初中数学九年级下册解题技巧专题：圆中辅助线的作法

解题技巧专题：圆中辅助线的作法

——形成思维模式，快速解题

◆类型一遇弦添加弦心距或半径

1．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E.若AB＝24，OE＝5，则⊙O的半径为( )

A．15 B．13 C．12 D．10

第1题图第2题图

2．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm.

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，求AC的长．

◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角

4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为( )

A．30°B．45°C．60°D．70°

第4题图 第5题图

5．如图，BC 为半圆O 的直径，A ，D 为半圆上两点，AB ＝3，BC ＝2，则∠D 的度数为________度．

6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E.

(1)求证：BE ＝CE ；

(2)若∠B ＝70°，求DE ︵的度数；

(3)若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长．

◆类型三 遇切线连接圆心和切点

7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P ＝40°，则∠D 的度数为________．

8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，求DM 的长．

参考答案与解析

1．B 2.10

3．解：连接OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .∵OA ＝OC ，OD ⊥AC ，∴∠AOD

＝∠COD ＝12

∠AOC .又∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠COD ＝∠B ＝60°.在Rt △COD 中，OC ＝4，∠COD ＝60°，∴CD ＝OC ·sin ∠COD ＝23，∴AC ＝2CD ＝4 3.

4．C 5.150

6．(1)证明：连接AE .∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC ＝90°，∴AE ⊥BC .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .

(2)解：连接OD ，OE .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°，

∴∠DOE ＝2∠DAE ＝40°，∴DE ︵的度数为40°.

(3)解：连接CD .由(1)可知BE ＝CE ，∴BC ＝2BE ＝6.设AB ＝AC ＝x ，则AD ＝AB －BD ＝x －2.∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝62－22＝32.在Rt △ADC 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(x －2)2＋32＝x 2，解得x ＝9，即AC 的长为9.

7．115°

8．解：连接OE ，OF ，ON ，OG .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4.∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，OE ＝OF ＝OG ，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ，∴CM ＝BC －BG －MG ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝42＋(3－MN )2，∴MN ＝43，∴DM ＝3＋43＝133.