高二数学第一学期期末考试含答案
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。
浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
慈溪市2023学年第一学期期末测试卷高二数学学科试卷（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系O-xyz 中，点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A.()2,3,4--- B.()2,3,4- C.()2,3,4- D.()2,3,42.双曲线229436x y -=的一个焦点坐标为（）A.)B.( C.)D.(3.已知曲线2by ax x=+在点()1,4处的切线方程为50x y +-=，则a b -=（）A.1B.0C.1- D.2-4.已知等差数列{}n a 的前5项和5120S =，且()123454a a a a a ++=+，则公差d =（）A.6- B.7- C.8- D.9-5.过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.14B.4C.4-D.14-6.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且2AF FC =，则AE DF ⋅=（）A.53-B.23-C.0D.537.已知A ，B 是椭圆E ：222125x y b+=（05b <<）的左右顶点，若椭圆E 上存在点M 满足49MA MB k k ⋅<-，则椭圆E 的离心率的取值范围为（）A.0,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,19⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 210f x f x ⎡'+⎤⎣⎦->，则（）A.()20ef -> B.()40442023ef < C.()22ef < D.()40462024ef >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l 的方程为210x ay +-=，直线2l 的方程为()3110a x ay ---=，（）A.则直线1l 的斜率为12a-B.若12//l l ，则16a =C.若12l l ⊥，则1a =或12D.直线2l 过定点()1,3--10.下列函数的导数计算正确的是（）A.若函数()()cos f x x =-，则()sin f x x '=B.若函数()xf x a-=（0a >且1a ≠），则()ln xf x aa-'=-C.若函数()lg f x x =，则()lg ef x x '=（e 是自然对数的底数）D.若函数()tan f x x =，则()21cos f x x='11.任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（*n ∈N ）．若51a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.2m =或16B.20241a = C.20244721S = D.312n a +=12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =，M 是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．Q 是线段1A N 上动点，R 是线段PQ 上动点，则（）A.当Q 为线段1A N 中点时，PQ ∥平面1A CMB.当Q 为111A B C △重心时，R 到平面1A CM 的距离为定值C.当Q 在线段1A N 上运动时，直线PQ 与平面1A CM 所成角的最大角为π3D.过点P 平行于平面1A CM 的平面α截直三棱柱111ABC A B C -+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C 的方程为222230x y ax a +--+=，则圆C 的半径为______.14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =______.15.已知函数()(ln 2)f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________．16.设F 为抛物线24y x =的焦点，直线l 与抛物线交于,A B 两点，且FA FB ⊥，则AFB △的面积最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()ln f x a x x =-．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求函数()f x 的最大值．18.已知圆224x y +=内有一点,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线l 过点M ，与圆交于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为120°，求AB ；（2）若圆上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程．19.如图，在直四棱柱ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是正方形，2AB =，'3AA =，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点．（1）若,E F 分别为棱,AB BC 中点，求证：DE ⊥平面A AF '；（2）若()1AE BF t t ==>，且三棱锥A BEF '-的体积为38，求平面B EF '与平面A EF '的夹角的余弦值．20.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+（*n ∈N ）．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）若()()621nn b n =-+，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．21.已知函数()2e 1xx f x a =-+（0x >）．（其中e 是自然对数的底数）（1）若对任意的210x x >>时，都有()()2121f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）若6a ≤，求证：()0f x >．（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）22.已知双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，且点()2,1M -在C 上．（1）求C 的方程；（2）点,A B 在C 上，且,,MA MB MD AB D ⊥⊥为垂足．证明：存在点N ，使得DN 为定值．慈溪市2023学年第一学期期末测试卷高二数学学科试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系O-xyz 中，点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A.()2,3,4--- B.()2,3,4- C.()2,3,4- D.()2,3,4【答案】B 【解析】【分析】根据对称即可求解.【详解】点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为()2,3,4-，故选：B2.双曲线229436x y -=的一个焦点坐标为（）A.)B.( C.)D.(【答案】A 【解析】【分析】根据标准方程即可求解.【详解】双曲线229436x y -=转化为标准方程为22149x y -=，故224,9,a b c ====，故焦点为)和()，故选：A3.已知曲线2by ax x=+在点()1,4处的切线方程为50x y +-=，则a b -=（）A .1B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】求导，根据()()11,14f f '=-=即可求解1,3a b ==，进而可求解.【详解】()22bf x ax x '=-,则()121f a b '=-=-，又()14f a b =+=，所以1,3a b ==，故2a b -=-，故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和5120S =，且()123454a a a a a ++=+，则公差d =（）A.6-B.7- C.8- D.9-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由()123454a a a a a ++=+可得()5123454545512024S a a a a a a a a a =++++=+=⇒+=，1232239632a a a a a ++==⇒=，故274578a a a a a +=+⇒=-，所以7258a a d =+=-，解得8d =-.故选：C5.过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.14B.4C.4-D.14-【答案】A 【解析】【分析】设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，先利用勾股定理求出切线长，再求出cos ,sin ADC ADC ∠∠，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径r =，在Rt ACD △中，CD AC ==AD ==，故cosADC ADC ∠=∠=由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.6.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且2AF FC = ，则AE DF ⋅=（）A.53-B.23-C.0D.53【答案】C 【解析】【分析】先将,AE DF 分别用,,AB AC AD表示，再根据数量积得运算律即可得解.【详解】由正四面体ABCD ，得60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒，则2,2,2AB AC AB AD AD AC ⋅=⋅=⋅=，由E 是BC 的中点，得()12AE AB AC =+，由2AF FC =，得23AF AC = ，则23DF AF AD AC AD =-=- ，所以()1223A A AB AC C AD E DF ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⋅=⎭2122233AB AC AB AD AC AD AC ⎛⎫=⋅-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭148220233⎛⎫=⨯-+-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.已知A ，B 是椭圆E ：222125x y b+=（05b <<）的左右顶点，若椭圆E 上存在点M 满足49MA MB k k ⋅<-，则椭圆E 的离心率的取值范围为（）A.0,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.,19⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据斜率公式，即可得21009b >，进而根据离心率公式即可求解.【详解】设(),M m n ，则222125m n b+=，()5,0,(5,0)A B -,故2222221255529524525MA MBk m b n n n b m k m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅==-+--=<⋅--，所以21009b >，故离心率为3c e a ===，又01e <<，故0,3e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 210f x f x ⎡'+⎤⎣⎦->，则（）A.()20e f -> B.()40442023ef < C.()22ef < D.()40462024ef >【答案】D 【解析】【分析】由()()ln 210f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，可得()()20f x f x -'>，构造函数()()2e xf xg x =，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数()g x 的单调性逐一判断即可.【详解】因为()()ln 210f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，所以()()211f x f x +'->，即()()20f x f x -'>，令()()2exf xg x =，则()()()220exf x f xg x '-'=>，所以函数()g x 是增函数，对于A ，由()()01g g <，得()2210e e f -<=，故A 错误；对于B ，由()()20231g g >，得()4046220231e ef >，所以()40442023ef >，故B 错误；对于C ，由()()21g g >，得()4221e ef >，所以()22e f >，故C 错误；对于D ，由()()20241g g >，得()4048220241e e f >，所以()40462024ef >，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数()()2e xf xg x =，利用导数判断出函数的单调性是解决本题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l 的方程为210x ay +-=，直线2l 的方程为()3110a x ay ---=，（）A.则直线1l 的斜率为12a-B.若12//l l ，则16a =C.若12l l ⊥，则1a =或12 D.直线2l 过定点()1,3--【答案】CD 【解析】【分析】根据0a =时，直线1l 的斜率不存在，即可判断A ；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B ；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C ；令a 的系数等于零求出定点即可判断D .【详解】对于A ，当0a =时，直线1l 的斜率不存在，故A 错误；对于B ，若12//l l ，则()2310a a a ---=，解得0a =或16a =，经检验，两个都符合题意，所以0a =或16a =，故B 错误；对于C ，若12l l ⊥，则23120a a --=，解得1a =或12，故C 正确；对于D ，直线2l 的方程化为()310x y a x ---=，令3010x y x -=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线2l 过定点()1,3--，故D 正确.故选：CD.10.下列函数的导数计算正确的是（）A.若函数()()cos f x x =-，则()sin f x x '=B.若函数()xf x a-=（0a >且1a ≠），则()ln xf x a a-'=-C.若函数()lg f x x =，则()lg ef x x '=（e 是自然对数的底数）D.若函数()tan f x x =，则()21cos f x x='【答案】BCD 【解析】【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.【详解】对于A ，()()cos cos f x x x =-=，所以()sin f x x =-'，A 错误，对于B ，()()'ln ln x x f x a a x a a --=⨯-=-'，故B 正确，对于C ，()1ln e lg eln10ln10f x x x x=='=，C 正确，对于D ，()()()222cos sin sin sin 1tan cos cos cos x x x x f x x x x x ''--⎛⎫='=== ⎪⎝⎭，D 正确，故选：BCD11.任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（*n ∈N ）．若51a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.2m =或16B.20241a = C.20244721S = D.312n a +=【答案】ABD 【解析】【分析】先根据2a 的奇偶性求出2a ，再根据1a 的奇偶性即可求出m ，即可判断A ；分类讨论m ，求出数列的周期，进而可判断BCD.【详解】因为51a =，由“冰雹猜想”可得432,4a a ==，①若2a 为偶数，则2342a a ==，所以28a =，当1a 为偶数时，则1282aa ==，所以116a =，即16m =，当1a 为奇数时，则21318a a =+=，解得173a =（舍去），②若2a 为奇数，则32314a a =+=，解得21a =，当1a 为偶数时，则1212a a ==，所以12a =，即2m =，当1a 为奇数时，则21311a a =+=，解得10a =（舍去），综上所述，2m =或16，故A 正确；当2m =时，由1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，得234561,4,2,1,4a a a a a =====，所以数列{}n a 从第三项起是以3为周期的周期数列，因为202423674-=⨯，所以520241a a ==，()2024216744214721S =++⨯++=，当16m =时，由1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，23456788,4,2,1,4,2,1a a a a a a a =======，所以数列{}n a 从第三项起是以3为周期的周期数列，因为202423674-=⨯，所以520241a a ==，()20241686744214742S =++⨯++=，综上所述，20241a =，20244721S =或4742，故B 正确，C 错误；对于D ，数列{}n a 从第三项起是以3为周期的周期数列，所以3142n a a +==，故D 正确.故选：ABD.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =，M 是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．Q 是线段1A N 上动点，R 是线段PQ 上动点，则（）A.当Q 为线段1A N 中点时，PQ ∥平面1A CMB.当Q 为111A B C △重心时，R 到平面1A CM 的距离为定值C.当Q 在线段1A N 上运动时，直线PQ 与平面1A CM 所成角的最大角为π3D.过点P 平行于平面1A CM 的平面α截直三棱柱111ABC A B C -+【答案】BD 【解析】【分析】建立直角坐标系，利用法向量与方向向量的关系即可求解A ，根据线面角的向量法，结合不等式的性质即可判定C ，根据线面平行即可求解B,根据面面平行即可求解长度判断D.【详解】以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -，设12,3AB AC AA ===，则1(0A ,0,3)，(2C ,0,0)，(0B ,2,0)，(0M ,1,0)，(1N ,1,3)，(1P ,1,3)2，所以1113(1,1,0),(1,1,(2,1,0),(2,0,3)2A N A P CM CA ==-=-=-，设平面1A CM 的法向量为(,,)n x y z =，则123020n CA x z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令3x =，可得(3,6,2)n = ，设11(,,0),(01)AQ mA N m m m ==≤≤ ，则113(1,1,)2PQ AQ A P m m =-=-- ，当Q 为线段1A N 中点时，12m =，则113(,,)222PQ =-- 3333022PQ n ⋅=--+=-≠ ，故此时PQ 不平行平面l A CM ，A 错误，当Q 为111A B C △重心时，则所以320m -=，即23m =，113(,,332PQ =-- ，此时1230PQ n ⋅=--+=，此时PQ ∥平面1A CM ，由于R 是线段PQ 上的点，故P 到平面1A CM 的距离即为R 到平面1A CM 的距离，故为定值，B 正确，由于3(1,1,)2PQ m m =-- ，设直线PQ 与平面1A CM 所成角为θ，则sin cos ,PQ n PQ n PQ n θ⋅===由于01,m ≤≤所以()()()2223232416999921444m m m --≤≤=-+，所以43sin ,72θ=≤=<ππ0,,23θθ⎡⎤∈∴<⎢⎥⎣⎦，故C 错误对于D ，取11A B 的中点H ，连接1,HB HC ,由于,H M 均为中点，所以11//,//HB A M C H CM ,而1A M ⊂平面1A CM ，CM ⊂平面1A CM ，而HB ⊄平面1A CM ，1C H ⊄平面1A CM ，故//HB 平面1A CM ，1//C H 平面1A CM ，11,,C H HB H C H HB ⋂=⊂平面1C HB ，故平面1//C HB 平面1A CM ，故过点P 平行于平面1A CM 的平面α即为平面1CHB ，故截面为三角形1C HB，由于111BH A M C H CM BC ======,D 正确，故选：BD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C 的方程为22222330x y ax ay a +--+=，则圆C 的半径为______.【答案】a 【解析】【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径.【详解】由22222330x y ax ay a +--+=可得()()2223x a y a a -+=，所以半径为a ，故答案为：a14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =______.【答案】150【解析】【分析】根据等比数列前n 项和的性质计算即可.【详解】由题意可得510515102015,,,S S S S S S S ---成等比数列，由510S =，1030S =，得10552S S S -=，得()1510105240S S S S -=-=，所以1570S =，则()20151510280S S S S -=-=，所以20150S =.故答案为：150.15.已知函数()(ln 2)f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】直接求导得()ln 14f x x ax '=+-，再设新函数()ln 14g x x ax =+-，首先讨论0a ≤的情况，当0a >时，求出导函数的极值点，则由题转化为11ln044g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解出即可.【详解】2()ln 2(0)f x x x ax x =->，()ln 14f x x ax '=+-，令()ln 14g x x ax =+-,函数()()ln 2f x x x ax =-有两个极值点,则()0g x =在区间(0,)+∞上有两个实数根.114()4axg x a x x'-=-=,当0a ≤时,()0g x '>,则函数()g x 在区间(0,)+∞单调递增,因此()0g x =在区间(0,)+∞上不可能有两个实数根,应舍去.当0a >时,令()0g x '=,解得14x a=.令()0g x '>,解得104x a<<,此时函数()g x 单调递增;令()0g x '<,解得14x a>,此时函数()g x 单调递减.∴当14x a=时,函数()g x 取得极大值.当x 趋近于0与x 趋近于+∞时,()g x →-∞,要使()0g x =在区间(0,)+∞上有两个实数根,只需11ln 044g a a ⎛⎫=>⎪⎝⎭,解得10a 4<<.故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.设F 为抛物线24y x =的焦点，直线l 与抛物线交于,A B 两点，且FA FB ⊥，则AFB △的面积最小值为______.【答案】12-【解析】【分析】设直线l 的方程为()()1122,,,,x my t A x y B x y =+，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，由FA FB ⊥，得0FA FB ⋅=，求出,m t 的关系，进而可求出t 的范围，再根据1211122AFB S t y y t =--=- 计算即可.【详解】由已知()1,0F ，设直线l 的方程为()()1122,,,,x my t A x y B x y =+，联立24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消x 得2440y my t --=，216160m t ∆=+>，则12124,4y y m y y t +==-，由FA FB ⊥，得0FA FB ⋅=，即()()()()112212121,1,110x y x y x x y y -⋅-=--+=，所以()()1212110my t my t y y +-+-+=，化简得()()()()2212121110m y y m t y y t ++-++-=，所以()()()222414110t m mt t -++-+-=，化简得224610m t t =-+≥，解得3t ≥+3t ≤-则()()222Δ161646116410m t t t t t =+=-++=->，则1t >或1t <，所以3t ≥+3t ≤-1211122AFB S t y y t =--=-()211122t t t =-=-=-，所以当3t =-()(2min 212AFB S =-=- ，所以AFB △的面积最小值为12-故答案为：12-【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()ln f x a x x =-．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求函数()f x 的最大值．【答案】（1）()f x 在(0,1)上为增函数；()f x 在(1,)+∞上为减函数；（2）(ln 1)a a -【解析】【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．【小问1详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，()111x f x x x-=-='，当()10xf x x -'=>，解得：01x <<，当()10xf x x-'=<，解得：1x >．()f x ∴在(0,1)上为增函数；()f x 在(1,)+∞上为减函数；【小问2详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x-=-='，当0a >时，令()0f x '>，得0x a <<，令()0f x '<时，得x a >，()f x ∴的递增区间为()0,a ，递减区间为(),a +∞．max ()ln (ln 1)f x a a a a a =-=-.18.已知圆224x y +=内有一点,12M ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，直线l 过点M ，与圆交于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为120°，求AB ；（2）若圆上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程．【答案】（1）372（2）10y -=或70y -+=．【解析】【分析】（1）由已知条件可得直线l 的方程，再结合点到直线的距离公式即可求出弦AB 的长；（2）由已知条件可求出圆心到直线l 的距离12d r =，再分类讨论，结合点到直线的距离公式可求出k 值，则直线l 的方程可求．【小问1详解】直线l 过点,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且斜率为tan120k ==∴直线l的方程为1y x -=+，即210y ++=， 圆心(0,0)到直线的距离为14d =，||2AB ∴==；【小问2详解】圆上恰有三点到直线l 的距离等于1，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12rd ==，当直线l 垂直于x轴时，直线方程为2x =-，不合题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l的方程为1(2y k x -=+，即10kx y -++=，由1d ==，可得20k -=，解得0k =或k =，故直线l 的方程为10y -=或70y -+=．19.如图，在直四棱柱ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是正方形，2AB =，'3AA =，,E F 分别是棱,AB BC上的动点．（1）若,E F 分别为棱,AB BC 中点，求证：DE ⊥平面A AF '；（2）若()1AE BF t t ==>，且三棱锥A BEF '-的体积为38，求平面B EF '与平面A EF '的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）287【解析】【分析】（1）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求证即可；（2）先根据三棱锥的体积求出t ，再利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()()()()2,0,0,2,0,3,2,2,0,2,2,3,0,2,0,2,1,0,1,2,0A A B B C E F ''，故()()()2,1,0,0,0,3,1,2,0DE AA AF '===- ，因为0,0DE AA DE AF '⋅=⋅= ，所以,DE AA DE AF '⊥⊥，又,,AA AF A AA AF ''⋂=⊂平面A AF '，所以DE ⊥平面A AF '；【小问2详解】因为()1113232328A BEF V S BEF AA t t '-'=⋅=⨯⨯⨯-⨯= ，解得12t =或32t =，又因为1t >，所以32t =，故312,,0,,2,022E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以33110,,3,,,0,0,,32222A E EF B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面A EF '的法向量为(),,n x y z = ，则有330231022n A E y z n EF x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩' ，可取()2,6,3n = ，设平面B EF '的法向量为(),,m a b c = ，则有130231022m B E b c m EF a b ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩' ，可取()2,6,1m =-- ，所以cos,287m nm nm n⋅===，所以平面B EF'与平面A EF'的夹角的余弦值为287．20.已知数列{}n a的首项123a=，且满足121nnnaaa+=+（*n∈N）．（1）求证：数列11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）若()()621nnb n=-+，令n n nc a b=，求数列{}n c的前n项和n S．【答案】（1）证明见解析（2）()()117214,672242,7nn nn nSn n++⎧--≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】（1）根据递推公式证明11111nnaa+--为定值即可；（2）先利用错位相减法求出数列{}n a的前n项和，再分6n≤和7n≥两种情况讨论即可.【小问1详解】由121nnnaaa+=+，得1112121111221111121n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a +-+---+====----，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11112a -=为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得1112n n a -=，所以221n n n a =+，所以()62nn n n c a b n ==-，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则()2352423262nn T n =⨯+⨯+⨯++- ，()()234125242327262n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+- ，两式相减得()2311022262n n n T n +-=------ ()()()21112121062721412n n n n n -++-=-+-=-+-，所以()17214n n T n +=--，令()620n n c n =-≥，则6n ≤，令()620n n c n =-<，则6n >，故当6n ≤时，n n c c =，当7n ≥时，n n c c =-，所以当6n ≤时，()1127214n n n n S c c c S n +=+++==-- ，当7n ≥时，()()1267862n n nS c c c c c c S S =+++-+++=- ()()11228721472242n n n n ++⎡⎤=---=-+⎣⎦，综上所述，()()117214,672242,7n n n n n S n n ++⎧--≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.21.已知函数()2e 1xx f x a =-+（0x >）．（其中e 是自然对数的底数）（1）若对任意的210x x >>时，都有()()2121f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）若6a ≤，求证：()0f x >．（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）【答案】（1）(],1-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()()x f x x ϕ=-，由题意可得函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()0x ϕ'≥在()0,∞+上恒成立，分离参数，进而可得出答案；（2）要证()()00f x x >>，即证2e 1x a x +<，令()()2e 10x g x x x+=>，利用导数求出()min 6g x >即可得证.【小问1详解】对任意的210x x >>时，都有()()2121f x f x x x ->-，即对任意的210x x >>时，都有()()2211f x x f x x ->-，令()()x f x x ϕ=-，则函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，则()()12e 10xx f x a ϕ''=-=--≥在()0,∞+上恒成立，即2e 1x a ≤-在()0,∞+上恒成立，因为当0x >时，2e 11x ->，所以1a ≤，经检验符合题意，所以实数a 的取值范围为(],1-∞；【小问2详解】要证()()00f x x >>，即证2e 1x a x+<，令()()2e 10x g x x x +=>，则()22e 2e 1x x x g x x--'=，令()()2e 2e 10x x h x x x =-->，则()()2e 00xh x x x '=>>，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增，又()7671110,e 163h h ⎛⎫=-<=- ⎪⎝⎭，因为6ln 36 1.099 6.5947≈⨯=<，所以7ln 36>，所以76e 3>，所以7671e 1063h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故存在071,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00002e 2e 10x x h x x =--=，即()00g x '=，当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()00min 02e 1x g x g x x +==，因为0002e 2e 10x x x --=，所以0012e 1x x =-，所以()00min 0001112e 111x x g x x x x +-+===-，因为071,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0161x >-，即()min 6g x >，又因为6a ≤，所以2e 1x a x+<，所以若6a ≤，()0f x >．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知双曲线C的渐近线方程为2y x =±，且点()2,1M -在C 上．（1）求C 的方程；（2）点,A B 在C 上，且,,MA MB MD AB D ⊥⊥为垂足．证明：存在点N ，使得DN 为定值．【答案】（1）2212x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为()2202x y λλ-=≠，利用待定系数法求出λ即可得解；（2）分直线AB 的斜率是否为零两种情况讨论，根据MA MB ⊥，可得121211122y y x x ++⋅=---，双曲线方程可变形为()()22222222211x y x y =-=-+-+-，再由直线AB 的方程x my t =+可得()12112x m y t m ⎡⎤--+=⎣⎦--，代入变形后的双曲线方程，再利用韦达定理即可得出,t m 间的关系，进而可求出直线AB 所过的定点，即可得出结论.【小问1详解】设双曲线的方程为()2202x y λλ-=≠，因为点()2,1M -在C 上，所以412λ-=，解得1λ=，所以C 的方程为2212x y -=；【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，当直线AB 的斜率为0时，则()11,B x y -，因为点,A B 在C 上，所以221112x y -=，则221122x y =+，由MA MB ⊥，得0MA MB ⋅=，即()()()221111112,12,14410x y x y x y -+⋅--+=-+++=，()()2211422410y y -++++=，解得13y =或11y =-（舍去），故直线AB 的方程为3y =，当直线AB 的斜率不等于0时，设直线AB 的方程为x my t =+，当MA 的斜率不存在时，则MB 的斜率为0，此时直线MA 的方程2x =，直线MB 的方程为1y =-，联立22212x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1y =（1y =-舍去），联立22112y x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2x =-（2x =舍去），所以()()2,1,2,1A B --，则12AB k =，所以直线AB 的方程为()1122y x -=-，令3y =，则6x =，故直线AB 过点()6,3，同理可得当MB 的斜率不存在时，则MB 的斜率为0，此时直线AB 的方程为()1122y x -=-，直线AB 过点()6,3，当直线,MA MB 的斜率都存在且都不等于零时，因为MA MB ⊥，所以121211122y y x x ++⋅=---，由2212x y -=，得()()22222222211x y x y =-=-+-+-()()()()22242421412x x y y =-+-+-+++-，所以()()()()2224221410x x y y -+--+++=，由x my t =+，得()221x m y m t -+=+-+，则()212x m y m t --+=-+-，所以()12112x m y t m ⎡⎤--+=⎣⎦--，所以()()()()22124221212x x x m y y t m ⎡⎤-+---+-+⎣⎦--()()1412102y x m y t m ⎡⎤++--+=⎣⎦--，整理得()()()()2224424222110222t m m t m x x y y t m t m t m +---+-+-+-+=------即224214412022222t m y m y t m t m x t m x t m-++-++-⎛⎫-+⋅+= ⎪--------⎝⎭，所以()1212211221242222422t m y y t m t m t m x x t m t m+-+++---⋅===--+----+---所以63t m =-，所以直线AB 得方程为()6336x my m y m =+-=-+，所以直线AB 过定点()6,3，综上所述，直线AB 过定点()6,3Q ，因为MD AB ⊥，所以存在MQ 的中点()4,1N，使得12DN MQ ==.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
江苏省苏州市2023~2024学年高二上学期期末考试数学试卷及答案
苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。
2024年上海师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解
上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________6.已知双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.11.能使得命题“曲线2221(0)9x ya a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC体积的最大值为________.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A . B.C. D.14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若2AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.上师大附中2023学年第一学期期末考试高二年级数学学科一､填空题（本大题共12题）1.已知二次函数22y x =的图象是一条抛物线，则其准线方程为___________.【答案】18y =-【分析】由22y x =得212x y =，根据准线方程定义即可求解．【详解】由22y x =得212x y =，所以准线方程为18y =-．故答案为：18y =-2.直线m 与平面α所成角为60︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是______.【答案】6090θ︒≤≤︒【分析】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，结合直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒即可得.【详解】直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角中最小的角，且直线与平面所成角的范围为090θ︒≤≤︒，则m 与平面α内任意直线所成角的取值范围是6090θ︒≤≤︒.故答案为：6090θ︒≤≤︒.3.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________.【答案】【分析】根据长方体的几何特征列方程组，用已知表示体对角线即可.【详解】设长，宽，高分别为,,x y z ，则()()252,436xy xz yz x y z ++=++=，===.故答案为:4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π5.如图，Rt O A B '''△是一平面图的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是__________【答案】【分析】根据等腰直角三角形的几何性质，结合由斜二测画法得到的直观图与原图的面积关系，可得答案.【详解】方法一：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，∴直角三角形的面积是112=，∴原平面图形的面积是1⨯=方法二：Rt O A B ''' △是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，∴，则O A ''=，根据斜二测画法，原图如下图：则OA =2OB =，则12ABO S AO BO =⋅⋅=V故答案为：6.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y x=±【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b a c a b，双曲线的渐近线方程为y x =±故答案为y x=±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质7.在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,1AB BC AC AA ====，则点1B 到平面1A BC 的距离为__________.【答案】217【分析】证明AB ⊥平面11ACC A ，再利用等体积法求解【详解】因为11,2,1AB BC AC AA ====，所以222,BC AB AC AB AC =+⊥，又三棱柱为直棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面A B C ，又平面11ACC A 平面,ABC AC =,AB AC AB ⊥⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11ACC A ，易得1A B ==12A C ==在△1A BC中由余弦定理：得1co s BA C ∠=，故1414sin BA C ∠=，于是111117sin 22A BC S A C AB BAC =⋅⋅∠= ，由棱柱性质得11//B C BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以11//B C 平面1A BC ，点1B 到平面1A BC 的距离即点1C 到平面1A BC 的距离，设为d因为1111C A BC B A C C V V --=，所以111171131323232A C CC d AB ⋅⨯=⨯⨯=⨯,解得217d =故答案为：2178.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心.设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________.【答案】106【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱1111ABCD A B C D -和正四棱锥1111O A B C D -的侧面积，即可求解.【详解】如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA=，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积分别为142324S =⨯⨯=，正四棱锥1111O A B C D -=所以正四棱锥1111O A B C D -的侧面积21422S =⨯⨯=，所以21246S S ==.故答案为：6.【点睛】本题主要考查棱柱和棱锥的几何结构特征，以及棱柱和棱锥的侧面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，利用侧面积公式准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.10.空间中有三个点,,A B C ，且1AB BC CA ===，在空间中任取2个不同的点，使得它们与,,A B C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种.【答案】9【分析】分类讨论.第一类为当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，；第二类当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧.【详解】如图所示，有两种情况：①当ABC 为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面ABC 的同侧，若AB 为底面棱有两种（平面ABC 左右两侧各一组），同理BC AC 、为底面棱时有各两种，故共有6种；②当ABC 为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面ABC 的异侧，若AB 为底面对角线则有一组，同理BC AC 、为底面对角线各有一组，故共有3种；综上所述，共有9种.故答案为：911.能使得命题“曲线2221(0)9x y a a -=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是__________.【答案】3a >或3a <-的任意实数，例如4【分析】由题意可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，可得m n =，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【详解】曲线()222109x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形，可设(,),(0,0)A m n m n >>，由对称性可得(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----，则AB AD =，即22m n =，即m n =，由曲线的方程可得2221(0)9x y a a-=≠，即2221(0)9m m a a-=≠有解，即有222999a m a =>-，可得290a ->，解得3a >或3a <-，故答案为：3a >或3a <-的任意实数，例如4．【点睛】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题．12.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由公共端点P 且不共面的三条射线PA PB PC ､､以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-⋅=⋅.在三棱锥-P ABC 中，6PA =，60APC ∠= ，45BPC ∠= ，90APB ∠= ，6PB PC +=，则三棱锥-P ABC 体积的最大值为________.【答案】92##4.5【分析】作出图形，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠.要解决三棱锥-P ABC 体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，接下来就根据条件把APC S 和BM 用同一个变量表示出来即可求解.【详解】由题意APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=,平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则该二面角的平面角为BDM ∠，由题意得：13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，因为60APC ∠= ，45BPC ∠= ，所以120cos cos cos 322cos sin sin 322γαβθαβ-⋅-⋅==-⋅，()0,πθ∈，sin 3θ∴=，sin sin 333BM BD BD PB PB θβ=⋅==⋅⋅=⋅，133sin 22APC S PA PC PC α=⋅=⋅ ，()21111633222P ABC APC V S BM PB PC PB PB PB PB -∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅-=-+ 当3PB =时，P ABC V -的最大值为92.故答案为：92.【点睛】关键点睛：关键是等体积转换法13P ABC B APC APC V V S BM --==⋅⋅ ，再结合条件等式将体积表示成同一个变量的函数即可求解.二､选择题（本大题共4题）13.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案.【详解】解：对于选项A ：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；对于选项B ：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；对于选项C ：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；对于选项D ：截面的形状不可能是等腰梯形；故选：D14.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若l ∥α，l β⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥ D.若αβ⊥，l ∥α，则l β⊥【答案】B【分析】对于A ，α与β相交或平行；对于B ，由面面垂直的判定定理得αβ⊥；对于C ，l 与β平行或l β⊂；对于D ，l 与β相交、平行或l β⊂．【详解】设l 是直线，α，β是两个不同的平面，对于A ，若//l α，//l β，则α与β相交或平行，故A 错误；对于B ，若//l α，则α内存在直线//l l '，因为l β⊥，所以l β'⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故B 正确；对于C ，若αβ⊥，l α⊥，则l 与β平行或l β⊂，故C 错误；对于D ，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误．故选：B ．15.如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点【答案】C 【分析】由题设()()F x k f x ''=-，令y kx =与()y f x =切点横坐标为12,x x 且12x x <，由图存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，则()F x '有三个不同零点102x x x <<，结合图象判断()F x '的符号，进而确定()F x 单调性，即可确定答案.【详解】由题设，()()F x kx m f x =+-，则()()F x k f x ''=-，又直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点且横坐标为12,x x 且12x x <，所以()0F x '=的两个零点为12,x x ，由图知：存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，综上，()F x '有三个不同零点102x x x <<，由图：1(0,)x 上()0F x '<，10(,)x x 上()0F x '>，02(,)x x 上()0F x '<，2(,)x +∞上()0F x '>，所以()F x 在1(0,)x 上递减，10(,)x x 上递增，02(,)x x 上递减，2(,)x +∞上递增.故()F x 至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.16.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =︒，则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】C 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P 的轨迹是椭圆．故选C.考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.三､解答题（本大题共5题）17.如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H 是BC 的中点，O 为底面中心，60SHO ∠=︒．（1）求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；（2）求六棱锥的表面积和体积．【答案】（1）高为6，斜高为43213（2）表面积为3，体积为483【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出OH ，进而在Rt SOH △中，可求出SO ,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰SBC △中可求得侧棱长；（2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可.【小问1详解】如图：在正六棱锥S ABCDEF -中，SB SC =，H 为BC 中点，所以SH BC ⊥．因为O 是正六边形ABCDEF 的中心，所以SO 为正六棱锥的高．32OH BC ==，在Rt SOH △中，60SHO ∠=︒，所以tan 606SO OH =⋅︒=．在Rt SOH △中，SH ==在Rt SHB 中，SH =，2BH =，所以SB ==．故该正六棱锥的高为6，斜高为【小问2详解】SBC △的面积为11422BC SH ⨯=⨯⨯=OBC △的面积为11422BC OH ⨯=⨯⨯=，所以正六棱锥的表面积为66⨯+⨯=体积为13⨯=ABCDEF S SO 1663⨯⨯=18.（1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；（2）如图，AB 为圆柱下底面圆O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知π,23AOC OA ∠==，圆柱的高为5，若点D 在圆柱表面上运动，且满足BC AD ⊥，求点D 的轨迹所围成的图形面积.【答案】（1）12（2）10【分析】（1）根据题干条件作出辅助线，求出cos303DE AC AB a === ，即23b a =，进而求出离心率.（2）先推出BC ⊥平面ACD ，设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，推出BC ⊥平面ACE ，从而可得点D 的轨迹是矩形AEFC ，计算这个矩形的面积即可得解.【详解】（1）如图：由题意得：30BAC ∠= ，2AB a =，2DE b =，且AC DE =，则在直角三角形ABC 中，cos303AC AB a == ，所以23b a =，于是此椭圆的离心率22112c b e a a ==-=.（2）因为AB 是圆柱下底面圆O 的直径，所以BC AC ⊥，又BC AD ⊥，AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .设过A 的母线与上底面的交点为E ，过C 的母线与上底面的交点为F ，连,,EF CF AC ，如图：因为⊥AE 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE BC ⊥，因为AE AC A = ，,AE AC ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，所以点D 在平面ACE 内，又点D 在圆柱的表面，于是点D 的轨迹是矩形AEFC .依题意得5AE =，2OA OC ==，π3AOC ∠=，所以2AC =，所以矩形AEFC 的面积为5210⨯=.故点D 的轨迹所围成图形的面积为10.19.（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m 的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP 是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD 的面积.【答案】（1）15π192（2）89【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.【详解】（1）如图所示：由题意母线长为正方形边长，即1PE =，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，不妨设圆锥底面半径为OE r =，所以π2π12r =⨯，解得14OE r ==，所以圆锥的高4PO h ===，所以圆锥的体积为2211111515πππ33344192V Sh r h ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题意不妨设AB h =，则4222h AD r h -===-，所以2h r =-，所以圆柱的体积可表示为()()()22ππ2,02V r r h rr r ==-<<，求导得()()()π43,02V r r r r '=-<<，所以当403r <<时，()0V r '>，()V r 单调递增，当423r <<时，()0V r '<，()V r 单调递减，所以当圆柱的体积最大时43r =，此时矩形ABCD 的面积为()4282339S rh r r ==-=⨯=.20.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点P 在该正方体的表面上运动.（1）若AP =，求点P 的轨迹长度；（2）已知P 到三个平面1111ABCD ADD A ABB A ､､中的两个平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P 个数；（3）若点M 是线段BC 的中点，P 是正方形11DCC D （包括边界）上运动，且满足APD MPC ∠=∠，求点P 的轨迹长度.【答案】（1）9π（2）6个（3）43π【分析】（1）确定点P 以点A 为球心的，半径为（2）确定P 在平面11ADC B 上，根据1||P AB d PQ -=得到P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案．（3）确定P 点轨迹为圆的一部分可求解【小问1详解】若62AP =，则点P 以点A 为球心半径为62的球面上运动，又P 在正方体表面运动，6,AD AD =⊥平面11CDD C ，则P 在以D 为圆心，半径为()226266-=的圆上（正方形11CDD C 内部），如图所示： 1632D C ππ=⨯=，同理可得 111632B C B D ππ==⨯=，故点P 的轨迹长度为339ππ⨯=【小问2详解】若P 到平面ABCD 、11ADD A 距离相等，根据对称性知P 在平面11ADC B 上，AD ⊥平面11AA B B ，AD ⊂平面11ADC B ，故平面11ADC B ⊥平面11AA B B ，故P 到平面11ABB A 的距离即P 到1AB 的距离，设正方体的中心为Q ，即1||P AB d PQ -=，故P 的轨迹为平面11ADC B 内的一条抛物线，正方体棱长为6，1AB 中点为M ，以MQ 所在的直线为x 轴，以线段MQ 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，抛物线方程为26y x =，当32y =±932x =<，故抛物线与棱11B C 和AD 相交，故共有236⨯=个点满足条件．【小问3详解】易知正方体中AD ⊥平面11DCC D ，MC ⊥平面11DCC D ，,DP PC ⊂平面11DCC D ，所以,AD DP MC CP ⊥⊥，又APD MPC ∠=∠，所以~Rt ADP Rt MCP 2PD AD PC MC ∴==即2PD PC =如图，在平面11DCC D 中，以D 为原点，1,DC DD 分别为x,y 轴建立平面直角坐标系：则()()()0,0,6,0,,D C P x y 由2PD PC =知()()()()222200260x y x y -+-=-+-化简整理得()22816,06x y x -+=≤≤所以点P 的轨迹为圆()22816,x y -+=在正方形11DCC D 内部的部分，即 EF ,其中24CM MF ==，，则3FMC π∠=，由弧长公式知4433ππ⨯=21.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为θ的直线l 交抛物线与A B ､两点.点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.（1）求证：1cos p BF θ=+；（2）若π4θ≥，试求FA 的取值范围；（3）如图，过焦点F 作互相垂直的弦AB CD ､，若ACF △与BDF V 的面积之和最小值为32，求抛物线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）,222p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦（3）28y x=【分析】（1）根据题意画图象，由斜率可得MF ，从而利用BF KF MF =-即可得证；（2）同理（1）求FA ，结合π4θ≥和cos y θ=单调性可得FA 的取值范围；（3）先求直线CD 的倾斜角，再结合（1）（2）求出CF ，DF ，并求出ACF △与BDF V 面积之和的表达式，通过不断换元，并利用导数判断函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p 的值，从而得出抛物线的方程．【小问1详解】证明：抛物线2Γ:2(0)y px p =>的准线方程1:2p l x =-，分别作11,BB l BM x ⊥⊥轴，1l 与x 轴交于点K ，AFH θ∠=，如图：由抛物线的定义可知，1,BF BB KF p ==，在Rt BFM 中，BFM AFH θ∠=∠=，cos MF BF θ=，由图可知，1cos BF BB KM KF MF p BF θ===-=-，即()1cos BF p θ+=，进而得1cos p BF θ=+.所以1cos p BF θ=+.【小问2详解】同理（1），1cos AF AA KF FH p AF θ==+=+，可得1cos p AF θ=-.因为函数cos y θ=在()0,π上单调递减，而π,π4θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，于是1cos 2θ-<≤，进而221cos 22θ≤-<，则11221cos θ<≤+-.所以(221cos p p p θ<≤+-，即(22p FA p <≤+.故π4θ≥时，FA 的取值范围,22p p ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【小问3详解】由（1）（2）可知，1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，因为AB CD ⊥，所以直线CD 的倾斜角为π2θ+，因此，π1sin 1cos 2p p CF θθ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，π1sin 1cos 2p p DF θθ==-⎛⎫++ ⎪⎝⎭.ACF ∴△的面积为：()()21221cos 1sin ACFp S AF CF θθ=⋅=-+ ()()2222sin 2cos 2sin cos 12cos 2sin cos 1p p sin θθθθθθθθ==+---+-+()2222(sin cos )2sin cos 1(1sin cos )p p θθθθθθ==-+-++-，即22(1sin cos )ACF p S θθ=+-△.同理可得BDF V 的面积为：22(1sin cos )BDFp S θθ=-+△.令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由题意可知0πθ<<，即πππ444θ-<-<，则()1,1t ∈-.则ACF △与BDF V 面积之和为：()2222222221(1)(1)(1)p t p p t t t ++=+--，再令[)211,2x t =+∈，则ACF △与BDF V 面积之和为：()222222221224(1)(2)4p t p x p t x x x+==--+-，令44y x x =+-，当[)1,2x ∈时2240x y x-'=>，所以函数44y x x =+-在[)1,2上单调递减，于是4041x x <+-≤，则1144x x ≥+-，所以222244p p x x≥+-.综上所述，当1x =时，ACF △与BDF V 面积之和取到最小值，即2232p =，由于0p >，得4p =，因此，抛物线的方程为28y x =．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，通过换元法得到面积最值的表达式，利用对勾函数的单调性求出最值的情况，从而得到方程，解出即可.。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
2023-2024学年第一学期高二年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列{}n a 中，11111n n a a a +==+，，则4a =（）A.2B.32 C.53D.85【答案】C 【解析】【分析】由数列的递推公式，依次求出234,,a a a 即可.【详解】数列{}n a 中，11111n na a a+==+，，则有21112a a =+=，321312a a =+=，431513a a =+=.故选：C.2.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.【详解】易知26m <<时，20,60m m ->->，但4m =时有262m m -=-=，此时方程表示圆，所以不满足充分性，若方程22126x ym m +=--表示的曲线为椭圆，则()()20602,44,626m m m m m->⎧⎪->⇒∈⋃⎨⎪-≠-⎩，显然26m <<成立，满足必要性，故“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B3.已知直线60x ay -+=和直线()3230a x y a ++-=互相平行，则实数a 的值为（）A.1-或2B.1-或2- C.2- D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据平行关系列式求a 的值，并代入检验即可.【详解】由题意可得：()32a a -+=，解得1a =-或2a =-，若1a =-，则两直线分别为60,2230x y x y ++=++=，符合题意；若2a =-，则两直线均为260x y ++=，不符合题意；综上所述：1a =-.故选：D.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36430a S ==，，则4a =（）A.2- B.2C.4D.6【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，616346()3()302S a a a a =+=+=，又34a =，所以43106a a =-=.故选：D5.已知x a =是函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(,1)-∞B.(1,)+∞ C.(01),D.(0,1]【答案】C 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点,1a ，比较两数的大小，分别判断在x a =两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围.【详解】21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，则()()1()(1)x a x a f x x a x x--=-++='，0x >，当(0,1)a ∈时，令()0f x '>得0x a <<或1x >，令()0f x '<得1<<a x ，此时()f x 在区间(0,)a 上单调递增，(),1a 上单调递减，()1,+∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极大值点；当1a =时，()21()0x f x x-'=≥恒成立，函数()f x 不存在极值点，不符合题意；当(1,)a ∞∈+时，令()0f x '>得01x <<或x a >，令()0f x '<得1x a <<，此时()f x 在区间(0,1)上单调递增，()1,a 上单调递减，(),a +∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；综上，要使函数()f x 在x a =处取到极大值，则实数a 的取值范围是(01),.故选：C.6.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆O ，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且||||||AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（）A.43B.167C.7D.97【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，求出圆O 与双曲线在第一象限内的交点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线的方程，可得出ba的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设圆O 与双曲线在第一象限内的交点为E ，连接DE 、OE ，则33==+==OE OD OC CD OC a，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，则1π2π84DOE ∠=⨯=，故点,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭E ，将点E的坐标代入双曲线的方程可得2222221⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=a b ，所以2297b a =，所以，该双曲线的离心率为7ce a===.故选：C.7.如图，在三棱锥A BCD -中，1,AD CD AB BC AC =====，平面ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.3πB.8π3C.7π3D.2π【答案】B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心，结合图形的特征，利用勾股定理及外接球的表面积公式计算即可.【详解】如图所示，取AC 中点E ，连接,DE BE ，在BE 上取F 点满足2EF FB =，由题意易知ABC 为正三角形，则F 点为ABC 的外接圆圆心，且,ED AC BE AC ⊥⊥,因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，所以DE ⊥底面ABC ，BE ⊥底面ADC ，过F 作//FO DE ，故三棱锥A BCD -外接球的球心O 在直线FO 上，作OG EF //交DE 于G 点，设OF h =，球半径为R ，根据1,AD CD AB BC AC =====易知,,2263BE AE DE EF BF =====，四边形OGEF 为矩形，由勾股定理可知：222222OB OF BF OD OG DG =+==+，即22222120,3263R h h h R ⎛⎛⎫=+=-+⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其外接球表面积为28π4π3S R ==.故选：B8.已知0.98ln 0.98a =-，1b =， 1.02 1.02ln1.02c =-，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.b<c<aD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】利用()ln ,0f x x x x =->的单调性可判断a b >，利用()ln (0)g x x x x x =->的单调性可判断c b <，故可得三者之间的大小关系.【详解】设()ln ,0f x x x x =->，则有11()1x f x x x'-=-=，∴当01x <≤时，()()0,f x f x '≤在(]0,1上单调递减；(0.98)(1)1f f ∴>=，即有0.98ln 0.981->，a b ∴>；令()ln (1)g x x x x x =-≥，则()1(ln 1)ln g x x x '=-+=-，∴当1x ≥时，()0g x '≤，当且仅当1x =时等号成立，故()g x 在[)1,∞+上单调递减；(1.02)(1)1g g ∴<=，即有1.02 1.02ln1.021-<，c b ∴<，综上所述，则有c b a <<，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线():20R l ax y a a ++-=∈与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的是（）A.直线l 必过定点B.l 与C 可能相离C.l 与C 可能相切D.当1a =时，l 被C 截得的弦长为【答案】ACD 【解析】【分析】利用直线方程确定过定点可判定A ，利用直线与圆的位置关系可判定BC ，利用弦长公式可确定D.【详解】由直线方程变形得()():120l a x y -++=，显然1x =时=2y -，即直线过定点()1,2-，故A 正确；易知()22125+-=，即点()1,2-在圆C 上，则直线l 不会与圆相离，但有可能相切，故B 错误，C 正确；当1a =时，此时直线:10l x y ++=，圆心为原点，半径为r =，则圆心到l 的距离为d =，所以l 被C 截得的弦长为=，故D 正确.故选：ACD10.定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数()321533f x x ax bx =+++的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（）A.1,0a b =-= B.函数()f x 既有极大值又有极小值C.函数()f x 有三个零点 D.对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -+=【答案】AB 【解析】【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A ，根据导数研究其极值可判定B ，结合B 项结论及零点存在性定理可判定C ，利用函数解析式取特殊值可判定D.【详解】由题意可知()22f x x ax b '=++，()22f x x a ''=+，而()()151113301022f a b a b f a⎧==+++=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==+⎩''，故A 正确；此时()321533f x x x =-+，()()222f x x x x x '=-=-，显然2x >或0x <时，()0f x ¢>，则()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，()0,2x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =时取得极大值，在2x =时取得极小值，故B 正确；易知()()()5100,250,2033f f f =>-=-<=>，结合B 结论及零点存在性定理可知()f x 在()2,0-存在一个零点，故C 错误；易知()()510113f f +=+≠，故D 错误.故选：AB11.如图，已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，过点F 的直线l （直线l 的倾斜角为锐角）与抛物线C 相交于A B ，两点（A 在x 轴的上方，B 在x 轴的下方），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C 的准线相交于点N ，则（）A.当直线l 的斜率为1时，4AB p =B.若NF FM =，则直线l 的斜率为2C.存在直线l 使得AOB 90∠=D.若3AF FB =，则直线l 的倾斜角为60【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，可设():02p AB y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立得()22222220242p y k x k p k x k p p x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⇒-++=⎝⎭⎨⎪=⎩，则221212224k p p p x x x x k ++==,，对于A 项，当直线l 的斜率为1时，此时123x x p +=，由抛物线定义可知12422p pAF BF x x AB p +=+++==，故A 正确；易知AMN 是直角三角形，若NF FM =，则ANM FMN AMF FAM ∠=∠⇒∠=∠，又AF AM =，所以AMF 为等边三角形，即60AFx ∠= ，此时3k =B 错误；由上可知()()222212121212124pk p k x x y y k x x x x +=+-++()()2222222223104244p k p pk p k k p k +=+⨯-⨯+=-<，即0OA OB ×<uu r uu u r，故C 错误；若1212332322p p AF FB x x x p x ⎛⎫=⇒-=-⇒=- ⎪⎝⎭ ，又知212213,462p p px x x x =⇒==，所以1y =，则112y k p x ==-，即直线l 的倾斜角为60 ，故D 正确.故选：AD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知,,M N P 分别是棱111,,C D AA BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30 ，则（）A.1DB ⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面图形为正六边形C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为32【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，如图所示以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,2,2,2P M N B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==--=-.设平面PMN 的法向量为(),,m x y z = ，则2020m PM x y z m PN x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z x y =⇒==得()1,1,1m =，易知12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，即A正确；B 选项，取111,,AB CC AD 的中点,,F QE ，连接11,,,,,,,,NE NF ME MQ PQ PF A B EP D C ，结合题意可知11////,////NF A B EP EP CD MQ ，所以N F P E 、、、四点共面且M Q P E 、、、四点共面，两个平面都过点P ，所以M Q P E N F 、、、、、六点共面，易知EM MQ QP PF FN NE ======，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形ENFPQM ，B正确；C 选项，由上知1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心133B S 为半径在平面PMN 上作圆，由题意可知Q 轨迹即为该圆，结合B 的结论可知平面PMN 平分正方体，根据正方体的中心对称性可知S 平分1DB，故半径1111332B S DB =⨯=，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点D 的这一空间几何体的球的半径最大值，结合A 项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心O 在1DB 上，该球与平面PMN 切于点S ，与平面ABCD 、平面11A D DA 、平面11D C CD 都相切，设球心为()(),,01O a a a a <≤，则球半径为a ，易知()1,1,1S ，故()223312RS a a a a -=⇒-=⇒=，D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：关于立体几何中截面的处理思路有以下方法（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.关于立体几何中求动点轨迹的问题注意利用几何特征，比如动直线与定直线夹角为定值，可以考虑结合圆锥体得出动点轨迹.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值_________________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线求异面直线夹角即可.【详解】如图所示连接1,A D BD ，根据正方体的特征易知11//B C A D ，且1A DB △为等边三角形，所以1DA B ∠即异面直线1A B 与1B C 所成的角，且160DA B ∠= ，11cos 2DA B ∠=.故答案为：1214.在正项等比数列{}n a 中，若234234111502a a a a a a ++=++=，，3a =_____________．【答案】5【解析】【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可【详解】正项等比数列{}n a 中，23450a a a ++=，234242334332224323234343323111502a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++====，解得35a =±，舍去负值，所以35a =.故答案为：515.以两条直线1220350l x y l x y +=++=：，：的交点为圆心，并且与直线3490x y -+=相切的圆的方程是_____________________．【答案】()()221216x y -++=【解析】【分析】直接利用交点坐标和点到直线的距离公式求出圆心和半径，最后求出圆的方程.【详解】利用20350x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆心坐标为()1,2-，设圆的方程为()()22212x y r -++=利用圆心()1,2-到直线3490x y -+=的距离d r =，整理得4r ==，故圆的方程为()()221216x y -++=.故答案为：()()221216x y -++=.16.关于x 的不等式()1e ln x a x x a x +--≥恒成立，则实数a 的最大值为_____________________．【答案】2e 2【解析】【分析】构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可.【详解】设()()()e 1ln 0,xf x x x xg x x=+->=，易知()()()2e 11,x x x f x g x x x''--==，则当1x >时，()()0,0f x g x ''>>，即此时两函数均单调递增，当01x <<时，()()0,0f x g x ''<<，即此时两函数均单调递减，故()()()()12,1e f x f g x g ≥=≥=，对于不等式()()11ln e ln e 1ln x x x a x x a a x x x++---≥⇔≥+-，由上可知1ln 2u x x =+-≥，故1ln e 1ln x xa x x+-≤+-，又()()e 2u g u u u =≥单调递增，故()()2e 22g u g a ≥=≥.所以实数a 的最大值为2e 2.故答案为：2e 2.【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于()1ln e 1ln x x a x x +-≥+-，构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=判定其单调性与最值分参计算即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足()111,211n n a a a n n n n +-==++．（1）证明数列{}n na 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb n a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求20S ．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n （2）202021S =【解析】【分析】（1）根据题中递推公式可得()111n n n a na ++-=，结合等差数列的定义和通项公式分析求解；（2）由（1）可得111n b n n =-+，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为()1111n n a a n n n n +-=++，则()111n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以首项112a ⨯=，公差1d =的等差数列，可得211n n na n =+-=+，所以1+=n n a n .【小问2详解】由（1）可得()2111111n n b n a n n n n ===-++，所以20111111201122320212121S =-+-+⋅⋅⋅+-=-=.18.设圆C 与两圆()()22221221,21C x y C x y ++=-+=：：中的一个内切，另一个外切．（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线()00x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值．【答案】（1）2213y x -=（2）2±【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）联立方程结合韦达定理运算求解.【小问1详解】圆()22121C x y ++=：的圆心为()12,0C -，半径为1，圆()22221C x y -+=：的圆心为()22,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1,2a c ==，可得2223b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程2213y x -=.【小问2详解】联立方程22130y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得222230x mx m ---=，则()()222Δ4831220m m m =---=+>，可知直线与双曲线相交，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y，可得120003,222x x m m x y x m +===+=，即3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2210x y +=上，则2231022m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =±，所以实数m 的值为2±.19.如图所示，用平面11BCC B 表示圆柱的轴截面，BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线1CC 的中点，已知1AA 为一条母线，且14AB AC AA ===．（1）求证：平面AEO ⊥平面1AB O ；（2）求平面1AEB 与平面OAE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证11,B O AO B O EO ⊥⊥，由线线垂直得线面垂直，根据线面垂直的性质可得面面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【小问1详解】依题意可知AB AC ⊥，则ABC 是等腰直角三角形，故AO BC ⊥，由圆柱的特征可知1BB ⊥平面ABC ，又AO ⊂平面ABC ，1BB AO ⊥，因为11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，则AO ⊥平面11BCC B ，而1B O ⊂平面11BCC B ，则AO ⊥1B O ，因为14AB AC AA ===，则2221124BC B O B B BO ==∴=+=，222222*********,36OE OC CE B E E C B C B O OE =+==+==+，所以1B O OE ⊥，因为1B O OE ⊥，AO ⊥1B O ，,AO OE O AO OE =⊂ 、平面AEO ，所以1B O ⊥平面AEO ，因为1B O ⊂平面1AB O ，所以平面AEO ⊥平面1AB O ；【小问2详解】由题意及（1）知易知1,,AA AB AC 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系则()()()14,0,4,0,4,2,2,2,0B E O ，所以()()()114,0,4,0,4,2,2,2,4AB AE B O ===-- ，由（1）知1B O 是平面AEO 的一个法向量，设(),,n x y z = 是平面1AB E 的一个法向量，则有1440420n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22,1z x y =-⇒==，所以()2,1,2n =- ，设平面1AEB 与平面OAE 的夹角为θ，所以111cos cos ,6n B O n B O n B Oθ⋅====⋅ .即平面1AEB 与平面OAE夹角的余弦值为6.20.已知函数()ln ,f x a x x a =-∈R ．（1）设1x =是()f x 的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤时，()10f x x+<在()1,+∞上恒成立.【答案】（1）1a =，单调区间见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义分析求解，进而可得单调区间；（2）根据题意分析可得()112ln f x x x x x +<-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，利用单调性判断其单调性和符号，即可得结果.【小问1详解】因为()ln f x a x x =-的定义域为()0,∞+，则()1a f x x'=-，若1x =是()f x 的极值点，则()110f a -'==，解得1a =，当1a =，则()ln f x x x =-，()111x f x x x-=-='，令()0f x '>，解得01x <<；令()0f x '<，解得1x >；则()f x 在()0,1内单调递增，在()1,∞+内单调递减，可知1x =是()f x 的极大值点，即1a =符合题意，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，则ln 0x >，且2a ≤，可得ln 2ln a x x ≤，即()112ln f x x x x x+≤-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，则()()22212110x g x x x x-=--=-<'在()1,∞+内恒成立，可知()g x 在()1,∞+内单调递减，可得()()10g x g <=，即()112ln 0f x x x x x +≤-+<，所以当2a ≤时，()10f x x +<在()1,∞+上恒成立.21.对每个正整数(),,n n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(),n n n B s t ．（1）证明：()41n n x s n =-≥；（2）取12n n x +=，并记n n n a A B =，求数列{}n a 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）11142134n n n +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程结合韦达定理分析证明；（2）根据抛物线的定义结合（1）可得1424n n n a =++，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：抛物线24x y =的焦点()0,1F ，且直线n n A B 的斜率存在，设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程214n y k x x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440n x k x --=，可得216160n k ∆=+>，所以()41n n x s n =-≥.【小问2详解】因为12n n x +=，由（1）可得142242n n n n s x +=-=-=-，则22144144,44444n n n n nn n n x s y t +======，可得12424n n n n n n n a A B y t ==++=++，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则()21221114442444n n n n T a a a n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭()1111414441124211143414n nn n n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=-+- ⎪-⎝⎭-，所以11142134n n n T n +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求n a .22.已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b ：的离心率32，点3⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()()()()0,1,,0,4,02A M t N t t -≠，直线AM AN ，分别与椭圆C 交于点,(,S T S T 异于),A AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．【答案】（1）2214x y +=（221-【解析】【分析】（1）根据题意结合离心率列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）联立方程求,S T 的坐标，根据向量平行可知直线ST 过定点()2,1Q ，进而分析可知点H 在以AQ 为直径的圆上，结合圆的性质分析求解.【小问1详解】由题意可得：2222213142a b c a b c e a ⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意可得：直线:AM x ty t =-+，联立方程2214x ty t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()22224240t y t y t +-+-=，解得2244t y t -=+或1y =，可知点S 的纵坐标为2244t t -+，可得2224844t t x t t t t -=-⋅+=++，即22284,44t t S t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：()()()()2228444,4444t t T t t ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，即()22284812,820820t t t T t t t t ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭，取()2,1Q ，则()222228,44t QS t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪++⎝⎭ ，()222228,820820t QT t t t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪-+-+⎝⎭，因为()()222222222288082044820t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-----=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪-+++-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知QS ∥QT ，即,,Q S T 三点共线，可知直线ST 过定点()2,1Q ，又因为AH ST ⊥，且()0,1A ，可知：点H 在以AQ 为直径的圆上，该圆的圆心为()1,1E ，半径112r AQ ==，所以OH的最小值为1OE r -=.。
河南省信阳市普通高中2024学年高二数学第一学期期末检测试题含解析
河南省信阳市普通高中2024学年高二数学第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题错误．．的是() A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B.命题“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”C.若命题p ：1,x <-或1x >；命题q ：2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件D.“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件2．已知函数()2x f x =，在[1,9]上随机取一个实数0x ，则使得()0 8f x ≤成立的概率为（ ）A.18 B.14 C.13D.233．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5， 11，21，37，61，则该数列的第7项为（ ） A.95 B.131 C.139D.1414．已知函数2()42x xf x =-．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n n S f a +=，211a a =，则1a 的最大值为（）A.9B.12C.20D.6345．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（） A.50% B.30% C.10%D.60%6．设实数x ，y 满足450501x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则5z x y =+的最小值为（）A.5B.6C.7D.87．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>> 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 上，若线段1PF 的中点在y轴上，且12PF F △为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.1+B.2C.2+8．用数学归纳法证明()*1111,12321nn n n ++++<∈>-N 时，第一步应验证不等式（） A.1122+< B.111223++<C.111323++< D.11113234+++< 9．已知随机变量2(3,)N ξσ，()40.76P ξ≤=，则()2P ξ≤的值为（）A.0.24B.0.26C.0.68D.0.7610．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（） A.6 B.3 C.0D.3-11．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P ，R为C 上位于F 右侧的两点，若存在点Q 使四边形PFRQ 为正方形，则PF =（）A.4+B.4-C.2-+ D.2+12．在区间(1,3)-内随机取一个数x ，则使得26>-x x 的概率为（ ） A.14B.12C.13D.23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省德州市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
高二数学试题（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1-3页，第Ⅱ卷4-6页，共150分，测试时间120分钟。
注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
）1．已知两个向量(1,1,2),(1,1,)a b m ==r r ，若a b ⊥rr ，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知集合{1,2,3},{4,5,6,7}M N =-=--，从集合M 中选一个元素作为点的横坐标，从集合N 中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．123．5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x 12345销售量y （千部）0.50.81.01.21.5若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.28ybx =+，则可以预测6x =时，该商城5G 手机的销量约为_________千部．（）A ．1.48B ．1.56C ．1.64D ．1.724．某物理量的测量结果服从正态分布()2100,N σ，下列结论中错误的是（）A ．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5B ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(99101)，的概率越大C ．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(99102)，与落在(100103)，的概率相等5．在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为6，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PB 的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．66B ．427C ．147D ．776．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，y （x ，y ∈N ）代替，分布列如下：X i =123456()P X i =0.210.200.5x 0.100.1y0.10则31123P X ⎛⎫<<=⎪⎝⎭（）A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.657将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成1(1)rnn C +，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果2n ≥（n 为正整数），则下列结论中正确的是（）第0行11第1行1212第2行131613第3行1411211214…………A ．当2023n =时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．当2024n =时，中间一项为1013202412025C C ．第6行第5个数是1105D ．11111(,1)(1)(1)r r r n n nr r n n C n C nC --+=∈≤≤++N8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11220,F A F B F B F A ⋅==-uuu r uuu r uuu r uuu r，则双曲线C 的离心率为（）A ．312+B 1C ．512+D 1二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
2023—2024学年度第一学期教学质量检测高二数学试题（答案在最后）2024.01本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.注意事项：1.答第I 卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，2.选出每小题答案前，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()0,1 B.()0,2 C.()2,0 D.()1,02.已知四面体OABC 中，,,,(0),OA a OB b OC c OM MA N λλ====>为BC 中点，若111422MN a b c =-++，则λ=（）A.3B.2C.12D.133.正方体1111,,ABCD A B C D E G -分别111,C D D D 的中点，则直线CE 与直线AG 所成角的余弦值为（）A.13B.12C.25D.354.等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，若236,,a a a 成等比数列，则d =（）A.0或-2B.2或-2C.2D.0或25.已知两点()()3,0,1,2A B -，以线段AB 为直径的圆截直线20x y ++=所得弦长为（）A. C.4D.26.已知椭圆22:13x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，直线3y x =-与C 交于,A B 两点，则1F AB 的面积与2F AB 面积的比值为（）A.3B.27.某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.3≈≈≈）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年8.曲线22x y x y +=+围成图形的面积为（）A.2πB.πC.2π4+ D.π2+二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1:880l ax y +-=与直线2:20l x ay a +-=，下列说法正确的是（）A.当8a =时，直线1l 的倾斜角为45B.直线2l 恒过()0,1点C.若4a =，则1l ∥2lD.若0a =，则12l l ⊥10.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）A.若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列B.若{}n b 的前n 项和22n S n n =++，则数列{}n b 为等差数列C.若数列{}n a 为等比数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S -- 成等比数列D.若数列{}n b 为等差数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S -- 成等差数列11.下列说法正确的是（）A.已知()()0,1,1,0,0,1a b ==- ，则a 在b上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.若G 是四面体OABC 的底面ABC 的重心，则()13OG OA OB OC =++ C.若234555OG OA OB OC =-++，则,,,A B C G 四点共面D.若向量p mx ny kz =++ ，（,,x y z都是不共线的非零向量）则称p 在基底{},,x y z 下的坐标为{},,m n k ，若p 在单位正交基底{},,a b c 下的坐标为{}1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c -+下的坐标为13,,322⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12.已知点()0,2,,A AM AN -为圆22:410C x y x +--=的两条切线，切点分别为,M N ，则下列说法正确的是（）A.圆C 的圆心坐标为()2,0B.切线AM =C.直线MN 的方程为2210x y ++=D.15sin 8MAN ∠=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l 在x 轴､y 轴上的截距分别是32和-3，则直线l 的一般式直线方程为__________.14.若双曲线2221(0)y x m m-=> 的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =__________.15.如图，两条异面直线,a b 所成的角为60 ，在直线,a b 上分别取点1,A E 和点,A F ，使11,A A a A A b ⊥⊥，已知11,2,3A E AF EF ===，则1AA =__________.16.如图所示，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，1122,4F A F B BF AF ⊥=，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE =，点F 为BD 中点.（1）求点1D 到直线EF 的距离；（2）求证：1AC ⊥面BDE .18.（12分）M 是坐标平面内一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB （O 为坐标原点）的面积为6.（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）如图所示，斜率为(0)k k >且过()6,0的直线l 与曲线C 交于,G H 两点，点N 为线段GH 的中点，射线ON 与曲线C 交于点E ，与直线2x =交于点F .证明：,,ON OE OF 成等比数列.19.（12分）已知等差数列{}n a 中的前n 项和为n S ，公差为0d ≠，且2514,,a a a 成等比数列，525S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前30项的和30T .20.（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,2,60,,ABCD PA AC ABC E F ∠︒===分别在梭,PD PC 上，M 为BC 的中点.（1）若2,PE DE F =为PC 中点，证明：BF ∥面ACE ；（2）若PE DE =，是否存在点F ，使得ME 与平面AMF 所成角的正弦值为15？若存在，求出PC PF的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列{}n a .（1）写出n a 与1n a +的递推关系，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且122n n b S +=+，在n b 与1n b +之间插入n 个数，若这2n +个数恰能组成一个公差为n d 的等差数列，求数列{}n n a d ⋅的前n 项和n T .22.（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点()0,3E ，过抛物线C 的焦点且平行于x 轴的直线l 与圆E 相切，与C 交与,P Q 两点，4PQ =.（1）求C 和圆E 的方程；（2）过C 上一点A 做圆E 的两条切线,AM AN 分别与C 交于M N ､两点，判断直线MN 与圆E 的位置关系，并说明理由.参考答案一､选择题二､填空题13.230x y --=16.105三､解答题17.解：证明（1）由题知以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：正四棱柱1124,4,AA AB CC CE F ===为BD 中点()()()()()110,0,4,0,2,1,1,1,0,0,2,3,1,1,1D E F ED EF ∴=-=--3d ∴===（2）法一：由（1）知()()()10,2,0,2,2,0,2,0,4C B A ()()()12,2,4,2,2,0,0,2,1A C DB DE ∴=--==又DB DE D⋂= 11,A C DB A C DB ∴⋅∴⊥110,A C DE A C DE⋅=∴⊥1AC ∴⊥面BDE 法二：设面BDE 的法向量(),,m x y z =则有0202200m DE y z x y m DB ⎧⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩令1x =，则()1,1,2m =-112A C m A C ∴=-∴ ∥m .1AC ∴⊥面BDE .18.（1）设动点(),M x y ，由于,MA MB 分别与直线,y x y x ==-垂直，所以，四边形OAMB 是矩形，6MA MB ∴⋅=MA MB ==2212x y ∴-=,A B 两点分别在一､四象限，0,0x y x y ∴->+>M ∴点的轨迹方程C 为：2212,(0)x y x -=>（2）设直线l 的方程为：()()()11226,,,,y k x G x y H x y =-，中点()00,N x y 直线l 的方程与C 的方程联立()22612y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得：()222211236120k x k x k -+--=210Δ000k k k ⎧-≠⎪>∴>⎨⎪>⎩且1k ≠2122121k x x k -+=-20261k x k -∴=-将其代入()6y k x =-得0261k y k -=-要证,,ON OE OF ∣成等比数列，只要证明,,N E F 三点的横坐标成等比数列即可.直线ON 的斜率1ON k k=直线ON 的方程为1y x k=方程1y x k =与方程C 联立得E 点横坐标222121E k x k =-，F 点的横坐标显然2F x =222022612211F Ek k x x x k k -⋅=⨯==-- ,,ON OE OF 成等比数列.19.解：（1）由题意，2151141,4,13a a d a a d a a d=+=+=+2514,,a a a 成等比数列，25214a a a ∴=⋅，即()()()2111413a d a d a d +=+⋅+又51545252dS a ⨯=+= 解得112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-（2）21n a n =- ，1212(1)(1)(21)n n n n b a n ++∴=-=--3012330T b b b b ∴=+++ 22222213575759=-+-+- ()()()()()()1313575757595759=-++-++-+()21355759=-+++++ 1800=-20.解：（1）2,60PA AC ABC ∠=== ，所以ABC 为等边三角形，M 为BC中点,AM BC AM ∴⊥==，又AD ∥BC ，所以AM AD⊥以A 为原点，,,AM AD AP 分别头,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则11,0),(0,2,0),(0,0,2),,,122B C M D P F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭422,0,,33PE DE E ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭)3342,,1,,0,2233BF AC AE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设平面ACE 的一个法向量(),,m x y z =则00420033y m AC y z m AE ⎧+=⋅=⎪∴⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩令1x =解得(1,m =(3,,11,022BF m ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭BF m∴⊥ 又BF ⊂ 面ACEBF ∴∥面ACE（2）设()01PF tPC t =≤≤，则))()()),0,0,2,0,1,1,,,22M CP E F t t-))(),,,22,AM AF t t ME ∴==-= 设平面AMF 的法向量(),,n x y z =，则()0,0,220,0,n AM ty t z n AF ⎧⎧=⋅=⎪⎪⎨++-=⋅=⎪⎩令z t =，得平面AMF 的一个法向量()0,22,n t t =- 设ME 与平面AMF 所成的角为θ，则1sin cos ,5ME n ME n ME n θ⋅=== 解得12t =或45t =即存在点F ，且2PC PF =或54PC PF =21.解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，所以有11n n a a n +-=+，所以()()()()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=（2）由122n n b S +=+，得()1222n n b S n -=+≥两式相减得()132n n b b n +=≥{}n b 为等比数列，211223b S b ∴=+=，解得12b =123n n b -∴=⋅123nn b +=⨯()121n n n b b n d +=++- ，1431n n d n -⨯∴=+123n n n a d n -∴⋅=⋅，()012121323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ()124321323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ()()1231213321333332313nn n n n n T T n n ---=+++++-⋅=-⋅- 11322nn T n ⎛⎫∴=+-⋅ ⎪⎝⎭22.解（1）由题意知直线l 的方程为2py =与2:2C x py =方程联立可得,,,22p p P p Q p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24PQ p ∴==C ∴的方程为24x y =，直线l 的方程为1y =又 直线l 与圆E 相切，∴圆E 的半径为2圆E 的方程为22(3)4x y +-=（2）设C 上三点222312123,,,,,444x x x A x M x N x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然123x x x ≠≠∴直线AM AN MN ､､的斜率都是存在的∴直线AM 的斜率22211221444AMx x x x k x x -+==-∴直线AM 的方程为()121240x x x y x x +--=同理AN 的方程为()131340x x x y x x +--=MN 的方程为()323240x x x y x x +--= 圆E 与直线AM 相切，∴2=化简得：()222121214168040x x x x x -++-=同理，圆E 与直线AN 相切，可得()222131314168040x x x x x -++-=所以：23,x x 是方程()2221114168040x x x x x -++-=的两个根，由韦达定理123212123211648044x x x x x x x x -⎧+=⎪-⎪⎨-⎪⋅=⎪-⎩E ∴点到直线MN的距离()()212184244x d x +====+。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
(完整word版)高二第一学期数学期末考试题及答案(人教版文科)
2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试题文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1．在相距2km的A、B两点处测量目标C, 若∠CAB＝75°, ∠CBA＝60°, 则A、C两点之间的B. 3 km距离是（）A. 2 kmA．2kmC. kmD. 3 km2. 已知椭圆（）的左B．4C．3D．2焦点为,则（）A．93. 在等差数列中,,则B. 15C. 20D. 25的前5项和=（）A．74. 某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一B. 100m2C. 200m2D. 250m2个矩形的停车场.若圆的半径为10m,则这个矩形的面积最大值是（）A. 50m2A．50m25. 如图所示, 表示满足不等式的点所在的平面区域为（）B ．C ．D ．A ．6. 焦点为(0, ±6)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）B ．A ．C ．D ．7. 函数的导数为（）B ．A ．C ．D ．8. 若＜＜0, 则下列结论正确的是（）B ．A. bA ．bC. -2D ．9. 已知命题: 命题.则下列判断正确的是（）B. q是真命题A. p是假命题A．p是假命题C. 是真命题D. 是真命题10. 某观察站B. 600米C. 700米D. 800米与两灯塔、的距离分别为300米和500米, 测得灯塔在观察站北偏东30 , 灯塔在观察站正西方向, 则两灯塔、间的距离为（）A. 500米A．500米11. 方程表示的曲线为（）A. 抛物线A．抛物线B. 椭圆 C. 双曲线D．圆12. 已知数列的前项和为, 则的值是（）A. -76A．-76B. 76C. 46D. 13二、填空题（每题5分, 共20分）13.若, , 是实数, 则的最大值是_________14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点, 如果, 那么＝___________.15.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点, 且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1, 则双曲线的方程是____________．16.直线是曲线y=l.x（x>0）的一条切线，则实数b=___________2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试文科数学（提高班）答题卡二、填空题（共4小题, 每题5分）13. 2 14、 815. 16.三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.已知数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证数列是等比数列；18.已知不等式组的解集是, 且存在, 使得不等式成立.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求实数的取值范围.19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收益满足函数:（其中是仪器的月产量）.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时, 公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益-总成本）20.根据下列条件, 求双曲线的标准方程.(1)经过点, 且一条渐近线为；(2) 与两个焦点连线互相垂直, 与两个顶点连线的夹角为.21.已知函数在区间上有最小值1和最大值4, 设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上有解, 求实数k的取值范围.22.已知函数（）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在常数, 使得, 恒成立？若存在, 求常数的值或取值范围；若不存在, 请说明理由.文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1.考点: 1. 2 应用举例试题解析：由题意, ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°, 由正弦定理得＝, 所以AC＝·sin60°＝(km)．答案：C2.考点: 2. 1 椭圆试题解析：, 因为, 所以, 故选C．答案：C3.考点: 2. 5 等比数列的前n项和试题解析: .答案：B4.考点: 3. 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析：如图,设矩形长为, 则宽为,所以矩形面积为 , 故选C答案: C5.考点：3．.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析: 不等式等价于或作出可行域可知选B答案: B6.考点: 2. 2 双曲线试题解析：与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为，又因为双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为.答案：B7.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：, 故选B.答案：B8.考点: 3. 1 不等关系与不等式试题解析：根据题意可知, 对两边取倒数的得, 综上可知, 以此判断：A．正确；因为：, 所以：, B错误；, 两个正数相加不可能小于, 所以C错误；, D错误, 综上正确的应该是A．答案：A9.考点: 1. 3 简单的逻辑联结词试题解析：当时, （当且仅当, 即时取等号）, 故为真命题；令, 得, 故为假命题, 为真命题；所以是真命题.答案：C10.考点: 1. 2 应用举例试题解析：画图可知在三角形ACB中, , , 由余弦定理可知, 解得AB=700.答案：C11.考点: 2. 1 椭圆试题解析：方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离, 点不在直线上, 符合抛物线的定义；答案：A12.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析：由已知可知：, 所以, , , 因此, 答案选A.答案：A二. 填空题（每题5分, 共20分）13.考点: 3. 4 基本不等式试题解析：, , 即,则, 化简得, 即, 即的最大值是2.答案：214.考点: 2. 3 抛物线试题解析：根据抛物线方程知, 直线过焦点, 则弦, 又因为, 所以．答案：815.考点: 2. 2 双曲线试题解析：椭圆长轴的端点为, 所以双曲线顶点为, 椭圆离心率为,所以双曲线离心率为, 因此双曲线方程为答案：16.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：设曲线上的一个切点为（m, n）, , ∴,∴.答案：三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析: （Ⅰ）设数列由题意得:解得:（Ⅱ）依题,为首项为2, 公比为4的等比数列（Ⅲ）由答案: （Ⅰ）2n-1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）{1, 2, 3, 4}18.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析：（Ⅰ）解得；（Ⅱ）令, 由题意得时, ．当即, （舍去）当即, .综上可知, 的取值范围是.答案: （Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是19.考点: 3. 4 生活中的优化问题举例试题解析：（1）（2）当时,∴当时, 有最大值为当时,是减函数,∴当时, 的最大值为答：每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元.答案：（1）；（2）每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元20.考点: 双曲线试题解析:（1）由于双曲线的一条渐近线方程为设双曲线的方程为（）代入点得所以双曲线方程为（2）由题意可设双曲线的方程为则两焦点为, 两顶点为由与两个焦点连线垂直得, 所以由与两个顶点连线的夹角为得, 所以, 则所以方程为21.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析: （1）, 因为, 所以在区间上是增函数,故, 解得．（2）由已知可得, 所以, 可化为,化为, 令, 则, 因, 故,记, 因为, 故,所以的取值范围是22.考点: 3. 3 导数在研究函数中的应用试题解析:（1）, 所求切线的斜率所求切线方程为即（2）由, 作函数,其中由上表可知, , ；,由, 当时, , 的取值范围为, 当时, , 的取值范围为∵, 恒成立, ∴答案：（1）（2）存在, , 恒成立100.在中, 角所对的边分别为, 且满足, .（.）求的面积；（II）若, 求的值.46.考点: 正弦定理余弦定理试题解析：（Ⅰ）又, , 而, 所以, 所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 而, 所以所以答案: (1)2(2)。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
河北省沧州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测试题 数学含答案
沧州市2023-2024学年第一学期期末教学质量监测高二数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+，则123是该数列的（）A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项2.已知直线方程为10x ++=，则其倾斜角为（）A .30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.已知()2,1,1a =-- ，(),1,2b k =- ，若a b + 与a 垂直，则k =（）A.52-B.2-C.2D.524.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为()A .1B.0C.0或2D.0或15.若焦点为F 的抛物线24y x =上一点P ，则原点O 到直线PF 的距离d =（）A.23B.223C.1D.6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），若四个点()13,1A ，()22,1A ，()33,1A --，4,tan cos A b θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（ππ2k θ≠+，Z k ∈）中有三个点在C 上，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.22y x =±D.3y x =±7.在等差数列{}n a 中，p ，*N q ∈，且p q ≠，若2p a q =，2q a p =，则p q a +=（）A.()p q -+ B.()12p q -+ C.pq- D.12pq -8.已知平面上两定点A ，B ，满足PAk PB=（0k >，且1k ≠）的点P 的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线260x y +-=与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点M ，N 满足2OM ON ==，2MA MB =，2NA NB =，则直线MN 的方程为（）A.210x y -+= B.210x y --= C.210x y +-= D.210x y ++=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()e xf x x =，则下列结论正确的是（）A.()f x 有两个单调区间B.()f x 有两个极值点C.()f x 有最小值1e-D.()f x 有最大值e10.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比为q （1q ≠），前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.n mn m a a q -=（m ，*n ∈N ）B.()11n n S q a a q-=-C.{}ln n a 是等比数列D.12111111n n n q a a a a q-+++=⋅- 11.在棱长为2的正四面体A -BCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G 是△BCD 的重心，则下列结论正确的是（）A .0AB CD ⋅=B.2AB EF ⋅= C.EF 在AB上的投影向量为13ABD.()13EG AB AC AD =+-12.已知(),0F c 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则下列结论正确的是（）A.2OB OA =B.AFO AOB ∠=∠C.离心率e =D.若AOB S =△，则3c =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线30x y +-=被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为______________．14.已知()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭'，则π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______________．15.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点1A 到平面1AB C 的距离为______________．16.已知数列{}n a 各项均为正数，且首项为1，221122n n n nn na a a a ++++=，则20a =______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△OAB 中，O 是坐标原点，()2,2A -，()1,3B ．（1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△OAB 的外接圆方程18.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且4a ，6a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明：121112nS S S +++< ．19.已知P 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，且点P 到抛物线的焦点F 的距离为12，到y 轴的距离为10．（1）求p 的值；（2）过点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．20.已知函数()2ln 22a f x x x x =--．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．21.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均相等，O ，D 分别是AB ，1CC的中点．（1）证明：OD ∥平面11AC B ；（2）若1A O BC ⊥，且160BAA ∠=︒，求平面11A AC 与平面11AC B 所成角的余弦值．22.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），F 是其右焦点，点)P在椭圆上，且PF ⊥x 轴，O 为原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的两点，且△OMN ，求证：直线OM 与ON 的斜率之积为定值．沧州市2023-2024学年第一学期期末教学质量监测高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列{}n a 的通项公式22n a n =+，则123是该数列的（）A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项【答案】C 【解析】【分析】根据通项公式可直接求出.【详解】由22123n a n =+=，解得11n =（11n =-舍去），故选：C ．．2.已知直线方程为10x ++=，则其倾斜角为（）A .30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】由直线方程可得斜率3k =-，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题知直线斜率为33k =-，若直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，∵0180α︒≤<︒，∴150α=︒，故选：D ．3.已知()2,1,1a =-- ，(),1,2b k =- ，若a b + 与a垂直，则k =（）A.52-B.2-C.2D.52【答案】A 【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】()2,2,1a b k +=+- ，∴()24210a b a k +⋅=++-= ，解得52k =-，故选：A ．4.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为()A.1B.0C.0或2D.0或1【答案】D 【解析】【详解】当AB 与CD 斜率均不存在时，2,11m m m =+=故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，12m m m+=，得到m=1，此时AB ∥CD.故答案选D ．点睛：解答本题易出现选A 的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB 与CD 的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子．5.若焦点为F 的抛物线24y x =上一点P ，则原点O 到直线PF 的距离d =（）A.3B.223C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出点P 的坐标，然后利用焦半径公式求出32PF =，再根据等面积法列式求解即可.【详解】由已知可得点P 的横坐标为201142x =⨯=，由抛物线定义知0131222p PF x =+=+=，因为11122OPF P S OF y =⨯⨯=⨯ 且12OPF S PF d =⨯⨯ 1322d =⨯⨯，所以1131222d ⨯=⨯⨯，解得223d =.6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），若四个点()13,1A ，()22,1A ，()33,1A --，4,tan cos A b θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（ππ2k θ≠+，Z k ∈）中有三个点在C 上，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.2y x =±D.3y x =±【答案】D 【解析】【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后将4A 代入，求出,a b 的值，进而得到双曲线的渐近线方程.【详解】∵1A ，3A 关于原点对称，线段12A A 垂直于y 轴且在x 轴的同侧，∴2A 不在双曲线上，将4A 代入双曲线方程()22226cos tan 1b a b θθ⎛⎫⎪⎝⎭-=，解得a =，代入点1A解得b =，所以该双曲线的渐近线方程为33b y x x a =±=±．故选：D ．7.在等差数列{}n a 中，p ，*N q ∈，且p q ≠，若2p a q =，2q a p =，则p q a +=（）A.()p q -+B.()12p q -+ C.pq- D.12pq -【答案】C【分析】设出首项和公差并表示出p a 和q a ，然后表示出公差，最后求出结果即可．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()211p a a p d q =+-=，()211q a a q d p =+-=，两式相减得d =-()p q +，则()2p q p a a qd q q p q pq +=+=-+=-，故选：C ．8.已知平面上两定点A ，B ，满足PAk PB=（0k >，且1k ≠）的点P 的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线260x y +-=与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，点M ，N 满足2OM ON ==，2MA MB =，2NA NB =，则直线MN 的方程为（）A.210x y -+=B.210x y --= C.210x y +-= D.210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出点M ，点N 是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程.【详解】由题得()6,0A ，()0,3B ，设(),M x y ，∵2OM =，∴点M 在圆1C ：224x y +=上．∵2MA MB =，∴()()2222643x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦，整理得22480x y x y ++-=，∴点M 也在圆2C ：2248x y x y ++-0=上，同理点N 也在这两个圆上，∴MN 是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得210x y -+=，即直线MN 的方程为210x y -+=，故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()e xf x x =，则下列结论正确的是（）A.()f x 有两个单调区间B.()f x 有两个极值点C.()f x 有最小值1e- D.()f x 有最大值e【答案】AC 【解析】【分析】求出导函数，结合导函数的正负分析原函数的单调性，进而得出极值最值情况.【详解】由已知得()()'1e xf x x =+，由()'0f x >解得1x >-，由()'0f x <解得1x <-，所以()f x 在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，∴()f x 只有一个极值点1-，且在=1x -处取得极小值也是最小值()11ef -=-，无最大值，故选：AC ．10.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比为q （1q ≠），前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.n mn m a a q -=（m ，*n ∈N ）B.()11n n S q a a q-=-C.{}ln n a 是等比数列D.12111111nn n q a a a a q-+++=⋅- 【答案】ABD 【解析】【分析】根据等比数列通项性质判断A ，根据等比数列求和化简判断B ，根据对数运算及等差数列定义判断C ，根据等比数列求和判断D.【详解】11n n a a q-=，11m m a a q-=，两式相除可得n mn m a a q-=，故A 正确；因为1q ≠，由等比数列求和公式11n n a a qS q-=-，可得()11n n S q a a q -=-，故B 正确；因为1ln ln ln n n a a q +-=（常数），所以{}ln n a 是等差数列，故C 不正确；对于D ，1n a ，11n a -，…，21a ，11a 可看作是以1n a 为首项，q （1q ≠）为公比的等比数列，所以12111111nn n q a a a a q-+++=⋅- ，故D 正确.故选：ABD11.在棱长为2的正四面体A -BCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G 是△BCD 的重心，则下列结论正确的是（）A.0AB CD ⋅= B.2AB EF ⋅=C.EF 在AB上的投影向量为13ABD.()13EG AB AC AD =+-【答案】AB【解析】【分析】取DC 的中点M ，根据CD ⊥平面ABM 判断A ；取BD 的中点H ，2AB EF EH EF ⋅=⋅判断B ；根据投影向量定义判断C ；根据空间向量线性运算判断D.【详解】如图，取DC 的中点M ，连接AM ，BM ，∵AM ⊥CD ，BM ⊥CD ，,,AM BM M AM BM ⋂=⊂平面ABM ，∴CD ⊥平面ABM ，AB ⊂平面ABM ，∴CD ⊥AB ，故A 正确；取BD 的中点H ，连接HE ，HF ，则1//,2HE AB HE AB =，1//,2FH CD FH CD =，∴HE ⊥FH ，即90FHE ∠=︒，又1HE FH ==，∴45HEF ∠=︒，EF =，∴221cos AB EF EH EF ⋅=⋅=⨯⨯452︒=，故B 正确；由B 知，EF 在AB上的投影向量为12EH AB = ，故C 不正确；12EG EA AG =+=- ()()111336AD AB AC AD AB AC AD +++=+-，故D 不正确，故选：AB ．12.已知(),0F c 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则下列结论正确的是（）A.2OB OA =B.AFO AOB ∠=∠C.离心率e =D.若AOB S =△，则433c =【答案】ABD 【解析】【分析】根据点F 到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得30ABO ∠=︒，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C ；解三角形可得，所以OA a ==，AF b =，3AB b =，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D.【详解】如图，∵2AF FB = ，∴2AF FB = ，2OAF OBF S S = ，∵点F 到两条渐近线的距离相等，∴2OB OA =，故A 正确；∵AB ⊥OA ，2OB OA =，∴30ABO ∠=︒，60AOB ∠=︒，30AOF BOF ∠=∠=︒，AFO ∠60=︒，故B 正确；由B 知，一条渐近线的斜率tan 303b a == ，则3c e a ===，故C 不正确；由C 知，3cos302OA OF == ，所以223OA c a a ==⋅==，AF b =，3AB b =，∴132AOB S b =⨯= 3b =，2a =，433c =，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线30x y +-=被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为______________．【答案】【解析】【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出结果.【详解】由已知得圆()()22234x y -+-=的半径2R =，圆心为()2,3，圆心到直线的距离d ==，所以弦长为=．故答案为：14.已知()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______________．【解析】【分析】对函数求导，然后将π3x =代入导函数中，求得相应的导数值.【详解】由已知得()πcos sin 3f x f x x ⎛⎫'+ ⎪⎝⎭'=，则ππππ1π cos sin 3333232f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得π 3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．15.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点1A到平面1AB C 的距离为______________．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离.【详解】以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，1BB 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：11(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,3,3)A C B D ，1(3,3,0),(3,0,3)AC AB =-=- ，()13,3,3BD = ，因为1110,0A A BD C B BD =⋅⋅= ，所以111,AC A D B BD B ⊥⊥，又11,AC AB A AC AB =⊂ 、平面1AB C ，所以1BD ⊥平面1AB C ，所以()13,3,3BD = 是平面1AB C 的一个法向量，又()10,0,3AA = ，∴点1A 到平面1AB C的距离111BD AA d BD ⋅== ．16.已知数列{}n a 各项均为正数，且首项为1，221122n n n nn n a a a a ++++=，则20a =______________．【答案】210【解析】【分析】对原方程化简得12n n a n a n++=，然后利用累乘法求解即可.【详解】由已知2211220n n n n n n a a a a ++++-=，得112110n n n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵0n a >，∴12n nn n a a ++=，得12n n a n a n ++=，由累乘法得()121121112n n n n n a a a a a n n a a a ---=⋅⋅⋅⋅=+ ，∴20210a =,故答案为：210.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△OAB 中，O 是坐标原点，()2,2A -，()1,3B ．（1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△OAB 的外接圆方程【答案】（1）30x y +=（2）2217022x y x y ++-=【解析】【分析】（1）先求出AB 边上的高线的斜率，再利用点斜式求出AB 边上的高所在直线的方程；（2）设OAB 的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），则把,,O A B 的坐标代入求得,,D E F 的值，可得圆的方程．【小问1详解】∵直线AB 的斜率13AB k =，∴AB 边上的高所在直线的斜率3k =-，又AB 边上的高所在直线过原点O ，∴AB 边上的高所在直线的方程为30x y +=．【小问2详解】设OAB 的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），则822010300D E F D E F F -++=⎧⎪+++=⎨⎪=⎩，解得12720D E F ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴OAB 的外接圆方程为2217022x y x y ++-=．18.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且4a ，6a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明：121112nS S S +++< ．【答案】（1）n a n=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量，列方程，即可求解；（2）根据（1）的结果，裂项相消法求和，即可证明不等式.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为0d ≠，∴()11n a n d =+-，∴431a d =+，651a d =+，981a d =+．由已知得()()()2513181d d d +=++，解得1d =或0d =（舍），∴数列{}n a 的通项公式为n a n =．【小问2详解】由（1）知，()11212n S n n n =+++=+ ，∴()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴121111111112121222311n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ．19.已知P 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，且点P 到抛物线的焦点F 的距离为12，到y 轴的距离为10．（1）求p 的值；（2）过点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．【答案】（1）4（2）()242y x =-【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y ，利用点差法化简计算即可得出结果.【小问1详解】由抛物线的定义得10122p PF =+=，故4p =．【小问2详解】由（1）得，4p =，则抛物线C 的方程为28y x =，焦点()2,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y ，∴2118y x =，2228y x =，当M ，F 不重合时，相减整理得12121284AB y y k x x y y y -===-+，2AB MF y k k x ==-，∴42y y x =-，即()242y x =-，当M ，F 重合时，满足上式．∴点M 的轨迹方程为()242y x =-．20.已知函数()2ln 22a f x x x x =--．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】（1）30x y +=（2）3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，可得当2x ≥时，()120x f x a x =--≥'恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案.【小问1详解】当2a =时，()2ln 2x f x x x =--，则()122x xf x =--'，∴()13f =-，()13f '=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x +=--，即30x y +=．【小问2详解】由题意得当2x ≥时，()120x f x a x =--≥'恒成立，∴2212111a x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭≤在2x ≥时恒成立，∵2x ≥，则1102x <≤，由于二次函数()211y t =--在1(0]2,上单调递减，∴当112x =时，2min 1234xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴34a ≤-，即实数a 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．21.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均相等，O ，D 分别是AB ，1CC 的中点．（1）证明：OD ∥平面11AC B ；（2）若1A O BC ⊥，且160BAA ∠=︒，求平面11A AC 与平面11AC B 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，可得四边形1OEC D 为平行四边形，则有1OD C E ∥，利用线面平行的判定定理可证得OD ∥平面11AC B ；（2）可证得1A O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11A AC 与平面11AC B 所成二面角的余弦值.【小问1详解】连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，∵O ，E 分别是AB ，1AB 的中点，D 为1CC 的中点，∴1112OE BB DC ==，∴四边形1OEC D 为平行四边形，∴1OD C E ∥．∵OD ⊄平面11AC B ，1C E ⊂平面11AC B ，∴OD ∥平面11AC B ．【小问2详解】连接OC ，∵160BAA ∠=︒，∴1BAA 为正三角形，∴1A O AB ⊥，∵1A O BC ⊥，且BC AB B =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，∴CO ⊥AB ．以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()1,0,0A，()1A，(C，()1B -，由11AC AC =，可得(1C -．则(1AC =-，()1AA =-，()1AB =- ，设平面11A AC 的法向量为(),,m x y z =，∴1100AC m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，∴)m = ，设平面11AC B 的法向量为(),,n a b c =，∴1100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030a a ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令a =)1n =- ，设平面11A AC 与平面11AC B 所成的角为θ，则cos cos,13m nm nm nθ⋅====，即平面11A AC与平面11AC B所成角的余弦值为13．22.已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>），F是其右焦点，点)P在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．【答案】（1）22142x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求,,a b c，即可求解；（2）当直线MN的斜率不存在时，求得点,M N的坐标，再表示OM ONk k的值，当直线MN的斜率存在时，直线与椭圆方程联立，并表示OMN的面积，并利用韦达定理表示OM ONk k.【小问1详解】由已知得c=21ba=，∵222a b c=+，∴2a=，b c==，∴椭圆C的方程为22142x y+=．【小问2详解】设()11,M x y，()22,N x y，当直线MN的斜率不存在时，不妨令点M在x轴上方，点N在x轴下方，此时，11122y x⨯⨯=11x y=，且2211142x y+=解得：1x =，11y =得)M，)1N -或()M，()1N -，则12OM ON k k ⋅=-；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222214240k x kmx m +++-=，22328160k m ∆=-+>，即22420k m -+>，由根与系数的关系得122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k ，∴MN ==设点O 到直线MN 的距离为d，则d =，∴12MN d ==2212m k =+．∵()()()2222121212122421m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，∴221221241242OM ON y y m k k k x x m -⋅===--．综上，直线OM 与ON 的斜率之积为定值12-．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键需讨论两种情况，重点是根据面积公式，得到2212m k =+这个关键条件.。
浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
2023学年第一学期期末教学质量调测高二数学试题（答案在最后）注意事项：1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题．2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校､班级､姓名和准考证号．3．试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.下列方程所表示的直线中，倾斜角为π4的是（）A.210x y --=B.210x y +-=C.10x y --=D.10x y +-=【答案】C 【解析】【分析】将直线方程化成斜截式得到直线斜率，由此确定直线的倾斜角是否符合.【详解】对于A 项，直线的斜率为2，故直线的倾斜角不是π4，故A 项错误；对于B 项，直线的斜率为12-，故直线的倾斜角不是π4，故B 项错误;对于C 项，直线的斜率为1，故直线的倾斜角是π4，故C 项正确；对于D 项，直线的斜率为1-，故直线的倾斜角不是π4，故D 项错误.故选：C.2.已知平面α⊥平面,,βαβ的法向量分别为()()121,2,3,0,,2n n x ==，则实数x =（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】B 【解析】【分析】由平面,αβ互相垂直可知其对应的法向量也垂直，然后用空间向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】∵平面α⊥平面β，∴平面,αβ的法向量也垂直，∴120n n ⋅= ，即120260n n x ⋅=++=，解得：3x =-.故选：B .3.已知等比数列{}12,1,2n a a a ==，则数列{}n a 的前10项和为（）A.55B.110C.511D.1023【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得公比，再利用等比数列前n 项和公式，即可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和n S ，则212a q a ==，故101012102312S -==-.故选：D.4.已知直线:10l x y -+=，圆()22:24C x y -+=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能【答案】C 【解析】【分析】求出点C 到直线l 的距离即可求解.【详解】因为圆()22:24C x y -+=，所以(2,0)C ，半径2r =，因为点C 到直线l 的距离22d ==>，所以直线l 与圆C 的位置关系是相离.故选：C.5.已知椭圆22:14x C y +=，过原点O 且倾斜角为π4的直线交椭圆于,A B 两点，则AB =（）A.5B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.【详解】依题意，可得直线的方程为：y x =，代入2214x y +=中，整理解得：5x =±，当5x =，5y =；当5x =-时，5y =-，故有25252525(,),(,5555A B --,则55AB ==⨯=.故选：D.6.正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是111111,,A D A B B C 的中点，点P 是线段FG （含端点）上的动点，当P 由点F 运动到点G 时，三棱锥A CEP -的体积（）A.先变大后变小B.先变小后变大C.不变D.无法判断【答案】C 【解析】【分析】A CEP P AEC V V --=，AEC △的面积不变，判断点P 到平面AEC 的距离变化情况即可.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，四边形11AA C C 为平行四边形，有11//AC A C 正方形1111D C B A 中，,F G 分别是1111,A B B C 的中点，有11//FG A C ，得//FG AC ，FG ⊄平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，则//FG 平面AEC ，所以P 由点F 运动到点G 时，点P 到平面AEC 的距离保持不变，又,,A E C 三点为定点，AEC △的面积不变，所以三棱锥P AEC -的体积不变，即三棱锥A CEP -的体积不变.故选：C7.斐波那契数列{}n a 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci ）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{}n a 满足12211,n n n a a a a a ++===+，则1352023a a a a ++++= （）A .2025a B.2024a C.20251a - D.20241a -【答案】B 【解析】【分析】根据递推公式，342564,,a a a a a a =-=- ，累加即可求得结果.【详解】根据斐波那契数列的递推公式，可得1352023a a a a ++++= ()()()1426420242022a a a a a a a +-+-+- 2024212024a a a a =-+=.故选：B.8.已知直线l 过点()2,0P -交抛物线2:4C y x =于,A B 两相异点，点B 关于x 轴的对称点为B '，过原点O 作直线AB '的垂线，垂足为Q ，则Q 点的轨迹方程为（）A.()()22110x y y -+=≠ B.()()22140x y y -+=≠C.()()22210x y y -+=≠ D.()()22240x y y -+=≠【答案】A 【解析】【分析】求得直线AB '恒过的定点，结合圆的定义，即可容易求得结果.【详解】设抛物线24y x =上两点,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，若直线AB 斜率存在，则()()121212121212414y y y y k x x y y y y y y--===-++-，则直线AB 方程为：()11124y y x x y y -=-+，()212112144y y y y y y x x +--=-，又2114y x =，故AB 方程为：()12124y y y x y y +=+；若直线AB 斜率不存在，则12120,y y x x +==，此时直线AB 方程为：1x x =，显然()12124y y y x y y +=+也可表示这种情况；综上所述：抛物线24y x =上两点,A B ，若坐标分别为()()1122 ,,,x y x y ，则直线AB 方程可表示为：()12124y y y x y y +=+.又AB 过点()2,0P -，故128y y =；又B '为()22,x y -，同理可得直线AB '方程为：()12124y y y x y y -=-，也即()1248y y y x -=-，其恒过定点()2,0，记该点为M ；根据题意可得，OQ QM ⊥，故点Q 在以OM 为直径的圆上，且不与,O M 重合；容易得该圆圆心为()1,0，半径1r =，故Q 点的轨迹方程为：()()22110x y y -+=≠.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够求得直线AB '恒过的定点，本题采用()12124y y y x y y +=+表达直线AB 方程，可简化运算；属综合困难题.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线22:142x y C t t +=--，则下列结论正确的是（）A.当24t <<时，曲线C 是椭圆B.当4t >或2t <时，曲线C 是双曲线C.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则23t <<D.若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则24t <<【答案】BC 【解析】【分析】对t 的取值范围进行分类讨论，即可判断和选择.【详解】对方程22142x y t t +=--：若420t t ->->，表示焦点在x 轴上的椭圆，此时()2,3t ∈；若420t t -=->，表示圆，此时3t =；若042t t <-<-，表示焦点在y 轴上的椭圆，此时()3,4t ∈；若40,20t t ->-<，表示焦点在x 轴上的双曲线，此时(),2t ∈-∞；若40,20t t --，表示焦点在y 轴上的双曲线，此时()4,t ∈+∞；根据上述讨论，BC 正确.故选：BC.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为317,4,147n S a a S =-=，则（）A.128a = B.421a =C.数列{}n a 为单调递减数列 D.n S 取得最大值时，14n =【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件求出等差数列{}n a 的首项和公差，通过计算验证各选项的结论即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3174,147a a S =-=，得111247671472a d a a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1272a d =⎧⎨=-⎩，故A 选项错误；41327621a a d =+=-=，B 选项正确；由20d =-<，()1*Nn n a a n +<∈，等差数列{}na 为单调递减数列，C 选项正确；()211282n n n S na d n n -=+=-+，由二次函数的性质可知，n S 取得最大值时，14n =，D 选项正确.故选：BCD11.已知点()4,1M ，若过点()2,1N -的直线l 交圆22:9C x y +=于,A B 两点，R 是圆C 上的动点，则（）A.AB 的最大值为6B.AB 的最小值为4C.RM RN ⋅ 的最小值为-1D.RM RN ⋅的最大值为34【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，B ，由圆的性质可得当直线l 与CN 垂直时，AB 有最小值，当直线l 经过圆心时，AB 有最大值，求出即可判断；设(3cos ,3sin )R θθ，从而可得1618cos RM RN θ⋅=-，进而可求出其最小值和最大值可判断C 、D.【详解】当直线l 与CN 垂直时，圆心C =AB 的最小值为4=，当直线l 经过圆心时，AB 的最大值为6，故A ，B 正确；设(3cos ,3sin )R θθ，则()43cos ,13sin (23cos ,13sin )RM RN θθθθ⋅=--⋅---()()()43cos 23cos 13sin (13sin )θθθθ=--+---()22812cos 6cos 9cos 13sin 3sin 9sin θθθθθθ=--++--++1618cos θ=-，由[]cos 1,1θ∈-，当cos 1θ=时，()min16182RM RN ⋅=-=- ，当cos 1θ=-时，()max161834RM RN⋅=+=，故C 错误，D 正确.故选：ABD12.在三棱锥A BCD -中，2,,,,AB CD AC BD AD BC E F G H ======分别是线段,,,AB AC CD BD 上的点，且满足BC 平面,EFGH AD 平面EFGH ，则下列说法正确的是（）A.四边形EFGH 为矩形B.三棱锥A BCD -的外接球的半径为2C.FG GH +=D.四边形EFGH 的面积最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由10CB AD ⋅=≠即可举出反例；对于B ，由补形法将其放入长方体中即可验算；对于C ，由截平行线段成比例即可验算；对于D ，由三角形面积公式结合基本不等式相关推论即可验算.【详解】对于A ，BC 平面EFGH ,AD 平面EFGH ，又BC ⊂面BCA ，面BCA ⋂面EFGH EF =，所以//BC EF ，同理//,//,//AD EH AD GF BC GH ，而()CB AD CB CA CD CB CA CB CD⋅=⋅-+=-⋅+⋅ 222222534543102222CB CA BA CB CD BD CB CA CB CD CB CA CB CD+-+-+-+-=-⋅⋅+⋅=-+=≠⋅⋅，所以CB 与AD 不垂直，从而EF 与EH 也不垂直，故A 错误；对于B，把题设四棱锥放入长方体中，如图所示，不妨设长方体的棱长分别为,,a b c ，且222222345a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，易知长方体的体对角线长度等于三棱锥A BCD -的外接球的半径的两倍，所以()222226R a b c =++=，解得2R =，故B 正确；对于C ，由A 可知//BC EF ，且//,//,//AD EH AD GF BC GH ，所以由截平行线段成比例得11FG CG CD GD GD GH ADCDCDCDCB-===-=-，又AD BC ==，所以FG GH +=C 正确；对于D ，由A可知1cos cos ,cos ,5HGF GH GF BC AD ∠===-，所以sin 5HGF ∠==，所以四边形EFGH的面积22sin sin 2252FG GH S FG GH HGF HGF ⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅∠≤⋅∠=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号成立当且仅当52FG GH ==，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：B 选项的关键是把题设四棱锥放入长方体中，由此即可顺利得解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量()()2,4,0,1,,a b x y =-=- ，且a b，则a b -= __________．【答案】【解析】【分析】由向量平行，求得参数,x y ，再求a b - 的坐标以及模长即可.【详解】ab，故可得42,02x y -=-=-，解得2,0x y ==，故a b - ()3,6,0=-，则a b -==.故答案为：.14.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线上一点，满足2π3AFO ∠=（O 为坐标原点），AK l ⊥，垂足为K ，若2AK =，则AFK S = __________．【解析】【分析】利用抛物线定义，将已知条件转化到Rt AHF 中，求得AH ，即AFK △的高，进而求得面积.【详解】由已知AK l ⊥，则//AK x 轴，过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，过F 作FMAK ⊥，垂足为M ，则//AH MF ，四边形AMFH 为平行四边形，所以AH MF =，且AFK △中以AK 为底边的高即为MF ，在Rt AHF 中，由抛物线的定义知2AF AK ==，又2πππ33AFH ∠=-=，则πsin 232AH AF ==⨯=，则1122AFK S AK FM =⋅=⨯= .15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为__________．【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出1PF 和2PF ，然后在12PF F 中用余弦定理即可求解.【详解】如图所示：因为2PQF 是正三角形，所以22PQ QF PF ==，12120F PF ∠=︒，由双曲线定义可知122QF QF a -=，即112QF PQ PF a -==，再由212PF PF a -=可得24PF a =在12PF F 中，22212121212cos 2·PF PF F F F PF PF PF +-∠=，即()()()22224212·2·42a a c a a+-=-，整理得：22284a c =，227c a=，所以e =16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222n n n S a a =+-，则71n n S a +-的最小值为__________．【答案】214【解析】【分析】由,n n a S 的关系得*1,N n a n n =+∈，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解.【详解】由题意21111222a S a a ==+-，因为数列{}n a 是正项数列{}n a ，所以解得12a =，当*2,N n n ≥∈时，有222n n n S a a =+-，211122n n n S a a ---=+-，两式相减得()()22221111122222n n n n n n n n n n n a S S a a a a a a a a -----=-=+--+-=+--，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，因为数列{}n a 是正项数列{}n a ，所以12n n a a --=，即数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，所以*1,N n a n n =+∈，()()21322n n n n n S +++==，()*37773,11122N 2n n n S n b a n n n n n +===++-++∈-+，又()73,022x y x x =++>在(单调递减，在)+∞单调递增，而34716213334b b =+=>=，所以当且仅当4n =时，71n n S a +-的最小值为214.故答案为：214.【点睛】关键点睛：关键是首先得出*1,N n a n n =+∈，()()21322n n n n n S +++==，由此即可顺利得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，在棱长均相等的平行六面体1111ABCD A B C D -中11,,AAB A AD E F ∠∠=分别为线段1,DD BC的中点．（1）设1,,AB a AD b AA c === ，请以向量,,a b c表示EF ；（2）求证：平面1A BD ⊥平面11ACC A ．【答案】（1）1122EF c a b=-+-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意直接分解向量即可.（2）由向量的数量积公式得1BD AA ⊥，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】1122EF ED DC CF c a =++=-+-.【小问2详解】∵DB a b=-∴()1cos ,cos ,DB AA a b c a c b c a c a c b c b c ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅，又∵,cos ,cos ,a b c a c b c ===，∴10DB AA ⋅=，即1BD AA ⊥，∵底面菱形中，BD AC ⊥，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A .所以BD ⊥平面11ACC A ．又BD ⊂平面1A BD ．∴平面1A BD ⊥平面11ACC A．18.在数列{}n a 中，已知132nn n a a ++=⋅，11a =．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明详见解析（2）()11522nn nS+--=+【解析】【分析】（1）通过凑配法证得{}2nn a -是等比数列.（2）利用分组求和法求得n S .【小问1详解】由132n n n a a ++=⋅，得11123222n n n n n n a a +++-+=⋅-=，即()1122n n n n a a ++-=--，所以{}2nn a -是首项为1121a -=-，公比为1-的等比数列.【小问2详解】由（1）得()()()()12111,21n n nn n n n a a --=-⨯-=-=+-.所以()()()122222111nn n S =++++-+-++- ()()()()()11112121115222121122n n n nn n ++⎡⎤--------⎣⎦=+=-+=+---.19.如图，已知ABC中，3AC BC AB ===，D 是AB 上一点，且AD CD =，将ADC △沿CD 翻折至PDC △，PB =．（1）求证：BC PD ⊥；（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用已知线面位置关系结合勾股定理，证明BC ⊥平面PCD ，可证BC PD ⊥；（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】∵ABC中，3AC BC AB ===，由余弦定理，222221cos AC AC BC AB AC BC B +-⋅∠===-，而ACB ∠为三角形内角，∴120ACB ∠= ，30A B ∠=∠= ，∵AD CD =，30ACD A ∠=∠= ，∴90DCB ∠=o ，即BC CD ⊥，又∵PBC中，PC BC PB ===，222PC BC PB +=，∴PC BC ⊥，,BC CD ⊂平面PCD ，BC CD C ⋂=，∴BC ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥.【小问2详解】以C 为原点，,CB CD 分别为,x y 轴，过C 垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，30ACD A ∠=∠= ，3AC =120ADC PDC ∠=∠= ，由正弦定理，sin sin CD ACA ADC=∠，13sin 21sin 32AC A CD ADC ===∠，BC ⊥平面PCD ，则点P 在yCz 平面内，1PD AD CD ===，120PDC ∠=，得330,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又3,0,0)B ，(0,1,0)D ，∴130,,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(3,1,0)DB =-，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∴00DP n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴1302230y z y ⎧+=⎪⎨-=，设=1x ，则3,1)n =- ，又∵3,0,0)CB =，35cos ,535n CB n CB n CB⋅===⋅故直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值为5520.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的焦距为2520x y ±=，双曲线左，右两个顶点分别为,A B ．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线E 交于,C D 两点．设,AC BD 的斜率分别为12,k k ，若1213k k =-，求l 的方程．【答案】（1）2214x y -=（2）+440x y -=【解析】【分析】（1）依题意，分别求出,,a b c ，即得双曲线方程；（2）由题意，设出直线l 的点斜式方程:1l y kx =+，与双曲线方程联立消元得一元二次方程，求出k 的取值范围，再将1213k k =-代入点的坐标进行等价转化，得到224411413k k k ++=--，解此方程，并进行取舍即得直线l 的方程.【小问1详解】双曲线E的焦距2c =，c ∴=双曲线E 的渐近线方程为20x y ±=，即12y x =±，12b a ∴=，又222+=a bc ，24a ∴=，21b =，∴双曲线E 的标准方程为：2214x y -=．【小问2详解】由（1）得：()2,0A -，()2,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，如图可知：直线l 的斜率一定存在，则可设:1l y kx =+，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()2214880k x kx ---=，由()22140Δ16240k k ⎧-≠⎪⎨=->⎪⎩解得：212k <且214k ≠，122814k x x k ∴+=-，122814x x k=--，()()11211222122222y y x k x y k y x x -+∴==+-；221114x y -= ，1111224y x x y +∴=-，即1111224y x x y -=+，()()()()()()()()()1221121212121222112121212222242424411444y x x x x x x x x x x x k k y x y y kx kx k x x k x x ----++-++∴====++++++222222228164161616444113232416416413k k k k k k k k k k k --+----++====--++---，解得：14k =-或12k =-，又212k <且214k ≠，故14k =-，则直线l 的方程为：114y x =-+，即+440x y -=．21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1551,3S a a ==．（1）求100S 的值；（2）设()01nn n b a q q =⋅<<的前n 项和为n T ，求证：()21n qT q <-．【答案】（1）5050（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列及其求和公式基本量的计算，依次得通项公式，代入求和公式即可得解；（2）由错位相减法求和即可得证.【小问1详解】∵55S 3a =，∴115453(4)2a d a d ⨯+=+，得：1a d =，∴1=1a d =，∴=n a n ，∴100100(1001)50502S ⨯+==.【小问2详解】由（1）得(01)nn b n q q =⋅<<，12323n n T q q q nq =++++ ①，234123n n qT q q q nq +=++++ ②，①-②得：12311(1)(1)=1n nn n n q q q T q q q q nqnq q++--=++++--- ，∴()()()()11112222(1)1(1)1111n n n n n n n n q q nq q q q nq q q nq nq T q q q q +++++------+=-==----，()()()()()()111222222111111n n n n q n nq qq nq nq qqq q q q q +++++-+-=-=-<-----.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为23．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆F 的圆心为椭圆C 的右焦点，半径为r ，过点F 的直线与椭圆C 及圆F 交于,,,A P Q B 四点（如图所示），若存在2||||||PQ AP BQ =，求圆F 的半径r 取值范围．【答案】（1）221.95x y +=（2）5263[,]93-【解析】【分析】（1）根据题设条件列出关于,,a b c 的方程组，解之即得；（2）联立直线与椭圆方程，得出韦达定理，将||,||AP BQ 转化为,t r 的表达式，再由2||||||PQ AP BQ =转化得22213=592530t r t r++-，将求r 的范围问题转化为求22159t t ++的值域问题，最后解不等式即得.【小问1详解】由题意得：2225491a b+=①，23c a =②，222a b c =+③，①②③联立得：2295a b ==，，∴椭圆标准方程为：221.95x y +=【小问2详解】∵过点F 的直线与椭圆C 及圆F 依次交于A P Q B 、、、四点，∴圆F 在椭圆C 内部，故：01r <<；(2,0)F ，∴设直线():2,R l x ty t =+∈，1122(,),(,)A x yB x y 由l 代入椭圆C ，整理得：()225920250t y ty ++-=，易知0∆>，∴1212222025,5959t y y y y t t --+==++∵,AP AF r BQ BF r =-=-，()()()2=++AP BQ AF r BF r AF BF AF BF r r ∴=---（*）又1AF y =，2BF y =，12+=AF BF AB y =-=()2230159t t +=+，代入（*）式得：()()222122301=159t AP BQ t y y r r t ++-++()()()()222222223012530125=1+=595959t r t t r r r t t t +-++-++++，又224PQ r =，2PQ AP BQ =，所以()()222225301=459r t r r t -+++，整理得：22213=592530t r t r++-，故上述关于t 的方程有解即可；由222114=1,59559t t t +⎛⎫- ⎪++⎝⎭因2599t +≥，则2440599t <≤+，故221119595t t +≤<+，所以2311,253095r r ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭，即2236502730250r r r r ⎧+-<⎨+-≥⎩解得：33335539r r r ⎧---+<<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又因01r <<，解得：5393r -≤<；当t 不存在时，直线:0l y =，此时1,5AF a c BF a c =-==+=，+6,5AF BF AF BF ∴==，22564AP BQ r r r ∴=-+=，即23+65=0r r -，解得33r -=.综上所述：r的取值范围为53[,]93-．。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）
(A) 2
3
(B)
3
4
（C
(D)
2．抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）
(A) 1 (B)2 （C）4 (D)8 3．“a＞0”是“∣a∣＞0”的（）
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件4．设f(x)=xlnx，若f´(x0)=2,则x0等于（）
(A) e2 (B)e （C）ln2
2
(D)ln2
5．命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）
(A)不存在x∈R，x3-x2+1≤0(B)存在x∈R，x3-x2+1≤0 （C）存在x∈R，x3-x2+1＞0 (D)对任意的x∈R，x3-x2+1＞0
6．曲线
2
9
x
-
2
4
y
=1和曲线
2
16
y
-
2
36
x
=1有相同的（）
(A) 焦距(B) 离心率（C）渐近线方程(D)焦点坐标
7.已知a、b是实数，则“a＞1且b＞1”是“a+b＞2,且ab＞1”的（）
(A) 充分不必要条件(B)必要不充分条件.
（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件.
8．设a＞0,b＞0,若a+b=1,则1
a
+
1
b
的最小值为（）
(A)8 (B)4 （C）1 (D) 1 4
9.过双曲线2x-
2
2
y
=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若∣AB∣=4，则满足条件的直线l有
( )
(A) 2条(B)3条（C）4条(D)无数条
10．椭圆
2
16
x
+
2
4
y
=1的焦点为F1 、F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2=60°则⊿PF1F2的面积S等于
（）
(A) 16
3
(B) （C）
4
3
(D)
11．设变量x，y满足约束条件
3
1
23
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）
(A)6 (B)7 （C ）8 (D)23
12．若等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
(A)
78 (B)34 （C (D) 518 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
将答案填在题中的横线上。
13．已知y =x
e x
，则y ´=__________.
14. 若命题“∃x ∈R,2x 2-3a x +9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________.
15．方程21x a ++2
2y a
-=1表示的曲线是双曲线，则a 的取值范围是________.
16.椭圆的长轴为A 1A 2, B 为短轴的一个端点，若∠A 1BA 2=120°,则椭圆的离心率为________.
17. 双曲线216x -2
9
y =1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点P 到
左焦点的距离为_______.
18．设抛物线x 2=12y 的焦点为F ，经过点M （2,1）的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，又知点M 恰为AB 的中点，则∣AF ∣+∣BF ∣=________.
三．解答题：本大题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19.（本小题满分12分）
已知等差数{a n }满足： a 3=7，a 5+a 7=26。
{a n }的前n 项和为S n 。
（1）求a n 及S n ； （2）令b n =
2
11
n a -(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n 。
20．（本小题满分12分）
⊿ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，cosA=
1213。
（1）求AB ·AC ；
（2）若c-b=1,求a 的值。
21．（本小题满分12分）
已知抛物线y 2=4x ，求以点M （1,1）为中点的弦AB 所在直线的方程，并求出⊿AOB 的面积。
22．（本小题满分12分）
设F 1，F 2分别是椭圆Ｅ：2
x +2
2y b
=1（０＜ｂ＜１）的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，
B 两点，且∣AF 2∣，∣AB ∣，∣BF 2∣成等差数列。
（1）求∣AB ∣；
（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
23. （本小题满分12分）
设f(x)=lnx-ax(a>0),(1)求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在（0,1]上的最大值为-2，求a 的值。
孝义三中2010—2011学年高二第一学期期末考试题
数 学（文科）参考答案
13． 2
(1)x e x x
- 14． 15． (-∞,-1)∪(2,+∞) 16 17． 13 18． 8 19．（2010山东）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
2721026a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
21
1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=
111(-)
4n n+1
⋅， 所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)
，
即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)。
20．（2010安徽）根据同角三角函数关系，由12
cos 13
A =
得sin A 的值，再根据ABC ∆面积公式得156bc =；直接求数量积AB AC
.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入已知条件1c b -=，
及156bc =求a 的值.
解：由12cos 13A =
，得5
sin 13
A ==. 又1s i n 302b c A
=，∴156bc =. （Ⅰ）12
cos 15614413
AB AC bc A ⋅==⨯= . （Ⅱ）222
2cos a b c bc A =+-212()2(1cos )12156(1)2513
c b bc A =-+-=+⋅⋅-=，
∴5a =.
21．（1）直线方程为：y=2x-1 22．（2010新课标全国卷）解：（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB|+|B |=4
又2A B =A F F A B 224
||||+|B |,
||=3
得 （2）l 的方程式为y x c =+,
其中c 设1111(),B ()A x x ，y ，y ,则
A ，
B 两点坐标满足方程组 2221
y x c
y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
，化简得222
(1)2120.
b x
c x b +++-= 则2
121222
212,.11c b x x x x b b
--+==++ 因为直线AB 的斜率为1
，所以21x x |AB|=-|
即2143x x =-|，2242
121222
2
2
84(1)4(12)8
()49(1)
11b b b x x x x b b b --=+-=-=+++
解得b =
. 23.解：（1）f ´(x)=1x -a =1ax x -=1()a x a x --(x ＞0) .
由f ´(x)＞0得
1x a x
-
＜0,0＜x ＜1a ,由f ´(x)＜0得x ＞1a . ∴f(x)的单调增区间是（0，1a ）,递减区间是（1
a
，+∞）。
（2）当1＞1a 即a ＞1时，f(x)在（0，1a ）上单调递增，在（1
a ，1）上单调递减，∴
f(x)max =f(1a )=ln 1a -a ·1
a =-ln a -1=-2,得a =e 。
当1≤1
a
，即a ≤1时，f(x)在（0,1）上单调递增。
∴f(x)max =f(1)=ln1-a =-2,得a =2（舍去）， ∴a 的值为e.。