[1,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的取值范围． 【答案】（1）(][),21,a ∈-∞-+∞（2）[)2,+∞【解析】 【分析】(1)根据二次函数的最值与对称轴的关系列式求解即可.(2)由()0f a <且0a >可得2=480a ∆->再分情况,画出图像根据临界条件求解对应的a的范围作为分类的依据,再比较最值即可. 【详解】（1）222()()22f x x a a a =-+-≥-当()f x 的最小值在对称轴的左侧（或对称轴位置）时,[]()f f x 的值域也是)22,a ⎡-+∞⎣22a a ∴-≤,即()()210a a +-≥,1a ∴≥或2a ≤-即(][),21,a ∈-∞-+∞（2）()0f a <,22a >,2a ∴>2=480a ∆->.分情况讨论:1.当4a ≥时, {}{}()max (1),(4)max 23,818818g a f f a a a ==--=-.2.24a <<时,{}()max (0),(),(4)g a f f a f ={}2max 23,2,818a a a =---222(818)(4)0a a a ---=->,22(188)(2)(10)a a a a ---=-+.222(23)(1)a a a---=-, 188(32)156a a a---=-所以,当944a≤<时,2()()2g a f a a==-,当924a≤<时,2()()2g a f a a==-,当322a≤<时,()(4)188g a f a==-,32a<<时,()(4)188g a f a==-,综上,)[)[)2188,2()2,2,4818,4,a ag a a aa a⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎪⎩, ([)[)[)()2,182,1414,2,g a∈-+∞=+∞.【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题,包括单调性和值域与对称轴的关系,同时也考查了分类讨论与数形结合的思想.属于难题.。
19-20学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.以(2,−1)为圆心，2为半径的圆的标准方程为()A. (x+2)2+(y−1)2=4B. (x+2)2+(y−1)2=2C. (x−2)2+(y+1)2=2D. (x−2)2+(y+1)2=42.“x>0且y>0”是“xy>0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.过点P(4,−1)且与直线3x−4y+6=0平行的直线为()A. 4x+3y−13=0B. 3x−4y−8=0C. 3x−4y−16=0D. 3x+4y−8=04.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是()A. 若m⊥α，m⊥n，则n//αB. 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nC. 若n//α，m⊥n，则m⊥αD. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n5.已知x,y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 36.已知双曲线x2−2y2=1的一个焦点为F，则焦点F到其中一条渐近线的距离为()A. 2B. 1C. √22D. 127.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 43π+23B. 23π+23C. 43π+2 D. 23π+28.正方体A1B1C1D1−ABCD中，AB与B1D1成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.已知三棱锥P−ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC，且P在底面ABC内的射影在ΔABC的内部(不包括边界)，记二面角P−AB−C，二面角P−BC−A，二面角P−AC−B的大小分别为α，β，γ，则()A. α>β>γB. γ>α>βC. α<γ<βD. α<β<γ10.已知双曲线y2a −x24=1的渐近线方程为y=±√32x，则此双曲线的离心率为()A. √72B. √133C. √213D. 53二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为S1，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S2，则S2S1的值为__．12.已知F是抛物线y2=4x的焦点，A是该抛物线上的一点，且点A到抛物线准线的距离是2，则A点的坐标为______ ．13.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C−AB−D的余弦值为√33，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于______ ．14.直线l经过点(−2,1)，且与直线2x−3y+5=0垂直，则l的方程是______．15.已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2−2x−2y+1=0相交于A，B两点，若|AB|=√2，则k=______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB=AC=AA1，M，N分别是侧棱BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成的(锐)二面角为π6.当|B1M|最小时，∠AMB=________．17.设点A，B的坐标为(−2,0)，(2,0)，点P是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为−1，则曲线C的方程是________．4三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.写出“若x>3，则x2−5x+6>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．19.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，AB⊥BP，M，N分别为PA，AB的中点．(1)求证：PB//平面CMN；(2)若AC=PC，求证：AB⊥平面CMN．20.已知圆O：x2+y2=1和抛物线E：y=x2−2，O为坐标原点．(1)已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；(2)过抛物线E上一点P(x0,y0)作两直线PQ，PR和圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为−√3，求点P的坐标．21.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=3，AC=BC=2，点D是AB中点，点E在AA1上，且AEA1E =27．(1)求C1E与平面C1CD所成角的正弦值；(2)求二面角C1−CD−E的余弦值22.已知椭圆C:x2a2+y22=1(a>√2)的离心率为√22，左、右顶点分别为A,B，点M是椭圆C上异于A,B的一点，直线AM与y轴交于点P．(Ⅰ)若点P在椭圆C的内部，求直线A M的斜率的取值范围；(Ⅱ)设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且，求证：AQ//BM．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查圆的标准方程，关键是掌握以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程的形式，属于基础题．根据题意，利用圆的标准方程，将圆心坐标、半径代入圆的标准方程，即可求得答案．解：以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，而圆心坐标为(2,−1)，半径r=2，则其标准方程为(x−2)2+(y+1)2=4．故选D．2.答案：A解析：解：由x，y∈R，x>0且y>0⇒xy>0；反之，x，y∈R，xy>0不一定有x>0且y>0，还可能x<0且y<0．∴x，y∈R，“x>0且y>0”是“xy>0”的充分不必要条件．故选：A．由不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．本题考查不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了两直线的位置关系，考查了直线的点斜式方程，由两条直线平行求出所求直线的斜率，然后根据点斜式方程求解即可．，解：由方程3x−4y+6=0可得其斜率为34，故所求直线的斜率为34(x−4)，即3x−4y−16=0，又直线过P(4,−1)，所以所求直线方程为y+1=34故选C．4.答案：B解析：解：对于A，垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是n⊂α，所以A错误；对于B，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故B正确．对于C，若n//α，m⊥n，则m⊥α或m//n，故C错误；对于D，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或异面，故D错误．故选：B．利用线面垂直的性质和线面垂直的判定定理等进行逐一判断即可．本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理和性质定理的应用．5.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．6.答案：C解析：本题考查双曲线的几何性质，直接利用点到直线的距离公式求解．双曲线x2−2y2=1中，a=1，b=√22,c=√62，F(√62,0)，渐近线的方程为x−√2y=0，所以F 到渐近线的距离为|√62×1|√1+2=√22， 故选C ．7.答案：D解析：解：根据几何体的三视图：该几何体是由左边是由一个半径为1的半球，右边是由一个底面为腰长为√2的等腰直角三角形，高为2的三棱柱构成．故：V =12⋅43⋅π⋅13+12⋅√2⋅√2⋅2， =2π3+2．故选：D ．首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型．8.答案：B解析：本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．由B 1D 1//BD ，知∠ABD 是AB 与B 1D 1成的角． 解：如下图所示，∵B 1D 1//BD ，∴∠ABD 是AB 与B 1D 1成的角，∵ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∴AB与B1D1成的角是45°．故选B．9.答案：C解析：本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA>OB>OC，AB=BC=AC，得到OD>OF>OE，由此得到α<γ<β．解：如图，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC为正三角形，PA>PB>PC，二面角P−AB−C，二面角P−BC−A，二面角P−AC−B的大小分别为α，β，γ，∴α=∠PDO，β=∠PEO，γ=∠PFO，OA>OB>OC，AB=BC=AC，∴OD>OF>OE，∴α<γ<β．故选C．10.答案：C解析：解：∵双曲线y2a −x24=1的渐近线方程为y=±√32x，∴ab =√32，∴a=√32b，∴c =√72b ， ∴e =√213． 故选C ． 根据双曲线y 2a−x 24=1的渐近线方程为y =±√32x ，可得a b=√32，即可求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定ab =√32是关键，属于基础题．11.答案：√54解析：本题主要考查圆柱和圆锥的侧面积计算的知识，设圆柱的底面圆半径半径为r ，则高为ℎ=2r ，其侧面积为S 1，计算该圆柱等底等高的圆锥的母线长，求出侧面积S 2，然后再求S 2S 1的值．解：设圆柱的底面圆半径半径为r ，则高为ℎ=2r ，其侧面积为S 1=2π·2r =4πr 2， 与该圆柱等底等高的圆锥的母线长l =√r 2+(2r)2=√5r ， 则其侧面积为，所以，故答案为√54．12.答案：(1,2)或(1,−2)解析：解：∵抛物线方程为y 2=4x ， ∴焦点为F(1,0)，准线为l ：x =−1∵抛物线y 2=4x 上一点A 到焦点的距离等于2， ∴根据抛物线定义可知A 到准线的距离等于2， 即x +1=2，解之得x =1， 代入抛物线方程求得y =±2， ∴点A 坐标为：(1,2)或(1,−2)． 故答案为：(1,2)或(1,−2)．根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x 的值，代入抛物线方程求得y 值，即可得到所求点的坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．13.答案：16解析：解：设AB =2，作CO ⊥面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角CH =√3,OH =CH ⋅cos∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN =EM =CH =√3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC)⋅(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12 故EM ，AN 所成角的余弦值AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16故答案为：16先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．14.答案：3x +2y +4=0解析：解：根据题意，易得直线2x −3y +5=0的斜率为23， 根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l 的斜率为−32， 又由直线l 经过点(−2,1)， 则l 的方程为y −1=−32(x +2)， 化为一般式为3x +2y +4=0， 故答案为3x +2y +4=0．根据题意，易得直线2x −3y +5=0的斜率为23，进而根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l 的斜率，又由l 过定点的坐标，可得l 的点斜式，化为一般式即是答案．本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况，一般情况下，要把直线方程化为一般式．15.答案：±1解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题． 根据圆心到直线的距离d 与半径和弦长的关系求出k 的值即可． 解：圆C ：x 2+y 2−2x −2y +1=0，化为：(x −1)2+(y −1)2=1， ∴圆心为C(1,1)，半径r =1， 则圆心到直线的距离为d =|k|√k 2+1，即√k 2+1=√r 2−(|AB|2)2=√1−12，解得：k =±1． 故答案为：±1．16.答案：π3解析：本题考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题． 由题意，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，当平面AMN 与平面ABC 所成的(锐)二面角为π6.当|B 1M|最小时，确定点M 的位置从而可得∠AMB ． 解：由题意，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图：不妨设AB =AC =AA 1=1，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，A 1(0,0，1)，M(1,0，s)，N(0,1，t)，则平面ABC 的法向量为AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,s)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,t)， 设平面AMN 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +sz =0y +tz =0, 取z =1，则n⃗ =(−s,−t,1)， ，化简得s 2+t 2=13，当|B 1M|最小时，即s 取最大值√33，此时，在RtΔABM 中，，∴∠AMB =π3． 故答案为π3．17.答案：x 24+y 2=1(x ≠±2)解析：本题考查斜率公式、曲线方程的求法，属基础题．设P(x,y)，依据题意利用斜率公式得到yx+2·yx−2=−14，x ≠±2，化简即可． 解：设P(x,y)，则k PA =yx+2,k PB =yx−2,其中x ≠±2，由直线PA 与PB 的斜率之积为−14可知yx+2·yx−2=−14， 整理得x 24+y 2=1，从而曲线C 的方程是x 24+y 2=1(x ≠±2)．故答案为x 24+y 2=1(x ≠±2)．18.答案：解：“若x >3，则x 2−5x +6>0”，它的逆命题是：“若x 2−5x +6>0，则x >3”，它是假命题； 否命题是：“若x ≤3，则x 2−5x +6≤0”，它是假命题；逆否命题是：“若x 2−5x +6≤0，则x ≤3”，它是真命题．解析：分别写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假性． 本题考查了四种命题之间的关系与真假性判断问题，是基础题．19.答案：证明：(1)在平面PAB 中，∵M ，N 分别是PA ，AB 的中点， ∴MN//PB ，又∵PB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴PB//平面CMN ．(2)在平面PAB 中，AB ⊥BP ，MN//PB ，∴AB ⊥MN ， 在平面PAC 中，AC =PC ，M 为PA 中点，∴CM ⊥PA ，∵平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB ∩平面PAC =PA ，CM ⊂平面PAC ， ∴CM ⊥平面PAB ，∵AB ⊂平面PAB ，∴CM ⊥AB ，又∵CM ∩MN =M ，CM ⊂平面CMN ，MN ⊂平面CMN ， ∴AB ⊥平面CMN ．解析：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于中档题．(1)由M ，N 分别是PA ，AB 的中点，得MN//PB ，由此能证明PB//平面CMN ；(2)推导出AB ⊥MN ，CM ⊥PA ，从而CM ⊥平面PAB ，进而CM ⊥AB ，由此能证明AB ⊥平面CMN ．20.答案：解：(1)设l ：y =kx +b ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由l 和圆O 相切，得√k 2+1=1．∴b 2=k 2+1．由{y =kx +b y =x 2−2消去y ，并整理得x 2−kx −b −2=0，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−b −2． 由OM ⊥ON ，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0． ∴x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b)=0． ∴(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=0， ∴(1+k 2)(−b −2)+k 2b +b 2=0， ∴b 2(−b −2)+(b 2−1)b +b 2=0．∴b 2+b =0． ∴b =−1或b =0(舍)．当b =−1时，k =0，故直线l 的方程为y =−1． (2)设P(x 0,y 0)，Q(x 1,y 1)，R(x 2,y 2)， 则k QR =y 1−y2x 1−x 2=(x 12−2)−(x 22−2)x 1−x 2=x 1+x 2．∴x 1+x 2=−√3．设l QR ：y −y 0=k 1(x −x 0)，由直线和圆相切，得|y 0−k 1x 0|√k 1+1=1，即(x 02−1)k 12−2x 0y 0k 1+y 02−1=0．设l PR ：y −y 0=k 2(x −x 0)，同理可得：(x 02−1)k 22−2x 0y 0k 2+y 02−1=0． 故k 1，k 2是方程(x 02−1)k 2−2x 0y 0k +y 02−1=0的两根，故k 1+k 2=2x 0y 0x 02−1．由{y =k 1x +y 0−k 1x 0y =x 2−2得x 2−k 1 x +k 1x 0−y 0−2=0，故x 0+x 1=k 1． 同理x 0+x 2=k 2，则2x 0+x 1+x 2=k 1+k 2，即2x 0−√3=2x 0y 0x 02−1．∴2x 0−√3=2x 0(x 02−2)x 02−1，解x 0=−√33或√3．当x 0=−√33时，y 0=−53；当x 0=√3时，y 0=1．故P(−√33,−53)或P(√3,1)．解析：(1)由l 和圆O 相切，得|b|√k 2+1=1.即b 2=k 2+1.由{y =kx +b y =x 2−2消去y ，并整理得x 2−kx −b −2=0，利用OM ⊥ON ，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0，即可求直线l 的方程； (2)设l QR ：y −y 0=k 1(x −x 0)，由直线和圆相切，得|y 0−k 1x 0|√k 1+1=1，即(x 02−1)k 12−2x 0y 0k 1+y 02−1=0．设l PR ：y −y 0=k 2(x −x 0)，同理可得：(x 02−1)k 22−2x 0y 0k 2+y 02−1=0.故k 1，k 2是方程(x 02−1)k 2−2x 0y 0k +y 02−1=0的两根，利用韦达定理，即可得出结论．本题考查直线方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：解：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，由∠ACB =90°，知AC ，BC ，CC 1 两两互相垂直，分别以CB ，CA ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ∵AA 1=3，AEA1E =27，∴AE =23， 则C(0,0，0)，C 1 (0,0，3)，E(0,2，23)，A(0,2，0)，B(2,0，0)， AB 中点D(1,1，0)，(1)C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−73)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 设平面C 1CD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,−1,0)； cos <C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m⃗⃗⃗ >=C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√4+499×√2=−3√17085，∴C 1E 与平面C 1CD 所成角的正弦值为3√17085； (2)CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,23)，设平面CDE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +23z =0，取z =3，则n⃗ =(1,−1,3)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×√11=√2211． 由图可知，二面角C 1−CD −E 为锐二面角， 故二面角C 1−CD −E 的余弦值为√2211．解析：分别以CB ，CA ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标． (1)求出平面C 1CD 的一个法向量m ⃗⃗⃗ ，再求出C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由两向量所成角的余弦值可得C 1E 与平面C 1CD 所成角的正弦值；(2)求出平面CDE 的一个法向量n ⃗ ，由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角C 1−CD −E 的余弦值．本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意可得c 2=a 2−2，∵e =ca =√22， ∴a =2，c =√2， ∴椭圆的方程为x 24+y 22=1，设P(0,m)，由点P 在椭圆C 的内部，得−√2<m <√2， 又∵A(−2,0)， ∴直线AM 的斜率k AM =m−00+2=m 2∈(−√22,√22)， 又M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点， ∴k AM ∈(−√22,0)，(0,√22); (Ⅱ)由题意F(√2,0)，设Q(0,y 1)，M(x 0,y 0)，其中x 0≠±2， 则x 024+y 022=1，直线AM 的方程为y =yx 0+2(x +2)，令x =0，得点P 的坐标为(0,2y 0x0+2)，由∠PFQ =90°，可得PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(−√2,2y 0x 0+2)⋅(−√2,y 1)=0，即2+2y 0x0+2⋅y 1=0，解得y 1=−x 02+2y 0，∴Q(0,−x 02+2y 0)，∵k BM =y 0x0−2，k AQ =−x 0+22y 0，∴k BM −k AQ =y 0x 0−2+x 0+22y 0=0，故k BM =k AQ ，即AQ//BM ．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 (Ⅰ)根据题意可得得c 2=a 2−2，由e =c a=√22，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围;(Ⅱ)题意F(√2,0)，设Q(0,y 1)，M(x 0,y 0)，其中x 0≠±2，则x 024+y 022=1，可得直线AM 的方程y =y 0x 0+2(x +2)，求出点Q 的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM −k AQ =0，问题得以证明．。
浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高二下学期期末数学试题
浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}1,2,3U =则()U A B =（ ） A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．∅2．直线1:l y ax =与直线2:123x yl +=平行，则a =（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-3．已知()()1i 2i i a b +⋅+=，（,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．14．已知空间向量()1,2,1a =-，若a b ⊥，则b 可以是（ ） A ．()1,1,0b =- B ．()1,0,1b = C ．()1,2,1b =-D ．()2,1,2b =-5．ABC 中，“tan sin sin 0A B C ⋅⋅<”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，已知多面体A BCDE -的底面ABC 为正三角形，四边形BCDE 为矩形，棱CD 与底面ABC 垂直，2CD =，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则ABC 的边长是（ ）A B ．2 C D ．17．过抛物线24y x =的焦点F 引斜率为1的直线，交抛物线于A ，B 两点，则AB =（ ）8．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，侧棱垂直于底面，且AA AB '=，则A B '与B C '所成角的余弦值为（ ）A．BC ．14-D ．149．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ） A．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+10．已知数列{}n a ，0n a >且满足21122n n n a a a ++-=，*n N ∈，则下列说法中错误的是（ ） A ．若14a ≠，当3n ≥时，有：()()()()2234242224n n n a a a a a -⋅-+⋅++=- B ．若12a =，则7322n S n ≤- C ．当()10,2a ∈时，{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，{}n a 是递减数列 D ．存在0M >，使n a M ≤恒成立二、双空题11．若2log 3a =，3log 4b =，则ab =________；22log log a b +=_______.12．已知双曲线2221y x b-=，则双曲线实轴长=_______；当离心率2e =时，则其渐近线的方程为_____.13．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，a =3b =，则c =_____；ABC 外接圆的面积是______.14．已知ABC 是边长为2的正三角形，P 是线段BC （包括端点）上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+的值是___________；AP AB AP AC ⋅-⋅的最小值是_______.三、填空题15．过点()1,0且与函数1e x y -=图象相切的直线方程为_________. 16．已知,a b R +∈且121a b +=，则82b ab+的最大值为_________. 17．已知函数()333f x ax x =-+，()1422x x g x +=-+，若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()12f x g x ≥成立，则a =__________.四、解答题18．已知函数()22cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期T ；（2）当,23x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，AC BC =，D 是AB 的中点.（1）求证：AC PD ⊥；（2）若2AC BC PD ===，求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值.20．已知等差数列{}n a 公差大于零，且11a =，1a ，2a ，4a 成等比；数列{}n b 满足11b =，112n n n b b --=+（2n ≥，n N ∈）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；②若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.22．已知()ln f x x x x =-，()g x ax b =+. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若0b ae +=，且()()f x g x ≥对[),x e ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()()f x g x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有根，求24a b +的最小值.参考答案1．B 【分析】根据集合间的基本运算即可求解. 【详解】 解：{}1,2A =，{}2,3B =，{}1,2,3U =，{}3U A ∴=，即(){}3U A B =. 故选：B. 2．D 【分析】先求得直线2l 的斜率，再根据两直线平行求解. 【详解】直线2:123x y l +=的斜率为232l k =-，因为直线1:l y ax =与直线2:123x yl +=平行，所以232l a k ==-，故选：D 3．C 【分析】先根据复数乘法运算进行化简，再根据复数相等可求答案. 【详解】因为()()()21i 2i 2i i 2i 22i a a a a a +⋅+=+++=-++所以202a a b -=⎧⎨+=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩. 故选：C. 4．B 【分析】对各选项中的b 验证0a b ⋅=能否成立，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，()112100a b ⋅=⨯-+⨯+≠，A 选项不满足条件； 对于B 选项，110110a b ⋅=⨯+-⨯=，B 选项满足条件； 对于C 选项，()2112110a b ⋅=⨯-+-⨯≠，C 选项不满足条件； 对于D 选项，()()1221120a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-≠，D 选项不满足条件. 故选：B. 5．A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可求解. 【详解】解：充分性：ABC 中，()0A B C π∈,,,， 若tan sin sin 0A B C ⋅⋅<， sin sin 0B C ⋅>，故tan 0A <， 又()0,A π∈，故,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ABC 为钝角三角形； 必要性：若ABC 为钝角三角形， 则不一定是A 为钝角，即无法推出tan sin sin 0A B C ⋅⋅<，故“tan sin sin 0A B C ⋅⋅<”是“ABC 为钝角三角形”的充分而不必要条件. 故选：A. 6．B 【分析】取BC 的中点O ，DE 的中点F ，连接,,AO OF AF ，可得Rt AOF 即为该多面体的侧视图，ABC 为该多面体的俯视图，设ABC 边长为x ，利用面积相等列方程，解方程即可求解.【详解】设等边ABC 的边长为x ，取BC 的中点O ，DE 的中点F ，连接,,AO OF AF ，则Rt AOF 即为该多面体的侧视图，ABC 为该多面体的俯视图， 由题意可得AOFABCSS=，3cos30AO x ==，2OF CD ==，所以11222x x ⋅=，可得2x =，所以ABC 的边长是2， 故选：B.7．C 【分析】由题意可得()1,0F ，AB 的方程为1y x =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线与抛物线方程可求12x x +，利用抛物线的定义计算12AB x x p =++即可求解.【详解】由24y x =上可得：焦点()1,0F ，直线AB 的方程为1y x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2610x x -+=， 则有126x x +=，由抛物线的定义可得：121262228pp p AB AF BF x x x x +=+==+++++==， 故选：C. 8．D 【分析】建立空间坐标系，写出直线的方向向量，利用向量夹角公式可求答案. 【详解】取AC 中点为O ,以O 为原点，以,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设2AB =，则(0,1,2),(0,1,0)B B A C ''- 所以(3,1,2),(3,1,2)A B B C ''=-=-- 由向量夹角公式得1cos ,,48A B B C A B B C A B B C''⋅''==='' 又由异面直线夹角的范围可知，异面直线A B '与B C '所成角的余弦值为14.故选：D.9．A 【分析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 【详解】根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB ＝2，BC则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=； 故选：A ．10．B 【分析】先根据题目条件得到1n a ，2n a >，2n ≥及1n n a a +-与1n n a a --的符号相同.选项A ，在等式21122n n n a a a ++-=两边减去8，再变形得()112424n n n a a a ++-+=-，代入求解即可；选项B ，先确定数列{}n a为递增数列，再算出471112a ==>，而后利用放缩法得到，当4n ≥时，()1112n S n >+-因为存在正整数N ，当n N >时，有()11731222n n +--，所以n S>()11731222n n +--，故选项B 错误； 选项C ，利用1n n a a +-与1n n a a --的符号相同可判定； 选项D ，分()10,4a ∈，14a =和()14,a ∈+∞讨论n a 的范围. 【详解】由题知，2112121n n n a a a ++-+=+，()21121n n a a +-=+， 因为0n a >，所以112n a +>，所以1n a ，2n a >，2n ≥.因为21122n n n a a a ++-=，所以2122n n n a a a --=，2n ≥两式相减整理得，()()()11122n n n n n n a a a a a a ++--+-=-，因为2n ≥时，2n a >，所以120n n a a ++->，1n n a a +-与1n n a a --的符号相同， 选项A ：由21122n n n a a a ++-=得，2112828n n n a a a ++--=-，()()()112424n n n a a a +++-=-， 若14a ≠，则4n a ≠，所以()112424n n n a a a ++-+=-.当3n ≥时，()()()34222n a a a +⋅++()()()()2231234242424244444n n n n a a a a a a a a ------=⋅=----，故选项A 正确；选项B ：若12a =，则2113a >，因为2110a a ->，所以320a a ->，依次类推有10n n a a -->， 所以数列{}n a 是递增数列；又371112a >，471112a =>，当4n ≥时，1234...n n S a a a a a =+++++()12343a a a n a >+++->()1112n +-因为712>，所以存在正整数N ，当n N >时，有()11731222n n +--此时n S >()11731222n n +--，故选项B 错误； 选项C ：当()10,2a ∈时，有212a a >>，所以210a a ->，从而有320a a ->， 依次类推可得10n n a a -->，所以数列{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，因为()()()2111112140a a a a --+=->，所以()211211a a +<-，所以211a a <，从而有32a a <，依次类推可得1n n a a -<， 所以数列{}n a 是递减数列，故选项C 正确；选项D ：当()14,a ∈+∞时，由选项C 的解析知，数列{}n a 是递减数列，所以1n a a ≤； 当()10,4a ∈时，由2221228a a a -=<解得224a -<<，又22a >，所以224a <<， 同理可推导324a <<，依次类推，有24n a <<；当14a =时，由2221228a a a -==及22a >得24a =，同理可推导34a =，依次类推，有4n a =； 令M 为4和1a 中的最大者，则n a M ≤对*n N ∈恒成立，故选项D 正确； 故选：B. 11．2 1 【分析】利用换底公式得，lg 3lg 2a =，2lg 2lg 3b =，从而有lg3lg 22lg 22lg3ab ⋅==，再利用对数的加法运算求值. 【详解】由换底公式得，2lg3log 3lg 2a ==，lg 42lg 2lg 3lg 3b ==. 所以lg3lg 22lg 22lg3ab ⋅==，()2222log log log log 21a b ab +===. 故答案为：2；1.12．2 y =【分析】根据双曲线方程可确定a 的值，进而可得双曲线的实轴长；由离心率可得2c =，从而b .【详解】由题知，1a =，双曲线实轴长为22a =； 当离心率2e =时，有2ca=，22c a ==，此时b双曲线2221y x b-=的渐近线方程为y bx ±=，即y =.故答案为：2；y =. 13．1或2 73π 【分析】先利用余弦定理构造关于c 边的方程，再解方程可得c 的值；先利用正弦定理求出ABC 外接圆的半径，再求ABC 外接圆的面积. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，把3A π=，a =3b =代入整理得，2320c c -+=， 解得1c =或2c =.在ABC 中，由正弦定理得，2sin aR A=，其中R 为ABC 外接圆半径.所以2sin a R A =故ABC 外接圆的面积是221793R πππ=⨯=. 故答案为：1或2；73π. 14．6 2- 【分析】把向量AP AB BP =+带入，转化为向量的数量积即可得答案. 【详解】解：由ABC ∆是边长为2的正三角形，可得()0AB AC BC +⋅=；P 是线段BC （包括端点）上的一个动点，可得BP BC λ=．向量AP AB BP =+，那么()()()AP AB AC AB BP AB AC ⋅+=+⋅+2||()AB AB AC AB AC BC λ=+⋅++⋅ 2222cos600=+⨯⨯︒+42=+6=；由()()AP AB AP AC AB BP AB AC ⋅-⋅=+⋅-()AB BP CB =+⋅||||cos60||||cos180AB CB BP CB =⋅⋅︒+⋅⋅︒ 1222||2BP =⨯⨯-⨯．当||2BP =时，可得最小值为2-， 得AP AB AP AC ⋅-⋅的最小值是2-． 故答案为：6；2-． 15．()e 1y x =- 【分析】设切点()00,x y ，由导数的几何意义求出切线的斜率，即可得切线方程，将点()1,0代入切线方程可得0x 的值，即可求解. 【详解】设切点为()00,x y ，则010e x y -=，由1e x y -=可得：1e x y -'=，由导数的几何意义可知：切线的斜率为001|e x x x y -='=，所以切线方程为()00101e e x x x y x --=--，将点()1,0代入切线方程可得()00011e 1e x x x ---=-，所以011x -=-，解得02x =，所以切线方程为：()e e 2y x -=-即()e 1y x =-， 故答案为：()e 1y x =-. 16．94【分析】 由121a b +=，得211b a=-，所以82824224121b ab ab a a b a a a a +⎛⎫=+=⋅+=-+ ⎪⎝⎭，化简后利用二次函数的性质可求得其最值 【详解】 因为,a b R +∈且121a b +=，所以211b a=-， 所以82824224121b ab ab a a b a a a a+⎛⎫=+=⋅+=-+ ⎪⎝⎭ 2223a a ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭22399244a ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， 当232a =，即4,83ab ==时，等号成立，所以82b ab +的最大值为94， 故答案为：9417．4 【分析】先求g (x )在[]1,1-上的最大值，再把题意转化为[]1,1x ∀∈-，f (x )≥2恒成立,再利用导数求f (x )在[]1,1-上的最小值建立不等式即可求解. 【详解】()()21422211x x x g x +=-+=-+，当[]1,1x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当x =1时，由22x =，()g x 取得最大值()12g =.因为对任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()12f x g x ≥成立，所以()()12min max f x g x ≥，即()1min 2f x ≥，即对任意[]1,1x ∈-，()2f x ≥恒成立，所以()()1212f f ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得：24a ≤≤.()()223331f x ax ax '=-=-，令()()2233310f x ax ax '=-=-=解得：x =当1x -<<()0f x '>；当x <()0f x '<；1x <时，有()0f x '>； 所以()f x在1,⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 于是，当[]1,1x ∈-时()()minmin 1,2f x f f ⎧⎫⎪⎪=-≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即()212f f⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，解得：a =4. 故答案为：4 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈(1)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； (2)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； (3)若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；(4)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．18．（1）|,,2x x k k Z T πππ⎧⎫≠+∈=⎨⎬⎩⎭；（2）[)()2,2f x ∈-.【分析】（1）先对()f x 进行化简，再根据函数有意义以及周期公式即可求解； （2）先根据x 的范围求出26x π-的范围，即可求解. 【详解】解：（1）22()cos 2sin 1f x x x x =+-cos cos2x x x =-2cos22sin(2)6x x x π=-=-，∴定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，22T ππ==； （2）,23x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，72,662x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，即 [)sin(2)1,16x π-∈-，[)2sin(2)2,26x π-∈-，[)()2,2f x ∴∈-.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取AC 中点记为O ，连OP ，OD ，证明AC ⊥OD ，结合AC ⊥PO ，推出AC ⊥面POD 即可得到AC ⊥PD ．（2）法一：取P A 中点记为N ，连ON ，作OM ⊥AB 于M ，连PM ；作OH ⊥PM 于H ，连NH ， PC 与平面P AB 所成的角即为ON 与平面P AB 所成的角，然后求解三角形推出所求角的正弦值．法二（体积法）：通过V P ﹣ABC ＝V C ﹣APB ，可求出点C 到平面PAB 的距离d ，然后求解sin dPCθ=，推出结果． 法三（向量法）：说明OA ，OP ，OD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系，求出面P AB 的法向量，利用空间向量的数量积，求解直线与平面所成角即可． 【详解】证明：取AC 中点记为O ，连OP ，OD ，∵OD ∥CB ，AC ⊥CB ，∴AC ⊥ODPAC △为正三角形，所以PO AC ⊥所以AC ODAC PO AC PO OD O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面POD ，PD ⊂面POD ，∴AC PD ⊥.（2）解：法一：取P A 中点记为N ，连ON ， 作OM ⊥AB 于M ，连PM ；作OH ⊥PM 于H ，连NH因为2AC BC PD ===，∴1PO OD =，所以PO OD ⊥，又PO AC ⊥，AC OD O ⋂=，所以PO ⊥面ABC ，PO ⊂面POM ⇒面POM ⊥面ABC ，又∵OH ⊥PM ，∴OH ⊥面P AB ，PC ∥ON ，∴PC 与平面P AB 所成的角即为ON 与平面P AB 所成的角，即ONH ∠为所求.∴Rt ONH 中：1ON =，由勾股定理及中位线可知：12OM CD ==PO OMOH PH⋅===法二（体积法）：由（1）可知PO ⊥平面ABC ，又2APB PB AB AP S ∆===⇒11122323P ABC C APB V V d d --=⇒⨯⨯⨯⇒=∴sin 2d PC θ=. 法三（向量法）：由（1）及PD 2＝PO 2+OD 2，知OA ，OP ，OD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系：()()()()(0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,O A D C P -，(1,0,PC =-，(1,0,PA =，(0,1,PD =设面P AB 法向量为(,,)n x y z =，则000x n PA n PD y ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎩．令z ＝1时， (3,3,1)n =∴|||3sin 7||||2PC n PC n θ⋅--==⋅⋅20．（1）n a n =，21nn b =-；（2）+1(1)(1)222n n n n T n ⋅+=-⋅-+. 【分析】(1)根据1a ，2a ，4a 成等比得2214a a a =⋅，再利用等差数列{}n a 的通项公式求解；利用累加法求数列{}n b 的通项公式；(2)先求出n c 的表达式，再利用错位相减法和公式法求数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】(1)由题设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >， 则()()1111n a a n d n d =+-=+-.因为1a ，2a ，4a 成等比，所以2214a a a =⋅，即2(1)(13)d d +=+，整理得()10d d -=， 又0d >，所以1d =， 所以1(1)1n a n n =+-⋅=. 因为11b =，112n n n b b ---=（2n ≥，n N ∈），所以当2n ≥时，112n n n b b ---=，2122n n n b b ----=，...，1212b b -=，相加得121122...2n n n b b ---=+++，所以12122...21n n n b --=++++1222112n --⋅=+-21n =-.又11b =符合上式，所以21nn b =-，*n N ∈.(2)由题知，()212n nn n n c a b n n n ==-=⋅-所以123...n n T c c c c =++++()()()()23121222323...2n n n =⋅-+⋅-+⋅⋅++--()()2322232...2123...n n n =+⋅+⋅++⋅-++++令23222322n n A n =+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅，则234+12222322n n A n =+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅，所以()2312222...22n n n n A A n +-=++++-⋅整理得212222212n n n A n +-⋅-=+-⋅-，()1122n n A n +=-⋅+， 又()1123 (2)n n n +++++=， 所以+1(1)(1)222n n n n T n ⋅+=-⋅-+.21．（1）2214x y +=；（2）①14- ；②y 或y = 【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；②由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r == 整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，②因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =，因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以m m =因为0B mx k =->，所以当k =时，m =；当k =时，m =；所以所求1l 的方程为y y =. 【点睛】 思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.22．（1）在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，极小值-1；（2）1a ≤；（3）()2241e e -.【分析】（1）求出导函数()f x '，利用()f x '的正负判断出函数()f x 的单调区间，结合函数的极值的定义可得答案.（2）将不等式恒成立问题转化为研究函数()()ln x x x x a x e ϕ=---的最值问题，分1a ≤ 和1a >两种情况进行分析求解即可.（3）令()ln h x x x x ax b =---，利用（1）中的结论，分三种情况1,12,2a a a ≤<≤> 分别研究的性质，即可得到答案.【详解】（1）()ln 11ln ,f x x x '=+-= 令()0f x '=可得1x =.当()0,1x ∈时，()0,f x '<则()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 单调递增即()f x 在()0,1上单调递减，在1+，上单调递增.()=(1)1f x f =-极小值 (2)()()()ln f x g x x x x a x e ≥⇔-≥- 令()()ln x x x x a x e ϕ=---，有()0e ϕ=,()[)ln ,,x x a x e ϕ'=-∈+∞若1a ≤，()0x ϕ'≥在[),x e ∈+∞上恒成立.则()x ϕ在[),x e ∈+∞上为增函数，所以有()()0x e ϕϕ≥=. 若1a >，由()()0x x ϕ'<，可得a e x e ≤<则()x ϕ在),a x e e ⎡∈⎣上减，所以在),ax e e ⎡∈⎣时有()()0x e ϕϕ<=，与题意不符合. 综上所述，所以1a ≤.（3）令()ln h x x x x ax b =---， ()[)ln ,,h x x a x e '=-∈+∞ 由（1）知，当1a ≤时，()h x 在[),x e ∈+∞上为增函数，所以当1a ≤时，方程()()f x g x =有根，只要：()()22200h e ae b h e e ae b ⎧=--≤⎪⎨=--≥⎪⎩即()22441a b a ae a +≥-≤，所以24a b +的最小值为14e -当1a >时()h x 在),a x e e ⎡∈⎣上减，在),a x e ⎡∈+∞⎣上增.当12a <≤时，方程()()f x g x =有根，只要：()()()222000a a h e e b h e e ae b h e ⎧=--≤⎪⎨=--≥≥⎪⎩或 (]()22441,2a a b a e a +≥-∈ 令24x y x e =-(]()1,2x ∈，24x y x e -'=，402x y e =-''< 所以24x y x e -'=在(]1,2单调递减，44022x e y x e '≤-=<- 所以24x y x e =-在(]1,2单调递减，所以22444x y e e x ≥--=， 即24a b +的最小值为244e -当2a >时，()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减方程()()f x g x =有根，只要：()()22200h e ae b h e e ae b ⎧=--≥⎪⎨=--≤⎪⎩ ()()()()2222222244441,22a b a e a a e e e e a =-+≥+--∈++∞， 所以24a b +的最小值为()2241e e -由 ()()()()222341144111411e e e e e e e e e ⎡⎤---=-+-=-++-⎣⎦因为310e e -++<，所以 ()()2241140e e e ---<，即()()224114e e e -<-()()()()2222241444110e e e e e -----=< 所以()()2224144e e e -<- 综上所述，所以最小值为()2241e e -。
浙江省诸暨中学2019-2020学年高二10月阶段性考试数学(平行班)试题
诸暨中学2019学年高二阶段性考试数学试卷2019.10 参考公式:柱体的体积公式 V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式 13V Sh =其中S 表示锥体的底面积， 台体的体积公式 11221()3V S S S S h =++ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 表 示台体的高 球的表面积公式24πS R = 其中表示球的半径 球的体积公式 34π3V R =其中表示球的半径 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在直角坐标系中，直线330x y +-=的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 2.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）A ．5B ．3C ．10D ．53.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 ( )4.与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ）A ．0832=++y xB ．0732=++y xC ．01223=--y xD ．0223=+-y x 5.已知ABC ∆的平面直观图C B A '''是边长为的正三角形，那么原ABC ∆的面积为( ) A.223a B. 243a C. 226a D. 26a 6.已知点(,)(0)M a b ab ≠是圆C:222x y r +=内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 方程为2ax by r += ，则 （ ）A. l m ⊥且l 与圆相交B.l m ⊥且 l 与圆相离C.l ∥l 且与圆相交D. l ∥l 且与圆相离7.过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有( ) A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条8.已知实数，满足27025>0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ，，，则34x y +的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19 9.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S =( )A.2πB. πC. π10.已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点， |OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．(－2，－2]∪[2，2)B ．(－2,2)C ．[－2，2]D ．(－2，2] 二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.设直线1:(1)320l a x y a +++-=，直线2:2(2)+10l x a y ++=.若1l ∥2l ，则实数的值为 ;12.已知一条直线过M )23,3(--且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，则这条直线的方程是 ;13.已知点A ()1,2-,B ()4,4,若点C 在圆()()96322=++-y x 上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹 方程是 ;14.已知实数，满足条件1,4,20,-≥-⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩x y x y x y 若存在实数使得目标函数)0(<+=a y ax z 取到最大值的最优解有无数个，则a = ;15.(2)3k x =-+有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ;16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ;17.已知圆221:(3)(2)1C x y -+-=,圆222:(6)(5)4C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,为轴上的动点,则PM PN +的最小值为 .三.解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18.（本小题满分10分）已知直线:320l kx y k -+-=（1）证明：直线恒过一定点，并求出该定点P 的坐标; （2）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A,B, 求△ABO 面积的最小值及此时直线l 的方程.19.（本小题满分12分）过点(1,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为,A B (1)求切线,PA PB 的方程; (2)求PAB ∆的外接圆方程; (3)求直线AB 的方程.20.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD 中，3,52,4,224ADC AB CD AD π∠==== 求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.21.（本小题满分10分）已知变量,x y 满足条件0,0,0,x -y+2x y -42x -y -5≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩求（1）221026z x y y =+-+的最小值； （2）321y z x +=+的取值范围.22.（本小题满分10分）已知圆C ： 22630x y x y ++-+=,是否存在斜率为1-2的直线l ，使得直线l 被圆截得的弦为AB,且以AB 为直径的圆经过原点O?若存在，写出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.诸暨中学2019学年高二阶段性考试数学参考答案一．选择题 DBCAC DCBBA 二．填空题11.-4 12.334+150x x y =-+=或 13.22(2)1x y -+= 14.-1 15.53,124⎛⎤⎥⎝⎦16.15+17.3 三．解答题（3）(1)(2,3)P 直线恒过定点 4分(2)min ()12ABC S ∆=此时直线方程:32120x y +-= 10分 19.(1)切线方程:23100y x y =+-=或4 4分 (2)2220x y x y +--= 8分 (3):240AB x y +-= 12分20.解：3,52,4,2422,22,52ADC AB CD AD EC r DE BC π∠====∴====Q 所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥22222=++=R ()(52)(2252)52224(12082)1-33S S S S R r l rl V V V r h πππππππππ∴'+++=+⨯⨯=+'==表圆台下底圆台侧圆锥侧圆台圆锥（R +r +Rr ）h- 5分2221[(52)(22)2252]42(22)332962ππ=++⨯= 10分21.（1）作出可行域22(5)1z x y =+-+ 2min 911(11222z =+=+=（2）2331y z x +=⨯+表示连2(,)--3M x y 与N(1，）连线的斜率的3倍2153,3112NAk +==+23113,116NBk +==+32511[,]142y z x +=∈+ 22.假设存在，设直线方程为12y x b =-+ ，设1122(,),(,)A x y B x y 由2212630y x b x y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+--+=⎩消去得225(164)424120x b x b b +-+-+=124165b x x -∴+=， 212424125b b x x -+= 以AB 为直径的圆经过原点O ，12120OA OB OA OB x x y y ∴⊥∴⋅=+=u u u r u u u r121211()()022x x x b x b ∴+-+-+=2121251()042x x b x x b ∴-++= 22542412141604525b b b b -+-∴⨯-⨯+= 2822150b b ∴-+= 5342b ∴==或 代入得>0∆所求直线方程为1524y x =-+或1322y x =-+。
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷一、选择题1．（3分）若{|1}P x x =<，{|0}Q x x =>，全集为R ，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R Q C P ⊆D ．R C P Q ⊆2．（3分）双曲线2213y x -=的焦点坐标为( )A ．(B ．(2,0)±C ．(0,D ．(0,2)±3．（3分）已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，a ibi a i-=+，则b 可取的值为( ) A ．1B ．1-C ．1或1-D ．任意实数4．（3分）已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（3分）已知203a <<，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望()E ξ变化情况是( )A ．()E ξ增大B ．()E ξ减小C ．()E ξ先增后减D ．()E ξ先减后增6．（3分）若函数()2sin()(06,||)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-，则要得到函数()2sin g x x ω=的图象，只需把()f x 的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位7．（3分）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是( )A ．①②都可能B ．①可能，②不可能C ．①不可能，②可能D ．①②都不可能8．（3分）已知a ，0b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是( ) A ．95B ．116C ．75D ．221+9．（3分）正四面体A BCD -中，BCD 在平面α内，点E 在线段AC 上，2AE EC =，l 是平面α的垂线，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与l 所成角为θ，则sin θ的最小值是( )A 7B 3C 221D 7 10．（3分）已知函数2()f x x x b =-++的定义域为[0，1]，值域包含于区间[0，1]，且存在实数00102x y <剟满足：00(2)f x y =，00(2)f y x =，则实数b 的取值范围是( ) A ．3[0,]4B ．13[,)44C ．33(,]164D ．31(,]164二、填空题11．（3分）已知函数221,1(),1x x f x x x +<⎧=⎨⎩…，则1(())2f f = ；若f （a ）1=，则a = ．12．（3分）若二项式(3)n x x-展开式各项系数和为64，则n = ；常数项为 ．13．（3分）若实数x ，y 满足约束条件24010x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪+⎩„„…，则2x y +的最大值是 ；若01a <<，且ax y +的最大值为3，则a = ．14．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，点D 为边AC 上的中点，已知5a =，7b =，8c =，则cos B = ；BD = ．15．（3分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 个．16．（3分）已知a r，b r 是不共线的两个向量，若对任意的m ，n R ∈，||a mb +r r 的最小值为1，|(1)|2n n a b -+rr 的最小值为1，若4a b =r r g ，则a r ，b r 所成角的余弦值为 ．17．（3分）已知A ，B 分别是椭圆2212x y +=的右顶点，上顶点，P 是椭圆在第三象限一段弧上的点，PA 交y 轴于M 点，PB 交x 轴于N 点，若//MN AB ，则P 点坐标为 ． 三、解答题18．已知函数2()2sin cos 23sin 3f x x x x =-+． （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域；（2）设(,)2παπ∈，10()213f α=，求sin α的值．19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，点E ，F 分别是PD ，AB 的中点．（1）求证：//AE 平面PFC ；（2）若CF 与平面PCD 所成角的余弦值等于6，求AB 的长．20．数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，2312a a +=；数列{}n b 前n 项和为n S ，满足23b =，(1)()2n n nS b n N +=+∈．（Ⅰ）求1b ，3b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求112233n n a b a b a b a b +++⋯+．21．已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点． （1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 22．已知函数111()(1)4x x f x e e ax a ++=-+-，其中 2.718e =⋯是自然对数的底数，()()g x f x '=是函数()f x 的导数．（1）若()g x 是R 上的单调函数，求a 的值； （2）当78a =时，求证：若12x x ≠，且122x x +=-，则12()()2f x f x +>．2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若{|1}P x x =<，{|0}Q x x =>，全集为R ，则( ) A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R Q C P ⊆D ．R C P Q ⊆【解答】解：{|1}P x x =<Q ，{|0}Q x x =>，全集为R ， {|1}R C P x x Q ∴=⊆…，故选：D ．2．（3分）双曲线2213y x -=的焦点坐标为( )A ．(B ．(2,0)±C ．(0,D ．(0,2)±【解答】解：Q 双曲线2213y x -=，24c ∴=，(2,0)F ∴±，故选：B ．3．（3分）已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，a ibi a i-=+，则b 可取的值为( ) A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．任意实数【解答】解：Qa ibi a i-=+，()a i a i bi b abi ∴-=+=-+g， ∴1a b ab =-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩，故选：C ．4．（3分）已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：依题可知2533(1)0a a a q -=->，10a >，30a ∴>，1q ∴>或1q <-， 故选：A ．5．（3分）已知203a <<，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望()E ξ变化情况是( )A ．()E ξ增大B ．()E ξ减小C ．()E ξ先增后减D ．()E ξ先减后增【解答】解：依题可知1()323E b a b ξ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴12()33E a ξ=-+-， ∴当a 增大时，ξ的期望()E ξ减小．故选：B ．6．（3分）若函数()2sin()(06,||)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-，则要得到函数()2sin g x x ω=的图象，只需把()f x 的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位【解答】解：因为函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-，可知这两点分别为图象的最高点和最低点， 有22362T T ππππ=-=⇒=，由2T πω=，可得2ω=，满足06ω<<． （注：若这两点不为函数图象相邻的最高点和最低点，则得出的ω不满足06)ω<<． 再将点(,2)6π代入()2sin()f x x ωϕ=+求得6πϕ=，所以()2sin(2)2sin[2()]612f x x x ππ=+=+向右平移12π个单位可得到()2sin 2g x x =．故选：D ．7．（3分）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是( )A．①②都可能B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能D．①②都不可能【解答】解：当俯视图为①时，该几何体是三棱锥，如图1所示；当俯视图是②时，该几何体是棱锥和圆锥的组合体，如图2所示；所以①②都有可能．故选：A．8．（3分）已知a，0b>，1a b+=，则12211a b+++的最小值是()A．95B．116C．75D．221+【解答】解：a Q ，0b >，1a b +=，∴由权方和不等式可得2119(2)122922215211151222a b b a a b ++=+==+++++++…，122(2a =+，“=”)，故选：A ．9．（3分）正四面体A BCD -中，BCD 在平面α内，点E 在线段AC 上，2AE EC =，l 是平面α的垂线，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与l 所成角为θ，则sin θ的最小值是( )A 7B 3C 221D 7 【解答】解析：相对运动，让正四面体A BCD -保持静止，平面α绕着CD 旋转， 故其垂线l 也绕着CD 旋转，取AD 上的点F ，使得2AFDF=， 连接//EF EF CD ⇒，等价于平面α绕着EF 旋转，在BEF ∆中，2BC =，27BE BF =，43EF =，22227427(()()7333cos 2742BEF +-∠==⨯⨯． 如下图所示，将问题抽象为几何模型，平面的垂线可看作圆锥底面半径EP ，绕着圆锥的轴EF 旋转，故选：A ．10．（3分）已知函数2()f x x x b =-++的定义域为[0，1]，值域包含于区间[0，1]，且存在实数00102x y <剟满足：00(2)f x y =，00(2)f y x =，则实数b 的取值范围是( ) A ．3[0,]4B ．13[,)44C ．33(,]164D ．31(,]164【解答】解：（代数消元）Q 20000(2)42f x x x b y =-++=，① 20000(2)42f y y y b x =-++=，②两式相减可得220000000034()2()4x y x y y x x y --+-=-⇒+=， 故可得00313[,)448x y =-∈， 代入①可得2003434b x x =-+对称轴为38，故可得31(,]164b ∈，故选：D ． 二、填空题11．（3分）已知函数221,1(),1x x f x x x +<⎧=⎨⎩…，则1(())2f f = 4 ；若f （a ）1=，则a = ．【解答】解：Q 1()22f =，∴1(())(2)42f f f ==；故1(())42f f =；若1a <，则2110a a +=⇒=；若1a …，则211a a =⇒=， 故0a =或1．故答案为：4，0或1，．12．（3分）若二项式(3)n x x -展开式各项系数和为64，则n = 6 ；常数项为．【解答】解：二项式(3)n x x-中，令1x =，则264n =，解得6n =； 所以展开式的通项公式为1366622166(3)()(1)3r rrrrr rr T C x x C x----+=-=-，令3602r -=，解得4r =，所以展开式的常数项为4426(1)3135C -=． 故答案为：6，135．13．（3分）若实数x ，y 满足约束条件24010x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪+⎩„„…，则2x y +的最大值是 5 ；若01a <<，且ax y +的最大值为3，则a = ．【解答】解：可行域的三个交点：11(,)22A -，(2,1)B ，(4,4)C -，则2x y +在(2,1)B 处取到最大值， 故2x y +的最大值是5；y ax =-Q ，10a -<-<，若112a -<--„，点(2,1)B 处取到最大值，则2131a a +=⇒=（舍)； 若102a -<-<，点(4,4)C -处取到最大值，则14434a a -+=⇒=，故14a =． 故答案为：5，14．14．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，点D 为边AC 上的中点，已知5a =，7b =，8c =，则cos B = 12；BD = ． 【解答】解：1：向量法由题意2222564491cos 22582a c b B ac +-+-===g g ，1()2BD BA BC =+u u ur u u u r u u u r ，平方，得到221129||(||||2||||cos )4BD BA BC BA BC B =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ， 故填：12，129．解：2：平行四边形法则倍长中线，由平行四边形法则，得到2222(2)2()BD AC BA BC +=+， 即21294BD =，即129BD =解析3：余弦定理由题意2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===g g ，因为cos cos 0ADB CDB ∠+∠=，则222222022AD BD AB DC BD BC BD AD BD DC+-+-+=g g ，代入数据，得到21294BD =，即129BD =故填：12129故答案为：1212915．（3分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 36 个． 【解答】解：特殊位置优先考虑．先考虑末尾，有12C 种，再考虑首位非零，13ð，剩下的两个位置有23A 种，则由分步乘法计数原理，得到共有奇数11223336C C A =g g 种，故答案为：36．16．（3分）已知a r，b r 是不共线的两个向量，若对任意的m ，n R ∈，||a mb +r r 的最小值为1，|(1)|2n n a b -+rr 的最小值为1，若4a b =r r g ，则a r ，b r 所成角的余弦值为． 【解答】解：Q 2222()8a mb b m m a +=++r r r r，m R ∈，∴当24m b=-r 时，2226()1min a mb a b+=-+=rrrr ，即22216a b b =+rrr ， Q 222222[(1)](4)(2)24n b n a b a n a n a -+=+---+r r r r r r，n R ∈，∴当222244a n b a -=+-r r r 时，222222(2)[(1)]1244min n a n a b a ba --+=-+=+-r r r r r r ，即22224ab b a =+r r r r，∴2222222||216||4a a b b b a b b a =⎧⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩r r r r rr r r r ，∴cos ||||a b a b θ==r r g r r g． 17．（3分）已知A ，B 分别是椭圆2212x y +=的右顶点，上顶点，P 是椭圆在第三象限一段弧上的点，PA 交y 轴于M 点，PB 交x 轴于N 点，若//MN AB ，则P 点坐标为(1,- ． 【解答】解：法一：椭圆2212x y +=在坐标轴上进行仿射变换：设2m x =，n y =，从而得到圆方程：221m n +=．显然P是圆在第三象限弧的中点(满足题意，即m x ==n y ==，可得1x =-，y =故答案为：(1,-． 法二：（常规方法）设点(P m ，)(0n m <，0)n <，A ，(0,1)B -， 直线PA方程：y x =-，PA 交y轴于点M ，直线PB 方程：11n y x m -=+，PB 交x 轴于点(,0)1mN n --，利用MN AB K K =，=，化简可得2222n n m -=，又因为点(,)P m n 在椭圆上，所以2212m n +=，可得212m n =--代入22222n n m m -=-， 化简可得(1)(1)(2)0(0)m m m m m -+-=<，得1m =-，2n =-， 故答案为：2(1,)--．三、解答题18．已知函数2()2sin cos 33f x x x x =-+． （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域；（2）设(,)2παπ∈，10()213f α=，求sin α的值．【解答】解：（1）()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π==+，当[0x ∈，]2π时，42333x πππ+剟， 即当4233x ππ+=时，函数取得最小值为42sin 33y π==- 当232x ππ+=时，函数取得最大值为2sin22y π==，所以，此时()f x 的值域为[3,2]-．（2）因为10()2sin()2313f απα=+=，所以5sin()313πα+=，54633πππα<+<， 所以12cos()313πα+=-，5123sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα+=+-=+-+=19．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，点E ，F 分别是PD ，AB 的中点．（1）求证：//AE 平面PFC ；（2）若CF 与平面PCD所成角的余弦值等于6，求AB 的长．【解答】解：（1）证明：取PC 的中点M ，连接MF ，NE ，E Q ，M 分别为PD ，PC 的中点，//EM DC ∴，12EM DC =，ABCD Q 为矩形，//EM AF ∴，EM AF =，∴四边形AFEM 是平行四边形，//AE FM ∴，AE ⊂/平面PFC ，又FM ⊂Q 平面PFC ，//AE ∴平面PFC ． （2）解：取AD 的中点O ，2PA PD AD ===Q ，PO AD ∴⊥，3PO =Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，在平面ABCD 中过O 作AD 的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立如图坐标系，设2AB a =，则3)P ，(1D -，0，0)，(1C -，2a ，0)，(1F ，a ，0)， ∴(1,0,3)PD =-u u u r ，(0,2,0)DC a =u u u r，设平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ，则3020n PD x z n DC ax ⎧=--=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取3x =PCD 的法向量(3,0,1)n =-r ， (2,,0)FC a =-u u u r，设CF 与平面PCD 所成角为α，CFQ与平面PCD所成角的余弦值等于6，22||236sin1()4||||44CF nCF n aα∴===-+u u u r rgu u u r rg g，解得25a=，（舍负）．故AB的长为45．20．数列{}na是公比为正数的等比数列，12a=，2312a a+=；数列{}nb前n项和为nS，满足23b=，(1)()2n nnS b n N+=+∈．（Ⅰ）求1b，3b及数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求112233n na b a b a b a b+++⋯+．【解答】解：（Ⅰ）解法1:（数列定义）易知2231()12a a a q q+=+=，解得2q=或3q=-，又公比为正数，则2q=，故112n nna a q-==，n N+∈；1111(1)12S b b=+⇒=，333334(1)52S b b b=+=+⇒=，(1)2n nnS b=+，则111(1)2n nnS b---=+，2n…，两式相减得1(2)(1)1n nn b n b--=--，则12(3)(2)1n n n b n b ---=--，3n …，同理两式相减得122n n n b b b --=+，3n …（注1:b ，3b 也符合），则{}n b 为等差数列，故21n b n =-，n N +∈． 解法2:（数学归纳法）易知2231()12a a a q q +=+=，解得2q =或3q =-，又公比为正数，则2q =，故112n n n a a q -==，n N +∈；1111(1)12S b b =+⇒=，333334(1)52S b b b =+=+⇒=，猜想21n b n =-，n N +∈，用数学归纳法证明． ①当1n =时，11b =成立；②假设当n k =时，21k b k =-成立， 当1n k =+时，211111(1)2k k k k k k S b k b S b +++++=+=+=+，则21(1)21k k b k k +-=--，即121k b k +=+，故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对于任意的*n N ∈，21n b n =-均成立； （Ⅱ）解法1:（错位相减法求和） 由（1）可知(21)2n n n a b n =-g ，112233123458(21)2n n n n T a b a b a b a b n =+++⋯+=+++⋯+-g g g g ， 121438516(21)2n n T n +=+++⋯+-g g g g ， 相减可得1114(12)22(482)(21)222(21)212n nn n n T n n -++--=+++⋯+--=+---g g g ，化简可得16(23)2n n T n +=+-g ． 解法2:（裂项求和）由（1）可知(21)2n n n a b n =-g ，注意到1(21)2(23)2(25)2n n n n n n +-=---g g g ，11112233[14(3)2][8(1)4][3168][(23)2(25)2]6(23)2n n n n n n T a b a b a b a b n n n ++=+++⋯+=---+--+-+⋯+---=+-g g g g g g g ．21．已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点． （1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）依题可知(0,1)F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得(2,1)A ，(2,1)B -，又24x y =可得24x y =，12y x '=；所以在A ，B 处的切线分别为：21(2)2y x -=-，21(2)2y x --=+，即1y x =-，1y x =--， 联立两切线可得11y x y x =-⎧⎨=--⎩解得0x =，1y =-，所以(0,1)P -．（2）设l 的方程为：1y kx =+，(,)A x y ''，(,)B x y ''''，则联立有214y kx x y=+⎧⎨=⎩整理得：2440x kx --=，所以4x x k '+''=，4x x '''=-，在A 处的切线为：211()42y x x x x '''-=-，即21124y x x x ''=-，同理可得，在B 处切线：211()42y x x x x -''=''-''，即21124y x x x =''-''，联立有：2211241124y x x x y x x x ⎧''=-⎪⎪⎨⎪=''-''⎪⎩解得2x x x '+''=，1y =-，即点(2x x P '+''，1)-．1|||||22x x PA x x x '+''''=-=''-，同理可得：||||PB x x '=''-，所以||2||PA PB ===，2244(4)x x '∴+=''+， 又4x x '''=-，解得21x ''=．1x ''=±，所以41x x '=⎧⎨''=-⎩或41x x '=-⎧⎨''=⎩，所以直线方程为：314y x =±+．22．已知函数111()(1)4x x f x e e ax a ++=-+-，其中 2.718e =⋯是自然对数的底数，()()g x f x '=是函数()f x 的导数．（1）若()g x 是R 上的单调函数，求a 的值； （2）当78a =时，求证：若12x x ≠，且122x x +=-，则12()()2f x f x +>． 【解答】解：（1）111()()(1)2x x g x f x e e ax ++='=--，11()(1)x x g x e e ax a ++'=---，由题意()g x 是R 上的单调函数，故1()10x G x e ax a +=---…恒成立，由于(1)0G -=， 所以(1)0G '-=，解得1a =． 解法1：消元求导：（2）1111171173()()((1))488484x x x x f x e e x e e x ++++=--=-++，令1x t +=，120t t +=，不妨设210t x =+>，173()()484t t h t e e t =-+，令173173()()()()()484484t t t t H t h t h t e e t e e t --=+-=-++++，原题即证明当0t >时，()2H t >，171171171()()()()()()()288288288t t t t t t t t t t t t H t e e t e e t e e e e t e e e e ------'=---+-=+--+--711()[()]()[()2]08216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+-+-…，其中11[()]()1022t t t t e e e e ---'=+-…， 因为(0)2H =，所以当0t >时，()2H t >，得证． 解法2：切线放缩：化解过程同上，原题即证明当0t >时，()()()2H t h t h t =+->，173()()484t t h t e e t =-+，注意到00173(0)(0)1484h e e =-⨯+=，求出173()()484t t h t e e t =-+在(0,1)处的切线方程，则171()()288t t h t e e t '=--，即3(0)8h '=，则：切线方程为318y t =+．下面证明3()18h t t +…恒成立(0)t >；令3()()18F t h t t =--，则1713()()002888t t F t e e t t '=---=⇒=，得()0F t '>在0t >恒成立，故()F t在(0)t>上单调递增，3()()1(0)08F t h t t F=-->=恒成立，故3()18h t t+…恒成立，同理可证()h t-始终位于()h t-在(0,1)处的切线318y t=-+的上方，即：3()()18h t t--+…（实际上()h t与()h t-关于y轴对称），故33()()()1()1288H t h t h t t t=+->++-+=恒成立，原不等式得证．。
2020学年浙江省诸暨市高二下学期期末考试数学试题(Word版)
2020高二数学阶段检测诸暨市2020学年高二下期末考试数学试卷选择题部分 (共 40 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设全集U 1,2,3,4， A 1,2， B 2,3,则C U ( A B) 等于A. 4B.1,3,4C.2,4D. 3,42、已知i 是虚数单位， i2＝－1 ，则计算21ii+的结果是A.1 i B 、 1 i C、1 － i D、 1 － i3、椭圆22145x y+=的焦点坐标是A. (1,0)B.(3,0)C.(0,1)D. (0,3)4、函数 f (x) x 2 ln x sin x 1的导函数是A. 2x 1xcos x 1 B. 2x －1xcos xC、2x1x－ cos x D、2x1xcos x5.设 x 是实数，则“｜x 1 ｜ 2 ”是“｜x 2 ｜ 1 ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.用数学归纳法证明：“1(12)(123)(123n)”，由n k到n k 1 时，等式左边需要添加的项是2020高二数学阶段检测7、将函数 y sin(2x23π) 的图形向左平移 个单位后得到的图像关于 y 轴对称，则正数的最小值是C 、56πD 、512π8、某几何体的三视图如图所示，当 a b 4 时，这个几何体的体积为9、已知1e u r ，2e u u r 是单位向量，且1e u r2e u u r 0 ，向量 a r与 1e u r ，2e u u r 共面，1，则数量积 ar(a 21e u r22e u u r )A.定值 1 C.最大值1 ，最小值 1B.定值 1D.最大值0 ，最小值110、已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是等边三角形，点 P 在平面 ABC 上的射影在ABC 内（不包括边界），PA PB PC .记 PA ，PB 与底面所成角为α ，β ；二面角 P BCA ，PAC B 的平面角为 γ ，θ ，则α ， β ， γ ， θ 之间的大小关系等确定的是A. βα γ θB. β γ α θC. β 是最小角， θ 是最大角D.只能确定 β γ ， αθ非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
2019-2020学年人教A版浙江省绍兴市诸暨市高一(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，2}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0} B．{2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2，3} 2．tan的值是（）A．B．C．D．3．若lg sin x＝0，则x＝（）A．2kπ（k∈Z）B．C．D．4．下列函数在（0，2）上递增的是（）A．y＝sin（x﹣2）B．y＝e x﹣2C．y＝（x﹣2）2D．5．比较下列三个数的大小：，b＝log23，c＝log32（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b6．函数f（x）＝log a（x﹣2）+a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P点坐标为（）A．（2，1）B．（3，2）C．（0，1）D．（3，3）7．对于函数的性质，下列描述：①函数f（x）在定义域内是减函数；②函数f（x）是非奇非偶函数；③函数f（x）的图象关于点（1，1）对称．其中正确的有几项（）A．0 B．1 C．2 D．38．设函数f（x）＝|tan x|，对任意满足条件﹣的x1，x2，…，x n，不等式|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M恒成立，则M的最小值是（）A．B．C．1 D．29．已知函数f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，m]，，x∈[1，n]，若f（x）与g（x）值域都是[4，5]，则点（m，n）所表示的区域是（）A．B．C．D．10．对任意x∈R，不等式恒成立，则sin（a+b）和sin（a ﹣b）分别等于（）A．；B．；C．；D．；．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．函数的定义域是，函数的值域是．12．＝，＝．13．已知函数，则f[f（﹣10）]＝，若f（a）≤1，则实数a的取值范围是．14．已知tanα＝2，则＝，＝．15．若，则x＝．16．函数图象的一个对称中心在区间内，则φ的取值范围为．17．已知函数f（x）＝2x3+ax2+ax，对任意两个不等实数x1，x2∈[1，+∞），都有，则实数a的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．已知sinα＝﹣，且cosα＞0．（1）确定角α的象限并求cosα，tanα，的值；（2）求的值．19．已知集合A＝{x|（x﹣2a）•（x﹣a﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若a≠3，写出A对应的区间，并在A∩B＝{1，2}时，求a的取值范围．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）f（x）向右平移个单位后得到函数g（x），求g（x）的单调递减区间；（3）若，且，求x的取值范围．21．已知函数在其定义域内是奇函数．（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；（2）解关于x不等式．22．已知f（x）＝x2﹣2ax+2．（1）若f[f（x）]和f（x）有相同的值域，求a的取值范围；（2）若f（a）＜0，且a＞0，设|f（x）|在[1，4]上的最大值为g（a），求g（a）的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，2}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0} B．{2} C．{﹣1，2} D．{﹣1，1，2，3} 【分析】先求出A∪B，由此能求出∁U（A∪B）．解：∵集合U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，2}，B＝{1，2，3}，∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，∁U（A∪B）＝{0}．故选：A．2．tan的值是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．解：∵tan＝tan＝，故选：A．3．若lg sin x＝0，则x＝（）A．2kπ（k∈Z）B．C．D．【分析】根据题意，由对数的性质可得sin x＝1，进而由正弦函数的性质分析可得答案．解：根据题意，若lg sin x＝0，则sin x＝1，必有x＝2kπ+，（k∈Z）；故选：B．4．下列函数在（0，2）上递增的是（）A．y＝sin（x﹣2）B．y＝e x﹣2C．y＝（x﹣2）2D．【分析】函数y＝e x﹣2与函数y＝e x的单调性一致，由指数函数的单调性性质即可得解．解：函数y＝e x﹣2相当于函数y＝e x向右移动两个单位而得到，其单调性与函数y＝e x一致，由指数函数的单调性可知，函数y＝e x单调递增，即函数y＝e x﹣2单调递增．故选：B．5．比较下列三个数的大小：，b＝log23，c＝log32（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】利用对数函数的单调性即可得出．解：∵＜c＝log32＜1＜b＝log23，∴a＜c＜b．故选：D．6．函数f（x）＝log a（x﹣2）+a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P点坐标为（）A．（2，1）B．（3，2）C．（0，1）D．（3，3）【分析】根据指数函数和对数函数恒过定点的坐标，即可求出f（x）所过的定点．解：函数f（x）＝log a（x﹣2）+a x﹣3+1（a＞0且a≠1）中，令x﹣2＝1，解得x＝3，此时y＝f（3）＝0+1+1＝2，所以f（x）的图象恒过定点P（3，2）．故选：B．7．对于函数的性质，下列描述：①函数f（x）在定义域内是减函数；②函数f（x）是非奇非偶函数；③函数f（x）的图象关于点（1，1）对称．其中正确的有几项（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①结合反比例函数的单调性及函数图象的平移可判断，②先判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断，③根本反比例函数的性质及函数图象的平移可判断．解：∵＝1+的定义域{x}x≠1}，在（﹣∞，1），（1，+∞）单调递减，但是在定义域内不是递减，故①错误，由于f（x）的定义域关于原点不对称，即f（x）为非奇非偶函数，②正确，根据函数图象的平移可知，f（x）＝1+的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心（1，1），③正确．故选：C．8．设函数f（x）＝|tan x|，对任意满足条件﹣的x1，x2，…，x n，不等式|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M恒成立，则M的最小值是（）A．B．C．1 D．2【分析】利用绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|的推广可得|f（x1）﹣f（x n）|≤M，再根据x的取值范围解：因为|f（x1）﹣f（x n）|＝|f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，即M≥|f（x1）﹣f（x n）|，又因为﹣，所以|f（x1）﹣f（x n）|≤|f（﹣）﹣f（）|＝2，故M最小值为2，故选：D．9．已知函数f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，m]，，x∈[1，n]，若f（x）与g（x）值域都是[4，5]，则点（m，n）所表示的区域是（）A．B．C．D．【分析】利用二次函数及双勾函数的性质求得m，n的范围，进而求得答案．解：显然m＞1，n＞1，函数f（x）＝x2﹣4x+8的对称轴为x＝2，在[1，2]递减，在（2，m]递增，故f（x）min ＝f（2）＝4，f（1）＝f（3）＝5，故2≤m≤3；函数在[1，2]递减，在（2，n]递增，故g（x）min＝g（2）＝4，g（1）＝g（4）＝5，故2≤n≤4；故点（m，n）的横坐标介于[2，3]之间，纵坐标介于[2，4]之间，故选：C．10．对任意x∈R，不等式恒成立，则sin（a+b）和sin（a ﹣b）分别等于（）A．；B．；C．；D．；．【分析】根据不等式恒成立得到cos（ax+b）＝﹣sin（πx+），然后利用三角函数的诱导公式进行转化建立方程进行求解即可．解：要使恒成立，则必有cos（ax+b）＝﹣sin（πx+）＝cos（+πx+）＝cos（πx+），则a＝π，b＝+2kπ，则sin（a+b）＝sin（π++2kπ）＝﹣sin＝﹣，sin（a﹣b）＝sin（π﹣﹣2kπ）＝sin＝，故选：B．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．函数的定义域是[0，+∞），函数的值域是（0，+∞）．【分析】由函数定义域及值域的定义直接可以得到答案．解：函数的定义域是[0，+∞）；函数的定义域是（0，+∞），故其值域是（0，+∞）；故答案为：[0，+∞），（0，+∞）．12．＝π﹣1 ，＝﹣4 ．【分析】利用指数的运算性质即可得出．解：＝π﹣1，＝﹣32+1＝4﹣9+1＝﹣4．故答案为：π﹣1，﹣4．13．已知函数，则f[f（﹣10）]＝ 2 ，若f（a）≤1，则实数a 的取值范围是[﹣1，10] ．【分析】推导出f（﹣10）＝（﹣10）2＝100，从而f[f（﹣10）]＝f（100），由此能求出结果；由f（a）≤1，当a≤0时，f（a）＝a2≤1，当a＞0时，f（a）＝lga≤1，由此能求出实数a的取值范围．解：∵函数，∴f（﹣10）＝（﹣10）2＝100，f[f（﹣10）]＝f（100）＝lg100＝2，∵f（a）≤1，∴当a≤0时，f（a）＝a2≤1，解得﹣1≤a≤0；当a＞0时，f（a）＝lga≤1，解得0＜a≤10，综上，实数a的取值范围是[﹣1，10]．故答案为：2，[﹣1，10]．14．已知tanα＝2，则＝，＝ 1 ．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．解：∵tanα＝2，∴＝＝＝，∴＝＝＝1．故答案为：，1．15．若，则x＝ 4 ．【分析】由，化为x＝＞0，即可得出．解：∵，∴x＝＞0，解得x＝4．故答案为：4．16．函数图象的一个对称中心在区间内，则φ的取值范围为（，）．【分析】根据正弦函数的对称中心求出x的值，再根据对称中心在区间内求出φ的取值范围．解：函数中，令2x+φ＝kπ，k∈Z；解得x＝kπ﹣φ，k∈Z；又函数y图象的一个对称中心在区间内，所以＜kπ﹣φ＜，k∈Z；解得kπ﹣＜φ＜kπ﹣，k∈Z；令k＝1，得＜φ＜，所以φ的取值范围是（，）．故答案为：（，）．17．已知函数f（x）＝2x3+ax2+ax，对任意两个不等实数x1，x2∈[1，+∞），都有，则实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．【分析】通过变形可得，构造函数，可知函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，进而得解．解：不妨设1≤x1＜x2，则x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0，即x2f（x1）＜x1f（x2），即，构造函数，依题意，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴，即a≥﹣4．故答案为：[﹣4，+∞）．三、解答题：5小题，共74分18．已知sinα＝﹣，且cosα＞0．（1）确定角α的象限并求cosα，tanα，的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．解：（1）∵已知sinα＝﹣，且cosα＞0，∴α为第四象限角，cosα＝＝，∴tanα＝＝﹣，∴＝﹣＝＝＝2tanα＝﹣．（2）＝＝﹣cotα＝﹣＝．19．已知集合A＝{x|（x﹣2a）•（x﹣a﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若a≠3，写出A对应的区间，并在A∩B＝{1，2}时，求a的取值范围．【分析】（1）a＝1时，可得出集合A，然后进行交集的运算即可；（2）根据a≠3，可讨论a：a＞3时，得出A＝{x|a+3＜x＜2a}；a＜3时，得出A＝{x|2a ＜x＜a+3}．然后根据A∩B＝{1，2}，即可得出a＞3时，；a＜3时，得出，解出a的范围即可．解：（1）a＝1时，A＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{3}；（2）∵a≠3，∴2a＞a+3，即a＞3时，A＝{x|a+3＜x＜2a}；2a＜a+3，即a＜3时，A＝{x|2a＜x＜a+3}，∵A∩B＝{1，2}，∴①a＞3时，，解得，显然不满足题意；②a＜3时，，解得﹣1＜a≤0，∴a的取值范围为（﹣1，0]．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）f（x）向右平移个单位后得到函数g（x），求g（x）的单调递减区间；（3）若，且，求x的取值范围．【分析】（1）函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的单调性，得出结论．（3）由题意可得sin（2|x|+）≥，结合x的范围、正弦函数的图象特征，求出x的具体范围．解：（1）根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象可得A＝，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图，可得 2•+φ＝π，∴φ＝，故函数f（x）＝sin（2x+）．（2）把f（x）向右平移个单位后得到函数g（x））＝sin2x的图象，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得g（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）若，则|x|∈[0，π]，2|x|+∈[，]．∵，∴sin（2|x|+）≥，求得 sin（2|x|+）≥，∴2|x|+∈[，]，或 2|x|+＝，∴2|x|∈[0，]，或2|x|＝2π，求得x∈[﹣，]，或x＝π．21．已知函数在其定义域内是奇函数．（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；（2）解关于x不等式．【分析】（1）由奇函数的性质可求得a，b，由复合函数的单调性法则可得单调性；（2）通过换元法，直接求解即可．解：（1）依题意，，则，显然a＝1，b＝1，经验证，当a＝b＝1时，函数在其定义域内是奇函数，满足题设；由，定义域为（﹣1，1），由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（2）令，且，则，即﹣1＜4x﹣2x ＜2，解得x＜1，∴原不等式等价为，∴，解得t＞0或（舍），而显然成立，故所求不等式的解集为（﹣∞，1）．22．已知f（x）＝x2﹣2ax+2．（1）若f[f（x）]和f（x）有相同的值域，求a的取值范围；（2）若f（a）＜0，且a＞0，设|f（x）|在[1，4]上的最大值为g（a），求g（a）的取值范围．【分析】（1）依题意，2﹣a2≤a，解不等式即可；（2）易知，再分类讨论得出g（a）的表达式，进而求得g（a）的取值范围．解：（1）∵f（x）＝（x﹣a）2+2﹣a2≥2﹣a2，当f（x）的最小值在对称轴的左侧（或对称轴位置）时，f[f（x）]的值域也是[2﹣a2，+∞），∴2﹣a2≤a，解得a≤﹣2或a≥1，故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；（2）∵f（a）＜0，a2＞2，∴，∴△＝4a2﹣8＞0，分情况讨论：①当a≥4时，g（a）＝max{|f（1）|，|f（4）|}＝max{2a﹣3，8a﹣18}＝8a﹣18；②当时，g（a）＝max{|f（1）|，|f（a）|，|f（4）|}＝max{|2a﹣3|，a2﹣2，|8a﹣18|}，又a2﹣2﹣（8a﹣18）＝（a﹣4）2＞0，a2﹣2﹣（18﹣8a）＝（a﹣2）（a+10），a2﹣2﹣（2a﹣3）＝（a﹣1）2，18﹣8a﹣（3﹣2a）＝15﹣6a，∴当时，g（a）＝|f（a）|＝a2﹣2；当时，g（a）＝|f（a）|＝a2﹣2；当时，g（a）＝|f（4）|＝18﹣8a；当时，g（a）＝|f（4）|＝18﹣8a；综上，，故g（a）的取值范围为．。
高二上学期数学人教A版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则( )222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x 2x =的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为( )A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<-11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =22x y +{}n a n S 24a =742S =A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得，即.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则，，因为Q 为切点，可知()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =12y =-31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD ' 1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=--1=-01λ≤≤1λ=222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF 2//OQ AF 222AF OQ ==2222a AF a b -=-，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设点A ，在第一象限，设，则，上，所以，解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得或4.OQ AF ⊥2AF AF ⊥()()222222244b a b c a b +-==-23a b ==c a ====()01f x =()21f x x '=+()1,1()y f x =l ()113k f ='=():131l y x -=-:32l y x =-1x =()2122133f x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x =223k f ⎛⎫'== ⎪⎝⎭2l 2172:933l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭73y x =2x =219y -=()2,0()32y x =±320x y ±=)32x y +=3()2229x y -+=()2229x y -+=()220y px p =>x ()()1111,0,0A x y x y >>()11,B x y -12y =1y =)2229x y -+=()21289x -+=11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即时，因，所以，即，因为，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为为偶函数，故.故选：C 8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=*(1)()n nna S n n n=+-∈N2n≥1()(1)n n n nna n S S S n n-=-=+-1(1)(1)n nn S nS n n---=-11nSn--=-11a==-nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n=-+-=-(2)nS n n=-2n≥()11(3)nS n n-=--()()121(3)23nn na S S n n n n n-==----=--1n=23na n=-()()()1123n nn nb a n=-=--{}n b(11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e xf xf x-+'=()()e e1x x xf x f+'=()e xf x'⎡⎤=⎣⎦)= 0x=()0f0=()e xf x x-=()()2e1ex f x-<2e xe e ex xx x--<-()e ex xx x x-=-()e xg x x x--=-+(x()e e e ex x x xg x x x--'=++-0x≥e e0x xx x-+≥e e0x x--≥()e e ex x xg x x x-'=++e0x--≥()g x[)0,+∞()11e eg-=-0x≥()e xg x x=-e exx-<)0,1()g x()eg x<-)1,1-联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A ：，即，圆心为，半径为，A 错误；对选项B ：在圆上，则和圆心均在x 轴上，故切线与x 轴垂直，为，B 正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为，C 错误；(,y k xx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k --++=()2Δ410k =+>A B x x +=A B x x =B x -===2A B N x x x +==N MN x =-==(2k =±+2220x y x +-=22(1)1x y -+=(1,0)1r =(2,0)(2,0)2x =1yx +(,)x y (1,0)A -AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；，D 错误，故选：BC.11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎧⎨⎩11114457+-++ 111583824-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角的余弦值解析：设动点，则.又，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =BPBP DQ BP DQθ⋅===⋅BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=--MN MP ⋅ ()34x ∴--=224x y +=213y +=∴23y +=213y +=()()222125x y +++=（2）最小值为.解析：（1）圆M 的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面.17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n = ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE ACE x =()f x 22ln 2f =-e x =()f x 2(e)e 4f =-[)1,-+∞(0,)+∞2a =-2()2ln f x x x =-+2()2f x x x '=-+=()0f x '>1x >()f x (1,)+∞4a =-2()4ln f x x x =-+4()2f x x x '=-+=令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x>0x<<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=ln e lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=()22lnh x x x=+-22()1xh xx x-'=-=2()0xh xx-'=>2ex<≤2()0xh xx-'=<12x≤< ()h x[)1,2(]2,e()(2)2(2ln2)0h x h≥=->[1,e]x∈()2(1)(22ln)()0lnx x xg xx x-+-'=≥-min()(1)1g x g==-[)1,-+∞12n+24n nS a=-∴2n≥1124n nS a--=-得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①-①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，所以存在定点Q 为.()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP 12AP =2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二(下)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二（下）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）.1．已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则集合（∁U A）∩B等于（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{2，3}2．直线l1：y＝ax与直线平行，则a＝（）A．B．C．D．3．已知（1+i）•（a+2i）＝bi，（a，b∈R，i是虚数单位），则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．14．已知空间向量，若，则可以是（）A．B．C．D．5．△ABC中，“tan A•sin B•sin C＜0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如图，已知多面体A﹣BCDE的底面ABC为正三角形，四边形BCDE为矩形，棱CD与底面ABC垂直，CD＝2，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则△ABC的边长是（）A．B．2C．D．17．若过抛物线x2＝4y的焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|为（）A．6B．8C．10D．128．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面△ABC是正三角形，侧棱垂直于底面，且AA'＝AB，则A'B与B'C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤1，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（）A．B．2+πC．1+πD．4+π10．已知数列{a n}，a n＞0且满足a n+12﹣2a n+1＝2a n，n∈N*，则下列说法中错误的是（）A．若a1≠4，当n≥3时，有B．若a1＝2，则C．当a1∈（0，2）时，{a n}是递增数列；当a1∈（4，+∞）时，{a n}是递减数列D．存在M＞0，使a n≤M恒成立二.填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．若a＝log23，b＝log34，则ab＝；log2a+log2b＝．12．已知双曲线，则双曲线实轴长＝；当离心率e＝2时，则其渐近线的方程为．13．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，b＝3，则c ＝；△ABC外接圆的面积是．14．已知△ABC是边长为2的正三角形，P是线段BC（包括端点）上的一个动点，则的值是；的最小值是．15．过点（1，0）且与函数y＝e x﹣1图象相切的直线方程为．16．已知a，b∈R+且，则的最大值＝．17．已知函数f（x）＝ax3﹣3x+3，g（x）＝4x﹣2x+1+2，若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a＝．三、解答题（本大题有5个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期T；（2）当时，求f（x）的值域．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC，D是AB的中点．（1）求证：AC⊥PD；（2）若AC＝BC＝PD＝2，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．20．已知等差数列{a n}公差大于零，且a1＝1，a1，a2，a4成等比；数列{b n}满足b1＝1，b n ＝b n﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，椭圆的离心率为且经过点，P为椭圆上的一动点．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆，过点P作圆O的两条切线l1，l2，两切线的斜率分别为k1，k2．①求k1k2的值；②若l1与椭圆C交于P，Q两点，与圆O切于点A，与x轴正半轴交于点B，且满足S△OPA＝S△OQB，求l1的方程．22．（17分）已知f（x）＝xlnx﹣x，g（x）＝ax+b．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若b+ae＝0，且f（x）≥g（x）对x∈[e，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若方程f（x）＝g（x）在[e，e2]上有根，求a2+4b的最小值．参考答案一、选择题（每题4分，共40分）.1．已知全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则集合（∁U A）∩B等于（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{2，3}解：由于全集U＝{1，2，3}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝{3}，∵集合B＝{2，3}，∴集合（∁U A）∩B＝{3}．故选：C．2．直线l1：y＝ax与直线平行，则a＝（）A．B．C．D．解：∵直线l1：y＝ax与直线平行，又直线l2的斜率k＝﹣，∴a＝k＝﹣．故选：D．3．已知（1+i）•（a+2i）＝bi，（a，b∈R，i是虚数单位），则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1解：∵（1+i）•（a+2i）＝bi，∴a﹣2+（a+2）i＝bi，∴，∴a＝2，故选：C．4．已知空间向量，若，则可以是（）A．B．C．D．解：因为空间向量，对于A，因为﹣1×1+1×2+0×（﹣1）≠0，故与不垂直，故选项A错误；对于B，因为1×1+2×0+（﹣1）×1＝0，所以，故选项B正确；对于C，因为1×（﹣1）+2×2+（﹣1）×1≠0，故与不垂直，故选项C错误；对于D，因为1×2+2×1+（﹣1）×（﹣2）≠0，故与不垂直，故选项D错误．故选：B．5．△ABC中，“tan A•sin B•sin C＜0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵在△ABC中，A，B，C∈（0，π），∴sin B＞0，sin C＞0，①若tan A•sin B•sin C＜0，则tan A＜0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，②若△ABC为钝角三角形，A不一定为钝角，∴tan A•sin B•sin C＜0不一定成立，∴tan A•sin B•sin C＜0是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件，故选：A．6．如图，已知多面体A﹣BCDE的底面ABC为正三角形，四边形BCDE为矩形，棱CD与底面ABC垂直，CD＝2，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则△ABC的边长是（）A．B．2C．D．1解：如图：设等边三角形ABC边长为a，取BC中点O，DE中点F，连接AO、OF、AF，则△AOF为该多面体侧视图，△ABC为俯视图，根据题意得S△ABC＝S△AOF可得：a2sin60°＝×2×a，解得a＝2．故选：B．7．若过抛物线x2＝4y的焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|为（）A．6B．8C．10D．12解：抛物线焦点为（0，1），且斜率为1，则直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程x2＝4y得y2﹣6y+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴y1+y2＝6根据抛物线的定义可知|AB|＝y1+y2+p＝6+2＝8故选：B．8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面△ABC是正三角形，侧棱垂直于底面，且AA'＝AB，则A'B与B'C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：作DA⊥AC，又∵侧棱垂直于底面，∴直线AA'，DA，AC两两垂直，建立以A原点，建立如图所示空间直角坐标系，设AA'＝AB＝2，则A'（0，0，2），B（，1，0），B'（，1，2），C（0，2，0），∴，∴，，cos＜A'B，B'C＞＝|cos|＝．故选：D．9．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤1，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（）A．B．2+πC．1+πD．4+π解：根据题意，点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤1，α∈R}，S中的元素组成以（cos2α，sin2α）为圆心的圆心，半径为1的圆，设M（cos2α，sin2α）又由，则圆心M在线段x+y＝1，（0≤x≤1）上，则点集S对应的图形如图，为矩形ABCD与两个半圆的组合图形，其中AB＝2，BC＝，则当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积S＝2×+π＝2+π；故选：A．10．已知数列{a n}，a n＞0且满足a n+12﹣2a n+1＝2a n，n∈N*，则下列说法中错误的是（）A．若a1≠4，当n≥3时，有B．若a1＝2，则C．当a1∈（0，2）时，{a n}是递增数列；当a1∈（4，+∞）时，{a n}是递减数列D．存在M＞0，使a n≤M恒成立解：由于得：，因为a n＞0，所以（a n−1）（a n+1−1）＞0，对于A，，因为，所以，当时，a2−1＜0，⋯，a n−1＜0，a n+1−1＜0，所以，所以a n＜a n−1，故A不正确；对于C，考虑函数，如图所示，由图可知当a n＞0 时，数列{a n−a n+1} 递减，所以a1−a3＞a3−a5，即a1+a3＞2a3，所以C不正确；对于D，设a n+1＝x，则，由上图可知，即，等价于，等价于x2−2x+1≤0，而x2−2x+1≤0 显然不成立，所以D不正确；故选：ACD．二.填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．若a＝log23，b＝log34，则ab＝2；log2a+log2b＝1．解：∵a＝log23，b＝log34，∴，∴log2a+log2b＝log2（ab）＝log22＝1．故答案为：2，1．12．已知双曲线，则双曲线实轴长＝2；当离心率e＝2时，则其渐近线的方程为．解：因为双曲线方程为：，所以a2＝1，则双曲线实轴长为2a＝2；离心率e＝2时，则，∴b2＝3，其渐近线的方程为y＝．故答案为：2，．13．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，b＝3，则c ＝1或2；△ABC外接圆的面积是．解：在△ABC中，，∴根据正弦定理得：，解得，∴，①时，cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴根据余弦定理得，，∴c＝2；②cos B＝时，cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴根据余弦定理得，，∴c＝1，综上得，c＝1或2；设△ABC外接圆半径为r，则，解得，∴△ABC的外接圆面积是：．故答案为：1或2，．14．已知△ABC是边长为2的正三角形，P是线段BC（包括端点）上的一个动点，则的值是6；的最小值是﹣2．解：由△ABC是边长为2的正三角形，可得（）×＝0；P是线段BC（包括端点）上的一个动点，可得．∵向量＝，那么＝（）＝+（）＝22+2×2×cos60°+0＝4+2＝6；由＝（）＝（）•＝+＝2×﹣2×||．当＝2时，可得最小值为﹣2，得的最小值是﹣2．故答案为6；﹣2．15．过点（1，0）且与函数y＝e x﹣1图象相切的直线方程为y＝e（x﹣1）．解：设切点P（），由y＝e x﹣1，得y′＝e x﹣1，则，∴y＝e x﹣1在切点处的切线方程为，把（1，0）代入，可得，解得x0＝2．则过点（1，0）且与函数y＝e x﹣1图象相切的直线方程为y＝e（x﹣1）．故答案为：y＝e（x﹣1）．16．已知a，b∈R+且，则的最大值＝．解：∵，＝+＝•+＝•（1﹣）+＝﹣（）2+3•＝﹣（﹣）2+≤，故当＝，即a＝，b＝8时，等号成立，故答案为：．17．已知函数f（x）＝ax3﹣3x+3，g（x）＝4x﹣2x+1+2，若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a＝4．解：g（x）＝4x﹣2x+1+2＝（2x）2﹣2⋅2x+2＝（2x﹣1）2+1，当x∈[﹣1，1]时，，所以当2x＝2，即x＝1 时，g（x）取最大值g（x）max＝g（1）＝2．题意转化为f（x1）min⩾g（x2）max，所以f（x1）min⩾2，即∀x∈[﹣1，1]，f（x）⩾2 恒成立，所以，解得2⩽a⩽4．f′（x）＝3ax2﹣3＝3（ax2﹣1），令f′（x）＝0，解得，当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，于是当x∈[﹣1，1]时，，即，解得a ＝4．故答案为：4，三、解答题（本大题有5个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期T；（2）当时，求f（x）的值域．解：（1）∵＝，所以定义域为；（2）因为，所以∈，则，所以f（x）∈[﹣2，2），故f（x）的值域为[﹣2，2）．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC，D是AB的中点．（1）求证：AC⊥PD；（2）若AC＝BC＝PD＝2，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：取AC中点记为O，连OP，OD，∵OD∥CB，AC⊥CB，∴AC⊥CD……2′又∵……2′+2′（2）解：法一：取PA中点记为N，连ON，作OM⊥AB于M，连PM；作OH⊥PM于H，连NH……3′∵，又∵OH⊥PM，∴OH⊥面PAB，PC∥ON，∴PC与平面PAB所成的角即为ON与平面PAB所成的角，……3′∴，即所求角的正弦值为：．……3′法二（体积法）：先证PO⊥平面ABC，又……4′……3′∴……2′法三（向量法）：由（1）及PD2＝PO2+OD2，知OA，OP，OD两两垂直，……1′建立如图空间直角坐标系：，，，……2′设面PAB法向量为，则．令z＝1时，……2′+2′∴……2′20．已知等差数列{a n}公差大于零，且a1＝1，a1，a2，a4成等比；数列{b n}满足b1＝1，b n ＝b n﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）由题意知：（1+d）2＝（1+3d）⇒d＝1（舍去d＝0），∴a n＝1+（n﹣1）⋅1＝n．．（2）∵，，∴，∴，∴，∴，由于，∴．21．如图，椭圆的离心率为且经过点，P为椭圆上的一动点．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆，过点P作圆O的两条切线l1，l2，两切线的斜率分别为k1，k2．①求k1k2的值；②若l1与椭圆C交于P，Q两点，与圆O切于点A，与x轴正半轴交于点B，且满足S△OPA＝S△OQB，求l1的方程．解：（1）∵，，则a＝2，故椭圆方程为．（2）①设P（x0，y0），切线l：y﹣y0＝k（x﹣x0），∴kx﹣y+y0﹣kx0＝0，∴，∴，∴，②∵S△OPA＝S△OQB⇒PA＝BQ⇒x A﹣x P＝x Q﹣x B⇒x P+x Q＝x A+x B，设切线方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴，∵，设，∴＝，又∵，故所求的切线方程为：或．22．（17分）已知f（x）＝xlnx﹣x，g（x）＝ax+b．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若b+ae＝0，且f（x）≥g（x）对x∈[e，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若方程f（x）＝g（x）在[e，e2]上有根，求a2+4b的最小值．解：（1）因为f（x）＝xlnx﹣x，所以f'（x）＝lnx+1﹣1＝0，令f'（x）＝0，解得x＝1，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递增，故f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增；f极小值（x）＝f（1）＝﹣1；（2）因为f（x）≥g（x）对x∈[e，+∞）恒成立，所以xlnx﹣x≥a（x﹣e）对x∈[e，+∞）恒成立，令h（x）＝xlnx﹣x﹣a（x﹣e），则h（e）＝0，又h'（x）＝lnx﹣a，x∈[e，+∞），若a≤1，则h（x）在x∈[e，+∞）上为单调递增函数，所以有h（x）≥h（e）＝0；若a＞1，则h（x）在x∈[e，e a）上为单调递减函数，所以在x∈[e，e a）时有h（x）＜h （e）＝0．综上所述，实数a的取值范围为a≤1；（3）令h（x）＝xlnx﹣x﹣ax﹣b，则h'（x）＝lnx﹣a，x∈[e，+∞），由（1）知，当a≤1时，h（x）在x∈[e，+∞）上为增函数，所以当a≤1时，方程f（x）＝g（x）有根，只需，则a2+4b≥a2﹣4ae（a≤1），最小值为1﹣4e；当a＞1时h（x）在x∈[e，e a）上递减，在x∈[e a，+∞）上单调递增，当1＜a≤2时，方程f（x）＝g（x）有根，只需，则a2+4b≥a2﹣4e a（a∈（1，2]），令y＝x2﹣4e x，则y'＝2x﹣4e x，则y''＝2﹣4e x，由此可得函数y＝x2﹣4e x单调递减，所以最小值为4﹣4e2，当a≥2时，方程f（x）＝g（x）有根，只需，则a2+4b≥a2+4e2﹣4ae2（a∈（2，+∞）），所以最小值为4e2（1﹣e2）．综上所述，所以最小值为4e2（1﹣e2）．。
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2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题一、单选题1．以点()2,3-为圆心，3为半径的圆的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)3x y -++= B ．22(2)(3)9x y -++= C ．22(2)(3)3x y ++-= D ．22(2)(3)9x y ++-=【答案】B【解析】由圆的标准方程定义，即得解. 【详解】由圆的标准方程可得答案为22(2)(3)9x y -++= 故选：B 【点睛】本题考查了圆的标准方程定义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知x ，y R ∈，“0x >且0y >”是“0xy >”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】利用不等式的性质，由0x >且0y >，可证明0xy >，反之若0xy >，也可以推出0x <且0y <，即得解. 【详解】若0x >且0y >，显然0xy >，但是若0xy >，也可以推出0x <且0y <， 故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理的能力，属于基础题. 3．平行于直线12y x =-且过()2,1的直线方程为（ ）A ．230x y --=B ．250x y +-=C ．20x y -=D ．240x y +-=【答案】D【解析】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解. 【详解】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故12k =-， 根据点斜式方程可得11(2)2y x -=--，化简得240x y +-= 故选：D 【点睛】本题考查了过定点与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.4．已知直线m ，n ，平面α，m α⊄，n ⊂α，则下列说法：①m m n α⊥⇒⊥；②m n m α⊥⇒⊥；③////m m n α⇒；④////m n m α⇒；其中正确的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可判定①，根据线面垂直的判定定理可判断②，根据线面平行的性质可判断③，根据线面平行的判定可判断④. 【详解】对于①根据线面垂直的性质可知正确；对于②根据线面垂直的判定必须是平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直才能判定线面垂直故错；对于③根据线面平行的性质，线与面平行不能推出与任意一条直线平行故错； 对于④根据线面平行的判定，可知④正确. 故选：B 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于中档题.5．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值（ ）A ．8B ．4C ．2D ．0【答案】C【解析】画出可行域，转化3z x y =+为13y x z =-+，可知当直线与可行域相交，且截距最小时，3z x y =+取得最小值，联立求出C 点坐标即得解. 【详解】如图，画出可行域，转化3z x y =+为13y x z =-+ 可知当直线与可行域相交，且截距最小时，3z x y =+取得最小值.由图像可知，经过C 点时，取得最小值. 联立220(2,0)2x y C x y +-=⎧∴⎨-=⎩故min 2302z =+⨯= 故选：C 【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．双曲线2213y x -=，则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】由双曲线方程，得到焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式即得解. 【详解】双曲线方程：2213y x -=，可得双曲线焦点坐标为()0,2，渐近线方程为30y x ±=，由点到直线的距离公式可得2211(3)d ==+故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）A ．113B ．4C ．83D ．3【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为三棱柱111ABC A B C -中割掉一个三棱锥1A A DE -得到的几何体，用割补法1111ABC A B C A A DE V V V --=-可得解. 【详解】 如下图所示，该几何体为三棱柱111ABC A B C -中割掉一个三棱锥1A A DE -得到的几何体1111111112221122323ABC A B C A A DE V V V --⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A 【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算能力，属于中档题.8．如图两正方形ABCD ，CDFE 所在的平面垂直，将EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，则直线EC 与AC 所成角的取值范围是（ ）A ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】可证得AF AC CF ==，故3ACF π∠=，4ECF π∠=，当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，CEA ECF FCA ∠≤∠+∠，且CEF ACF ECF ∠≥∠-∠，结合线线角的取值范围即得解. 【详解】 如下图所示，连接AF ，因为正方形ABCD 和CDFE ，则AD CD ⊥，FD CD ⊥，AD DC DF ==又因为面ABCD ⊥面CDFE ，面ABCD I 面CDFE CD =， 则AD ⊥面CDFE ， 因此AD DF ⊥.因此222AF AD DF =+，222AC AD DC =+，222CF CD DF =+， 则AF AC CF ==， 因此3ACF π∠= 因为4ECF π∠=，则当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=，当CEF ∠为锐角或直角时，直线EC 和AC 所成角的等于CEF ∠ 当CEF ∠为钝角时，直线EC 和AC 所成的角等于CEF ∠的补角 因此直线EC 和AC 所成的角的取值范围是,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：C . 【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9．正方体1111ABCD A B C D -中，在111A B D ∆内部（不含边界）存在点P ，满足点P 到平面11ACC A 的距离等于点P 到棱1BB 的距离.分别记二面角P AD B --为α，P AC B --为β，P BC A --为γ，则下列说法正确的是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．以上说法均不正确 【答案】C【解析】如图连接PE ，PF ，PG ，记PEQ α=∠，PGQ β=∠，PFQ γ=∠，因此tan PQ QE α=，tan PQ QG β=，tan PQQFγ=，比较长度关系即得解.【详解】 如图所示，作PQ ⊥面ABCD 于Q ，作QE AD ⊥于E ，QF BC ⊥于F ，QG AC ⊥于G ，连PE ，PF ，PG ，则PEQ α=∠，PGQ β=∠，PFQ γ=∠. 因此tan PQ QE α=，tan PQ QG β=，tan PQQFγ=，作111PE A D ⊥于1E ，111PF B C ⊥于1F ，111PG AC ⊥于1G ，1PG 即点P 到平面11ACC A 的距离，1PB 即点P 到棱1BB 的距离，因此11PB PG =，因为111QF PF PB PG QG =<==， 因此tan tan βγ<，因为11QG PG PE QE =<=， 因此tan tan αβ<综上有：tan tan tan αβγ<<，即αβγ<<， 故选:C 【点睛】本题考查了几何法研究二面角的大小，考查了学生空间想象，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.10．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，过双曲线的左焦点(),0F c -的直线522x y c =-交双曲线的渐近线与A ，B 两点，若点()2,0M c 满足MA MB =，则双曲线的离心率e =（ ） A ．324B ．322C ．6D ．3【答案】A【解析】联立直线与两条渐近线，得到A ，B 点坐标，再利用点M 在线段AB 的中垂线上，可得2218b a =，即得解.【详解】联立直线x c =-与两渐近线方程b y x a =±.联立方程x c b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；联立方程x c b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故A ，B的坐标为⎛⎫，⎛⎫，从而AB的中点为2222222,252252a c c N b a b a ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭由于点M 在线段AB 的中垂线上，从而直线MN的斜率为，即22225222252b a a c cb a -=-- 故2218b a =，从而222::8:1:9a b c =4=故选：A 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题11．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的侧面积为 ． 【答案】4π【解析】试题分析：由已知圆柱的高为2，底面半径为1，所以圆柱的侧面积为224ππ⋅=．【考点】1．圆柱的侧面积；12．已知抛物线2:4C x y =，点()3,P m 在抛物线上，则该抛物线的焦点F 的坐标为_____________；点P 到准线的距离为________________.【答案】(0,1)134【解析】由抛物线2:4C x y =可得F 点坐标，代入P 坐标可解得94m =，运算即可得解点P 到准线的距离. 【详解】焦点F 的坐标为()0,1， 点()3,P m 在抛物线上，则94m =， 从而点P 到准线的距离为913144+= 故答案为：(0,1)，134【点睛】本题考查了抛物线的方程和基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.13．中国古代数学名著《九章算术·商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堵.其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一”.若称为“阳马”的某四棱锥如图所示，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，3PD AD ==，4AB =，则PA 与BC 所成的角=____________；PB 与平面PDC 所成角的正弦值=____________.【答案】4533434【解析】PA 与BC 所成的角等于PA 与AD 所成的角，根据题设条件即得解，因为BC ⊥平面PDC ，则PB 与平面PDC 所成角为BPC ∠，根据长度关系即得解.【详解】PA 与BC 所成的角等于PA 与AD 所成的角，即45PAD ∠=；因为BC⊥平面PDC，则PB与平面PDC所成角为BPC∠，所以sin34BCBPCPB∠===.故答案为：45.【点睛】本题考查了空间中的线线角，线面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14．过原点O有一条直线l，它夹在两条直线1:220--=l x y与2:30l x y++=之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为______________.【答案】45y x=【解析】设两交点分别为(,22)A a a-，(,3)B b b--，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a-，(,3)B b b--，则50325053aa ba bb⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l的方程为45y x=.故答案为：45y x=【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.15．已知直线:(31)(1)440l k x k y k++---=，圆C的方程为：22680x y x y+--=，则直线l恒过定点______________；若直线与圆相较于A，B两点，则弦AB长度的最小值=______________；【答案】()2,2【解析】转化直线为(34)40x y k x y--++-=，恒过定点，因此340x y--=且40x y +-=联立即得定点坐标，当直线与CM 垂直时，弦AB 最短，利用勾股定理即得解. 【详解】(31)(1)440k x k y k ++---=Q ， (34)40x y k x y ∴--++-=，则3402402x y x x y y ⎧--==⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩所以直线l 恒过定点()2,2M.2222680(3)(4)25(3,4),5x y x y x y C r +--=∴-+-=∴=Q当直线与CM 垂直时，弦AB 最短，AB 最小值222225545r CM -=-= 故答案为：()2,2，45. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均等于2，M 为线段1BB 上的动点，则平面ABC 与平面1AMC 所成的锐二面角余弦值的最大值为______________.【答案】22【解析】如图建立空间坐标系，求解平面ABC 与平面1AMC 的法向量，利用二面角的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间坐标系，则3,0,0)A ，(0,1,)M t ，1(0,1,2)C -，()13,1,2AC =--u u u u r ，1(0,2,2)C M t =-u u u u r，设平面1AMC 的法向量为1(,,)n x y z =r，1111032002(2)0AC n x y z C M n y t z ⎧⎧⋅=--+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+-=⎪⎪⎩⎩u u u u v r u u u u v r取1,23n t ⎫=-⎪⎭u r ， 平面ABC 的法向量为2(0,0,1)n =r，则22232cos 2(2)(1)6(2)43t t t θ==≤+-++-+.故答案为：22. 【点睛】本题考查了向量法求解二面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.17．已知曲线22:1x C y m+=(0)m >，()0,1A ，()0,1B -，P 是曲线C 上的动点.当P与A ，B 重合时，PA ，PB 的斜率之积为=____________；若||2PB ≤恒成立，则m 的取值范围是___________. 【答案】1m-02m <≤ 【解析】设(,)P x y ，用点坐标表示PA PB k k ⋅，利用椭圆方程化简即得解；转化||2PB ≤2≤，用椭圆方程替换x ，可得211m y ≤=++，结合(1,1)y ∈-即得解. 【详解】 设(,)P x y 则22221111PA PBx y y y m k k x x x x m--+-⋅=⋅===-；||2PB ==≤在[]1,1y ∈-上恒成立，所以()221(1)4m y y -++≤在[]1,1y ∈-上恒成立，显然当1y =±时成立， 所以()221(1)4m yy -++≤在(1,1)y ∈-上恒成立，224(1)321111y y m y y y -++≤==+-++在(1,1)y ∈-上恒成立， 所以min2121m y ⎛⎫≤+= ⎪+⎝⎭，故02m <≤ 故答案为：1m-，02m <≤ 【点睛】本题考查了椭圆中的定值和取值范围问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.三、解答题18．已知原命题是“若260x x --≤则2280x x --≤”.（1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假； （2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）逆命题：“若2280x x --≤则260x x --≤”，假命题；否命题：“若260x x -->则2280x x -->”，假命题；逆否命题：“若2280x x -->则260x x -->”，真命题；（2）3a > 【解析】（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，可得逆命题，否命题，逆否命题，求解对应不等式的范围，以及原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得解；（2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，则不等260x x --≤的解23x -≤≤构成的集合为()(2)0x a x -+≤的解集的真子集.分2a =-，2a <-，2a >-三种情况讨论即得解.【详解】（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义， 逆命题：“若2280x x --≤则260x x --≤”； 否命题：“若260x x -->则2280x x -->”； 逆否命题：“若2280x x -->则260x x -->”.260x x --≤即：23x -≤≤；2280x x --≤即：24x -≤≤可得：原命题“若260x x --≤则2280x x --≤”是真命题， 逆命题“若2280x x --≤则260x x --≤”是假命题，根据原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得：逆否命题为真，否命题为假.（2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，则不等式260x x --≤的解23x -≤≤构成的集合为()(2)0x a x -+≤的解集的真子集.()(2)0x a x -+≤对应方程的根为12,2x a x ==-若2a =-，不等式的解为2x =-,不成立； 若2a <-，不等式的解为2a x ≤≤-，不成立；若2a >-，不等式的解为2x a -≤≤，若23x -≤≤构成的集合是2x a -≤≤构成的集合的真子集，则3a >. 综上：实数a 的取值范围是3a >. 【点睛】本题考查了命题的四种形式以及充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理，转化划归，分类讨论的能力，属于中档题.19．如图，空间几何体ABCDEF 中，四边形ABCD ，CDEF 是全等的矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且2BC =，1AB =，M ，N 分别为线段AE ，AD 的中点.（1）求证：//MN 平面BCF ； （2）求证：FM BN ⊥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）可证得//MN ED ，又//ED FC ，由传递性得到//MN FC 即得证； （2）由平面CDEF ⊥平面ABCD ，可证得FC ⊥面ABCD ，//MN FC ，所以MN ⊥面ABCD ，可得MN BN ⊥，勾股定理可证明BN CN ⊥，故BN ⊥平面MNCF ，即得证. 【详解】（1）由M ，N 分别为线段AE ，AD 的中点，//MN ED ，又//ED FC ，所以//MN FC ，FC ⊂平面BCF ，且MN ⊄面BCF ， //MN ∴平面BCF（2）证明：Q 平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF I 平面ABCD CD =，FC CD ⊥，FC ⊂面CDEF ， FC ∴⊥面ABCD ， //MN FC ，所以MN ⊥面ABCD ，BN ⊂面ABCDMN BN ∴⊥在BCN ∆中，2BN CN ==2BC =，所以BN CN ⊥，MN CN N ⋂=从而BN ⊥平面MNCF ，FM ⊂平面MNCFFM BN ∴⊥.【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归的能力，属于中档题.20．已知抛物线24y x =，与圆22:(1)1F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点. （1）求证：OM ON ⊥.（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN ∆的面积S .【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）直线与抛物线联立，可得1216y y =-，2212121644y y x x =⋅=，可证得12120OM ON x x y y ⋅=+=u u u u r u u u r，故得证；（2）由直线MN 与圆F 相切，可求得m ,利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得,O MN MN d -，即得解.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y 联立22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， 1216y y ∴=-2212121644y y x x =⋅=Q ，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=u u u u r u u u r，即OM ON ⊥.（2）Q 直线MN 与圆相切，218d m ==∴=，∴原点到直线MN 的距离43==，12MN y y =-==，114223O MN S MN d -=⋅=⋅⋅=【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为边长为2的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点O ，G 在线段AO 上，2AG GO =，H 为1OC 与1B C 的交点，若1BB 与平面ABC 所成角为4π.（1）求二面角111B OC A --的余弦值； （2）求直线GH 与平面ABC 所成角的正弦值. 【答案】（1）24；（2）34【解析】（1）以OC ，OA ，1OA 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，分别求解平面11B OC ，平面11AOC 的法向量，利用二面角的向量公式即得解. （2）求解平面ABC 的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【详解】（1）由于点1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点O ，ABC ∆为边长为2的正三角形，故OC ，OA ，1OA 两两垂直。