巧添辅助线——倍长中线

巧添辅助线——倍长中线

【夯实基础】

例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC

方法1：作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，证明二次全等

方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，

AD 是BC 边中线

使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ， 延长MD

到N ，

作BE ⊥AD 的延长线于 E 使DN=MD ，

连接BE 连接CD

【经典例题】

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE

交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形

C D

A B

D A

B C

E D A

B C F E D

C B A

N D C B A

M F

E

D

A

B

C

F

E

C

A B D

例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG

方法2：倍长FE 至H ，连结CH

例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF

证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）

进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）

【融会贯通】

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

提示：延长AE 、DF 交于G

证明AB=GC 、AF=GF

所以AB=AF+FC

2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

第 1 题图 A B F D E C E D

A B C F E A B C D 第 14 题图

D

F

C

B

E

A

3、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD

D

A

B

C

M

T

E