华东理工大学概率论答案,

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华东理工大学概率论答案,

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

华东理工大学

概率论与数理统计

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十九次作业

一.填空题:

1.在一批垫圈中随机抽取10个,测得它们的厚度(单位: mm)如下:

1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28

用矩估计法得到这批垫圈的数学期望μ的估计值μ

ˆ=257.1=x , 标准差σ的估计值σ

ˆ=037.01=-n s 。 2.将合适的数字填入空格,其中:(1)总体矩,(2)样本矩,(3)中心极限定

理,(4)大数定理。

矩估计的做法是用(2) ,代替(1) ,其依据是 (4) 。 3.已知总体),(~2σμN X ,其中未知参数σμ和的极大似然估计分别为

1-n S X 和,则概率}2{

⎫ ⎝⎛-Φ-12n S

X

二.计算题:

1.设总体X 的分布律为1,,2,1,0,1

}{-==

=N k N

k X P Λ,其中N 未知,n X X ,,1Λ为来自该总体的样本,试分别求N 的矩估计M

N ˆ和极大似然估计L N ˆ 解:(1)矩估计

总体均值:2

12)1(11)1(1110-=

-⋅=⋅-++⋅+⋅

=N N N N N N N N EX Λ, 样本平均值:∑==n

i i X n X 1

1,

令 X EX =,即 X N =-2

1,得12+=X N ,即N 的矩估计为12ˆ+=X N M 。 (2)极大似然

设),(21n X X X ,,

Λ的一组观测值为),(21n x x x ,,Λ,

似然函数∏===n

i i x X P N L 1

)()(n N

1

=

,显然N 越小,似然函数值越大。 由10)()1(-≤≤≤≤N x x n Λ,得1)(+≥n x N ,则N 的极大似然估计值为

1ˆ)(+=n L x N ,即N 的极大似然估计为1ˆ)(+=n L X N

2.设总体X 服从几何分布:1)1()(--==x p p x X P ,Λ,2,1=x , 其中p 未知。设),,,(21n X X X Λ为X 的样本,试求p 的矩法估计和极大似然估计。 解:(1)由于()Ge p ξ~,因此1E p ξ=

,由矩法原则可知E X ξ=,故1

ˆp

X

=。 (2)设样本12(,,,)n X X X L 的一组观测值为12(,,,)n x x x L , 由于总体为离散型,

因此似然函数 11()()(1)n

i i n

x n

n

i i i L p P X x p p =-=∑===-∏,

取对数, 得()

1ln ()ln ln(1)n

i

i L p n p x n p ==+

--∑

,

上式两端关于p 求导, 令1ln ()01n

i i x n

d L p n dp p p

=-=+=-∑,

解上式, 得111ˆ01X p

p p X

-+=⇒=-。

3.设总体总体X 的密度函数为⎩

⎧<<+=其他

,01

0,

)1()(x x x f θθ, 其中1->θ是

未知参数, ),(21n X X X ,,Λ是来自总体的样本,分别用矩估计法和极大似然法求

θ的估计量。

解:总体X 的数学期望为2

1

)1()(1++=

+==⎰⎰+∞

-++∞

-θθθθdx x dx x xf EX , 设∑==n i i X n X 11为样本均值, 则应有:2

1

++=θθX ,

解得θ的矩法估计量为: X

X --=112ˆθ

设),(21n x x x ,,

Λ是样本),(21n X X X ,,Λ的观察值, 则似然函数为: ∏==n i i x f L 1

)()(θ∏=+=n

i i

x 1

)1(θ

θ⎩

⎧=<<⋅⋅⋅+=其他,0,,2,1,10,)()1(21n

i x x x x i n n Λθθ, 当),,2,1(10n i x i Λ=<<时, ,0)(>θL

,ln )1ln()(ln 1

∑=++=n

i i x n L θθθ

0ln 1)(ln 1

=++=∑=n

i i x n

d L d θθθ , 解得θ的极大似然估计值: ∑=-

-=n

i i

x

n

1

ln 1ˆθ,

故θ的极大似然估计量为:∑=--=n

i i

X

n

1

ln 1ˆθ

4.设总体X 的分布律为

X

0 1 2 3

P 2θ

)1(2θθ-

2θ θ21-

其中)21

0(<<θθ是未知参数。现有一样本:3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3。求θ的矩估

计值M θˆ和极大似然估计值L θˆ。

解:(1) 由矩法原则可知:22012(1)23(12)34EX X θθθθθθ=⋅+⋅-+⋅+⋅-=-=,

由样本得:3130312328

X +++++++=

=,故θ的矩估计值41ˆ=M

θ。 (2) 注意该总体为离散型,且分布律不能由解析式表示。 似然函数

12345678(){3}{3}{3}{0}{3}{1}{2}{3}

L P X P X P X P X P X P X P X P X θ=========

2224624()(2(1))(12)4(1)(12)θθθθθθθ=⋅-⋅-=--,

取对数,得ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12)L θθθθ=++-+-,

2ln ()62824286

0112(1)(12)

d L d θθθθθθθθθθ-+=--==----,

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