7第七讲、弹性力学平面问题(课堂PPT)

v x
u y
s
fx fy
（2-21）
式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程
说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。
（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。
（3）按位移求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
E
1 2
E
1 2
应力边界条件：
l( x )s m( xy )s fx
（2-17）
x
E
1 2
u x
v y
y
E
1 2
v y
u x
（a）
m( y )s l( xy )s f y
将式（a）代入，得
xy
E 2(1
)
v x
u y
E
1
2
E
1 2
l
u x
v y
s
m
1
2
m
v y
u x
s
l
1
2
u y
v x
s
将几何方程代入，有
x
E
1 2
u x
v y
y
E
1 2
v y
u x
（a）
xy
E 2(1
)
v x
u y
E
来自百度文库
1 2
E
1 2
2u x2 2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy
fx fy
0 0
（2-20）
（2）将边界条件用位移表示
位移边界条件： us u , vs v
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
（2-18）
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出
y yx
水坝的应力边界条件。
左侧面： l 1, m 0 f x f y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s f x m( y )s l( xy )s f y
yx
x
y
y
fy 0
（2-2） 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程，从形变、形
变与应力的关系建立补充方程。
1、变形协调方程（相容方程）
将几何方程：
x
u x
,y
v y
,
xy
u y
v x
作如下运算： 2 x 3u
y2 xy2
2 y
x2
3v yx2
2 xy
xy
2u x2 2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy
fx fy
0 0
（2-20）
（2）边界条件：
位移边界条件： us u , vs v
（2-17）
应力边界条件：
E
1
2
E
1 2
l
u x
v y
s
m
1
2
m
v y
u x
s
l
1
2
u y
v x
1 E
(
y
x)
（2-15）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
（2-9）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移：
uvss
u v
（2-17）
xy
v x
u y
l( x )s m( xy )s fx 应力： m( y )s l( xy )s f y
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
§2-8 按位移求解平面问题
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
3. 物理方程
x
x
yx
y
fx
0
x
1 E
(
x
y)
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
y
形变分量与位移。
（3）混合求解
以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将， 并求出这些未知量，再求出其余未知量。
3、按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
x
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
（2-19）
xy
E 2(1
)
xy
将式(a)代入平衡方程，化简有
（2-18）ZS
2、弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、
v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与
形变分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分 量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
3. 物理方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
（2-9）
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
（2-15）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移： 应力：
uvss
u v
（2-17）
弹性力学
主讲 ：张 盛 能源科学与工程学院
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
ZS
上讲回顾（引言）
§2-5 物理方程
弹性模量， 泊松比
§2-6 边界条件
应力边界，位移边界，混合边界
§2-7 圣维南原理
静力等效， 原理应用
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
s
v x
u y
s
fx
（2-21）
fy
§2-9 按应力求解平面问题
相容方程
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
按应力求解平面问题的未知函数： x (x, y), y (x, y), xy (x, y)
平衡微分方程：
x
xy
x y
fx 0
y
)
y0
x
dx
P
h 2
sin
x
h
Fx 0
h
yx
dx P cos
y0
0
yx
y
h
( h
yx ) y0dx
P
cos
y
注意： y , xy
可见，与前面结果相同。
必须按正向假设！
本讲主要内容
§2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程
（重点） §2-10 常体力情况下的简化
h
h ( yx ) y0dx P cos
注意： y , xy
必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0
h
h
y
dx
y0
P sin
0
h
h
y
dx P sin
y0
M O 0
h h
y
xdx
y0
P h sin 0
2
P
h h
(
x xh 0
xy
xh
0
右侧面： l 1, m 0 f x y, f y 0
代入应力边界条件公式，有
x xh y
xy xh 0
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
h
y方向力等效：
h
(
y
)
dx
y0
P
sin
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效：