由递推公式求通项的9种方法经典总结

精析由递推公式求通项的9种方法

1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型

把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．

[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝1

2，a n ＋

1＝a n ＋1

n 2

＋n

，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1

n 2＋n ＝

1nn ＋1＝1n －1

n ＋1

，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪

⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1n －1－1n ，

所以a n －a 1＝1－1n .

因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1

n .

2．a n ＋1＝f (n )a n 型

把原递推公式转化为a n ＋1

a n

＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)

求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a n

a 1＝

f (1)f (2)…f (n －1)．

[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝2

3，a n ＋

1＝n n ＋1

·a n ，求a n . [解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n

＝

n

n ＋1

， 故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2

a 1

·a 1＝n －1n ×

n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝2

3n .

3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型

对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝q

p －1，可令a n ＋1＋t

＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．

[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1

＝2a n ＋3，求a n .

[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.

故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1

b

n

＝a n ＋1＋3a n ＋3

＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．

所以b n ＝4×2n －1

＝2

n ＋1

，即a n ＝2

n ＋1

－3.

4．a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型

(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q

n ＋1

，得a n ＋1q

n ＋1＝p q ·a n

q n ＋1q ，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭

⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·

b n ＋1

q ，再用待定系数法解决；

(2)也可以在原递推公式两边同除以p

n ＋1

，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫q p n

，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭

⎪⎫

其中b n ＝a n p n ，得

b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭

⎪⎫q p n

，再利用叠加

法(逐差相加法)求解．

[例4] 已知数列{a n }中，a 1＝5

6，a n ＋1

＝1

3a n ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＋1，求a n .

[解] 法一：在a n ＋1＝1

3a n ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＋1两边

乘以2

n ＋1

，得2

n ＋1

·a n ＋1＝23(2n

·a n )＋1.

令b n ＝2n ·a n ，则b n ＋1＝2

3b n ＋1，

根据待定系数法，得b n ＋1－3＝2

3(b n －3)．

所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×5

6－3＝－4

3为首项，

以2

3为公比的等比数列．

所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭

⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23n . 于是，a n ＝b n

2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n .

法二：在a n ＋1＝1

3a n ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n ＋1两边乘以

3

n ＋1

，得

3

n ＋1

a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n ＋

1.

令b n ＝3n ·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n ＋

1.

所以

b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32n

－1

，…，

b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

322.

将以上各式叠加， 得

b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32n .

又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋3

2，

所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322

＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n