函数与方程复习课件公开课

答案：－1，0，1
2. 若二次函数 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 中， a· c ＜ 0 ，则其零点个数是 ________． 答案：2
3. 若函数 f (x )＝ax ＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x )＝bx 2－ ax 的零点是 ( A．0，2 ) 1 B．0， 2
1 1 C ．0，－ D．2，－ 2 2 解析： 选 C.∵2a＋b＝0， ∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 f(a)· f(b)<0 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有 线，并且有____________ f(c)＝0 ，这个c也就是f(x) 零点，即存在c∈(a，b)，使得___________ ＝0的根． 问题2.在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？ 提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可 能有其他零点，个数不确定．
变式训练
2 －1， x≤ 1， 1. 已 知 函 数 f(x) ＝ 则 函 数 f(x) 的 零 点 为 1＋ log2x，x＞1，
x
(
) B．－ 2，0 D.当 x≤ 1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；当 x
1 ＞ 1 时，由 f(x)＝ 1＋ log2x＝ 0，解得 x＝ ， 2 又因为 x＞ 1，所以此时方程无解． 综上函数 f(x)的零点只有 0，故选 D.
变式训练： 1 x －2 设函数 y＝x 与 y＝( ) 的图象的交点为( x 0，y0) ，则 2
3
x 0 所在的区间是(
A．(3，4) C ．(1，2)
)
B．(2，3) D．(0，1)
解析：选C.令g(x)＝x3－22－x，可求g(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞
0，g(3)＞0，g(4)＞0,易知函数g(x)的零点所在区间为(1，2)．
f(x)＝0 成立的实数x叫做 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使___________ 函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系 x轴 有交点⇔ 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______ 零点 ． 函数y＝f(x)有______
问题1.是否任意函数都有零点？ 提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x) 才有零点．
方程的根与函数的零点 复习课
主讲人：彭凡
学习目标 1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重 要考点. 2.利用函数的图象及性质判断函数的零点，及 利用它们求参数的取值范围问题是重点，也是 难点. 3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图 象与性质交汇命题.
教材回顾夯实双基
基础梳理
1.函数的零点 (1)函数零点的定义
B．(0，1) D．(2，3)
【解析】
∵f(x)＝ex＋x－4，∴函数f(x)在R上单调递增，对
于 A 项 ， f( － 1) ＝ e － 1 ＋ ( － 1) － 4 ＝－ 5 ＋ e － 1 ＜ 0 ， f(0) ＝－ 3 ＜ 0，f(－1)f(0)＞0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C 项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0， f(1)f(2)＜0，故选C. 【答案】 C
变式训练
记f x x 2 ax 1 解：
y
O -1
1
2
x
【规律小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方
法和思路：
(1) 直接法：直接求解方程得到方程的根 ， 再通过解不等式确 定参数范围； (2) 数形结合：先对解析式变形 ， 在同一平面直角坐标系中 ， 画出函数的图象，然后观察求解．
1 所以零点为 0 和－ . 2
考点探究讲练互动
例 1.设 f(x )＝ex＋x －4，则函数 f (x )的零点个数为 (
)
例 A． 11
C ．3
B．2 D．0
考点探究讲练互动
变式. 设 f (x )＝ex ＋x －4，则函数 f(x )的零点位于区间(
)
例 1 1，0) A． (－
C ．(1，2)
课堂小结
思考题: 是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1
在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存
在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解：∵Δ ＝ (3a－2)2－4(a－ 1)＞0，∴若实数 a 满足条件． 则只需 f(－1)· f(3)≤ 0 即可． f( － 1)· f(3) ＝ (1 － 3a ＋ 2 ＋ a － 1)· (9 ＋ 9a － 6 ＋ a － 1) ＝ 4(1 － 1 a)(5a＋ 1)≤ 0.所以 a≤－ 或 a≥ 1. 5 检验：(1)当 f(－1)＝0 时， a＝ 1.所以 f(x)＝x2＋ x. 令 f(x)＝0，即 x2＋x＝ 0，得 x＝0 或 x＝－1. 方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故 a≠1.
【规律小结】
判定函数零点个数的几种方法：
(1)直接做出函数图象，看它和x轴有几个交点就有几个零点
。 (2)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有 几个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的
个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的
零点 (4)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上 是连续不断的曲线，且f(a)· f(b)<0，还必须结合函数的图象与 性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
二次函数y＝ ax2＋bx＋c (a ＞0)的图象 (x1，0)， ______ (x2，0) ________ 两个
Δ＝0
Δ＜0
与x轴的交点 零点个数
(x1，0)或 (x2，0) 一个
无交点 零个
课前热身
1.函数f(x)＝x3－x的零点是________．
1 (2)当 f(3)＝0 时， a＝－ . 5 13 6 此时 f(x)＝x － x－ . 5 5
2
13 6 令 f(x)＝0，即 x － x－ ＝ 0， 5 5
2
2 解之得 x＝－ 或 x＝3. 5 方程在 [－1，3]上有两根，不合题意， 1 1 故 a≠－ .综上所述， a<－ 或 a>1. 5 5