金融工程学期货第三章远期和期货的定价
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广东金融学院金融工程课件第三章远期与期货定价
（二）复利 复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A 以 利率r 投资了n 期，投资的终值是：
F A1rn
(1+r)n也称为复利终值系数。
例 假设某投资者将1000元存入银行，存期5年，年利率10％，按年 复利计息，5年后的终值是1000×(1+10％)5＝1610.51元。
（三）连续复利
• 令已知现金收益的现值为I ，对黄金、白
支付已知现金收益资产的远期价 值I
• 构建组合：
组合A ： 一份远期合约多头加上一
笔数Ke额r(Tt为)
的现金。
组合B ： 一单位标的证券加上利率 为无风险利率、期限为从现在到现金收益
派发日、本金为I 的负债。
• 远期合约到期时，两组合都等于一单位标 的资产： fKre(Tt)SI
资产
率，利率远期或外汇远期
(2)股票指数
无收益资产的远期价值I
•
无收益资产是指在远期到期前不产生
现金流的资产，如贴现债券。
•
构建组合：
组合A ： 一份远期合约多头加上一笔
数额K为er(Tt)
的现金（无风
险投资）
组合B ： 一单位标的资产。
无收益资产的远期价值II
• 远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产，因此 现值必须相等。
• 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无 收益资产而言，远期价格等于其标的资产 现货价格的无风险终值。
S
Ser(T-t)
t
T
反证法
• 运用无套利原理对无收益资产的现货-远期 平价定理的反证
– KSre(Tt)? – KSre(Tt)?
案例3.1 I
• 6 个月期的无风险年利率为4.17% 。市场 上正在交易一份标的证券为一年期零息债、 剩余期限为6 个月的远期合约多头，其交 割价格为970 元，该债券的现价为960 元。 请问对于该远期合约的多头和空头来说， 远期价值分别是多少？
金融工程3-远期与期货定价
风险管理的研究
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
感谢您的观看
THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
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THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。
金融工程期货和远期价格
Se
r ( T t )
F
*
25
例：期限为3个月的股票远期合约的价格为39 美元。3个月后到期的无风险年利率为5%， 股票当前价格为40美元，不付红利。 ①判断： Ser(T t) 40e 0.053 / 12 40.50 39 期货价格被低估 ②套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月 的投资，同时持有3个月后买进股票的远期合 约。3个月后，收回投资，本利和为40.50美 元，交割远期合约得股票并支付价款39美元， 将所得股票用于现货空头的平仓。因此，套 利者在3个月后净盈利
14
（七）远期价格和期货价格 1、从利率角度： （1）当无风险利率恒定，且对所有到期日都 不变时，两个交割日相同的远期合约和期货 合约有相同的价格。所以以下关于远期合约 定价和套利的结论同样适用于相应的期货合 约。
15
（2）当利率变化无法预测时(正如现实世界 中的一样)，远期价格和期货价格从理论上来 讲就不一样了。我们对两者之间的关系能有 一个感性认识。 ①标的资产价格S与利率高度正相关。 期货：当S上升时，一个持有期货多头头寸的 投资者会因每日结算而立即获利。由于S的上 涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润 将会以高于平均利率的利率进行投资。 当S下跌时，投资者立即亏损。亏损将以低于 平均利率水平的利率融资。
22
（二）、不支付收益证券远期（期货）合约 的套利 以F*表示远期合约的实际市场价格 1、如果F*>F，即说明远期合约价格相对于 现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进 现货。因此，投资者以无风险利率借S美元， 期限为T-t，用来购买证券现货，同时卖出远 期合约。在时刻T，用购买的现货交割到期的 远期合约，得价款F*，同时归还借款本利和 为Ser(T-t）。因此，套利利润为
第三章远期与期货定价
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案例3.1
2007年8月31日，美元6个月期的无风 险年利率为4.17%。市场上正在交易一 份标的证券为一年期贴现债券、剩余 期限为6个月的远期合约多头，其交割 价格为970美元，该债券的现价为960 美元。请问对于该远期合约的多头和 空头来说，远期价值分别是多少？
第三章远期与期货定价
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案例3.1
远期价值f指远期合约本身的价值，是远期 合约能为交易者带来的价值。在规定的交 易期限内远期价值会变化。
第三章远期与期货定价
5
在规定交割价格时遵从的原则是，应使远期合约 的价值为零，即远期价格=交割价格，否则会出现 套利机会。即K=F(t，T)
在交易双方签署远期合约时，若交割价格等于远 期理论价格，则此时远期合约价值为零。但随着 时间推移，远期合约的理论价格F会随着相关因素 的变化而改变，而原有远期合约的交割价格K不 变，因此，原有远期合约的价值f就不可能再为零 了。
无收益资产是指在远期到期前不产生 现金流的资产，如贴现债券。
构建组合：
第三章远期与期货定价
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无收益资产的远期价值II
远期合约到期时，两种组合都等于一 单位标的资产，因此现值必须相等。
第三章远期与期货定价
14
无收益资产的远期价值III
两种理解：
无收益资产远期合约多头的价值等于标 的资产现货价格与交割价格现值的差额 。
第三章远期与期货定价
45
同一时刻远期（期货）价格与标的 资产现货价格的关系
无套利条件下同一时刻金融远期价格与标的资 产现货价格的关系必须满足
第三章远期与期货定价
46
同一时刻远期（期货）价格与标的 资产现货价格的关系
同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 即期货与现货价格谁高谁低，取决于持有成 本的高低，在远期到期日，远期价格将收敛 于标的资产的现货价格。
Chapter 3：远期与期货定价
12
13
无套利定价法的基本思路为：
构建两种投资组合，令其终值相等， 则其现值一定相等；否则就可进行套利，即 卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的 投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取 无风险收益。大量套利行为将使较高现值的 组合价格下降，而较低现值的组合价格上升， 直至套利机会消失，此时两组合的现值相等。
4
类似地，在期货合约中，我们定义期货 价格（Futures Prices）为使得期货合约价值 为零的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说， 一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。 基于期货的交易机制，投资者持有期货合约， 其价值的变动来源于实际期货报价的变化。 由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏， 因此期货合约价值在每日收盘结算后都归零。
28
29
为了给支付已知收益率资产的远期定价， 我们可以构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke r (T t ) 的现金； 组合B： e q (T t ) 单位证券并且所有收入都再投资 于该证券，其中q 为该资产按连续复利 计算的已知收益率。 组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证 券，拥有的证券数量随着红利的不断发放而增 加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。
19
为了证明无收益资产的现货-远期平价定 理 ，我们用反证法证明等式不成立时的情形是 不均衡的。 若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格 的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险 利率r 借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一 单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合 约，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将 一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还 借款本息Se r（T－t），这就实现了 K－Ser（T－t） 的无风险利润。
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无套利定价法的基本思路为：
构建两种投资组合，令其终值相等， 则其现值一定相等；否则就可进行套利，即 卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的 投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取 无风险收益。大量套利行为将使较高现值的 组合价格下降，而较低现值的组合价格上升， 直至套利机会消失，此时两组合的现值相等。
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类似地，在期货合约中，我们定义期货 价格（Futures Prices）为使得期货合约价值 为零的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说， 一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。 基于期货的交易机制，投资者持有期货合约， 其价值的变动来源于实际期货报价的变化。 由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏， 因此期货合约价值在每日收盘结算后都归零。
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为了给支付已知收益率资产的远期定价， 我们可以构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke r (T t ) 的现金； 组合B： e q (T t ) 单位证券并且所有收入都再投资 于该证券，其中q 为该资产按连续复利 计算的已知收益率。 组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证 券，拥有的证券数量随着红利的不断发放而增 加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。
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为了证明无收益资产的现货-远期平价定 理 ，我们用反证法证明等式不成立时的情形是 不均衡的。 若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格 的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险 利率r 借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一 单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合 约，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将 一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还 借款本息Se r（T－t），这就实现了 K－Ser（T－t） 的无风险利润。
第三章远期与期货定价
2007年9月20日，美元3个月期无风险年利率为 3.77%，S&P500指数预期红利收益率为1.66%。当 S&P500指数为1518.75点时，2007年12月到期的 S&P500指数期货SPZ7相应的实际价钱应为多少？
案例3.5 支付现金收益资产的期货价钱
假定黄金现价为每盎司733美元，其存储本 钱为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年 期无风险利率为4%。那么一年期黄金期货的实 际价钱为：
F=〔S-I〕er(T-t) =〔733-I〕*e4%*1 其中，I=-2*e-4%*1 =-1.92，故： F=〔733+1.92〕*e4%*1 =764.91美元/盎 司
Ke-r〔T－t〕er〔T－t〕 =K。
在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单
位标的资产。这样，在T时辰，两种组合都等于一单位标的资
产。依据无套利原那么：终值相等，那么其现值一定相等，
这两种组合在t时辰的价值必需相等。
即：
f+ Ke-r〔T－t〕பைடு நூலகம்S
f=S－Ke-r〔T－t〕
〔3.1〕
该公式说明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的
期合约，假设标的资产以后的市场价钱〔S〕为
15元，市场无风险延续复利率〔r〕为10%，那
么关于多头来说，该远期合约的价值就为〔15-
10*e-10%*1〕*100=595元。关于空头来说，
该远期合约价值就为-595元。
远期价钱〔forward price〕：指使一个远期合 约价值为零的交割价钱。
第三章远期与期货定价
2021年7月24日星期六
第一节 远期价钱与期货价钱
一、远期价值、远期价钱与期货价钱
案例3.5 支付现金收益资产的期货价钱
假定黄金现价为每盎司733美元，其存储本 钱为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年 期无风险利率为4%。那么一年期黄金期货的实 际价钱为：
F=〔S-I〕er(T-t) =〔733-I〕*e4%*1 其中，I=-2*e-4%*1 =-1.92，故： F=〔733+1.92〕*e4%*1 =764.91美元/盎 司
Ke-r〔T－t〕er〔T－t〕 =K。
在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单
位标的资产。这样，在T时辰，两种组合都等于一单位标的资
产。依据无套利原那么：终值相等，那么其现值一定相等，
这两种组合在t时辰的价值必需相等。
即：
f+ Ke-r〔T－t〕பைடு நூலகம்S
f=S－Ke-r〔T－t〕
〔3.1〕
该公式说明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的
期合约，假设标的资产以后的市场价钱〔S〕为
15元，市场无风险延续复利率〔r〕为10%，那
么关于多头来说，该远期合约的价值就为〔15-
10*e-10%*1〕*100=595元。关于空头来说，
该远期合约价值就为-595元。
远期价钱〔forward price〕：指使一个远期合 约价值为零的交割价钱。
第三章远期与期货定价
2021年7月24日星期六
第一节 远期价钱与期货价钱
一、远期价值、远期价钱与期货价钱
金融工程学期货第三章远期和期货的定价
远期价格与远期价值
• 我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期 价格。
• 远期价格是跟标的物的现货价格紧密相联的，而远 期价值则是指远期合约本身的价值，它是由远期实 际价格与远期理论价格的差距决定的。
• 在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则 此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价 格有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改 变，因此原有合约的价值就可能不再为零。
T
t
1
r
T
*
T
Hale Waihona Puke 1 r*T * t
连续复利
• 假设数额A以利率R投资了n年。如果利息 按每一年计一次复利，则上述投资的终
值为：
A1 Rn
•
如果每年计m次复利，则终值为：A
1
R m
mn
• 当m趋于无穷大时，就称为连续复利
（Continuous compounding），此时的终
值为
lim
m
A
1
• 若F<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格 的终值。套利者就可进行反向操作，即卖
空标的资产，将所得收入以无风险利率进
行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的
资产的远期合约，交割价为F。在T时刻， 套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金
购买一单位标的资产，用于归还卖空时借 入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利
第三章：远期和期货的定价
远期和期货市场概述
• 远期合约（Forward Contracts）是指双方约定在 未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数 量的某种商品（或金融资产）的合约。
• 如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期 相同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约 的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本 就可处于远期合约的多头或空头状态。
第三章_远期与期货定价
13
一份交给社会，事事带头作榜样;另一 份留给 自己， 回首往 事，觉 得生命 无悔;这 第三份 吗，要 交给党 ，看看 我们是 否不忘 初心， 牢记使 命
案例3.1 无收益资产远期合约的价值
2007年8月31日，美元6个月期的无风险年利率为 4.17%，市场上正在交易一份标的证券为一年期贴现债券、 剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为970美元， 该债券的现价为960美元。请问对于该远期合约的多头和 空头来说，远期价值分别是多少？
即：
f+ Ke-r（T－t）=S
f=S－Ke-r（T－t）
（3.1）
该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标
的资产现货价格与交割价格现值的差额。
12
一份交给社会，事事带头作榜样;另一 份留给 自己， 回首往 事，觉 得生命 无悔;这 第三份 吗，要 交给党 ，看看 我们是 否不忘 初心， 牢记使 命
1.3.2 基本符号 T：远期和期货合约的到期时间，单位为年； t：现在的时间，单位为年； S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格； ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格； K：远期合约中的交割价格； f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值； F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理
一、支付已知现金收益资产的远期价值
仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的 远期合约定价。现构建如下两个组合： （1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为
Ke -r（T－t）的现金； （2）组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、 期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I的负债。 [以无风险利率借I数额的资金（约翰·赫尔）] ☆
不同，远期价值是远期合约本身的价值，而远 期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未 来的交割价格。
一份交给社会，事事带头作榜样;另一 份留给 自己， 回首往 事，觉 得生命 无悔;这 第三份 吗，要 交给党 ，看看 我们是 否不忘 初心， 牢记使 命
案例3.1 无收益资产远期合约的价值
2007年8月31日，美元6个月期的无风险年利率为 4.17%，市场上正在交易一份标的证券为一年期贴现债券、 剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为970美元， 该债券的现价为960美元。请问对于该远期合约的多头和 空头来说，远期价值分别是多少？
即：
f+ Ke-r（T－t）=S
f=S－Ke-r（T－t）
（3.1）
该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标
的资产现货价格与交割价格现值的差额。
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一份交给社会，事事带头作榜样;另一 份留给 自己， 回首往 事，觉 得生命 无悔;这 第三份 吗，要 交给党 ，看看 我们是 否不忘 初心， 牢记使 命
1.3.2 基本符号 T：远期和期货合约的到期时间，单位为年； t：现在的时间，单位为年； S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格； ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格； K：远期合约中的交割价格； f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值； F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理
一、支付已知现金收益资产的远期价值
仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的 远期合约定价。现构建如下两个组合： （1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为
Ke -r（T－t）的现金； （2）组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、 期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I的负债。 [以无风险利率借I数额的资金（约翰·赫尔）] ☆
不同，远期价值是远期合约本身的价值，而远 期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未 来的交割价格。
第3章远期与期货定价.pptx
第三章 远期与期货定价
目录
预备知识 远期合约的定价 远期与期货价格的一般结论 远期（期货）价格与标的资产现货价格的
关系
投资性资产与消费性资产
投资性资产（Investment Assets）
此类资产的主要持有者以投资为目的 可能部分持有者以消费为目的 代表性资产：股票、债券、黄金等
消费性资产（Consumption Assets）
案例3.1 II
根据题意，有 S = 960, K = 970, r = 4.17%, T − t = 0.5
则根据式（3.1），该远期合约多头的远期 价值f为：
该远期合约空头的远期价值为 −f = −10.02美元
远期价格的期限结构
远期价格的期限结构描述的是不同期限远 期价格之间的关系。
已知现金收益的资产
主要符号I
T： 远期和期货合约的到期时刻，单位为 年。
t： 当前时刻，单位为年。T − t代表远期 和期货合约中以年为单位的距离到期的剩 余时间。
S： 远期（期货）标的资产在时间t时的价 格。
ST： 远期（期货）标的资产在时间T时的 价格（在t时刻此为未知变量）。
主要符号II
K： 远期合约中的交割价格。 f： 远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻
那么一年期黄金期货的理论价格为
支付已知收益率的资产
支付已知收益率的资产
在远期到期前将产生与该资产现货价格成一定 比率的收益的资产
支付已知收益率资产的远期合约
外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率 股指期货：市场整体水平的红利率 远期利率协议：本国的无风险利率
支付已知收益率的资产I
建立组合：
两种组合现值相等：
使得远期价值为零的合理交割价格
目录
预备知识 远期合约的定价 远期与期货价格的一般结论 远期（期货）价格与标的资产现货价格的
关系
投资性资产与消费性资产
投资性资产（Investment Assets）
此类资产的主要持有者以投资为目的 可能部分持有者以消费为目的 代表性资产：股票、债券、黄金等
消费性资产（Consumption Assets）
案例3.1 II
根据题意，有 S = 960, K = 970, r = 4.17%, T − t = 0.5
则根据式（3.1），该远期合约多头的远期 价值f为：
该远期合约空头的远期价值为 −f = −10.02美元
远期价格的期限结构
远期价格的期限结构描述的是不同期限远 期价格之间的关系。
已知现金收益的资产
主要符号I
T： 远期和期货合约的到期时刻，单位为 年。
t： 当前时刻，单位为年。T − t代表远期 和期货合约中以年为单位的距离到期的剩 余时间。
S： 远期（期货）标的资产在时间t时的价 格。
ST： 远期（期货）标的资产在时间T时的 价格（在t时刻此为未知变量）。
主要符号II
K： 远期合约中的交割价格。 f： 远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻
那么一年期黄金期货的理论价格为
支付已知收益率的资产
支付已知收益率的资产
在远期到期前将产生与该资产现货价格成一定 比率的收益的资产
支付已知收益率资产的远期合约
外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率 股指期货：市场整体水平的红利率 远期利率协议：本国的无风险利率
支付已知收益率的资产I
建立组合：
两种组合现值相等：
使得远期价值为零的合理交割价格
金融工程 第三章 远期与期货定价
根据题意已知，m=2，Rm＝0.10， Rc＝2ln（1+0.1/2）＝0.09758，即连续复利的年息应为9.758％
例： 假设某债务人借款的利息为年息8％，按连续复利计息。而实际
上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m＝1）的等价年利率为：
Rm e0.08 1 0.0833
即年利率为8.33％，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底 要支付83.3元的利息。
34
支付已知现金收益资产的现货－远期平价公式
• 根据F 的定义，可从上式求得：
F (S I )er(T t)
• 公式的理解：支付已知现金收益资产的远 期价格等于标的证券现货价格与已知现金 收益现值差额的无风险终值。
由于使用的是 I
S
13
• 期货价格（Futures Prices）
– 为使得期货合约价值为零的理论交割价格。 – 对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”
这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货 合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。 由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此 期货合约价值在每日收盘后都归零。
• 构建组合： 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额
为 Ker(Tt) 的现金。 组合B ： 一单位标的证券加上利率为无风
险利率、期限为从现在到现金收益派发日、 本金为I 的负债。 • 远期合约到期时，两组合都等于一单位标 的资产：
f Ker(T t) S I
f S I Ker(T t)
在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相 同时，连续复利的计息利率最小。
如果Rc是连续复利的利率， Rm为与之等价每年计m次复利的利率（以 年利率表示），则有：
例： 假设某债务人借款的利息为年息8％，按连续复利计息。而实际
上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m＝1）的等价年利率为：
Rm e0.08 1 0.0833
即年利率为8.33％，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底 要支付83.3元的利息。
34
支付已知现金收益资产的现货－远期平价公式
• 根据F 的定义，可从上式求得：
F (S I )er(T t)
• 公式的理解：支付已知现金收益资产的远 期价格等于标的证券现货价格与已知现金 收益现值差额的无风险终值。
由于使用的是 I
S
13
• 期货价格（Futures Prices）
– 为使得期货合约价值为零的理论交割价格。 – 对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”
这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货 合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。 由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此 期货合约价值在每日收盘后都归零。
• 构建组合： 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额
为 Ker(Tt) 的现金。 组合B ： 一单位标的证券加上利率为无风
险利率、期限为从现在到现金收益派发日、 本金为I 的负债。 • 远期合约到期时，两组合都等于一单位标 的资产：
f Ker(T t) S I
f S I Ker(T t)
在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相 同时，连续复利的计息利率最小。
如果Rc是连续复利的利率， Rm为与之等价每年计m次复利的利率（以 年利率表示），则有：
【金融工程】3.4.1远期期货价格与标的资产现货价格的关系 - 远期期货价格与标的资产现货价格的关系
第三章 远期与期货定价第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价（习题解答）1.股价指数期货价格应大于还是小于未来预期的指数水平？请解释原因。
解：股票指数的未来预期水平为：()()y T t T E S Se -=，股价指数期货价格公式为：()r T t F Se -=，其中，y 为预期收益率，r 为无风险利率。
由于股价指数组合充分化，近似为市场组合，其系统性风险通常为正，其预期收益率y 大于无风险利率r ：()()()r T t y T t T F Se E S Se --=<=故股价指数期货价格应小于未来预期的指数水平。
但在到期日T 时，股票指数期货价格会等于未来预期的指数水平。
2.某公司于1个月前与银行签订一份远期合约，约定在未来的T 1时刻以价格K 出售标的资产给银行。
当前为t 时刻，标的价格为S t ，该公司咨询银行，可否将合约交割时刻从T 1延长到T 2(>T 1)。
如果你是银行，你觉得可以对其进行延期吗？如果可以，应如何操作？解：银行可以满足客户的延期要求。
银行会设置新的执行价格*K 使新合约价值与原合约价值相等。
t 时刻原合约的价值为：1()1r T t t f S Ke --=-t 时刻新合约的价值为：*2()*2rT t t f S K e --=-两合约价值相等，有： *21()()*r T t r T t K Ke ---= 。
3.远期或期货合约的标的物可以是不可交易资产吗？如果可以，请举例并简述与可交易标的资产的远期或期货合约定价的差异答：可以。
（提示：此题考察的重点是要区别标的资产可否交易的定价方式不同。
）本题中不可交易的标的主要指气候、能源等产品。
此类标的的衍生品定价方式与传统可交易衍生品有很大不同。
标的资产可交易时，其衍生品的定价可利用复制技术来理解。
标的可交易，远期和期货可看成冗余资产——即可通过现有产品构造。
如远期（期货），可通过股票及负债构造：()r T t f S Ke --=-。
金融工程学之远期和期货的定价和估值
金融工程学之远期和期货的定价和估值远期合约和期货合约是金融工程学中重要的工具，用于定价和估值不同的金融资产。
它们在金融市场中被广泛使用，有助于提供价格发现和风险管理。
远期合约是一种承诺在未来某个特定日期以特定价格购买或销售某种资产的合约。
远期合约的定价取决于许多因素，包括资产的现价、利率、资产的可交易性以及市场上其他相关合约的定价情况。
远期合约的估值可以通过计算资产现在的市场价值和承诺的交付价格之间的差异来确定。
期货合约是标准化的远期合约，它们在交易所上交易，并且具有明确的规则和合约条件。
期货合约的定价同样受到资产的现价、利率和市场需求等因素的影响。
期货合约的估值可以通过比较合约的交易价格和市场上同一期限的现货价格来确定。
为了定价和估值远期和期货合约，金融工程师通常使用一些数学模型和技术。
最常用的方法是基于期货和现货价格之间的套利机会来确定合理的定价。
如果合约价格低于现货价格，投资者可以购买合约并立即卖出现货，从中获利。
另一方面，如果合约价格高于现货价格，投资者可以卖出合约并立即购买现货，同样可以获利。
这种套利机会将推动合约价格逐渐接近现货价格。
此外，金融工程师还使用一些模型来估计远期和期货合约的风险价值，包括价值-at-Risk (VaR) 和 Conditional Value-at-Risk (CVaR) 等。
这些模型考虑了市场波动性、资产的回报分布以及投资者的风险偏好，帮助投资者了解可能的损失范围。
总的来说，远期和期货合约的定价和估值是金融工程学中重要的研究领域。
金融工程师使用数学模型和技术来确定合理的合约价格，并评估合约的风险价值。
这些工具有助于投资者制定决策和进行风险管理，同时也为金融市场的价格形成和流动性提供了支持。
远期合约和期货合约在金融市场中扮演着重要的角色。
它们不仅帮助投资者进行定价和估值，还促进了市场的流动性和效率。
在金融工程学中，有多种方法和模型可以用来定价和估值远期和期货合约。
(金融工程)第三章远期与期货定价
因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即 f Ker(T t) S I
f S I Ker(T t)
(3.4)
从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知 现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和 (I+Ke –r (T-t))单位无风险负债构成。
28
例3.4：2007年8月31日，美元6个月期与1年期的
2
3.1远期价格与期货价格
一、远期价值、远期价格与期货价格
远期合约中规定的未来交易价格称为“交割价格”。显然 远期协议一旦签订，在协议到期之前交割价格不会改变。
远期价值是指远期合约本身的价值。
例：一个交割价格为10元，交易量为100单位，距到期日 还有1年的远期合约，如果标的资产当前的市场价格为15 元，市场无风险连续复利率为10%，对多头来说，该远期 的价值为：
10
为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下 的： 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或 空头地位。
5
例：考虑一个3个月期的无股息股票的远期合约，假定当前 股票的价格为40美元，3个月期的无风险利率为5%。
如果假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能以5% 的利率借入40美元，并利用借贷的资金购买一只股票，并同 时卖出一份远期合约，3个月后偿还贷款的现金为：
40e0.05×3/12=40.05美元
26
f S I Ker(T t)
(3.4)
从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知 现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和 (I+Ke –r (T-t))单位无风险负债构成。
28
例3.4：2007年8月31日，美元6个月期与1年期的
2
3.1远期价格与期货价格
一、远期价值、远期价格与期货价格
远期合约中规定的未来交易价格称为“交割价格”。显然 远期协议一旦签订，在协议到期之前交割价格不会改变。
远期价值是指远期合约本身的价值。
例：一个交割价格为10元，交易量为100单位，距到期日 还有1年的远期合约，如果标的资产当前的市场价格为15 元，市场无风险连续复利率为10%，对多头来说，该远期 的价值为：
10
为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下 的： 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或 空头地位。
5
例：考虑一个3个月期的无股息股票的远期合约，假定当前 股票的价格为40美元，3个月期的无风险利率为5%。
如果假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能以5% 的利率借入40美元，并利用借贷的资金购买一只股票，并同 时卖出一份远期合约，3个月后偿还贷款的现金为：
40e0.05×3/12=40.05美元
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• 所谓远期利率是指现在时刻的将来一定期 限的利率。如14远期利率，即表示1个月 之后开始的期限3个月的远期利率。
• 一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期
的即期利率为r，T*时刻（ T * T ）到期
的即期利率为 r ，则t时刻的T * T 期
间的远期利率 rˆ 可以通过下式求得：
1 r
第三章：远期和期货的定价
远期和期货市场概述
• 远期合约（Forward Contracts）是指双方约定在 未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数 量的某种商品（或金融资产）的合约。
• 如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期 相同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约 的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本 就可处于远期合约的多头或空头状态。
金融期货合约
• （Financial Futures Contracts）是指协议双 方同意在约定的将来某个日期按约定的条 件（包括价格、交割地点、交割方式）买 入或卖出一定标准数量的某种金融工具的 标准化协议。合约中规定的价格就是期货 价格(Futures Price)。
金融期货交易的特征
• 期货合约均在交易所进行，交易双方不直接接触， 而是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。
r(T t) rˆ(T T ) r(T t)
rˆ
r(T
t) r(T T T
t)
t
T
T*
远期外汇合约
• 远期外汇合约（Forward Exchange Contracts） 是指双方约定在将来某一时间按约定的远 期汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。
远期股票合约
• 远期股票合约（Equity forwards）是指在将 来某一特定日期按特定价格交付一定数量 单个股票或一揽子股票的协议。
• 其次，由于每份远期合约千差万别，这就给远期 合约的流通造成较大不便，因此远期合约的流动 性较差。
• 最后，远期合约的履约没有保证，当价格变动对 一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行合约， 因此远期合约的违约风险较高。
金融远期合约的种类
• 远期利率协议（Forward Rate Agreements， 简称FRA）是买卖双方同意从未来某一商 定的时期开始在某一特定时期内按协议利 率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的 名义本金的协议。
• 若F<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格 的终值。套利者就可进行反向操作，即卖
空标的资产，将所得收入以无风险利率进
行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的
资产的远期合约，交割价为F。在T时刻， 套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金
购买一单位标的资产，用于归还卖空时借 入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利
远期价格与远期价值
• 我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期 价格。
• 远期价格是跟标的物的现货价格紧密相联的，而远 期价值则是指远期合约本身的价值，它是由远期实 际价格与远期理论价格的差距决定的。
• 在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则 此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价 格有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改 变，因此原有合约的价值就可能不再为零。
• 另一类是几乎完全为了进行消费而持有的 资产
投资性资产的定价
无收益资产远期合约的定价
• 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金；
• 组合B：一单位标的资产。 f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t）
• 无收益资产远期合约多头的价值等于标的 资产现货价格与交割价格现值的差额。
• 远期合约是适应规避现货交易风险的需要 而产生的 。
• 远期合约是非标准化合约。
• 灵活性较大是远期合约的主要优点。在签 署远期合约之前，双方可以就交割地点、 交割时间、交割价格、合约规模、标的物 的品质等细节进行谈判，以便尽量满足双 方的需要。
远期合约的缺点
• 首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易场 所，不利于信息交流和传递，不利于形成统一的 市场价格，市场效率较低。
现货-远期平价定理
•
F=Ser（T－t）
• 对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资 产现货价格的终值。
• 假设F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的 终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利 率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一 单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合 约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将 一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还 借款本息Se r（T－t），这就实现了F－Ser（T－t） 的无风险利润。
T
t
1
r
T
*
T
1 r*
T * t
连续复利
• 假设数额A以利率R投资了n年。如果利息 按每一年计一次复利，则上述投资的终
值为：
A1 Rn
•
如果每年计m次复利，则终值为：A
1
R m
mn
• 当m趋于无穷大时，就称为连续复利
（Continuous compounding），此时的终
值为
lim
m
A
1
R m
mn
Ae Rn
设年R计c是m次连复续利复利利率利，率于，是Rm：是与之等价的每
AeRcn A(1 R )mn m
R
Rc
m ln(1
) m
Rc
R m(e m 1)
当即期利率和远期利率所用利率均为连续 复利时，即期利率和远期利率的关系为：
e e e r(T t)
rˆ(T T )
r (T t )
• 期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交易 以结束其期货头寸（即平仓），而无须进行最后的实 物交割。
• 期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标 准化的，即在合约上有明确的规定，无须双方再商定。
• 期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行 的，买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立专门 的保证金账户。
期货市场的功能
• 套期保值(Hedging) • 价格发现（Market Making）
期货合约与远期合约比较
• 标准化程度不同 • 交易场所不同 • 违约风险不同 • 价格确定方式不同 • 履约方式不同 • 合约双方关系不同 • 结算方式不同
区分两类资产
• 一类是众多投资者仅为了进行投资而持有 的资产
• 一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期
的即期利率为r，T*时刻（ T * T ）到期
的即期利率为 r ，则t时刻的T * T 期
间的远期利率 rˆ 可以通过下式求得：
1 r
第三章：远期和期货的定价
远期和期货市场概述
• 远期合约（Forward Contracts）是指双方约定在 未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数 量的某种商品（或金融资产）的合约。
• 如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期 相同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约 的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本 就可处于远期合约的多头或空头状态。
金融期货合约
• （Financial Futures Contracts）是指协议双 方同意在约定的将来某个日期按约定的条 件（包括价格、交割地点、交割方式）买 入或卖出一定标准数量的某种金融工具的 标准化协议。合约中规定的价格就是期货 价格(Futures Price)。
金融期货交易的特征
• 期货合约均在交易所进行，交易双方不直接接触， 而是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。
r(T t) rˆ(T T ) r(T t)
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远期外汇合约
• 远期外汇合约（Forward Exchange Contracts） 是指双方约定在将来某一时间按约定的远 期汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。
远期股票合约
• 远期股票合约（Equity forwards）是指在将 来某一特定日期按特定价格交付一定数量 单个股票或一揽子股票的协议。
• 其次，由于每份远期合约千差万别，这就给远期 合约的流通造成较大不便，因此远期合约的流动 性较差。
• 最后，远期合约的履约没有保证，当价格变动对 一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行合约， 因此远期合约的违约风险较高。
金融远期合约的种类
• 远期利率协议（Forward Rate Agreements， 简称FRA）是买卖双方同意从未来某一商 定的时期开始在某一特定时期内按协议利 率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的 名义本金的协议。
• 若F<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格 的终值。套利者就可进行反向操作，即卖
空标的资产，将所得收入以无风险利率进
行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的
资产的远期合约，交割价为F。在T时刻， 套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金
购买一单位标的资产，用于归还卖空时借 入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利
远期价格与远期价值
• 我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期 价格。
• 远期价格是跟标的物的现货价格紧密相联的，而远 期价值则是指远期合约本身的价值，它是由远期实 际价格与远期理论价格的差距决定的。
• 在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则 此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价 格有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改 变，因此原有合约的价值就可能不再为零。
• 另一类是几乎完全为了进行消费而持有的 资产
投资性资产的定价
无收益资产远期合约的定价
• 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金；
• 组合B：一单位标的资产。 f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t）
• 无收益资产远期合约多头的价值等于标的 资产现货价格与交割价格现值的差额。
• 远期合约是适应规避现货交易风险的需要 而产生的 。
• 远期合约是非标准化合约。
• 灵活性较大是远期合约的主要优点。在签 署远期合约之前，双方可以就交割地点、 交割时间、交割价格、合约规模、标的物 的品质等细节进行谈判，以便尽量满足双 方的需要。
远期合约的缺点
• 首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易场 所，不利于信息交流和传递，不利于形成统一的 市场价格，市场效率较低。
现货-远期平价定理
•
F=Ser（T－t）
• 对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资 产现货价格的终值。
• 假设F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的 终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利 率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一 单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合 约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将 一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还 借款本息Se r（T－t），这就实现了F－Ser（T－t） 的无风险利润。
T
t
1
r
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连续复利
• 假设数额A以利率R投资了n年。如果利息 按每一年计一次复利，则上述投资的终
值为：
A1 Rn
•
如果每年计m次复利，则终值为：A
1
R m
mn
• 当m趋于无穷大时，就称为连续复利
（Continuous compounding），此时的终
值为
lim
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A
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设年R计c是m次连复续利复利利率利，率于，是Rm：是与之等价的每
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当即期利率和远期利率所用利率均为连续 复利时，即期利率和远期利率的关系为：
e e e r(T t)
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• 期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交易 以结束其期货头寸（即平仓），而无须进行最后的实 物交割。
• 期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标 准化的，即在合约上有明确的规定，无须双方再商定。
• 期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行 的，买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立专门 的保证金账户。
期货市场的功能
• 套期保值(Hedging) • 价格发现（Market Making）
期货合约与远期合约比较
• 标准化程度不同 • 交易场所不同 • 违约风险不同 • 价格确定方式不同 • 履约方式不同 • 合约双方关系不同 • 结算方式不同
区分两类资产
• 一类是众多投资者仅为了进行投资而持有 的资产