非接触式扭矩传感器在EPS中的应用_包寿红
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扭 力 杆 是 EPS 转
向管柱中的重要部
件, 扭力杆的一端通
过细齿形渐开线花键
和转向盘上的转向输
入轴连接, 另一端通
过径向销与转向输出
轴连接, 基本结构如
图2a所示。 当扭力杆
受转向盘的转动力矩 T作用发生扭转时,
图1 非接触式扭矩传感器
其扭转的切应力τ和变形角Φ分别为
τ= T = 16T
(1)
Zi Δd3
度与转向盘上施加的扭力成正比。
1.2 非 接 触 式 扭 矩 传
感器的基本原理
非接触式扭矩传感
器属于电感式传感器之
一, 是建立在电磁感应
原理的基础上, 利用线
圈电感或互感的改变来
实现非电量的测量。
图3a是 非 接 触 式 扭
矩传感器检测的基本原
理 图 (L2组 的 电 路 与 L1 组相同, 省略), EPS控
设计●研究
湖南省期刊优秀栏目
Design●Research
K= T = Δd4
(3)
Φ 32l
式 中 : d— ——扭 力 杆 直 径 ; L— ——有 效 长 度 ;
Ip— ——惯性矩; Zi— ——抗扭截面系数。
图2b为扭力杆角度和力矩特性曲线 , 斜率即为
扭转刚度K。 从式 (3) 可以看出, 扭力杆的扭转角
CPU是 通 过 检 测 传 感 器 线 圈 L1和 L2的 信 号 电 压 差 值 , 根据差值来判断转向盘是右转向或左转向, 施加的
转矩是多大, 然后才控制电动机提供合适的助力。
因此, 传感器及相关线路能否提供正确无误的信号
电压是保证电动助力转向系统正常工作的关键。
2.1 市场存在的问题
作为非接触式扭矩传感器, 在使用前需要进行
Design●Research
湖南省期刊优秀栏目
设计●研究
非接触式扭矩传感器在EPS中的应用
包寿红, 罗嗣周 (浙江福林国润汽车零部件有限公司, 浙江 台州 318050)
摘 要 : 介 绍 非 接 触 式 扭 矩 传 感 器 的 基 本 结 构 和 原 理 ; 通 过 对 该 传 感 器 在EPS系 统 应 用 中 出 现 跑 偏 问 题 的 分 析 和 改进, 使非接触式扭矩传感器构成的EPS系统更趋于实用和完善。
关键词: 非接触式扭矩传感器; 基本原理; 应用和改进 中图分类号: U463.444 文献标识码: A 文章编号: 1003-8639(2010)06-0011-05
Non-contact Torque Sensor in the Application of EPS BAO Shou-hong, LUO Si-zhou
制 器 的CPU首 先 输 出 一 方 波 信 号 IS, 通 过 传 感
图2 扭力杆
器及相关电路, 转化为正弦波信号, 在经过相关电
路的整流、 滤波、 放大后, 送 入CPU进 行 处 理 , 完
成信号采集, 简化电路如图3b所示。
正弦波
方波
图3 检测原理图
将 方 波 电 流 IS用 傅 立 叶 级 数 展 开
Φ= TL = 32TL = 2d
(2)
GIp Δd4G dG
扭转刚度为
修改稿收稿日期: 2010-03-13 作者简介: 包寿红, 男, 高级电子电气工程师, 毕业于同济大学工业自动化专业, 从事汽车电器的产品改进和设计工作; 罗嗣周, 男, 工程师, 浙江福林国润汽车零部件有限公司质量部部长。
《汽车电器》2010 年第 6 期 11
Design●Research
湖南省期刊优秀栏目
设计●研究
2 非接触式扭矩传感器在应用中存在的问题及原
因分析
EPS在装车和使用过程中, 出现较多的问题有:
管柱发响、 卡滞、 抖动, 以及无助力、 转向沉重、
左右助力不均 (俗称跑偏) 等故障。
非接触式扭矩传感器在电动助力转向系统中是
一个非常重要和精密的部件。 根据上述原理可知,
力电流。
图4a左转向过程中, 漏磁环上部的窗口露出齿
条 , 扭 力 越 大 露 出 越 多 , 电 信 号UL1的 电 压 就 越 大 , 但此时漏磁环下部窗口是没有齿条露出的, 因此传
感器线圈UL2没有信号电压输出; 图4b是右转向, 情 况 刚 好 与 图4a相 反 。 这 样 , 通 过 比 较 线 圈L1和L2的 信号电压差, CPU就很容易检测 出 是 右 转 向 或 左 转
动力转向系统是在机械转向系统的基础上加设 一套助力转向装置而形成的。 动力转向系统主要有 液压助力转向系统和电动助力转向系统 (EPS)。 目 前大多数轿车都采用电动助力转向系统, 液压助力 转向系统从发明到现在已有大半个世纪的时间, 可 以说是一种比较成熟的系统, 但相对于电动助力转 向系统 (EPS) 而言, 相对落后一些。
(Zhejiang Fulin Guorun Automobile Parts Co., Ltd., Taizhou 318050, China) Abstract: The author describes the basic structure and principles of the non-contact torque sensor. Through analysis and improvement to deviation in its application, the EPS composed of this sensor tends to be more practical and perfect. Key words: non-contact torque sensor; basic principles; application and improvement
多, 但左转时输入转
矩为7.5 Nm, 左转的转 矩要大1 Nm多, 这 与
图5 跑偏故障件输入转矩波形
实际的行驶状态一致。
2.2 跑偏的原因分析
根据图1非接触式扭矩传感器结构, 可知齿条
和漏磁环的窗口、 传感器线圈与漏磁环的窗口之间
配合是一一对应的, 但由于各种因素如制造、 装配
等误差的存在, 要做到完全对应是很难的, 因此线
量, 其他谐波分量被抑制, 波形为正弦波形; 从式
(10) 也 可 以 看 出 , 电 压 Uc1与 电 感 L1是 成 正 比 的 , 这是传感器测量的基础。
当转动转向盘时, 扭力杆受转向盘的转动力矩
作用发生扭转, 使输入轴及输入轴上的漏磁环和输
出轴上齿条之间的相对位置发生改变, 图4a和图4b
分别为左转和右转时漏磁环和齿条的相对位移改变。
(8)
由于3次谐波的幅值非常小, 可以忽略, 因此
Ul1≈
RIm 2
+
2Im 姨2 π
R+jωL1 1-ω2CL1+jωRC
(9)
通 过R的 分 压 , 在 经 过 隔 直 电 容C1后 , 直 流 成 分被隔离, 最后
Uc1≈
姨 2 RIm π(1-ω2CL1+jωRC)
sinωt
(10)
式 (10) 说明方波经过变换后, 突出了基波分
向, 转向盘施加的转矩是多大。
转向盘处于中间位置 (直驶) 时, 漏磁环上下
2个窗口均没有齿条露出, 因此传感器线圈L1和L2没 有信号电压输出, 电压差为零 , CPU很 容 易 判 断 此
时转向盘没有施加转矩, 因此也无须提供助力, 这
也是减少发动机燃油消耗的原因。
12 《汽车电器》2010 年第 6 期
初始化, 即确定传感器的初始零点, 使传感器线圈
L1和L2信 号 电 压 输 出 相 等 , 电 压 差 为 零 , 但 在 实 际 使用中, 初始化好的电动助力转向系统仍少量存在
跑偏的现象, 甚至个别出现多次调零仍存在跑偏的
问题。
图5为右轻左重
故障件的输入转矩波
形, 从图5中看出,
右 转 时 输入转矩6 Nm
圈的电感量都会有一定的偏差。 这种偏差造成传感
器 线 圈L1和L2的 信 号 电 压 值 不 一 定 完 全 相 等 , 根 据 实 测 , 传 感 器 线 圈L1和L2的 信 号 电 压 差 值 不 能 超 过 30 mV, 否则就会有跑偏的现象发生。
引起跑偏的原因有多种, 现仅针对市场上较为
常见的一种类型进行分析。
则很稳定, 一直保持在
12 Ω左右 , 这 说 明L1导 线存在接触不良的问
题。 经拆解, 发现线圈
图6 传感器引出线虚焊
L1棕 色 导 线 已 脱 焊 (图 6), 更换管柱即更换传感器后, 跑偏故障消失。
1 非接触式扭矩传感器 扭矩传感器、 电子控制器、 伺服电机是电动助
力转向系统的三大部件。 扭矩传感器的作用是检测 转向盘产生的扭矩大小和方向, 将所需信息转化成 数字信号输入控制单元进行处理, 得到一个与行驶 工况相适应的力矩, 最后发出指令, 以驱动电机提 供助力, 因此扭矩传感器是电动助力转向系统中最 重要的部件之一。 扭矩传感器的种类有很多, 其中 由于非接触式扭矩传感器采用的是非接触的工作方
(5)
对于1次谐波, K=1, 复阻抗
Z1=
R+jωL1 1-ω2CL1+jωRC
(6)
·· U1=Z1I1=
R+jωL1 1-ω2CL1+jωRC
2Im 姨2 π
(7)
·
·
由于Z1的阻抗角非常小, 电 压U和 电 流I可 以 看
成同相。
对于3次谐波, K=3, 复阻抗
Z3=
R+j3ωL1 1-9ω2CL1+j3ωRC
IS=
Im 2
+
2Im π
(sinωt+
1 3
sin3ωt+
1 5
sin5ωt+…)
(4)
式中: Im / 2— ——方波的直流分量;
2Im sinωt— —— π
方 波 的 基 波 , ω=2π / T; 其 余 为3次 、 5次 等 高 次 谐
波分量。
直流分量单独作用时电路的响应为
Ul1= RIm 2
式, 寿命长、 可靠性高、 不易受到磨损、 有更小的
延时、 受轴的偏转和轴向偏移的影响小, 因此广泛
应用于轿车和轻型车中, 是EPS传感器的主流产品。
1.1 非接触式扭矩传感器的基本结构
图1为非接触式扭矩传感器的典型结构。 漏磁
环铆接在输入轴上, 跟随输入轴转动, 输出轴上有
齿 条 ; 漏 磁 环 有 两 排 窗 口 , 分 别 和 传 感 器 线 圈 L1、 L2对应, 2个线圈如图1所示, 装配于传感器壳体中。
以 图 4a 为 例 ,
根 据 式 ( 3) 可
知, 漏磁环和齿
条的相对位移改
变量等于扭力杆
的扭转量, 输入
的扭矩越大, 扭
转的角度就越 大, 漏磁环上部
图4 漏磁环与齿条的相对位移改变
窗口的齿条 (铁磁性物质) 露出的部分就越多, 使
得 漏 磁 环 上 部 分 的 磁 导 率 增 强 , 电 感 系 数L1增 大 ; 根 据 式 (10), 可 知 采 集 的 电 压 信 号 Uc也 增 大 。 电 压 信 号Uc在 经 过 相 关 电 路 的 整 流 、 滤 波 、 放 大 后 , 送入CPU进行处理, 从而控制电 动 机 输 出 相 应 的 助
故障描述一 方向自动跑偏, 传感器初始化后
助力正常, 经过颠簸路面行驶后, 又出现自动跑偏
Leabharlann Baidu
现象, 更换多个控制模块后仍存在上述现象。
上述故障中, 首先对管柱上的传感器线圈电压
进 行 测 量 , 观 察 线 圈 的 信 号 电 压 差 值 是 否 在30 mV
之内, 同时对2组线圈的阻值也进行了测量 (每次
电 动 助 力 转 向 系 统 (EPS) 是 一 种 直 接 依 靠 电 动机提供辅助扭矩的动力转向系统, 具有很多优 点: 如仅在需要转向时才启动电动机产生助力, 能 减少发动机燃油消耗; 能在各种行驶工况下提供最 佳助力, 改善汽车的转向特性; 通过扭力杆连接, 缓冲来自路面的冲击; 通过CAN总线, 电动助力转 向系统可以与整车电气系统连成一体, 便于控制。 因此是未来动力转向系统的发展趋势。
2 98 5×106 11.994
3 70 498.5 12.112
4 59 22.785 12.834
5 102 4.7×106 12.350
明 跑 偏 现 象 比 较 严 重 。 再 观 察L1线 圈 (棕 色 导 线 ) 阻值, 从几十欧到几十
兆欧不等, 阻值不断变
化 , 无 法 准 确 测 量 ; L2
测量前, 对线圈的引出线用约50 N的力进行拉拔),
数据如表1所示。
通过表1线圈电压差值看出, 传感器2组线圈的
电压差已大于30 mV, 有2组远远大于这个数字, 说
表1 传感器线圈基本参数
测量次数 线圈电压差 / mV L1线圈阻值 / Ω L2线圈阻值 / Ω
1 40.5 24.304 12.027
向管柱中的重要部
件, 扭力杆的一端通
过细齿形渐开线花键
和转向盘上的转向输
入轴连接, 另一端通
过径向销与转向输出
轴连接, 基本结构如
图2a所示。 当扭力杆
受转向盘的转动力矩 T作用发生扭转时,
图1 非接触式扭矩传感器
其扭转的切应力τ和变形角Φ分别为
τ= T = 16T
(1)
Zi Δd3
度与转向盘上施加的扭力成正比。
1.2 非 接 触 式 扭 矩 传
感器的基本原理
非接触式扭矩传感
器属于电感式传感器之
一, 是建立在电磁感应
原理的基础上, 利用线
圈电感或互感的改变来
实现非电量的测量。
图3a是 非 接 触 式 扭
矩传感器检测的基本原
理 图 (L2组 的 电 路 与 L1 组相同, 省略), EPS控
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K= T = Δd4
(3)
Φ 32l
式 中 : d— ——扭 力 杆 直 径 ; L— ——有 效 长 度 ;
Ip— ——惯性矩; Zi— ——抗扭截面系数。
图2b为扭力杆角度和力矩特性曲线 , 斜率即为
扭转刚度K。 从式 (3) 可以看出, 扭力杆的扭转角
CPU是 通 过 检 测 传 感 器 线 圈 L1和 L2的 信 号 电 压 差 值 , 根据差值来判断转向盘是右转向或左转向, 施加的
转矩是多大, 然后才控制电动机提供合适的助力。
因此, 传感器及相关线路能否提供正确无误的信号
电压是保证电动助力转向系统正常工作的关键。
2.1 市场存在的问题
作为非接触式扭矩传感器, 在使用前需要进行
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非接触式扭矩传感器在EPS中的应用
包寿红, 罗嗣周 (浙江福林国润汽车零部件有限公司, 浙江 台州 318050)
摘 要 : 介 绍 非 接 触 式 扭 矩 传 感 器 的 基 本 结 构 和 原 理 ; 通 过 对 该 传 感 器 在EPS系 统 应 用 中 出 现 跑 偏 问 题 的 分 析 和 改进, 使非接触式扭矩传感器构成的EPS系统更趋于实用和完善。
关键词: 非接触式扭矩传感器; 基本原理; 应用和改进 中图分类号: U463.444 文献标识码: A 文章编号: 1003-8639(2010)06-0011-05
Non-contact Torque Sensor in the Application of EPS BAO Shou-hong, LUO Si-zhou
制 器 的CPU首 先 输 出 一 方 波 信 号 IS, 通 过 传 感
图2 扭力杆
器及相关电路, 转化为正弦波信号, 在经过相关电
路的整流、 滤波、 放大后, 送 入CPU进 行 处 理 , 完
成信号采集, 简化电路如图3b所示。
正弦波
方波
图3 检测原理图
将 方 波 电 流 IS用 傅 立 叶 级 数 展 开
Φ= TL = 32TL = 2d
(2)
GIp Δd4G dG
扭转刚度为
修改稿收稿日期: 2010-03-13 作者简介: 包寿红, 男, 高级电子电气工程师, 毕业于同济大学工业自动化专业, 从事汽车电器的产品改进和设计工作; 罗嗣周, 男, 工程师, 浙江福林国润汽车零部件有限公司质量部部长。
《汽车电器》2010 年第 6 期 11
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2 非接触式扭矩传感器在应用中存在的问题及原
因分析
EPS在装车和使用过程中, 出现较多的问题有:
管柱发响、 卡滞、 抖动, 以及无助力、 转向沉重、
左右助力不均 (俗称跑偏) 等故障。
非接触式扭矩传感器在电动助力转向系统中是
一个非常重要和精密的部件。 根据上述原理可知,
力电流。
图4a左转向过程中, 漏磁环上部的窗口露出齿
条 , 扭 力 越 大 露 出 越 多 , 电 信 号UL1的 电 压 就 越 大 , 但此时漏磁环下部窗口是没有齿条露出的, 因此传
感器线圈UL2没有信号电压输出; 图4b是右转向, 情 况 刚 好 与 图4a相 反 。 这 样 , 通 过 比 较 线 圈L1和L2的 信号电压差, CPU就很容易检测 出 是 右 转 向 或 左 转
动力转向系统是在机械转向系统的基础上加设 一套助力转向装置而形成的。 动力转向系统主要有 液压助力转向系统和电动助力转向系统 (EPS)。 目 前大多数轿车都采用电动助力转向系统, 液压助力 转向系统从发明到现在已有大半个世纪的时间, 可 以说是一种比较成熟的系统, 但相对于电动助力转 向系统 (EPS) 而言, 相对落后一些。
(Zhejiang Fulin Guorun Automobile Parts Co., Ltd., Taizhou 318050, China) Abstract: The author describes the basic structure and principles of the non-contact torque sensor. Through analysis and improvement to deviation in its application, the EPS composed of this sensor tends to be more practical and perfect. Key words: non-contact torque sensor; basic principles; application and improvement
多, 但左转时输入转
矩为7.5 Nm, 左转的转 矩要大1 Nm多, 这 与
图5 跑偏故障件输入转矩波形
实际的行驶状态一致。
2.2 跑偏的原因分析
根据图1非接触式扭矩传感器结构, 可知齿条
和漏磁环的窗口、 传感器线圈与漏磁环的窗口之间
配合是一一对应的, 但由于各种因素如制造、 装配
等误差的存在, 要做到完全对应是很难的, 因此线
量, 其他谐波分量被抑制, 波形为正弦波形; 从式
(10) 也 可 以 看 出 , 电 压 Uc1与 电 感 L1是 成 正 比 的 , 这是传感器测量的基础。
当转动转向盘时, 扭力杆受转向盘的转动力矩
作用发生扭转, 使输入轴及输入轴上的漏磁环和输
出轴上齿条之间的相对位置发生改变, 图4a和图4b
分别为左转和右转时漏磁环和齿条的相对位移改变。
(8)
由于3次谐波的幅值非常小, 可以忽略, 因此
Ul1≈
RIm 2
+
2Im 姨2 π
R+jωL1 1-ω2CL1+jωRC
(9)
通 过R的 分 压 , 在 经 过 隔 直 电 容C1后 , 直 流 成 分被隔离, 最后
Uc1≈
姨 2 RIm π(1-ω2CL1+jωRC)
sinωt
(10)
式 (10) 说明方波经过变换后, 突出了基波分
向, 转向盘施加的转矩是多大。
转向盘处于中间位置 (直驶) 时, 漏磁环上下
2个窗口均没有齿条露出, 因此传感器线圈L1和L2没 有信号电压输出, 电压差为零 , CPU很 容 易 判 断 此
时转向盘没有施加转矩, 因此也无须提供助力, 这
也是减少发动机燃油消耗的原因。
12 《汽车电器》2010 年第 6 期
初始化, 即确定传感器的初始零点, 使传感器线圈
L1和L2信 号 电 压 输 出 相 等 , 电 压 差 为 零 , 但 在 实 际 使用中, 初始化好的电动助力转向系统仍少量存在
跑偏的现象, 甚至个别出现多次调零仍存在跑偏的
问题。
图5为右轻左重
故障件的输入转矩波
形, 从图5中看出,
右 转 时 输入转矩6 Nm
圈的电感量都会有一定的偏差。 这种偏差造成传感
器 线 圈L1和L2的 信 号 电 压 值 不 一 定 完 全 相 等 , 根 据 实 测 , 传 感 器 线 圈L1和L2的 信 号 电 压 差 值 不 能 超 过 30 mV, 否则就会有跑偏的现象发生。
引起跑偏的原因有多种, 现仅针对市场上较为
常见的一种类型进行分析。
则很稳定, 一直保持在
12 Ω左右 , 这 说 明L1导 线存在接触不良的问
题。 经拆解, 发现线圈
图6 传感器引出线虚焊
L1棕 色 导 线 已 脱 焊 (图 6), 更换管柱即更换传感器后, 跑偏故障消失。
1 非接触式扭矩传感器 扭矩传感器、 电子控制器、 伺服电机是电动助
力转向系统的三大部件。 扭矩传感器的作用是检测 转向盘产生的扭矩大小和方向, 将所需信息转化成 数字信号输入控制单元进行处理, 得到一个与行驶 工况相适应的力矩, 最后发出指令, 以驱动电机提 供助力, 因此扭矩传感器是电动助力转向系统中最 重要的部件之一。 扭矩传感器的种类有很多, 其中 由于非接触式扭矩传感器采用的是非接触的工作方
(5)
对于1次谐波, K=1, 复阻抗
Z1=
R+jωL1 1-ω2CL1+jωRC
(6)
·· U1=Z1I1=
R+jωL1 1-ω2CL1+jωRC
2Im 姨2 π
(7)
·
·
由于Z1的阻抗角非常小, 电 压U和 电 流I可 以 看
成同相。
对于3次谐波, K=3, 复阻抗
Z3=
R+j3ωL1 1-9ω2CL1+j3ωRC
IS=
Im 2
+
2Im π
(sinωt+
1 3
sin3ωt+
1 5
sin5ωt+…)
(4)
式中: Im / 2— ——方波的直流分量;
2Im sinωt— —— π
方 波 的 基 波 , ω=2π / T; 其 余 为3次 、 5次 等 高 次 谐
波分量。
直流分量单独作用时电路的响应为
Ul1= RIm 2
式, 寿命长、 可靠性高、 不易受到磨损、 有更小的
延时、 受轴的偏转和轴向偏移的影响小, 因此广泛
应用于轿车和轻型车中, 是EPS传感器的主流产品。
1.1 非接触式扭矩传感器的基本结构
图1为非接触式扭矩传感器的典型结构。 漏磁
环铆接在输入轴上, 跟随输入轴转动, 输出轴上有
齿 条 ; 漏 磁 环 有 两 排 窗 口 , 分 别 和 传 感 器 线 圈 L1、 L2对应, 2个线圈如图1所示, 装配于传感器壳体中。
以 图 4a 为 例 ,
根 据 式 ( 3) 可
知, 漏磁环和齿
条的相对位移改
变量等于扭力杆
的扭转量, 输入
的扭矩越大, 扭
转的角度就越 大, 漏磁环上部
图4 漏磁环与齿条的相对位移改变
窗口的齿条 (铁磁性物质) 露出的部分就越多, 使
得 漏 磁 环 上 部 分 的 磁 导 率 增 强 , 电 感 系 数L1增 大 ; 根 据 式 (10), 可 知 采 集 的 电 压 信 号 Uc也 增 大 。 电 压 信 号Uc在 经 过 相 关 电 路 的 整 流 、 滤 波 、 放 大 后 , 送入CPU进行处理, 从而控制电 动 机 输 出 相 应 的 助
故障描述一 方向自动跑偏, 传感器初始化后
助力正常, 经过颠簸路面行驶后, 又出现自动跑偏
Leabharlann Baidu
现象, 更换多个控制模块后仍存在上述现象。
上述故障中, 首先对管柱上的传感器线圈电压
进 行 测 量 , 观 察 线 圈 的 信 号 电 压 差 值 是 否 在30 mV
之内, 同时对2组线圈的阻值也进行了测量 (每次
电 动 助 力 转 向 系 统 (EPS) 是 一 种 直 接 依 靠 电 动机提供辅助扭矩的动力转向系统, 具有很多优 点: 如仅在需要转向时才启动电动机产生助力, 能 减少发动机燃油消耗; 能在各种行驶工况下提供最 佳助力, 改善汽车的转向特性; 通过扭力杆连接, 缓冲来自路面的冲击; 通过CAN总线, 电动助力转 向系统可以与整车电气系统连成一体, 便于控制。 因此是未来动力转向系统的发展趋势。
2 98 5×106 11.994
3 70 498.5 12.112
4 59 22.785 12.834
5 102 4.7×106 12.350
明 跑 偏 现 象 比 较 严 重 。 再 观 察L1线 圈 (棕 色 导 线 ) 阻值, 从几十欧到几十
兆欧不等, 阻值不断变
化 , 无 法 准 确 测 量 ; L2
测量前, 对线圈的引出线用约50 N的力进行拉拔),
数据如表1所示。
通过表1线圈电压差值看出, 传感器2组线圈的
电压差已大于30 mV, 有2组远远大于这个数字, 说
表1 传感器线圈基本参数
测量次数 线圈电压差 / mV L1线圈阻值 / Ω L2线圈阻值 / Ω
1 40.5 24.304 12.027