材料力学第八章组合变形
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上两式只适用于 弯，扭 组合变形下的 圆截面杆。
例
P1
80ºP2 z
x
A 150
B 200 C 100 D
y
P1
80ºP2 z
建立图示杆件的强度条件
A 150 P1
A 150
第八章 组合变形
§8–1 概述 §8–2 斜弯曲 §8–3 弯曲与扭转 §8-4 拉(压)弯组合 偏心拉（压） 截面核心
§8–1 概述
组合变形——杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基 本变形的情况。
P
P
z
R
x
M
y
P
P q
hg
水坝
例如：（a)厂房边柱
M
压（拉）弯组F合N
矩形截面梁斜弯曲
(M
2
)
4(
T
2
)
W
Wt
M2T2 W
r4
2 32
(M
2
)
3(
T
2
)
W
Wt
M 2 0.75T 2 W
r3
2 42
(
M
2
)
4
(
T
2
)
W
Wt
M2T2 W
r4
2 32
(
M
2
)
3(
T
2
)
W
Wt
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩 和扭矩。
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m MZ
z
My
y
m
MZ = P2 (x-a) （使梁在 XY 平面内弯曲，z 为中性轴）
梁横截面上的应力分析 （任意点 C(y, z) 的正应力）
m MZ
z
My
y
m
z
o
MZ
C ( y,z )
My
y
m
z
My
y
m
m MZ
z
y
m
z
o
MZ
C ( y,z )
My
y
与 My 相应的正应力为
的平面弯曲。
Pz
zj
Py P
y
z y
x
Pz
Py
P
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
z y
Pz
Py
P
x
Pz
zj
Py P
y
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 Py Psinj
2.研究两个平面弯曲 ① 内
M z Py (Lx)
P( Lx)sinj
力
M sinj
m
M y M cosj
A
P
Pl
画内力图确定危险截面 固定端为危险截面
m
A m
二、 应力分析 危险截面上的最大弯曲
A截面 C1
正应力 发生在C1 、C2 处
最大扭转剪应力 发生在截面
周边上的各点处。
危险点为 C1 和 C2
C3
C3
பைடு நூலகம்
C4
C2
C1
T
C3 C4
C2
C1
T
C4
C2
对于许用拉、压应力相等的 塑性材料制成的杆这两点的 危险程度是相同的。 可取任 一点C1 来研究。
C1 点处于平面应力状态
A截面 C1
C3 C4
C2
C1
T
C3 C4
C2
C1
三、强度分析 1、主应力计算
C1
2
1 3
2
() 2
2
2
1 2
4 2
2
2 0
1 3
2
(
2
)
2
1
2
22
2 42
2 0
2、 相当应力计算
第三强度理论,计算相当力
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2
第四强度理论,计算相当应力
r4 2 3 2
3、 强 度计算
C1
r
讨论
1
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2 r4 2 3 2
C1
该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
梁任意横截面上的内力分析 P2 a z x
P1
y
P1 使梁在 XZ 平面内弯曲（y 轴为中性轴） P2 使梁在 XY 平面内弯曲（z 轴为中性轴）
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
z
My
y
m
P1 和 P2在 m—m 面内产生的弯矩为 My = P1 x （使梁在 XZ 平面内弯曲，y 为中性轴）
Py
y
LP
Py
LP y
§8 —4扭转与弯曲
研究对象：圆截面杆 受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。 变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。
P
B
C
AL
P
一、 内力分析
A
B
L
设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。
A
B
研究AB杆的内力。
P
A
B
L
m
x
A
B
P
将力 P 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得 横向力： P （引起平面弯曲） 力偶矩： m = Pa （引起扭转） AB 杆为弯扭组合变形
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2 r4 2 3 2
C1
可以是弯扭组合变形中由弯曲产生的正应力； 也可以是 拉（压）与扭转组合变形中由拉（压）产生的正应力； 还可以是弯曲，拉（压）与扭转组合变形中由弯曲与拉（压） 产生的正应力。 是由扭转变形引起的剪应力。
Pz Pcosj
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
② 应
My引起的应力：
M y zM zcosj
Iy
Iy
力
M z引起的应力：
M z yM ysinj
Iz
Iz
合应力： m
M ( z cosj y sinj )
Iy
Iz
x
Pz
zj
z
x
m Pz
' M y z
Iy
与 Mz 相应的正应力为
" M z y
Iz
m MZ
z
My
y
m
z
o
MZ
C ( y,z )
My
y
C 点处的正应力为
σ σ 'σ " My z Mz y
Iy
Iz
§8–2 斜弯曲 一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横
向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交
例如：（b）坡屋顶上的横梁 斜弯曲
弯扭组合变形
例如：（c）传动轴 M
F1 F2 弯扭组合
分析方法：在线弹性范围，采用叠加原 理，先分解成基本变形，然后将同一点 的应力叠加 。
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理(位移、应 力、应变、和内力等与外力成线性关系)
①外力分析：外力向形心简化 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2 r4 2 3 2
C1
该公式适用于 弯，扭 组合变形；拉（压）与扭转 的组合变形； 以及 拉（压），扭转 与 弯曲 的组合变形。
2 对于圆形截面杆有
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
2 42
例
P1
80ºP2 z
x
A 150
B 200 C 100 D
y
P1
80ºP2 z
建立图示杆件的强度条件
A 150 P1
A 150
第八章 组合变形
§8–1 概述 §8–2 斜弯曲 §8–3 弯曲与扭转 §8-4 拉(压)弯组合 偏心拉（压） 截面核心
§8–1 概述
组合变形——杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基 本变形的情况。
P
P
z
R
x
M
y
P
P q
hg
水坝
例如：（a)厂房边柱
M
压（拉）弯组F合N
矩形截面梁斜弯曲
(M
2
)
4(
T
2
)
W
Wt
M2T2 W
r4
2 32
(M
2
)
3(
T
2
)
W
Wt
M 2 0.75T 2 W
r3
2 42
(
M
2
)
4
(
T
2
)
W
Wt
M2T2 W
r4
2 32
(
M
2
)
3(
T
2
)
W
Wt
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩 和扭矩。
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m MZ
z
My
y
m
MZ = P2 (x-a) （使梁在 XY 平面内弯曲，z 为中性轴）
梁横截面上的应力分析 （任意点 C(y, z) 的正应力）
m MZ
z
My
y
m
z
o
MZ
C ( y,z )
My
y
m
z
My
y
m
m MZ
z
y
m
z
o
MZ
C ( y,z )
My
y
与 My 相应的正应力为
的平面弯曲。
Pz
zj
Py P
y
z y
x
Pz
Py
P
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
z y
Pz
Py
P
x
Pz
zj
Py P
y
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 Py Psinj
2.研究两个平面弯曲 ① 内
M z Py (Lx)
P( Lx)sinj
力
M sinj
m
M y M cosj
A
P
Pl
画内力图确定危险截面 固定端为危险截面
m
A m
二、 应力分析 危险截面上的最大弯曲
A截面 C1
正应力 发生在C1 、C2 处
最大扭转剪应力 发生在截面
周边上的各点处。
危险点为 C1 和 C2
C3
C3
பைடு நூலகம்
C4
C2
C1
T
C3 C4
C2
C1
T
C4
C2
对于许用拉、压应力相等的 塑性材料制成的杆这两点的 危险程度是相同的。 可取任 一点C1 来研究。
C1 点处于平面应力状态
A截面 C1
C3 C4
C2
C1
T
C3 C4
C2
C1
三、强度分析 1、主应力计算
C1
2
1 3
2
() 2
2
2
1 2
4 2
2
2 0
1 3
2
(
2
)
2
1
2
22
2 42
2 0
2、 相当应力计算
第三强度理论,计算相当力
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2
第四强度理论,计算相当应力
r4 2 3 2
3、 强 度计算
C1
r
讨论
1
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2 r4 2 3 2
C1
该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
梁任意横截面上的内力分析 P2 a z x
P1
y
P1 使梁在 XZ 平面内弯曲（y 轴为中性轴） P2 使梁在 XY 平面内弯曲（z 轴为中性轴）
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
z
My
y
m
P1 和 P2在 m—m 面内产生的弯矩为 My = P1 x （使梁在 XZ 平面内弯曲，y 为中性轴）
Py
y
LP
Py
LP y
§8 —4扭转与弯曲
研究对象：圆截面杆 受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。 变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。
P
B
C
AL
P
一、 内力分析
A
B
L
设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。
A
B
研究AB杆的内力。
P
A
B
L
m
x
A
B
P
将力 P 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得 横向力： P （引起平面弯曲） 力偶矩： m = Pa （引起扭转） AB 杆为弯扭组合变形
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2 r4 2 3 2
C1
可以是弯扭组合变形中由弯曲产生的正应力； 也可以是 拉（压）与扭转组合变形中由拉（压）产生的正应力； 还可以是弯曲，拉（压）与扭转组合变形中由弯曲与拉（压） 产生的正应力。 是由扭转变形引起的剪应力。
Pz Pcosj
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
② 应
My引起的应力：
M y zM zcosj
Iy
Iy
力
M z引起的应力：
M z yM ysinj
Iz
Iz
合应力： m
M ( z cosj y sinj )
Iy
Iz
x
Pz
zj
z
x
m Pz
' M y z
Iy
与 Mz 相应的正应力为
" M z y
Iz
m MZ
z
My
y
m
z
o
MZ
C ( y,z )
My
y
C 点处的正应力为
σ σ 'σ " My z Mz y
Iy
Iz
§8–2 斜弯曲 一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横
向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交
例如：（b）坡屋顶上的横梁 斜弯曲
弯扭组合变形
例如：（c）传动轴 M
F1 F2 弯扭组合
分析方法：在线弹性范围，采用叠加原 理，先分解成基本变形，然后将同一点 的应力叠加 。
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理(位移、应 力、应变、和内力等与外力成线性关系)
①外力分析：外力向形心简化 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
σ r3 σ1 σ3 σ 2 4τ 2 r4 2 3 2
C1
该公式适用于 弯，扭 组合变形；拉（压）与扭转 的组合变形； 以及 拉（压），扭转 与 弯曲 的组合变形。
2 对于圆形截面杆有
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
2 42