历年自考线性代数试题真题及答案分析解答完整版

历年自考线性代数试题

真题及答案分析解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2

1

21，

n c c b b =2

1

21，则

=++2

21

121c a c a b b （ B ）

A ．n m -

B ．m n -

C ．n m +

D ．)(n m +-

2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB

B ．CAB

C ．CBA

D ．BCA

3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-

B ．2-

C ．2

D ．8

4．⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=3332312322

21131211a a a

a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332312322

211312

11333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=100013001Q ，则=

B （ B ） A ．PA B ．AP

C ．QA

D ．AQ

5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2

B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2

C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0

D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0

6．下列命题中错误．．

的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线

性相关

C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关

D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关

7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出

D ．β必能由321,,ααα线性表出

8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于m

B ．等于m

C ．小于n

D ．等于n

9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T A

B ．2A

C ．1-A

D ．*A

10．二次型212

322

213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式

2010

2009

2008

2007的值为_____________．

12．设矩阵⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=102311A ，⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=1002B ，则=B A T _____________．

13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32

=+，则=γ__________．

14．设A 为n 阶可逆矩阵，且n

A 1||-=，则|=-||1A _____________．

15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组

Ax =0的解，则=||A _____________．

16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320

321

321x x

x x x x 的基础解系所含解向量的个数为

_____________．

17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1

231

-⎪⎭

⎫

⎝⎛A 必有一个特征值为

_________．

18．设矩阵⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．

19．已知⎪⎪⎪⎪

⎫

⎛=10002

/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________．

20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式33

3222

c c b b a a c b a c

b a D +++=的值． 解：2

2

2

33

3

22233

3

222

11

1c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a

D ==+++= ))()((1

1)

)((b c a c a b abc a

c a b a c a b abc ---=++--=．

22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．

解：（1）⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T

；

（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=T CB ，所以

131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛963321642．

23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．

解：⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛--==101113031121

111

2

),,,(4321ααααA →

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--11121303112110

1

1

→⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛------11102330011

01011