华东理工大学概率论答案,

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华东理工大学

概率论与数理统计

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十九次作业

一．填空题：

1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位: mm)如下:

1.23， 1.24， 1.26， 1.29， 1.20， 1.32， 1.23， 1.23， 1.29， 1.28

用矩估计法得到这批垫圈的数学期望μ的估计值μ

ˆ=257.1=x ， 标准差σ的估计值σ

ˆ=037.01=-n s 。 2．将合适的数字填入空格，其中：（1）总体矩，（2）样本矩，（3）中心极限定

理，（4）大数定理。

矩估计的做法是用（2） ，代替（1） ，其依据是 （4） 。 3．已知总体),(~2σμN X ，其中未知参数σμ和的极大似然估计分别为

1-n S X 和，则概率}2{

⎫ ⎝⎛-Φ-12n S

X

。

二．计算题：

1．设总体X 的分布律为1,,2,1,0,1

}{-==

=N k N

k X P Λ，其中N 未知，n X X ,,1Λ为来自该总体的样本，试分别求N 的矩估计M

N ˆ和极大似然估计L N ˆ 解：（1）矩估计

总体均值：2

12)1(11)1(1110-=

-⋅=⋅-++⋅+⋅

=N N N N N N N N EX Λ， 样本平均值：∑==n

i i X n X 1

1，

令 X EX =，即 X N =-2

1，得12+=X N ，即N 的矩估计为12ˆ+=X N M 。 （2）极大似然

设),(21n X X X ，，

Λ的一组观测值为),(21n x x x ，，Λ，

似然函数∏===n

i i x X P N L 1

)()(n N

1

=

，显然N 越小，似然函数值越大。 由10)()1(-≤≤≤≤N x x n Λ,得1)(+≥n x N ，则N 的极大似然估计值为

1ˆ)(+=n L x N ，即N 的极大似然估计为1ˆ)(+=n L X N

2．设总体X 服从几何分布：1)1()(--==x p p x X P ，Λ,2,1=x ， 其中p 未知。设),,,(21n X X X Λ为X 的样本，试求p 的矩法估计和极大似然估计。 解：(1)由于()Ge p ξ~，因此1E p ξ=

，由矩法原则可知E X ξ=，故1

ˆp

X

=。 (2)设样本12(,,,)n X X X L 的一组观测值为12(,,,)n x x x L , 由于总体为离散型,

因此似然函数 11()()(1)n

i i n

x n

n

i i i L p P X x p p =-=∑===-∏,

取对数, 得()

1ln ()ln ln(1)n

i

i L p n p x n p ==+

--∑

,

上式两端关于p 求导, 令1ln ()01n

i i x n

d L p n dp p p

=-=+=-∑,

解上式, 得111ˆ01X p

p p X

-+=⇒=-。

3．设总体总体X 的密度函数为⎩

⎨

⎧<<+=其他

,01

0,

)1()(x x x f θθ， 其中1->θ是

未知参数, ),(21n X X X ，，Λ是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求

θ的估计量。

解：总体X 的数学期望为2

1

)1()(1++=

+==⎰⎰+∞

∞

-++∞

∞

-θθθθdx x dx x xf EX , 设∑==n i i X n X 11为样本均值, 则应有：2

1

++=θθX ,

解得θ的矩法估计量为: X

X --=112ˆθ

；

设),(21n x x x ，，

Λ是样本),(21n X X X ，，Λ的观察值, 则似然函数为： ∏==n i i x f L 1

)()(θ∏=+=n

i i

x 1

)1(θ

θ⎩

⎨

⎧=<<⋅⋅⋅+=其他,0,,2,1,10,)()1(21n

i x x x x i n n Λθθ, 当),,2,1(10n i x i Λ=<<时, ,0)(>θL

,ln )1ln()(ln 1

∑=++=n

i i x n L θθθ

令

0ln 1)(ln 1

=++=∑=n

i i x n

d L d θθθ , 解得θ的极大似然估计值： ∑=-

-=n

i i

x

n

1

ln 1ˆθ，

故θ的极大似然估计量为：∑=--=n

i i

X

n

1

ln 1ˆθ

。

4．设总体X 的分布律为

X

0 1 2 3

P 2θ

)1(2θθ-

2θ θ21-

其中)21

0(<<θθ是未知参数。现有一样本：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3。求θ的矩估

计值M θˆ和极大似然估计值L θˆ。

解：(1) 由矩法原则可知：22012(1)23(12)34EX X θθθθθθ=⋅+⋅-+⋅+⋅-=-=，

由样本得：3130312328

X +++++++=

=，故θ的矩估计值41ˆ=M

θ。 (2) 注意该总体为离散型，且分布律不能由解析式表示。 似然函数

12345678(){3}{3}{3}{0}{3}{1}{2}{3}

L P X P X P X P X P X P X P X P X θ=========

2224624()(2(1))(12)4(1)(12)θθθθθθθ=⋅-⋅-=--，

取对数，得ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12)L θθθθ=++-+-，

令

2ln ()62824286

0112(1)(12)

d L d θθθθθθθθθθ-+=--==----，