考研数学(二)真题解析反常积分敛散性的判定

2016年考研数学(二)真题及答案解析完整版

2
故渐近线为 y x . 2
（10）极限
lim
n
1 n2
sin
1 n
2 sin
2 n
nsin
n n
.
【答案】 sin1 cos1
【解析】由 I
lim
n
n i 1
i sin
i n
1 n2
lim n i sin i 1 n n i1 n n
1
x sin xdx
0
x cos x |10
（A） AT 与 BT 相似. （B） A1 与 B1 相似.
（C） A AT 与 B BT 相似.
（D） A A1 与 B B1 相似.
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项.由 A 与 B 相似可知，存在可逆矩阵 P, 使得 P1AP B ，则 (1) (P1AP)T BT PT AT (PT )1 BT AT ~ BT , 故（A ）不选； (2) (P1AP)1 B1 P1A1P B1 A1 ~ B1，故（B）不选； (3)P1( A A1)P P1AP P1A1P B B1 A A1 ~ B B1, 故（D ）不选；此外，在（ C ）中，对于 P1( A AT )P P1AP P1AT P ，若 P1AP=B ，则
PT AT (PT )1 BT ，而 P1AT P 未必等于 BT ，故（C）符合题意.综上可知，（C）为正确选
项.
（8）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32) 2x1x2 2x2x3 2x1x3 的正负惯性指数分别
为1, 2 ，则( )
（A） a 1. （B） a 2. （C） 2 a 1. （D） a 1 或 a 2.

反常积分敛散性的判别

收敛,因此
a
f ( x ) g( x ) dx 收敛.
推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且
f ( x) lim c. x g ( x )
(i ) 若 0 c ，则
a
f ( x )dx 与
a
g( x )dx 收敛性相同;
(ii) 若c 0, 则由
中南财经政法大学
数学分析
§2 无穷积分的性质及收敛判别
本节讨论无穷积分的性质, 并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法. 一、无穷积分的性质二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法
一、无穷积分的性质
定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分
a

f ( x )dx 收敛的充要条件是: 0, G a ,
u2
b

b a
u2
u1
f ( x )dx .
性质1
设函数 f1 与 f 2 的瑕点同为 x a , k1 , k2
b a
为任意常数, 若 f1 ( x )dx 和 f 2 ( x )dx 都收敛, 则
1
u2
再由柯西准则的充分性, 证得

a
h( x )dx 收敛.
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a , ) 上的非负函数 f 在任何 [a , u] 上可积, 则
a

f ( x )dx 收敛的充要条件是: M 0, 使
u [a , ),

a
a
3c a 2 g( x )dx 收敛,从而 a f ( x )dx 收敛. f ( x) (ii) 由 lim 0, 存在 G a , 使 x G , 有 x g ( x ) f ( x) 1, g( x ) 即 f ( x ) g( x ), x [G , ), 因此由 g( x )dx 收敛

2016考研数学二真题和答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2017考研数学二之计算反常积分

2017考研数学二之计算反常积分反常积分是考研数学二的一个必考知识点，每一年至少会出一道题.关于这个知识点，可以理解成定积分的极限运算，记住第一章极限的相关知识和定积分的相关知识就可以解答。

首先一起来看一下今年的考题：以上是反常积分所有可能考到的知识点。

当然，有一年是个例外，2010年的一道选择题则考到了反常积分的审敛法。

对于这一点，有超纲的嫌疑，可以先不用管它。

好了，现在我们来看看。

所以,，①收敛，②发散，选B。

总结：对于反常积分的计算，一般来讲，把被积函数写出来，然后再求极限，极限存在那么就收敛，极限不存在就发散，并不需要用到反常积分的审敛法来出来。

当然了，立志于考130分以上的同学，可以学习一下反常积分的审敛法。

When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heart To dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin tx−1)=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),f(x)在x=0处无定义，且limx→0f(x)=limx→0e x=1,所以 x=0是f(x)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f(x)={xαcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,β>0).若f′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x)={αxα−1cos 1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有 f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，f−′(0)=0于是，f′(0)存在⟺α>1，此时f′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

反常积分的敛散性判定方法

XX财经大学本科学年堆文反常积分敛散牲的判定方法作者陈志强学院统廿与数学学院专世数学与应用数学年级2012级学号122094102 指导教师魏运导师职称蟄授最终成绩摘要 (1)关鍵词 (1)弓I 言一、预备知识......1•无穷限反常枳分2.暇枳分3•反常枳分的性质二、反常积分的收敛判别法1无穷枳分的收敛判别⑴•定义判别法(2)•比较判别法⑶嗣西圳别法⑷阿贝尔判别法.⑸•放利克雷判别法2瑕枳分的收敛判别⑴•定义列别法(2)•定理判别法(3)・比较判别法⑷•柯西判别法• ••••••...4卑屿01参考文献......在很多实际间题中，要突破枳分区同的有穷11和被枳函数的有界性，由此得到了定枳分的两种形式的推广：无穷限反常枳分和瑕枳分。

我们将这两种枳分貌称为反常枳分。

因为反常枳分涉及到一个收敛问题，所以反常枳分的敛散性判定就显得非常重要了。

本文将对反常枳分的敛散性判定进行I月纳总结，并给出了相关定理的込明，举例说明其应用，这样将有MTKffl灵活的运用各种等价定理利Bi反常枳分的敛散性。

关键词：反常枳分陨枳分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常枳分敛散性的判别方法做了研究并取得了许名重要的进展。

如华东IMX大学数学系编，数学分析（上IB ）,对反常枳分枳分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。

华中科枝大学出版的数学分折理论方法与技H,也对反常枳分敛散性判别做了库细的讲解，连用图形的方法说明其直义。

引申岀反常枳分敛散II的等价定义，并通ii例题说明其应用。

众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，逆对我现所研究的论文题目提fftTt量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文冷对其8H亍归纳总给,举例说明其应用。

一、预备知识1.无穷限反常秋分定义1.1设函数于（X ）在［a, +00）有定义，若/（X）在［a, A］上可枳（A>a ）rA 『8目当A-+OO时，［im［fZx存在，称反常枳分［fZx收敛，否则4—>oo Ja J a称反常枳分£/U^^£/（A>/X发散。

反常积分敛散性的判别

反常积分收敛散性的判别
反常积分又叫广义积分。

广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。

它不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。

反常积分收敛判别法规律：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。

反常积分是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

中业考研数学二真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()33123cos 1,ln 1,11a x x a x x a x =-=+=+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）反常积分①121,x e dx x -∞⎰②1201x e dx x+∞⎰的敛散性为（A ）①收敛②收敛（B ）①收敛②发散（C ）①收敛②收敛（D ）①发散②发散（4）设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点(5)设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有12()()()()A f x f x g x ≤≤ 21()()()()B f x f x g x ≤≤ 12()()()()C f x g x f x ≤≤ 21()()()()D f x g x f x ≤≤（6）已知函数(,)x e f x y x y=-，则''''''''()0()0()()x y x y x y x y A f f B f f C f f fD f f f-=+=-=+=（7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）（A ）T A 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（）（A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<<（D ）1a =或2a =-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲线()322arctan 11x y x x =+++的斜渐近线方程为（10）极限2112limsin 2sin sin n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭（11）以2xy x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为（12）已知函数()f x 在(),-∞+∞上连续，且()()()212xf x x f t dt =++⎰，则当2n ≥时，()()0n f =（13）已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。

反常积分收敛发散怎么判断

反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。

第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。

第四，题目声明的反常点。

第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。

第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。

那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。

(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。

(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。

第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。

第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。

zt8专题八关于反常积分敛散性的判别

专题八关于反常积分敛散性的判别积分区间为无限，或被积函数为无界的积分，称为广义积分，它们是定积分的推广．在这里，主要就它们的敛散性判别答疑．问题1：一元函数反常积分的判别法常见的有哪些内容？都有些什么特点？有些什么关系？答：一元函数反常积分包含无穷限的反常积分和无界函数反常积分，对于无界函数反常积分通过适当的代换就可以转化为无穷限的反常积分。

这里只就无穷限的反常积分进行叙述，对于无界函数反常积分，有类似的结果。

判定反常积分的敛散性要点如下：⑴如()0f x ³，且lim ()0x f x ?=，可考察x ?时无穷小量()f x 的阶，若阶数1l >，则反常积分()af x dx + ò收敛；1l £时发散．⑵若()0f x ³，可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断．⑶若()0f x ³，可考察()af x dx + ò是否有界．⑷以上()0f x ³的条件，只要对于充分大的()x x a ³能保持成立即可． ⑸因()af x dx + ò与()af x d x + -ò同时敛散，故对()0f x £有类似的方法．⑹若x ? 时()f x 无穷次变号，则以上判别法失效，可考虑用Abel 判别法或Dirichlet 判别法．⑺用Abel 判别法，与Dirichlet 判别法判定为收敛，只是()af x dx + ò本身收敛．至于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑()af x d x + ò收敛还是发散．⑻以上方法无效，还可考虑用Cauchy 准则来判断．或 ⑼用定义，看极限lim()AA af x d x ?ò是否存在．⑽用分部积分法，或变量替换法变成别的形式，看是否能判定它的敛散性． ⑾用级数方法判定积分的敛散性． ⑿用运算性质判断敛散性，例如：若()a f x dx + ò，()ag x d x + ò收敛，则()()()af xg x d x + ±ò亦收敛．若()af x dx + ò收敛，()ag x d x + ò发散，则()()()af xg x d x + ±ò亦发散．⒀对于无界函数反常积分，以上各条都有类似的结论，第⑴条要特别注意，对于无界函数反常积分而言，此条应是x 趋向奇点时，()f x 为无穷大量，若无穷大量的阶数1l <则积分收敛，若阶数1l ³则积分发散．问题2：无穷限的反常积分有一个无穷级数相对应，那么无穷限的反常积分()af x dx+ò收敛与li m ()0x f x ?=的关系是否有无穷级数1nn u ¥=å收敛与limn n u=这样的关系呢？答：无穷限的反常积分()af x dx + ò收敛与lim ()0x f x ?=的关系和无穷级数收敛，通项趋于0的关系有很大的不同。

2016考研数学二真题和答案及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2020年考研《数学(二)》各题考点分析

xx考研《数学(二)》各题考点分析一、选择题部分：前6题是高等数学部分内容：第1题，是关于高等数学第一章的无穷小量比阶数的问题，这类题在之前的考研试题中是经常出现的，这里就要求同学们一定要在我们学第一部分内容极限的时候，把有关等价无穷小量给看一看，特别是我们通过泰勒公式总结出来的那几个常用的等价无穷小量的替换，若是同学把我们之前讲过的这种等价无情小量替换，那么这题还是可以轻松过的。

第2题是有关原函数的问题，这部分是要知道原函数的概念的，别切要求我们知道哪些函数一定有原函数(连续函数)，哪些函数一定没有原函数的(含有可去、跳跃、无穷间断点的函数)。

第3题是关于一元函数积分学中的反常积分判别收敛问题，这部分是要求我们会计算反常积分和判别其收敛性的，关于反常积分的计算就把它当做定积分来计算即可，最把端点这取极限。

第4题是关于拐点和极值点的问题，此类题型我们在之前是做过的，这种给你某函数的图形问题来做题的，一定要对拐点、极值点以及渐近线问题做一个系统的总结，这样你自己会对这一部分内容有个深刻的了解，这样以后再做这种题目的时候能够很快的找到突破口，来处理相关的问题。

关于间断点、极值点、拐点以及渐近线是我们常考的小题型，希望同学们能够熟练掌握。

第5题考查的是曲率问题，此类问题属于边角问题，需要同学们在考试前一定要熟记曲率的公式，以及去曲率半径个求法等。

难度不大，主要是记忆不太方便，容易忘，这个很正常。

反复的去记住这些公式，考试时有时便会派上用场。

第6题选择题主要考察了多元函数偏导数的计算问题，本题数一般题型，算是比较基础的内容了，这个考生同学们一点那个要会。

选择题的后面两题是关于线性代数部分的内容：第7题是有关矩阵相似的问题，这题我们利用相似定义很快便可得出答案选C,关于矩阵相似的问题我们已经做过很多练习了，相对而言本题还是容易判别的。

第8题是有关二次型的问题。

一直一个一般二次型，其中有参数，结合二次型中的正负惯性指数来出题的，我们之地，求正负惯性指数可以通过配方法来做，也可以通过求其二次型矩阵的特征值来做。

两种反常积分敛散性的判别方法

两种反常积分敛散性的判别方法定理I 设"P 定义于「1•十•且在任何有械区间［lz ］上町积，则有 (i)竺/：：f V FV I 时*q 攵敛；(ii) 当pi 叭厂心皿发敬. 证寸N+ »便A 匕C « — 1 “订 (1)冈为!｛壬一J ' < r < l ，/(j) > 0 , J e ［1・十8).所以=j V(J ><U + J ：/(K 十 1〉ch 十…+ J ：7<4 +J ?-2)U Jx >d.r + J </(乂 }dx +…十J 严7丿心}山rA即F(A) = /(.r)d.r 在[E + oo>上单调递增有上界宀JI1 —J ( JT ) th ■收敛./(jJdj .由单调冇界性定理知Hm F(A)j*l -*4-™存柱.丙而⑹因为虫口・卜S 所必卄爪》"［V(j?>dj = i ： /(jr)d L i L4-/{jr)djr + **' + L)J 于 A f + 8 时 M -H- 8> /(j)dr4- HjJcir F 」1J 2/(.r >dj - /(J -+ l)d-rH ---- 1- /(JT + M —3)dx ]''J iLA (fl-2)■而 lim(^-2) /3(k =+8.故 \knF(A)不存在•因而 ■-*8 J ] A-*«比值判别锂的扱限形戌:f\L r)dr发散.推论I 设f")定文于JCHXO ，在任何有限区何［1』］上可积*且lim=r^- +era J I 龙丿⑴当A < I 时*£"/(x>(k 收埶 (ii)当 A > 1 HL 发散.1E 因为1血化+「= A +即V E >0.3M>0.当心M 时.有A -e <门；f V A +« ■⑴当A < 1时・取武=匕二 AOVMi A0・当，r>M t 时吊牛=古<1^<1 T 由定理(ii)当入〉1 时，取 e = ^-^>0* 3M t >0,当 JT >M J 时•有 f “ > 苇土 > 1 * 由定理-可编辑修改-1 知发散.f( r)I /< r)d.r =f(_r)dr +『八刃右 + (I)/( r)d r定理2 设J （-L >盧文于［l ・ + s>.屮丄，上0.11在枉何有限区何口“］上可积•如黑 2L L ±12I2<ii) 3> 0 I > 科*tn>r> 1 心皿收敛* 1 •则 /(j)dr 笈散./<x+l)-证 ⑴由丁 fJ ）宦义于［1”十=0）"仃）豪0・且mMAO,当』>W 时*有」［】一心、心+匸1-工由真数的黑嶽性却存在实数彷快!</><r, 畤hJ 沖—打•叩记）J * + *Lirn j *+*4一]11-(1-丄)——=史<1・所以3M>0,当Vf 时.寂 ------------------ -<】•即1_7<（］ _7）*⑵兰F 允分大吋.必仔杜q 旨尽.便% <M +】•由门〕亢池约穴再t/（j + “<（】—j /（J ） *< 3反貝应用d ）式得1 P 1 t 1 p+ 1） < p-y ）（】_77?7）…卩一扫）门丄‘，即/（.r + l ）<•曲于P>】加比较刿別范知J 「F2 + l ）cLr 收«t*因而J 「F （D 壮收散.<H> 若 3 xr > 0 .当kA 就时•有丁< 1 •则JQ + 1）鼻 ^―ty （j> *⑷■J -当丁充分览时.存在T ff e ［A^./VT + I ）.应旨应用（4）式得：J f| |、、」、一1 _r — 2 -r Q — 1 /（x + 1J > ---- ---- … ------ ”心»j 」—】 J （IEP 丿心+打步牛丄八如）”由比较判别仕知『「门工+ 1加工发散.因而「/（"dj 发触”推论2 设 2、世文于［1，+ oo>./（x>莎叭在任何右眼仪间［1.«］上可积•且皿匹「1 _尹：广「>］ = I •则<0> 1时骨f^JUOd-r 收敛骨J L 当< I 时fCr ）山农散.由以上m 如比值判别旅埋号护=】时先紅此时血用定理2进-步判别. 刚】求无穷积升［円”丁⑴丄的敛散性..lim r-►十y £Cr+jD /3(« _L | UTHll Kmb + ：弋 =-< 1 • fit [tl 推论1知对任您—无警积分j--»+w_/ tCr- d i 收敛、例2考緊J 一厂早士- <-« <的第散性.J ： j In J7 解令Inr = /^ f = J 諾亦.-L Af ±1)- <■芒厂宀广 -IA—丄比f77T -「怛戶吋石匸帀—戶* 披 ⑴当j^>l Bt*A <1 T 无力积分】=「咼匚收做.<<i)当p< I 吋J > I +无穷枳分I = I*舱亂(iii) 当/> = 1SJ . / = 也.故当1 N 收戏.当q< 1时发fit J r*的敛散性.i +77 解 lim W ： +L 「= lim1 +^ = 1 *比值网别法失瓶—严八1 + 4 + 1=lim ------------- ―^ ------- = 4~ V ] *上*少{ J 工 + ]_ + } ( 1 + J_r 丰 T) 2由推论2知「」_^昭发散.Jj1 十r+™ LTHANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书,学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

2016年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解【圣才出品】

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F
(
x)
(x x(ln
1)2 , x 1)
1,
x 1 x 1
为 f（x）的一个原函数。
3．反常积分①
0
1 x2
1
e x dx
，②
+ 0
1 x2
1
e x dx 的敛散性为（
）。
A．①收敛，②收敛
B．①收敛，②发散
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2016 年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．设
a1 x(cos x 1)
a2 x ln(1 3 x )
5 / 26
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内 F（x）≤0，也即 f1（x）≤f2（x）。同理设 G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在 x0 的某个邻域内 G（x）≤0，也即
fi（x）≤g（x）。综上，在 x0 的某个邻域内，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。
6．已知函数 f（x，y）＝ex/（x－y），则（）。 A．fx′－fy′＝0 B．fx′＋fy′＝0 C．fx′－fy′＝f D．fx′＋fy′＝f 【答案】D 【考点】偏导数的计算
【解析】因为所以，
5
a2 x ln(1 3 x ) ~ x 6
1 / 26
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a3
3
x
1
1
(1

反常积分的敛散性判别公式

反常积分的敛散性判别公式积分的敛散性判别公式是一种方法，用来判断积分在区间上是否收敛或散开。

它是一种基于微积分原理，可以应用于解决一般积分求解问题的有效方法，也可以帮助我们判断反常积分的敛散性。

反常积分的敛散性是指积分在区间上是否会收敛或散开。

积分的敛散性可以用定积分的敛散性公式来判断，它是由微积分学家Leibniz在17世纪末发明的，也被称为Leibniz公式。

它用来判断某一区间上积分的敛散性，它认为：如果某个区间上积分的结果收敛，那么积分的敛散性就是收敛的；如果某个区间上积分的结果散开，那么积分的敛散性就是散开的。

定积分的敛散性公式为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x$$其中，$a$和$b$是定义域的上下限，$f(x)$是被积函数，$x_k$是每一步的积分步长，$\Delta x$是步长大小，$n$是积分步长的次数，$k$为步长的索引号。

从定积分的敛散性公式可以看出，要判断反常积分的敛散性，就要对公式进行分析，要看$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x$的极限是否存在，如果存在，则积分收敛，反之，则积分散开。

另外，还可以使用反常积分的敛散性公式，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)\Delta x+\int_{a}^{b}\frac{\partial f(x)}{\partialx}\Delta x^2+\int_{a}^{b}\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}\Delta x^3+\cdots$$对这个公式进行分析，可以看出，如果反常积分的敛散性公式中的各项积分收敛，则反常积分的敛散性就是收敛的；如果反常积分的敛散性公式中的各项积分散开，则反常积分的敛散性就是散开的。

反常积分敛散性

用狄利克雷判别法判断是收敛的。此只是说明条件收敛的，下面证明
其不是绝对收敛。
sin x
sin 2 x
（若 x>0），而 sin 2 x 1 (1 cos 2x)
x
x
x 2x x
而积分 sin 2xdx 1sin 2xdx sin 2xdx
0x
0x
1x
但 0 不是积分
x)

lim (1
x) [ln(1
2
x)]m

0
x1

nx
x1—
（此处求极限有点麻烦，知道 x 1时， 1 是 ln(1-x)的高阶无穷大 1 x
就好做了），因此，瑕积分
1m 1 2
ln2 (1 nx
x) 收敛。
综上所述，选择 D。
注：因 x 1 ，所以要用(1-x)这样的正数代数式比较。此题是比
x x 1 x x
p
q x
(q p)
故 dx 仅当 q>1 即 max(p,q)>1 时收敛；
1 xp xq
综上所述，当 min(p,q)<1 且 max(p,q)>1 时，积分 dx 收敛。
0 xp xq
3 证明反常积分 sin xdx不是绝对收敛的。
1 2x x
而积分 1dx 发散，积分 cos2xdx 用狄利克雷判别法判断是收敛
1x
1x
的(类似判断 sin xdx的敛散性)。因此，积分 sin 2xdx 发散，而
0x
1x
sin x sin 2 x ，按照比较原则，
x
x
积分 sin x dx 发散，这就说明了反常积分 sin xdx不是绝对收敛。

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