华东理工大学概率论答案,
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华东理工大学概率论答案,
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
华东理工大学
概率论与数理统计
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第十九次作业
一.填空题:
1.在一批垫圈中随机抽取10个,测得它们的厚度(单位: mm)如下:
1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28
用矩估计法得到这批垫圈的数学期望μ的估计值μ
ˆ=257.1=x , 标准差σ的估计值σ
ˆ=037.01=-n s 。 2.将合适的数字填入空格,其中:(1)总体矩,(2)样本矩,(3)中心极限定
理,(4)大数定理。
矩估计的做法是用(2) ,代替(1) ,其依据是 (4) 。 3.已知总体),(~2σμN X ,其中未知参数σμ和的极大似然估计分别为
1-n S X 和,则概率}2{ ⎫ ⎝⎛-Φ-12n S X 。 二.计算题: 1.设总体X 的分布律为1,,2,1,0,1 }{-== =N k N k X P Λ,其中N 未知,n X X ,,1Λ为来自该总体的样本,试分别求N 的矩估计M N ˆ和极大似然估计L N ˆ 解:(1)矩估计 总体均值:2 12)1(11)1(1110-= -⋅=⋅-++⋅+⋅ =N N N N N N N N EX Λ, 样本平均值:∑==n i i X n X 1 1, 令 X EX =,即 X N =-2 1,得12+=X N ,即N 的矩估计为12ˆ+=X N M 。 (2)极大似然 设),(21n X X X ,, Λ的一组观测值为),(21n x x x ,,Λ, 似然函数∏===n i i x X P N L 1 )()(n N 1 = ,显然N 越小,似然函数值越大。 由10)()1(-≤≤≤≤N x x n Λ,得1)(+≥n x N ,则N 的极大似然估计值为 1ˆ)(+=n L x N ,即N 的极大似然估计为1ˆ)(+=n L X N 2.设总体X 服从几何分布:1)1()(--==x p p x X P ,Λ,2,1=x , 其中p 未知。设),,,(21n X X X Λ为X 的样本,试求p 的矩法估计和极大似然估计。 解:(1)由于()Ge p ξ~,因此1E p ξ= ,由矩法原则可知E X ξ=,故1 ˆp X =。 (2)设样本12(,,,)n X X X L 的一组观测值为12(,,,)n x x x L , 由于总体为离散型, 因此似然函数 11()()(1)n i i n x n n i i i L p P X x p p =-=∑===-∏, 取对数, 得() 1ln ()ln ln(1)n i i L p n p x n p ==+ --∑ , 上式两端关于p 求导, 令1ln ()01n i i x n d L p n dp p p =-=+=-∑, 解上式, 得111ˆ01X p p p X -+=⇒=-。 3.设总体总体X 的密度函数为⎩ ⎨ ⎧<<+=其他 ,01 0, )1()(x x x f θθ, 其中1->θ是 未知参数, ),(21n X X X ,,Λ是来自总体的样本,分别用矩估计法和极大似然法求 θ的估计量。 解:总体X 的数学期望为2 1 )1()(1++= +==⎰⎰+∞ ∞ -++∞ ∞ -θθθθdx x dx x xf EX , 设∑==n i i X n X 11为样本均值, 则应有:2 1 ++=θθX , 解得θ的矩法估计量为: X X --=112ˆθ ; 设),(21n x x x ,, Λ是样本),(21n X X X ,,Λ的观察值, 则似然函数为: ∏==n i i x f L 1 )()(θ∏=+=n i i x 1 )1(θ θ⎩ ⎨ ⎧=<<⋅⋅⋅+=其他,0,,2,1,10,)()1(21n i x x x x i n n Λθθ, 当),,2,1(10n i x i Λ=<<时, ,0)(>θL ,ln )1ln()(ln 1 ∑=++=n i i x n L θθθ 令 0ln 1)(ln 1 =++=∑=n i i x n d L d θθθ , 解得θ的极大似然估计值: ∑=- -=n i i x n 1 ln 1ˆθ, 故θ的极大似然估计量为:∑=--=n i i X n 1 ln 1ˆθ 。 4.设总体X 的分布律为 X 0 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2θ θ21- 其中)21 0(<<θθ是未知参数。现有一样本:3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3。求θ的矩估 计值M θˆ和极大似然估计值L θˆ。 解:(1) 由矩法原则可知:22012(1)23(12)34EX X θθθθθθ=⋅+⋅-+⋅+⋅-=-=, 由样本得:3130312328 X +++++++= =,故θ的矩估计值41ˆ=M θ。 (2) 注意该总体为离散型,且分布律不能由解析式表示。 似然函数 12345678(){3}{3}{3}{0}{3}{1}{2}{3} L P X P X P X P X P X P X P X P X θ========= 2224624()(2(1))(12)4(1)(12)θθθθθθθ=⋅-⋅-=--, 取对数,得ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12)L θθθθ=++-+-, 令 2ln ()62824286 0112(1)(12) d L d θθθθθθθθθθ-+=--==----,