复旦大学数学分析答案

复旦大学数学分析答案

【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】

s=txt>一．填空题

xln(1?x)

=_____

x?01?cosx

y(1?x)

(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程

x

（1）lim（3）设

?

是锥面

(0?z?1)的下侧，则

?

??xdyd?z2

ydz?d3x(?1z)d?xdy____

(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21?

?,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____

??12?

(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题

（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在

x

，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点

x

处对应的增量与微分，若

?x?0，则（）

（a）0?dx??y （b）0??y?dy （c）?y?dy?0 （d）dy??y?0 （2）设f(x,y)为连续函数，则（a

）（c

）

?

?

d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）

1

n

xf(x,y)dy（b

）

0f(x,y)dy f(x,y)dx

0y

f(x,y)dx（d

）0

（3）若级数

?a

n?1?

?

收敛，则级数（）

（a）

?a

n?1?

n

收敛（b）

?(?1)a收敛

nn

n?1?

?

（c）

?anan?1收敛（d）?

n?1

an?an?1

收敛 2n?1

（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在

约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则

fy(x0,y0)?0 （c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （d）若

fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0

（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）

若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｄ）

若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性无关

（６）设Ａ是３阶矩阵，将a的第2列加到第1列上得b，将b的第一列的?1倍加到

?110?

??

第2列上得c，记p??010?，则（）

?001???

（a）c?pap（b）c?pap （c）c?pap（d）c?pap

（7）设a，b为随机事件，p(b)?0，p?a|b??1,则必有（）（a）p?a?b??p(a)（b）p?a?b??p(b) （c）p(a?b)?p(a)（d）

p(a?b)?p(b)

2

（8）设随机变量x服从正态分布n(?1,?1)，y服从正态分布

n(?2,?2)，且

2

t

t

?1

?1

p{x??1?1}?py??2?1}，则（）

（a）?1??2 （b）?1??2 （c）?1??2 （Ｄ）?1??2

三、简答题

（1）设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0}，计算二重积分i?

1?xy

22??1?x?yd

（2）设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn（n=1,2?）,求：（i）

证明limxn存在，并求之

x??

1

（ii）

?xn?1?xn2

计算lim?? x??

?xn?

（3）设函数f(u)在（0，?

）内具有二阶导数，且z?f满足等式

?2?0 2

?x?y

（i）

f(u)

?0 验证f(u)?u

（ii）

若f(1)?0,f(1)?1，求函数f(u)的表达式

（4）设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)是有连续偏导数，且对任意

2

的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)

证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有

?

l

yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0

（5）已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1?

?4x1?3x2?5x3?x4??1有３个线性无关的解

?ax?x?3x?bx?1

34?12

（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 r(a)?2 （ii）求 a , b 的值及方程

组的通解

（6）设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3，向

量?1?(?1,2,?1)t，?2?(0,?1,1)t

实线性方程组ax?0的两个解，（i）求a的特征值与特征向量（ii）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得qaq?a

t

?1

?2,?1?x?0??1

（7）随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二

维随机变

?4

?0,其他??

量(x,y)的分布函数

（Ｉ）求Ｙ的概率密度fy(y) (ii)f??

?1?