初中几何证明题绝对经典
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初中数学-几何证明经典试题及答案
初中数学-几何证明经典试题及答案初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）AFGCEBOD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．APCDB求证：△PBC是正三角形．（初二）D2C2B2A2C1B1CBDAA13、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）ANFECDMB4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．・DHEMCBO（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）・GAODBECQPNM2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：・OQPBDECNM・A设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．PCGFBQAD求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．AFDECB求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．EDACBF求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DFEPCA求证：PA＝PF．（初二）ODBFAECP4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典题（四）APCB1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）PADB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB・CD＋AD・BC＝AC・BD．（初三）CBDA4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）FPDECBAAPCB经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．ACPD2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．ACBPD3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．EDCBA4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中数学几何证明经典题
初中几何证明题经典题(一）1、已知：如图，O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。
2、已知:如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．(初二).如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。
如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中,AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题(二)1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点)，O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证:AH ＝2OM ； （2)若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 AN FE CDMB· A D HE M C B OF 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC,AE ＝AC,AE 与CD 相交于F ． 求证:CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ，且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ．求证:AE ＝AF ．（初二)3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二)4、如图，PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三)经典 1、已知：△ABC是正三角形,P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题(五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a,PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．F PDE CB A APCBACBPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200,求∠BED的度数．经典题(一）1。
初中数学几何证明题经典例题(超全)
（1）求证：BN=DN （2）求△ABC的周长.
A
1
• 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC， CE∥BD．
• （1）求证：四边形OCED是菱形；
• （2）若∠ACB＝30 ，菱形OCED 的面积为8 3，求
求证：BE=AF
A
9
• 已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
A
10
• 已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
A
11
• 已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
A
4
• 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
A
5
• 如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB 上的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证 明FG⊥DE
A
6
• 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E 是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
A
21
• 如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADEF是平行四边形。
A
22
• 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上 任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG， 线段EB和GD相交于点H．
初中数学几何证明题经典例题(超全)
完整版ppt
9
• 已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
完整版ppt
10
• 已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
完整版ppt
11
• 已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
完整版ppt
20
• 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、 AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系， 并证明你的结论．
完整版ppt
21
• 如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADE 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：AD=DE
完整版ppt
15
• 已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
完整版ppt
16
• 已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
完整版ppt
17
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
完整版ppt
18
• 已知：如图，AB//CD， ADC=90o ， BE=EC，求证： AED=2 EDC
完整版ppt
19
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
(完整版)初中经典几何证明练习题集(含答案解析),推荐文档
初 中 几 何 证 明 题经 典 题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点 G 作 GH ⊥AB 于 H ，连➓ OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴EO = GOFG HG∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴GO = COHG CD ∴ EO = CO FG CD∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形 ADM ，连➓ MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ➴△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ➴∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连➓ AC ，取 AC 的中点 G,连➓ NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 1AD2∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 1 BC2∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经 典 题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OM ⊥BC 于 M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长 AD 交圆于 F ，连➓ BF ，过点 O 作 OG ⊥AD 于 G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ⌒ ⌒ AB AB ∵ =∴∠F=∠ACB又 AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又 AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又 AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形 OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连➓ OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM= 1∠BOC=60°∴∠OBM=30°2∴BO=2OM由（1）知 AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过 O 作 OA ⊥MN 于 A ，自 A 引圆的两条割线交圆 O 于 B 、C 及 D 、E ，连➓ CD 并延长交 MN 于 Q ，连➓ EB 并延长交 MN 于 P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点 E 关于 AG 的对称点 F ，连➓ AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ3、设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、DE ，设 CD 、EB 分别交 MN 于 P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作 OF ⊥CD 于 F ，OG ⊥BE 于 G ，连➓ OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴AB = BE = 2BG =BGAD DC 2FD DF∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN又 OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ➴△OAP ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的 AB 和 AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形 ABFG 和正方形 ACDE ，点 O 是 DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过 F 、A 、D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是 L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是✲形 DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ➴△ABM ∴FL=BM同理△AMC ➴△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经 典 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与 CD 相交于 F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连➓ BD 交 AC 于 O 。
初中几何证明题【绝对经典】
几何证明1.点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．(1)若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则M B N ∆是三角形．(2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则M B N∆是 三角形，且=∠MBN .(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x .(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.3.(1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ; 图1 图2 图3 (2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.5. 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE的中点．探究：AM 与DE 的位置及数量关系．(1)如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；图2图１(2)将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90?，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．7.B AP （（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)； (2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN 图1 AC B EQF P 图2A B E QP F C（如图3）CB＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； (2)若AB ＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明． 1、解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立 证明： 在ABF EBC ∆∆和中， ∴△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB.∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC= 2、解：（1） PQ =PB过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM =PM 又∵AB =MN ∴MB=PN ∵∠BPQ =900∴∠BPM ＋∠NPQ =900 又∵∠MBP ＋∠BPM =900∴∠MBP = ∠N PQ ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ∴PB =PQ（2）∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ ∵ AP =x ∴ AM =22x N MQ PDC B A∴CQ=C D －2NQ =1－2x 又∵S △PBC =21BC ·BM =21·1·(1－22x )= 21-42xS △PCQ =21CQ ·PN =21(1－2x )·(1－22x )=221x －x 423＋21 ∴S 四边形PBCQ =221x －2x ＋1 . (0≤x ≤22)(3)△PCQ 可能成为等腰三角形.① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合， PQ=QC ，此时，x=0.② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ 时， 有：QN=AM=PM =x 22，CP =2－x , CN =CP 22=1－x 22 CQ=Q N －CN =x 22－（1－x 22） =2x －1 ∴ 当2－x =x 2－1时 ，x =13、解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．可证明EAD ∆是等边三角形． 联结AC ，可证明BAD ∆≌CAE ∆． 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，可证明C B A '∆≌ADB ∆，得DB C B ='． ∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件， ∴ PD AP P B +='． 联结C B '，N M QPDCBA 图 1图2ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上， 则PC B P C B +'='． ∴ PC PD AP C B ++='．∴ PC PD PA BD ++= ． ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上， ∵ PC B P C B +'<'， ∴ PC PD AP C B ++<'．∴ PC PD PA BD ++<．综上，PC PD PA BD ++≤． 4、答案（1）证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG .∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB ＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .∴AG ＝AF, ∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD ．∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG ．∴EF= BE ＋FD(2) (1)中的结论EF= BE ＋FD 仍然成立.（3）结论EF=BE ＋FD 不成立，应当是EF=B E －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ． ∵∠B+∠ADC ＝180°,∠ADF+∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF .∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ． ∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD=∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE=∠EAF ． ∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF ∵EG=BE －BG ∴EF=B E －FD ．5、答案：解：（1）DE AM ⊥，12AM DE =（2）结论仍然成立。
初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中经典几何证明练习题(含答案)
初中几何证明题经典题(一）1、已知:如图,O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二)2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。
求证：△PBC是正三角形．(初二)3、已知:如图,在四边形ABCD中,AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心(各边高线的交点）,O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二)2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P。
求证：AP＝AQ．3、如图，分别以△ABC的AB和AC为一边，在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证:CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°—15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）证明:连接BD ，过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC∴ODEG 是平行四边形又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形∴EG =OD =21BD=21AC=21CE∴∠GCE=30°∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证:PA ＝PF ．（初二）证明：过点F 作FG ⊥CE 于G,FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP ∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 设AB=x ，BP=y ，CG=z z ：y=（x-y+z ）：x 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∵x-y ≠0 ∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15°在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AFP E PB AC∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H ， 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO 又EK ∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题(四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4,PC ＝5． 求∠APB 的度数．（初二)解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二)证明:过点P 作AD 的平行线，过点A 作PD 的平行线, 两平行线相交于点E ，连接BE ∵PE ∥AD,AE ∥PD∴ADPE 是平行四边形∴PE=AD,又ABCD 是平行四边形∴AD=BC∴PE=BC又PE ∥AD ，AD ∥BC ∴PE ∥BC ∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB=DC ，BC=AD 又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明:在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE =∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC ∴CDACDE AB =∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF ∴S △ADE =错误!AE ·DG,S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =错误!S □ABCD ∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2． 证明:（1)将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ， ∵BP=BE ，∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。
初中数学-几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）AP C DB A F GC EB O D3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）D 2C 2 B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C BD A A 14、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．F3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）D4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．APCBACBP D A CBPD4中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠＝200，求∠BED的度数．参考答案经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初中经典几何证明练习题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC∴DF BG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC 求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初中经典几何证明练习题集(含答案解析)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
初中几何证明题【绝对经典】
几何证实1.点A.B.C在统一向线上,在直线AC衔接AF,CE．取AF.CE的中点M.N,衔接BM,BN,MN．(1),如图1),,若BA=BE,BC=BF,如图(2)2),(3)若将(2)变,那么(2)中的结论是否成立？若成立,给出你的证实;若不成立,写出准确的结论并给出证实.2.如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角极点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经由点B,另一边与射线DC订交于Q.探讨：设A.P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与PB之间有如何的数目关系？试证实你的猜测;(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出函数自变量x的取值规模;(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形？假如可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的地位.并求出响应的x值,假如不成能,试解释来由.请3.(1)如图1,,并证实你的结论;(2)如图2,四边形ABCD 中,BC AB =,︒=∠60ABC ,若点P 为四边形ABCD 内一点,且︒=∠120APD ,请你猜测线段PA .PD .PC之和与线段BD 的数目关系,并证实你的结论．4. (1)如图1,在四边形ABCD 中,AB ＝AD ,∠B ＝∠D ＝90°,E .F 分离是边BC .CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ;图 1 图 2 图3(2) 如图2在四边形ABCD 中,AB ＝AD ,∠B +∠D ＝180°,E .F 分离是边BC .CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不必证实.(3) 如图25-3在四边形ABCD 中,AB ＝AD ,∠B +∠ADC ＝180°,E .F 分离是边BC .CD 延伸线上的点,且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请写出它们之间的数目关系,并证实.5.以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DE 的中点．探讨：AM 与DE 的地位及数目关系．(1)如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是;(2)将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结图2 图１论是否产生转变？并解释来由．6.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC 在第一象限内,E 是边OB 上的动点（不包含端点）,作∠AEF = 90°,使EF 交矩形的外角等分线BF 于点F ,设C （m ,n ）．（1）若m = n 时,如图,求证：EF = AE ;（2）若m ≠n 时,如图,试问边OB 上是否还消失点E ,使得EF = AE ？若消失,要求出点E 的坐标;若不消失,请解释来由．（3）若m = tn （t ＞1）时,试探讨点E 在边OB 的何处时,使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．7.点于点.（1）如图2,当BP =BA 时,∠EBF =°,猜测∠QFC =°;（2）如图1,当点P 为射线BC 上随意率性一点时,猜测∠QFC 的度数,并加以证实;（3）已知线段AB 设BP 点Q 到射线BC 的距离为y ,求y8. 如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC ＝90°,已知AD ＝AB ＝3,BC ＝4,动点P 从B 点动身,沿线段BC 向点C 作匀速活动;动点Q 从点D 动身,沿线段DA 向点A 作匀速活动．过Q点垂直于AD 的射线交AC 于点M,交BC 于点N ．P.Q 两点同时动身,速度都为每秒图ACBE QFP 图2 A BEQPF C1个单位长度．当Q点活动到A点,P.Q两点同时停滞活动．设点Q活动的时光为t秒．(1)求NC,MC的长(用t的代数式暗示);(2)当t为何值时,四边形PCDQ组成平行四边形？(3)是否消失某一时刻,使射线QN正好将△ABC的面积和周长同时等分？若消失,求出此时t的值;若不消失,请解释来由;(4)探讨：t为何值时,△PMC为等腰三角形？1.解：（1）等腰直角（2）等腰α（3）结论仍然成立证实：在ABF EBC∆∆和中，∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB∵M,N分离是AF.CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=2.解：（1）PQ=PB过P点作MN∥BC分离交AB.DC于点M.N在正方形ABCD中,AC为对角线∴AM=PM又∵AB=MN∴MB=PN（如图3）MNEACFB∵∠BPQ=900∴∠BPM＋∠NPQ=900又∵∠MBP＋∠BPM =900∴∠MBP=∠N PQ∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,∴PB=PQ（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC＋S△PCQ ∵AP=x∴AM∴CQ=CD－2NQ =1又∵S△PBC·BM1·(1S△PCQ·)·(1)∴S四边形PBCQ＋1 . (0≤x(3)△PCQ可能成为等腰三角形.①当点P与点A重应时,点Q与点D重合,PQ=QC,此时,x=0.②当点Q在DC的延伸线上,且CP=CQ时,有：x,CQ=QN－CN1－1NMQPDCBANMQPDCBA∴当2－x =x 2－1时 ,x =13.解：（1）如图１,延伸CD 至E ,使DA DE=．可证实EAD ∆是等边三角形． 联络AC ,可证实BAD ∆≌CAE ∆． 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．（2）如图２,在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A ', 可证实C B A '∆≌ADB ∆,得DB C B ='． ∵四边形DP B A '相符（1）中前提,∴PD AP P B +='．联络C B ',ⅰ）若知足题中前提的点P 在C B '上, 则PC B P C B +'='． ∴PC PD AP C B ++='． ∴PC PD PA BD ++=．ⅱ）若知足题中前提的点P 不在C B '上, ∵PC B P C B +'<', ∴PC PD AP C B ++<'．∴PC PD PA BD ++<．综上,PC PD PA BD ++≤．4.答案（1）证实：延伸EB 到G,使BG=DF,联络AG.∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB ＝AD, ∴△ABG ≌△ADF. ∴AG ＝AF, ∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD ．图1 图2∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD(2) (1)中的结论EF= BE＋FD仍然成立. （3）结论EF=BE＋FD不成立,应该是EF=BE－FD．证实：在BE上截取BG,使BG=DF,衔接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°,∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD,∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD∠BAD．=∠EAF =12∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF∵EG=BE－BG∴EF=BE－FD．5.答案：解：（1）DE AM ⊥,12AM DE =（2）结论仍然成立.证实：如图,延伸CA 至F ,使FA=AC ,FA 交DE 于点P ,并贯穿连接BF ．,BA DA ⊥AF EA ⊥,∴90BAF DAF EAD ∠=︒+∠=∠．在FAB ∆与EAD ∆中：≅∆FAB EAD∆(SAS) .∴BF=DE , AEN F ∠=∠. ∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=.∴DE FB ⊥ .又CA=AF, CM=MB,∴AM // FB 且AM=21FB∴DE AM ⊥, AM=21DE ．6.答案：（1）由题意得m = n 时,AOBC 是正方形．如图,在OA 上取点C ,使AG = BE ,则OG = OE ． ∴∠EGO = 45°,从而∠AGE = 135°．由BF 是外角等分线,得∠EBF = 135°,∴∠AGE =∠EBF ． ∵∠AEF = 90°,∴∠FEB +∠AEO = 90°． 在Rt △AEO 中,∵∠EAO +∠AEO = 90°, ∴∠EAO =∠FEB ,∴△AGE ≌△EBF ,EF = AE ．（2）假设消失点E ,使EF = AE ．设E （a ,0）．作FH ⊥x 轴于H ,如图．由（1）知∠EAO =∠FEH ,于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴FH = OE ,EH = OA ．∴点F 的纵坐标为a ,即FH =a ．由BF 是外角等分线,知∠FBH = 45°,∴BH = FH = a ．又由C （m ,n ）有OB = m ,∴BE = OB －OE = m －a , ∴EH = m －a + a = m ．又EH = OA = n ,∴m = n ,这与已知m ≠n 相抵触． 是以在边OB 上不消失点E ,使EF = AE 成立．（3）如（2）图,设E （a ,0）,FH = h ,则EH = OH －OE = h +m －a ．由∠AEF = 90°,∠EAO =∠FEH ,得△AOE ∽△EHF ,∴EF =（t + 1）AE 等价于FH =（t + 1）OE ,即h =（t + 1）a ,且FHOEEH AO =,即haa m h n =-+, 整顿得nh = ah + am －a2,∴a n a m a a n a am h --=--=)(2．把h =（t + 1）a 代入得a t an a m a )1()(+=--,即m －a =（t + 1）（n －a ）．而m = tn ,是以tn －a =（t + 1）（n －a ）． 化简得ta = n ,解得tn a =．∵t ＞1,∴tn ＜n ＜m ,故E 在OB 边上．∴当E 在OB tn 处时知足前提,此时ExOE BA yCFG H xO E B A y C F）．7.答案：（1= 60°（2°无妨设BP如图1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ.在△ABP和△AEQ中AB=AE,∠BAP=∠EAQ, AP=AQ∴△ABP≌△AEQ（SAS ）∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠°(事实受骗BP,如图2情况,不掉一般性结论仍然成立,不分类评论辩论不扣分）(3)在图1中,过点F作FG⊥BE于点G∵△ABE是等边三角形∴由（1°在Rt△BGF中EF=2∵△ABP≌△AEQ ∴QF=QE＋EF过点Q作QH⊥BC,垂足为H在Rt△QHF中3(2QF︒=x＞0）即y关于x的函数关系式是：2y= 8.答案：解：（1）在直角梯形ABCD中,∵QN ⊥AD,∠ABC ＝90°,∴四边形ABNQ 是矩形.∵QD=t,AD=3,∴BN=AQ=3-t,∴NC=BC-BN=4-（3- t ）= t+1. ∵AB ＝3,BC ＝4,∠ABC ＝90°,∴AC=5.∵QN ⊥AD,∠ABC ＝90°,∴MN ∥AB,∴CM CN AC BC =, 即154CM t +=,∴554t MC +=. （2）当QD=CP 时,四边形PCDQ 组成平行四边形.∴当t=4-t,即t=2时,四边形PCDQ 组成平行四边形.(3)∵MN ∥AB,∴△MNC ∽△ABC,要使射线QN 将△ABC 的面积等分,则△MNC 与△ABC 的面积比为1：2,即类似比为1：2,∴12CN BC =,即1142t +=,∴t=221-.∴CN=22,MC=522,∴CN+MC=922,∵△ABC的周长的一半=3452++=6≠922,∴不消失某一时刻,使射线QN 正好将△ABC 的面积和周长同时等分.（4）分3种情况：①如图,当PM=MC 时,△PMC 为等腰三角形.则PN=NC,即3-t-t=t+1,∴23t =,即23t =时,△PMC 为等腰三角形.②如图,当CM=PC 时,△PMC 为等腰三角形.即5544tt +=-,∴119t=时,△PMC为等腰三角形.③如图,当PM=PC时,△PMC为等腰三角形.∵PC=4－t,NC=t+1,∴PN=2t-3,又∵34 MN ABNC BC==,∴MN=() 314t+,由勾股定理可得[()314t+]2+（2t-3）2=（4－t）2,即当t=10357时,△PMC为等腰三角形.9.答案：（1）①BD=CE;②AM=AN,∠MAN=∠BAC 来由如下：∵在图①中,DE//BC,AB=AC∴AD=AE.在△ABD与△ACE中,,AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE,∠ACE=∠ABD.在△DAM与△EAN中,∵DM=12BD,EN=12CE,BD=CE,∴DM=EN,∵∠AEN=∠ACE+∠CAE,∠ADM=∠ABD+∠BAD,∴∠AEN=∠ADM.又∵AE=AD,∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN,∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN,∠MAN=∠BAC.（2）AM=k AN,∠MAN=∠BAC.。
初中数学几何证明经典题含
初 中 几 何 证 明 题经 典题（一）1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C 、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD ＝GF ．（初二） .以以下图做 GH⊥AB,连接EO 。
因为GOFE 四点共圆，因此∠GFH ＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EO =GO =CO,又CO=EO ，因此CD=GF 得证。
GF GH CD CE G A B D OFA DP2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）BC.以以下图做GH⊥AB,连接EO 。
因为GOFE 四点共圆，因此∠GFH ＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EO =GO =CO,又CO=EO ，因此CD=GF 得证。
GF GH CD.以以下图做GH⊥AB,连接EO 。
因为GOFE 四点共圆，因此∠ GFH ＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EO =GO =CO ,又CO=EO ，因此CD=GF 得证。
GF GH CD3、如图，已知四边形 ABCD 、A 1 B CD 都是正方形，A 、B 、C 、D 分别是AA 、BB 1 、CC 、DD1 1 1 12 2 2 2 1 1 的中点．A D 求证：四边形A2 B2C 2 D2是正方形．（初二） D2 A24、已知：如图，在四边形 ABCD A 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交1MN 于E 、F ． D1求证：∠DEN＝∠F．FB1EC经典题（二）1 B21、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且C2 OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；BD N A C C（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外向来线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．A O B·GEM HEB M D CC O·求证：AP ＝AQ ．（初二）3、假如上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）E4、如图，分别以△ ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形CACDE 和正方形CBFG ，点P是EF 的中点．M A Q·N求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）DP·经典题（三）OG B1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 订交于F ．C求证：CE ＝CF ．（初二） E DA PD 2、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线 EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）A A D F BF 3、设P 是正方形 QABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 均分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）A D4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 订交于AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）BCCBAFEB 、D ．求证：F经典题（四）EBO AD1、已知：△ABCBCE 是正三角形，P 是三角形内一点，P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5．P求：∠APB 的度数．（初二）EFP2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）CAD3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：BCAB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）AP4、平行四边形 ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 订交于P ，且 DAE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） BCADF经典难题（五）BCAPBC1、设P 是边长为 1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，EPB C求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为 1的正方形 A BCD 内的一点，求 PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，而且ADPA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长． DA4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝80 0 ，D 、E分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝P200，求∠BED 的度数．PA经典题（一）B C 1.以以下图做GH ⊥AB,连接EO 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中几何证明题【绝对经典】几何证明1•点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF , CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM , BN, MN .（1）若ABE和FBC是等腰直角三角形，且ABE FBC 90°（如图1），贝U MBN是________ 三角形.⑵在ABE和BCF 中，若BA=BE,BC=BF,且ABE FBC ,（如图2），贝U MBN 是_三角形，且MBN ______________________ .⑶若将⑵中的ABE绕点B旋转一定角度，（如同3），其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明C初中几何证明题【绝对经典】2•如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为X.(1) 当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；⑵当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；⑶当点P在线段AC上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.3.(1)如图1，四边形ABCD中，AB CB , ABC 60 , ADC 120，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；⑵如图2,四边形ABCD中，AB BC，ABC 60，若点P为四边形ABCD内一点, 且APD 120，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论.图24. (1)如图1，在四边形ABCD中，AB = AD，/ B=Z D = 90°, E、F分别是边BC、CD上1的点，且/ EAF= / BAD.求证:EF = BE+ FD ;2(2) 如图2在四边形ABCD中，AB = AD，/ B+Z D = 180° , E、F分别是边BC、CD上的1点，且Z EAF=丄Z BAD,⑴中的结论是否仍然成立？不用证明.2(3) 如图25-3 在四边形ABCD 中，AB= AD , Z B+Z ADC = 180°, E、F 分别是边BC、CD 1延长线上的点，且Z EAF=2Z BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成2 立，请写出它们之间的数量关系，并证明•5. 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 ,连接DE，M、N 分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置及数量关系.(1) 如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是________________ ,线段AM与DE的数量关系是 _______________ ;(2) 将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.6•如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边0B上的动点(不包括端点)，作/ AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C(m，n).(1) 若m = n时，如图，求证：EF = AE;(2) 若m z n时，如图，试问边0B上是否还存在点E,使得EF = AE?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.(3) 若m = tn (t> 1 )时，试探究点E在边0B的何处时，使得EF = (t + 1) AE成立? 并求出点E的坐标.yF7•如图1,已知/ ABC=90 ° △ ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60。
得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.(1) 如图2,当BP=BA 时，/ EBF= ▲° 猜想/ QFC = ▲°(2) 如图1,当点P为射线BC上任意一点时，猜想/ QFC的度数，并加以证明；(3)已知线段AB=2. 3，设BP=X，点Q到射线BC的距离为y,求y关于X的函数关系式.Q图2图18. 如图，直角梯形ABCD 中，AD// BC, / ABC= 90°,已知AD= AB= 3, BC= 4,动点P 从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M交BC于点N. P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度•当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动•设点Q运动的时间为t秒.(1)求NC, MC的长(用t的代数式表示);⑵当t为何值时，四边形PCDQ勾成平行四边形？(3) 是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时9. 如图所示，在△ ABC中，D、E分别是AB AC上的点，DE// BQ如图①，然后将厶ADE绕1A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD CE分别延长至M N,使DM= 1 BD, EN2=I CE,得到图③，请解答下列问题：2(1)若AB= AC,请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是__________________ ;②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、/ MANW Z BAC的数量关系，并证明你的猜想；⑵若AB= k • AC(k> 1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.rB D A團①1解：(1)等腰直角(2)等腰(3)结论仍然成立证明：在ABF和EBC中，BA BEABF EBCBF BC•••△ ABF ◎△ EBC.••• AF=CE. / AFB= / ECB•/ M,N分别是AF、CE的中点，• FM=CN.•△ MFB ◎△ NCB.•BM=BN. / MBF= / NBC•••/ MBN= / MBF+ / FBN= / FBN+ / NBC= / FBC=2、解：(1) PQ=PB过P点作MN // BC分别交AB、DC于点M、N在正方形ABCD中，AC为对角线•AM=PM又••• AB=MN•MB=PNvZ BPQ=90°•Z BPM+Z NPQ=900又vZ MBP+Z BPM =900•Z MBP= Z NPQ•Rt A MBP^ Rt A NPQ,•PB=PQ(2)v S 四边形PBCQ=S A PBC+S A PCQAP=x• CQ=CD- 2NQ=1 ——2x1 1 J2 (如图)又v sPB=1BC・BM=1•「(1 -/=&PCQ= 1CQ • PN=1(1 - 一 2 X )• (1 _ 丄 x)22 2• •• S 四边形 PBCQ = 1 X 2 — 2 x + 1 . (02(3) △ PCQ 可能成为等腰三角形.① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合， PQ=QC ，此时，x=0.② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ 时,CN=—^CP =1- —2 2•当•、2 — x=、2x — 1 时，x=13、解：(1)如图1，延长 CD 至E ，使DE DA .可证明 EAD 是等边三角形. 联结AC ，可证明 BAD 也 CAE . 故 AD CD DE CD CE BD .(2)如图2,在四边形 ABCD 外侧作正三角形 AB D ，有:QN=AM=PM = x CP= 2 — x,CQ=QN —CN 冷x -( 1-#x )An图1图2可证明AB C也ADB，得B C DB .•/四边形AB DP符合（1 ）中条件，••• BP AP PD .联结BC ,i）若满足题中条件的点P在BC上，则B C PB PC .BC AP PD PC .BD PA PD PC .ii)若满足题中条件的点P不在B C 上,BC PB PC,BC AP PD PC .• BD PA PDPC. 综上，BD PA PD PC .4、答案(1) 证明: 延长EB 到G, 使BG=DF, 联结AGABG = /ABC= / D = 90° , AB = AD ,•△ ABG ◎△ ADF.•AG = AF, / 1 = / 2.1•/ 1 + / 3=/ 2+/ 3=/ EAF= - / BAD .2•/ GAE= / EAF .又AE = AE,•△AEG^A AEF.•EG= EF.••• EG=BE+BG .•EF= BE+ FD(2) (1 )中的结论EF= BE + FD仍然成立.(3)结论EF=BE+ FD不成立，应当是EF=BE—FD .证明：在BE上截取BG ,使BG=DF，连接AG . •••/ B+/ADC = 180° , / ADF+ / ADC = 180°,•/ B=/ ADF .••• AB = AD ,•△ ABG ◎△ ADF.•/ BAG = / DAF,AG = AF .•/ BAG+ / EAD = / DAF+ / EAD1=/EAF = - / BAD .2•/ GAE= / EAF .••• AE = AE ,•△AEG^A AEF.•EG= EF••• EG=BE—BG••• EF=BE—FD.5、答案：解：(1) AM DE , AM(2) 结论仍然成立。
证明：如图，延长CA至F，使FA=ACDA BA, EA AF，BAF 90 DAF EAD .在FAB与EAD中：FA AEBAF EADBA DAFAB EAD (SAS).BF=DE , F AEN .FPD F APE AEN 90°.FB DE .1 又CA=AF, CM=MB , AM //FB 且AM= — FB21 AM DE , AM= — DE .26、答案：(1)由题意得m = n时，AOBC是正方形.如图，在OA上取点C,使AG = BE,贝U OG = OE./ EGO = 45，从而 / AGE = 135 .由BF是外角平分线，得 / EBF = 135 ,二 / AGE = / EBF .•/ / AEF = 90 ,•••/ FEB + / AEO = 90 .在Rt△ AEO 中，T / EAO +/AEO = 90 ,• / EAO = / FEB ,• △AGE^A EBF , EF = AE .(2)假设存在点E,使EF = AE .设E (a, 0).作FH丄x轴于H，如图.由(1)知/ EAO = / FEH，于是Rt△ AOE 也Rt△ EHF .•FH = OE , EH = OA .•••点F的纵坐标为a, 即卩FH = a.由BF是外角平分线，知/ FBH = 45 , • BH = FH = a.又由 C ( m, n)有OB = m,「. BE = OB —OE = m —a,•EH = m — a + a = m.又EH = 0A = n , /• m = n ,这与已知 m ^n 相矛盾. 因此在边0B 上不存在点 E ,使EF = AE 成立.(3) 如(2)图，设 E (a , 0), FH = h ，贝U EH = OH — OE = h + m — a .把 h = (t + 1) a 代入得 a(m a) (t 1)3 , n a 即 m — a = (t + 1)( n — a ). 而 m = tn ,因此 tn — a = (t + 1) ( n — a ).化简得ta = n ,解得a -.t•/ t > 1,••• - v n v m ,故 E 在 OB 边上.t•••当E 在OB 边上且离原点距离为 -处时满足条件，此时 E ( - , 0) t t△ AOE s^ EHF ,• EF : =(t + 1 ) AE 等价于 FH = (t + 1) OE , 即卩 h = (t + 1) 口 AO OE ” n a且 -即EH FH 'h m a h整理得 nh = ah + am — a ,「. ham a 2 a(m a)n a n a7、答案：（1） EBF 30° QFC = 60°• BE=AB= 2 3，由(1) 得 EBF 30°在 Rt △ BGF 中，BGBEG2BG• BF=2cos30△ ABP 也厶 AEQ• QE=BP= X• QF = QE +EF• EF=2由 / AEF = 90，/ EAO = / FEH ，得•/△ ABE 是等边三角形过点Q 作QH 丄BC ,垂足为H在 Rt △ QHF 中，y QH sin60gQF 3(x 2) (x >0) 2 y 亚x 灵即y 关于x 的函数关系式是：2.8、答案：解：(1)在直角梯形 ABCD 中,•••QN 丄 AD, / ABC= 90°,「.四边形 ABNC 是矩形。