全概率公式和贝叶斯公式在实际生活中的应用毕业答辩

全概率公式与贝叶斯公式的应用

分类号:单位代码:10452毕业论文（设计）全概率公式与贝叶斯公式的应用2013年04月20日摘要在古典概率中，全概率公式及贝叶斯公式占有重要的地位，这是由于它们能将比较复杂事件的概率通过简单事件的概率计算出来.这两个公式看起来简单，但在自然领域中的应用极其广泛.本文首先介绍了全概率公式和贝叶斯公式的定义，然后又通过具体的例子阐述了全概率公式和贝叶斯公式在医学、经济、概率推理、侦破案件等方面的应用.并在文献[2]的基础上将这两个公式推广到原因事件用n维随机变量取值表示的情形，通过特例说明了该公式在概率论中的具体应用.最后说明了全概率公式和贝叶斯公式的联系及其综合运用,应用了一个简单的例子说明了这两个公式的综合运用在解决复杂事件概率的重要作用.关键词：全概率公式；贝叶斯公式；随机变量ABSTRACTIn classical probability, the total probability formula and Bayes formula occupy an important position, this is because they can reduce probability of complex events and we can calculate the complex events by simple event probability. These two formulas seem simple, but they are widely applied in the filed of natural. At first , this paper introduces the definition of the total probability formula and Bayes formula. This paper analysis the application of the total probability formula and Bayes formula by the concrete example, such as medical, economic, probability reasoning and solve cases. And on the basis of the literature [2], we extends them with the help of the cause event expressed by an n-dimension random variable．The explicit applications of the formula in the theory of probability and stochastic process are given by some special examples. Finally it account the connection and integrated use of them. This thesis applicates a simple example to illustrate the combination of the two formulas in solving complex event probability.Key words: Total probability formula; Bayes formula; Random variable目录1 引言 (1)2 全概率公式的应用及其推广 (1)2.1 全概率公式的定义 (1)2.2 全概率公式的应用 (2)2.2.1 在敏感性问题调查中的应用 (2)2.2.2 在求概率的递推法中的应用 (4)2.2.3 在医疗诊断中的应用 (5)2.3 全概率公式的推广 (6)2.3.1 原因事件用n维离散型随机变量取值表示的全概率公式 (6)2.3.2 原因事件用n维连续型随机变量取值表示的全概率公式 (7)2.3.3 应用举例 (7)3 贝叶斯公式的应用及其推广 (8)3.1 贝叶斯公式的定义 (8)3.2贝叶斯公式的应用 (9)3.2.1 在概率推理中的应用 (9)3.2.2 在破案中的应用 (10)3.2.3 在经济中的应用 (10)3.3 贝叶斯公式的推广 (13)3.3.1 贝叶斯公式与全概率公式的联系 (13)3.3.2 贝叶斯公式的推广 (13)3.4 全概率公式与贝叶斯公式的综合运用 (13)4 结论 (16)参考文献 (18)致谢 (19)1 引言我们都知道这样一个数学思想：当遇到一个比较复杂、抽象不容易下手的事件时，往往需要把这个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来帮助我们求解这个复杂事件的概率.而全概率公式正是运用了这个思想.全概率公式和贝叶斯公式本身蕴含着深刻的思想，对于初学者而言，它们的应用是难点之一，虽然公式本身简单易懂，但是要想应用自如，还是需要再下一番功夫的.现如今在工程和科技中的许多交叉领域里面很容易找到这两个公式的众多研究者，并且在统计学领域内，它们在很多方面取得了进展.在概率的决策中，有一类决策就叫做贝叶斯决策，它的原理是根据贝叶斯公式进行概率的判断.文献[2]将一般的概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用一维随机变量取值表示的情形.而本文则是在文献[2]的基础上对全概率公式进行再一次的推广，将一般概率论中的全概率公式推广到了原因事件用n 维离散随机变量及n 维连续型随机变量取值表示的情形，并同理给出贝叶斯公式的推广.最后通过特列说明了这个公式在概率论中的具体应用.2 全概率公式的应用及其推广2.1 全概率公式的定义引理[]12.1.1 设12,,B B 是一列互不相容的事件，且有1i i B ∞==Ω()0i P B >, 1,2,i= 则对任一事件A 有()()()1.i i i P A P B P A B ∞==∑ (2-1)证明 ()()1i i P A P A P A B ∞=⎡⎤⎛⎫=Ω=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()()11i i i i P AB P AB ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑ ()()1i i i P B P A B ∞==∑.下面，我们对应用全概率公式解题的一般步骤进行总结：1）确定题中所要求的事件,并且根据题意对所求的事件进行正确剖分；2）列出已知的数据；3）将已知的数据代入到全概率公式中,求出()P B .此外,也应该注意在解题过程中,我们千万不要被问题的表象所迷惑.有的也不只是单单将全概率公式往题里一代即可.在全概率公式的问题中,有许多相似的情况,如合格产品、白球等代表正因素,不合格产品,黑球代表反因素,一定的产品盒子、袋子代表因素集合或操作范围等.在该类问题中,总是在一个范围内取出正的或反的因素,或在一个范围中取出正(反)因素放入另一个范围中,我们进行这样的操作一次或多次后,求得从最终操作结束的某个范围内取出一个正(反)因素的概率.解这样较抽象问题时,首先要把复杂抽象的问题具体化,这样才可达到解题简单的目地.就这样，应用以上的总结的解题方法,可解决更为复杂的应用概率公式的问题.2.2 全概率公式的应用2.2.1 在敏感性问题调查中的应用全概率公式可以应用到敏感性调查中，所谓的敏感性调查就是指我们所调查的内容中可能会涉及到被调查者的高度机密或隐私（比如，你是否吸过毒、考试中是否做过弊、你的是否看过黄色影集等等），众所周知，遇到这样的问题时我们是不喜欢回答的，因而常常会发生被调查者拒绝回答或回答的不真实的情况.我们都知道运动会是一项竞争激烈的比赛项目，不仅体现了运动员们的自身素质和顽强的毅力，同时运动员们也可以通过赢得比赛展示出自己的能力，为祖国和自己增加光彩.但有些运动员，为了荣耀，不惜在比赛前服用兴奋剂，不仅对其他运动员来说是极其不公平的，对自己身体的伤害也是非常大的.因此世界颁布了有关法令，严禁运动员服用兴奋剂.例2.2.1 沃纳（Warner ）于1965年提出了一个随机化回答的方法，可以消除被调查者的顾虑，并可以使调查者如实回答.下面就用这种方法来调查在一次运动会中运动员是否服用了兴奋剂.解首先为调查者设定了两个问题：1A ：您在这次运动会中服用兴奋剂了吗？2A ：您没在这次运动会中服用兴奋剂吗？假定被调查者回答上述哪个问题都是随机的，并且只有被调查者本人知道他（她）回答的是哪一个问题其他人包括调查人也不知道他们所回答的问题答案.现在采取如下抓阄的方法：发给被调查者一个不透明的盒子，里面装有三个质地大小完全相同的小球，其中2个红球1个白球，被调查者随机取出一球观察颜色后放回（要求这个球的颜色只被调查者本人知道）.当取到红球时回答问题1A ，否则，就回答问题2A .要求答案只能回答“是”或者“不是”.下面来求这次运动会中服用兴奋剂的运动员人数的比例.由于抓阄的结果对他人来说是保密的，因此被调查者会毫无顾虑的给出真实答案.不妨令 1B ：回答为“是”；2B ：回答为“不是”由于我们认为被调查者都是如实的做出回答，因此被调查者在运动会中服用兴奋剂的概率为()()1122P P B A P B A ==根据概率公式，有()()()()()1111122P B P B A P A P B A P A =+因为()()1221,,33P A P A == ()()122211P B A P B A P =-=-，则有()()1211,33P B P P =+- 从而有 ()13 1.P P B =-设被调查的人数为n ，其中回答“是”的人数为m ，则当n 很大时，有()1,m P B n≈因此这次运动会中服用过兴奋剂的运动员的人数比例近似值为3 1.m r n=- 一般的，如果()()12,1,P A p P A p ==-那么有 ()()()111.P B pP p P =+-- 当12p ≠时，可以由上式得 ()()111,21P P B p p =--⎡⎤⎣⎦- 进而得到服用了兴奋剂人数比例的近似值为()1121m r p p n ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦. 2.2.2 在求概率的递推法中的应用全概率公式是概率论前期发展中的一个重要里程碑，它的意义和价值远远超出了时间的局限，在求概率的递推法中也有着一定的应用.它的要点是在Ω中引入一个适当的分划，把概率条件化，以达到化难为易的目的，这就为利用递推方法解答概率问题提供了途径.例2.2.2 甲乙二人轮流抛掷一枚均匀的骰子.甲先掷，一直到掷出了1点，然后再交给乙掷，而到乙掷出了1点，再交给甲掷，并如此一直下去.试求第n 次抛掷时由甲掷的概率.解以n A 表示第n 次抛掷时由甲掷的事件，记().n n p P A =我们以1n A -和1c n A -作为对Ω的一个分划，易知()()1151,.66c n n n n P A A P A A --== 于是由全概率公式得()n n p P A =()()()()1111c c n n n n n n P A P A A P A P A A ----=+ ()1151166n n p p --=+-12136n p -=+. 经过整理，将上式化为易于递推的形式 1121,2,3,.232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭反复利用该式，并注意11p =，即得11112112,23223n n n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以就有 1121,1,2,.232n n p n -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2.2.3 在医疗诊断中的应用同时全概率公式也可以应用于考虑病人患病的确诊问题.人们为了完全确诊某些疾病，我们知道要对病患进行检查，而有的检查是非常昂贵且浪费时间的，更有的检查是对人体造成一定的伤害.因此，利用一些有关的容易获得的临床指标进行辅助性的概率推断是十分重要的.例2.2.3 禽流感患者的临床表现为发热、干咳、流涕、头痛.已知人群中具有以上所有症状的病人患有禽流感的概率为0.5%，仅发热的病人患禽流感的概率为0.4%，仅干咳的病人患禽流感的概率为0.1%，仅流涕的病人患禽流感的概率为0.3%，仅头痛的病人患禽流感的概率为0.2%，无上述现象而被确诊为禽流感的概率为0.001%.现对某疫区30000人进行检查，其中具有所有症状的人为300人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，仅流涕的病人为800人，仅头痛的病人为450人.试求该疫区某人患禽流感的概率.解设A =“具有所有症状的病人”， B =“仅发热的病人”， C =“仅干咳的病人”，D =“仅流涕的病人”， E =“仅头痛的病人”， F =“无明显症状的人”， G =“确诊患有禽流感的病人”.由全概率公式得()()()()()()()P G P A P G A P B P G B P C P G C =++()()()()()()P D P G D P E P G E P F P G F +++30050010000.5%0.4%0.1%300003000030000=⨯+⨯+⨯ 800450297000.3%0.2%0.001%300003000030000+⨯+⨯+⨯ =0.00026992.3 全概率公式的推广在一般的概率论或概率统计教材中，主要是运用全概率公式来计算一些复杂事件概率，却很少涉及导致结果事件的原因事件用随机变量取值表示的情形，这使得这个公式的重要性还无法真正得到体现.文献[2]将一般的概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用一维随机变量取值表示的情形，作者又举例说明了这个公式或这种分解方法能解决些复杂事件的概率问题.本文在文献[2]的基础上进行了再推广，将一般概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用n 维离散型随机变量和n 维连续型随机变量取值表示的情形，然后又通过一个特例说明了这个公式在概率论和随机过程中的具体应用.从而看出了它的重要性.在公式()21-中12,,,,n B B B 通常看成为原因事件，A 看成由原因事件，12,,,,n B B B 导致的结果事件.2.3.1 原因事件用n 维离散型随机变量取值表示的全概率公式由于n 维离散型随机变量取可能值表示的事件是两两互不相容的，并且取所有可能值表示的事件的并事件为必然事件，因此就可以将上述结果推广到原因事件用n 维离散型随机变量取值表示的情形.定理 2.3.2 设n 维离散型随机变量()12,,,n ξξξ的联合分布律（列）为()12,,,,,,1,2,i j n k P a b c i j k ξξξ====则对任意的事件A ，有 ()()()121211,,,,,,i j n k i j n k i k n P A P A a b c P a b c ξξξξξξ∞∞=========∑∑ （2-1）2.3.2 原因事件用n 维连续型随机变量取值表示的全概率公式由定理2的结果，类似于文献[2]定理4的证明，可推广得到原因事件用n 维连续型随机变量取值表示的情形.定理 2.3.1 设n 维连续型随机变量()12,,,n ξξξ的联合概率密度为()12,,,n f x x x ，则对任意的事件A ，有 ()()()112212120,,,,,,n n n n n P A P A x x x f x x x dx dx dx ξξξ+∞∞-∞====⎰⎰（2-2）2.3.3 应用举例下面通过一个例子来说明推广的全概率公式在概率论和随机过程中的具体应用，尽管解题方法不一定是唯一的，但仍然可以看到，应用全概率公式处理问题时，还是比较简单容易的.例2.3.1 设1,2ξξ相互独立且有共同的几何分布()()11,1;1,2;1,2,k P k pq p q i k ξ-==+===求（1）()1,2max ηξξ=的分布；（2）1,ξη的联合分布. 解（1）根据定理2的全概率公式()22-，得()()()121211,,i j P k P k i j P i j ηηξξξξ∞∞=========∑∑注意到，当,i j 均不等于k 时，()12,0;P k i j ηξξ====当,1,2,,i k j k ==或,1,2,1j k i k ==-时， ()12, 1.P k i j ηξξ====再由1,2ξξ的独立性知()()()221212,i j P i j P i P j p q ξξξξ+-======于是()()()1121211,,k ki j P k P i k P k j ηξξξξ-======+==∑∑()1222221112k ki k k j k k k i j p q p q pq q q q -+-+--+===+=--∑∑ （2）根据定理2.3.2的全概率公式（2-2），得,ξη的联合分布()()()121221,,j P i j P i k j P j ξξξηξξ∞========∑()()()()1221122122,,,,0,0,kj i i k P i j P j i k pq i k P i k P k i k p q i k i k i kξξξξξξ=-+-⎧====⎪⎪⎪⎧=⎪⎪⎪====<=<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪⎪>⎪⎪⎩∑ 通过上述例子当中原因事件用一维、二维及n 维随机变量取值表示时全概率公式的应用，可以看到全概率公式在概率论中的重要作用.并且在可靠性模型、存储模型、风险模型等研究中都大量使用过全概率公式，特别是原因事件用一维、二维及n 维随机变量取值表示时全概率公式的应用.3 贝叶斯公式的应用及其推广3.1 贝叶斯公式的定义引理[]13.1.1 若12,,B B 为一列互不相容的事件，且1i i B ∞==Ω()0,1,2,i P B i >= 则对任一事件A ，有 ()()()()()11,2,.,i i i j jj P B P A B P B A i P B P A B ∞===∑ （3-1）贝叶斯公式为我们提供了科学的决策和推断的方法.已知实验后的“结果”()A 要求推断哪种“原因”()i B 产生的可能性大，它的方法步骤是：1) 首先计算出每一个()i P B ，这是实验前产生的概率叫做先验概率，它反应了各种“原因”发生的可能性大小；2) 计算()i P A B ，它表示“原因” ()i B 发生的条件下产生“结果”()A ，从而由贝叶斯公式反推出“结果” ()A 已经发生的条件下“原因” ()i B 发生的概率()i P B A ，它是实验后确定的概率称为后验概率;3) 最后比较各个()i P B A 的大小，若()k P B A 是各个()i P B A ()1,2,i =中最大的一个，这就表明了产生“结果” ()A 最可能的“原因”是k B .证明由条件概率的定义及乘法公式有()()()()()(),i i i i P A P B A P A B P A B P B P B == 对()P B 运用全概率公式并代入这个式子，即得贝叶斯公式()()()()()11,2,.,i i i j jj P B P A B P B A i P B P A B ∞===∑由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的.并且它与全概率公式一样在实际生活中也有着特别广泛的应用，下面来探讨贝叶斯公式在以下几个方面的应用.3.2贝叶斯公式的应用3.2.1 在概率推理中的应用例3.2.1 已知一个位于英国的发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”，由于通讯系统收到了某些信号的干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是分别以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同样，发出信号“1”时分别以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收报台收到“0”，求它没收错的概率是多少？解设A =“发报台发出信号‘0’”， A =“发报台发出信号‘1’”.B =“收报台收到信号‘0’”， B =“收报台收到信号‘1’”.于是()()0.6,0.4,P A P A == ()()0.80.1.P B A P B A == 由贝叶斯公式（3-1），得()()()()()()()P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+0.60.80.9230.60.80.40.1⨯==⨯+⨯ 即收报台没收错信号的概率为0.923.由此可见，通过贝叶斯公式计算可以帮助我们从接收的结果中，分析信号传递的错误性大小.3.2.2 在破案中的应用例3.2.2 在一个大雾天的下午五点左右发生了一起交通事故，肇事车是本市一辆出租车，该车早已逃逸.有一个目击者认定是一辆绿色出租车，假定经调查该市有红、绿两种颜色的出租车，其中绿色占 17%，红色占 83%，我们假定通过测试可知，目击者将红色看成红色的概率为 0.8，将红色看成绿色的概率为 0.2，将绿色看成绿色的概率为 0.9，将绿色的看成红色的概率为 0.1.若你是交警，你能确信目击者的证言吗？解设A =“该出租车确实是绿色的”， B =“该出租车确实是红色的”， C =“目击者看到的是绿色的”， D =“目击者看到的是红色的” 由贝叶斯公式得()()()()()()0.170.900.170.900.830.2P A P C A P A P C A P B P C B ⨯=⨯+⨯+ 0.480≈根据计算，在这种情形下目击者尽管说的是真话，但他判断正确的概率也只有0.480，所以交警要想破案，还得收集其它方面的数据，不能仅凭目击者的话来破案.3.2.3 在经济中的应用当今概率统计与经济息息相关，几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用，实践证明，概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段.在概率决策中，有一类决策就是贝叶斯决策，也就是根据贝叶斯公式进行概率判断，特别在信息不完全的情况下应用贝叶斯公式解决应用问题是非常有效的.生产管理是现代企业管理的重要一环，但是在生产管理过程中很多企业根据主观判断进行，难以准确度量，利用贝叶斯公式可以很好的解决这一问题.例3.2.3 (贝叶斯公式与生产管理的关系)假设某个工厂有4个车间生产同一件农用产品，其产量占总产量的比例分别为0.15、0.2、0.3和0.35，且已知各车间生产的次品率分别为0.05、0.04、0.03和0.02．现有一农户购买了该厂的农用产品，其中1件产品是次品，对该农户造成了重大的损失，因此工厂按规定进行了索赔.现在厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂长应该如何追究生产车间的责任?解由于不知该产品是由哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任.各车间所负责任的大小应该正比与该产品由各个车间生产的概率.设 j A =“该产品是由第j 个车间生产的”，1,2,3,4;j =B =“从该厂的产品中任取1件恰好取到次品”.则第j 个车间所负责任的大小为条件概率()j P A B ，1,2,3,4j =．由贝叶斯公式得()()()()()41,1,2,3,4.j jj ii i P A P B A P A B j P A P B A ===∑又因为()1P A =0.15， ()2P A =0.2， ()3P A =0.3， ()4P A =0.35()1P B A =0.058，()2P B A =0.04，()3P B A =0.03，()4P B A =0.02从而()()()()()11141i ii P A P B A P A B P A P B A ==∑=0.238;()()()()()222410.254i ii P A P B A P A B P A P B A ===∑;()()()()()333410.286;i ii P A P B A P A B P A P B A ===∑()()()()()444410.222i ii P A P B A P A B P A P B A ===∑.即第1、第2、第3、第4车间所负责任的百分比分别为0．238、0.254、0.286、0.222，显然可见，第3车间负的责任应该最大为0.286.根据后验概率进行判断，对追究责任和索取赔偿具有一定的理论依据.我们知道营销的成功与信誉度有很大的关系，信誉度越高，一个公司成功的概率就越大，而相反一个公司总是做一些让消费者失信的事情，那么可想而知，久而久之这样的公司在消费者心中就会留下信誉不好、不诚信的不良影响.下面利用贝叶斯公式考察如果一家公司多次不讲究信誉会有怎么样的结果. 例3.2.4 （贝叶斯公式与营销信誉度的关系）经过大量的调查我们知道现有一家公司的可信度为0.8，不可信度为0.2，问该公司多次失信后客户对其相信度变为多少?解现在用贝叶斯公式来分析此问题中的可信度是如何下降的.首先记事件A = “不可信”，事件B =“可信”不妨设客过去对该公司的印象为()()0.8,0.2P B P B == 现在可以用贝叶斯公式来求()P B A ，即该公司失信一次后，客户对可信程度的改变.不妨设()()0.1,0.5.P A B P A B ==则客户根据这个信息对这家公司的可信程度改变为 ()()()()()()()0.80.10.4440.80.10.20.5P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===⨯+⨯+ 这就表明了客户经过一次上当受骗后，对这家公司的可信度由原来的0.8下降为了0.444，故在此前提下，我们可以对这家公司的可信程度再一次用贝叶斯公式来计算()P B A ，即为该公司第一次不诚信后，客户对它的可信程度的概率()0.4440.10.1380.4440.10.5560.5P B A ⨯==⨯+⨯ 从中可以看出客户经过再次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，该公司又怎能奢望对客户进行第三次营销的时候会成功，并且顾客又怎能再轻易上这家公司的当，顾客又怎么会相信且愿意去继续购买这家公司的产品呢?进而必然严重影响了该公司的营销业绩.3.3 贝叶斯公式的推广3.3.1 贝叶斯公式与全概率公式的联系若把全概率公式中的A 视作“果”，而把Ω的每一划分i B 视作“因”，则全概率公式反映“由因求果”的概率问题.公式()()()1ni i i P A P B P A B ==∑中的()i P B 是根据以往的信息和经验得到的，所以被称为先验概率.而贝叶斯公式又称为“执果溯因”的概率问题，即在结果A 已经发生的情况下，寻找A 发生的原因.公式()()()()i i i P B A P A B P B P A =中的()i P B A 是得到“信息” A 后求出的，称为后验概率.先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算是以先验概率为基础的.由贝叶斯公式知，求()i P B A 要用到()P A ，而()P A 是由先验概率计算得到的.3.3.2 贝叶斯公式的推广由上述3.3.1中所述的贝叶斯与全概率公式的联系可知，贝叶斯公式是全概率公式的逆过程，而在全概率公式的推广的2.3.1与2.3.2中，已经分别给出了原因事件用n 维离散型随机变量取值表示的全概率公式和原因事件用n 维连续型随机变量取值表示的全概率公式，因此，可以根据贝叶斯公式和全概率公式的联系给出它的推广.在这里，就不再复述了.3.4 全概率公式与贝叶斯公式的综合运用通过以上的关于贝叶斯和全概率公式的应用举例，我们可以看到，全概率公式与贝叶斯公式在生活实际的应用中其实是相互关联，它们之间有着一定程度的联系.并且通过分析全概率公式和贝叶斯公式的联系我们也可以知道贝叶斯公式其实就是全概率的一种变形，即贝叶斯公式是全概率公式的一个逆过程，在上文叙述中也描述了它与全概率公式是互逆应用的.其实在解决我们生活中比较复杂的问题时往往需要综合应用这两个公式，而单纯的运用其中一个公式是很难解决问题的，因此在遇到比较复杂的或是抽象的问题，不能只用全概率公式就解答出来的时，就要多考虑一下是否再运用一下贝叶斯公式，即将这两个公式同时运用就能将问题很好的解决.不要低估这两个公式的综合运用，有时会为生产实践提供更有价值的决策信息与帮助.如在上述例2.2.3中，可以再追加一问，“被确诊为禽流感患者是仅发热病人的概率是多少？”分析我们可以先应用贝叶斯公式()()()()P B P G B P B G P G =()P B 和()P G B 都是已知的，但是()P G 却是未知的因此我们要先求出它，这就要用到全概率公式了.由例2.2.3知()()()()()()()P G P A P G A P B P G B P C P G C =++()()()()()()P D P G D P E P G E P F P G F +++ 30050010000.5%0.4%0.1%300003000030000=⨯+⨯+⨯ 800450297000.3%0.2%0.001%300003000030000+⨯+⨯+⨯ =0.0002699所以，将()P G =0.0002699代入到贝叶斯公式得()()()()P B P G B P B G P G =5000.4%300000.2470.0002699⨯=≈ 从而求得被确诊为禽流感患者是仅发热病人的概率约为24.7%.下面我们再来看一个同时应用这两个公式来解决世界数学难题的例子. 例3.2.5 在1990年第9期的Parade 杂志中，有这样这样一道趣味题，也就是被人们称之为 “玛丽莲问题”的有奖竞猜题目.题目如下: 有三扇门可供参与者选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊.你当然想选中汽车.主持人让你随便选.比如，你选中了A 门.于是，主持人打开了其余两扇后面是山羊的门中的一扇，比如是C 门.现在主持人问你：“为了增加您能选中汽车的概率，你可以换选剩下的一扇门，那么你是换还是不换呢？”分析记O.C =“主持人打开了C 门”，下面分两种情况进行讨论.（1）主持人提前知道每扇门后面的奖品如果汽车在A 门，则主持人有B 、C 两种选择，则他打开C 门的概率为()1.;2P O C A =如果汽车在B 门,主持人为了打开有羊的门，只能选择C 门此时他打开C 门的概率为().1;P O C B =如果汽车在C 门，主持人为了打开有羊的门，绝对不能打开C 门，所以他打开C 门的概率为().0;P O C C =由全概率公式得，他打开C 门的概率为()()()()()()()....P O C P A P O C A P B P O C B P C P O C C =++ 1111103233=⨯+⨯+⨯ 111632=+= 又由贝叶斯公式，在主持人打开C 门的条件下A 、B 两门后面是汽车的概率分别为()()()()...P A P O C A P A O C P O C =1/611/23== ()()()()...P B P O C B P B O C P O C = 1/32.1/23==因此，为了增大参与者选中汽车的概率，应该选择换门.（2）主持人不知道门后面的奖品如果汽车在A 后面，主持人有B 、C 两种选择，他打开C 门的概率为()1.;2P O C A = 如果汽车在B 门后，主持人有B 、C 两种选择，开C 门的概率为()1.;2P O C B = 如果汽车在C 门后，主持人还是有B 、C 两种选择只是不符合主持人选中的门后面是羊的题意，故此时概率为().0.P O C C =所以主持人打开门看到是羊的概率为()()()()()()()....P O C P A P O C A P B P O C B P C P O C C =++ 11111032323=⨯+⨯+⨯ 111;663=+= 此时，在主持人打开C 门后，A 、B 门有汽车的概率分别为()()()()...P A P O C A P A O C P O C =1/61;1/32== ()()()()...P B P O C B P B O C P O C =1/61.1/32==从而可见，换与不换门的概率都是一样的.但由于从实际情况来看，主持人提前不知门后面的奖品这种情况几乎不存在，我们可只考虑（1）这种情况，即认为参与者应该换门.通过上面这个例题我们可以知道综合运用全概率公式和贝叶斯公式，使我们把问题更加简单、准确、有效的解决了.其实它们的综合应用远不止这些，还表现在很多方面.综合应用好全概率公式与贝叶斯公式还可以用来解决医疗、工程、投资、保险等一系列不确定的问题中，成为我们解决复杂问题的有效工具. 4 结论数学是一门很深奥同时也是一门很实用的学科.学好了数学，我们就可以更好的利用我们所学的知识去解决生产、生活中的实际问题，对我们解决问题提供了非常好的方法和工具.本文详细介绍了全概率公式、全概率公式的几个实际应用、全概率公式的推。

全概率公式和贝叶斯公式在实际生活中的应用毕业答辩

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理学院
全概率公式和贝叶斯公式的实际应用
答辩人：袁媛指导老师：王曦峰
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2 研究背景
3 主体内容
4 实践应用
5 内容总结
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选题目的
应用于社会生产活动
目的：研究全概率公式和贝叶斯公式的目的是帮助人们更加了解概率的内容，了解概率在生活中的应用。用概率去估算问题发生的可能性，从而减少失败和损失。为人们提供了方便。

全概率公式与贝叶斯公式的应用

分类号:单位代码:10452毕业论文（设计）全概率公式与贝叶斯公式的应用2013年04月20日摘要在古典概率中，全概率公式及贝叶斯公式占有重要的地位，这是由于它们能将比较复杂事件的概率通过简单事件的概率计算出来.这两个公式看起来简单，但在自然领域中的应用极其广泛.本文首先介绍了全概率公式和贝叶斯公式的定义，然后又通过具体的例子阐述了全概率公式和贝叶斯公式在医学、经济、概率推理、侦破案件等方面的应用.并在文献[2]的基础上将这两个公式推广到原因事件用n维随机变量取值表示的情形，通过特例说明了该公式在概率论中的具体应用.最后说明了全概率公式和贝叶斯公式的联系及其综合运用,应用了一个简单的例子说明了这两个公式的综合运用在解决复杂事件概率的重要作用.关键词：全概率公式；贝叶斯公式；随机变量ABSTRACTIn classical probability, the total probability formula and Bayes formula occupy an important position, this is because they can reduce probability of complex events and we can calculate the complex events by simple event probability. These two formulas seem simple, but they are widely applied in the filed of natural. At first , this paper introduces the definition of the total probability formula and Bayes formula. This paper analysis the application of the total probability formula and Bayes formula by the concrete example, such as medical, economic, probability reasoning and solve cases. And on the basis of the literature [2], we extends them with the help of the cause event expressed by an n-dimension random variable．The explicit applications of the formula in the theory of probability and stochastic process are given by some special examples. Finally it account the connection and integrated use of them. This thesis applicates a simple example to illustrate the combination of the two formulas in solving complex event probability.Key words: Total probability formula; Bayes formula; Random variable目录1 引言 (1)2 全概率公式的应用及其推广 (1)2.1 全概率公式的定义 (1)2.2 全概率公式的应用 (2)2.2.1 在敏感性问题调查中的应用 (2)2.2.2 在求概率的递推法中的应用 (4)2.2.3 在医疗诊断中的应用 (5)2.3 全概率公式的推广 (6)2.3.1 原因事件用n维离散型随机变量取值表示的全概率公式 (6)2.3.2 原因事件用n维连续型随机变量取值表示的全概率公式 (7)2.3.3 应用举例 (7)3 贝叶斯公式的应用及其推广 (8)3.1 贝叶斯公式的定义 (8)3.2贝叶斯公式的应用 (9)3.2.1 在概率推理中的应用 (9)3.2.2 在破案中的应用 (10)3.2.3 在经济中的应用 (10)3.3 贝叶斯公式的推广 (13)3.3.1 贝叶斯公式与全概率公式的联系 (13)3.3.2 贝叶斯公式的推广 (13)3.4 全概率公式与贝叶斯公式的综合运用 (13)4 结论 (16)参考文献 (18)致谢 (19)1 引言我们都知道这样一个数学思想：当遇到一个比较复杂、抽象不容易下手的事件时，往往需要把这个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来帮助我们求解这个复杂事件的概率.而全概率公式正是运用了这个思想.全概率公式和贝叶斯公式本身蕴含着深刻的思想，对于初学者而言，它们的应用是难点之一，虽然公式本身简单易懂，但是要想应用自如，还是需要再下一番功夫的.现如今在工程和科技中的许多交叉领域里面很容易找到这两个公式的众多研究者，并且在统计学领域内，它们在很多方面取得了进展.在概率的决策中，有一类决策就叫做贝叶斯决策，它的原理是根据贝叶斯公式进行概率的判断.文献[2]将一般的概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用一维随机变量取值表示的情形.而本文则是在文献[2]的基础上对全概率公式进行再一次的推广，将一般概率论中的全概率公式推广到了原因事件用n 维离散随机变量及n 维连续型随机变量取值表示的情形，并同理给出贝叶斯公式的推广.最后通过特列说明了这个公式在概率论中的具体应用.2 全概率公式的应用及其推广2.1 全概率公式的定义引理[]12.1.1 设12,,B B 是一列互不相容的事件，且有1i i B ∞==Ω()0i P B >, 1,2,i= 则对任一事件A 有()()()1.i i i P A P B P A B ∞==∑ (2-1)证明 ()()1i i P A P A P A B ∞=⎡⎤⎛⎫=Ω=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()()11i i i i P AB P AB ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑ ()()1i i i P B P A B ∞==∑.下面，我们对应用全概率公式解题的一般步骤进行总结：1）确定题中所要求的事件,并且根据题意对所求的事件进行正确剖分；2）列出已知的数据；3）将已知的数据代入到全概率公式中,求出()P B .此外,也应该注意在解题过程中,我们千万不要被问题的表象所迷惑.有的也不只是单单将全概率公式往题里一代即可.在全概率公式的问题中,有许多相似的情况,如合格产品、白球等代表正因素,不合格产品,黑球代表反因素,一定的产品盒子、袋子代表因素集合或操作范围等.在该类问题中,总是在一个范围内取出正的或反的因素,或在一个范围中取出正(反)因素放入另一个范围中,我们进行这样的操作一次或多次后,求得从最终操作结束的某个范围内取出一个正(反)因素的概率.解这样较抽象问题时,首先要把复杂抽象的问题具体化,这样才可达到解题简单的目地.就这样，应用以上的总结的解题方法,可解决更为复杂的应用概率公式的问题.2.2 全概率公式的应用2.2.1 在敏感性问题调查中的应用全概率公式可以应用到敏感性调查中，所谓的敏感性调查就是指我们所调查的内容中可能会涉及到被调查者的高度机密或隐私（比如，你是否吸过毒、考试中是否做过弊、你的是否看过黄色影集等等），众所周知，遇到这样的问题时我们是不喜欢回答的，因而常常会发生被调查者拒绝回答或回答的不真实的情况.我们都知道运动会是一项竞争激烈的比赛项目，不仅体现了运动员们的自身素质和顽强的毅力，同时运动员们也可以通过赢得比赛展示出自己的能力，为祖国和自己增加光彩.但有些运动员，为了荣耀，不惜在比赛前服用兴奋剂，不仅对其他运动员来说是极其不公平的，对自己身体的伤害也是非常大的.因此世界颁布了有关法令，严禁运动员服用兴奋剂.例2.2.1 沃纳（Warner ）于1965年提出了一个随机化回答的方法，可以消除被调查者的顾虑，并可以使调查者如实回答.下面就用这种方法来调查在一次运动会中运动员是否服用了兴奋剂.解首先为调查者设定了两个问题：1A ：您在这次运动会中服用兴奋剂了吗？2A ：您没在这次运动会中服用兴奋剂吗？假定被调查者回答上述哪个问题都是随机的，并且只有被调查者本人知道他（她）回答的是哪一个问题其他人包括调查人也不知道他们所回答的问题答案.现在采取如下抓阄的方法：发给被调查者一个不透明的盒子，里面装有三个质地大小完全相同的小球，其中2个红球1个白球，被调查者随机取出一球观察颜色后放回（要求这个球的颜色只被调查者本人知道）.当取到红球时回答问题1A ，否则，就回答问题2A .要求答案只能回答“是”或者“不是”.下面来求这次运动会中服用兴奋剂的运动员人数的比例.由于抓阄的结果对他人来说是保密的，因此被调查者会毫无顾虑的给出真实答案.不妨令 1B ：回答为“是”；2B ：回答为“不是”由于我们认为被调查者都是如实的做出回答，因此被调查者在运动会中服用兴奋剂的概率为()()1122P P B A P B A ==根据概率公式，有()()()()()1111122P B P B A P A P B A P A =+因为()()1221,,33P A P A == ()()122211P B A P B A P =-=-，则有()()1211,33P B P P =+- 从而有 ()13 1.P P B =-设被调查的人数为n ，其中回答“是”的人数为m ，则当n 很大时，有()1,m P B n≈因此这次运动会中服用过兴奋剂的运动员的人数比例近似值为3 1.m r n=- 一般的，如果()()12,1,P A p P A p ==-那么有 ()()()111.P B pP p P =+-- 当12p ≠时，可以由上式得 ()()111,21P P B p p =--⎡⎤⎣⎦- 进而得到服用了兴奋剂人数比例的近似值为()1121m r p p n ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦. 2.2.2 在求概率的递推法中的应用全概率公式是概率论前期发展中的一个重要里程碑，它的意义和价值远远超出了时间的局限，在求概率的递推法中也有着一定的应用.它的要点是在Ω中引入一个适当的分划，把概率条件化，以达到化难为易的目的，这就为利用递推方法解答概率问题提供了途径.例2.2.2 甲乙二人轮流抛掷一枚均匀的骰子.甲先掷，一直到掷出了1点，然后再交给乙掷，而到乙掷出了1点，再交给甲掷，并如此一直下去.试求第n 次抛掷时由甲掷的概率.解以n A 表示第n 次抛掷时由甲掷的事件，记().n n p P A =我们以1n A -和1c n A -作为对Ω的一个分划，易知()()1151,.66c n n n n P A A P A A --== 于是由全概率公式得()n n p P A =()()()()1111c c n n n n n n P A P A A P A P A A ----=+ ()1151166n n p p --=+-12136n p -=+. 经过整理，将上式化为易于递推的形式 1121,2,3,.232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭反复利用该式，并注意11p =，即得11112112,23223n n n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以就有 1121,1,2,.232n n p n -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2.2.3 在医疗诊断中的应用同时全概率公式也可以应用于考虑病人患病的确诊问题.人们为了完全确诊某些疾病，我们知道要对病患进行检查，而有的检查是非常昂贵且浪费时间的，更有的检查是对人体造成一定的伤害.因此，利用一些有关的容易获得的临床指标进行辅助性的概率推断是十分重要的.例2.2.3 禽流感患者的临床表现为发热、干咳、流涕、头痛.已知人群中具有以上所有症状的病人患有禽流感的概率为0.5%，仅发热的病人患禽流感的概率为0.4%，仅干咳的病人患禽流感的概率为0.1%，仅流涕的病人患禽流感的概率为0.3%，仅头痛的病人患禽流感的概率为0.2%，无上述现象而被确诊为禽流感的概率为0.001%.现对某疫区30000人进行检查，其中具有所有症状的人为300人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，仅流涕的病人为800人，仅头痛的病人为450人.试求该疫区某人患禽流感的概率.解设A =“具有所有症状的病人”， B =“仅发热的病人”， C =“仅干咳的病人”，D =“仅流涕的病人”， E =“仅头痛的病人”， F =“无明显症状的人”， G =“确诊患有禽流感的病人”.由全概率公式得()()()()()()()P G P A P G A P B P G B P C P G C =++()()()()()()P D P G D P E P G E P F P G F +++30050010000.5%0.4%0.1%300003000030000=⨯+⨯+⨯ 800450297000.3%0.2%0.001%300003000030000+⨯+⨯+⨯ =0.00026992.3 全概率公式的推广在一般的概率论或概率统计教材中，主要是运用全概率公式来计算一些复杂事件概率，却很少涉及导致结果事件的原因事件用随机变量取值表示的情形，这使得这个公式的重要性还无法真正得到体现.文献[2]将一般的概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用一维随机变量取值表示的情形，作者又举例说明了这个公式或这种分解方法能解决些复杂事件的概率问题.本文在文献[2]的基础上进行了再推广，将一般概率论或概率统计教材中的全概率公式推广到了原因事件用n 维离散型随机变量和n 维连续型随机变量取值表示的情形，然后又通过一个特例说明了这个公式在概率论和随机过程中的具体应用.从而看出了它的重要性.在公式()21-中12,,,,n B B B 通常看成为原因事件，A 看成由原因事件，12,,,,n B B B 导致的结果事件.2.3.1 原因事件用n 维离散型随机变量取值表示的全概率公式由于n 维离散型随机变量取可能值表示的事件是两两互不相容的，并且取所有可能值表示的事件的并事件为必然事件，因此就可以将上述结果推广到原因事件用n 维离散型随机变量取值表示的情形.定理 2.3.2 设n 维离散型随机变量()12,,,n ξξξ的联合分布律（列）为()12,,,,,,1,2,i j n k P a b c i j k ξξξ====则对任意的事件A ，有 ()()()121211,,,,,,i j n k i j n k i k n P A P A a b c P a b c ξξξξξξ∞∞=========∑∑ （2-1）2.3.2 原因事件用n 维连续型随机变量取值表示的全概率公式由定理2的结果，类似于文献[2]定理4的证明，可推广得到原因事件用n 维连续型随机变量取值表示的情形.定理 2.3.1 设n 维连续型随机变量()12,,,n ξξξ的联合概率密度为()12,,,n f x x x ，则对任意的事件A ，有 ()()()112212120,,,,,,n n n n n P A P A x x x f x x x dx dx dx ξξξ+∞∞-∞====⎰⎰（2-2）2.3.3 应用举例下面通过一个例子来说明推广的全概率公式在概率论和随机过程中的具体应用，尽管解题方法不一定是唯一的，但仍然可以看到，应用全概率公式处理问题时，还是比较简单容易的.例2.3.1 设1,2ξξ相互独立且有共同的几何分布()()11,1;1,2;1,2,k P k pq p q i k ξ-==+===求（1）()1,2max ηξξ=的分布；（2）1,ξη的联合分布. 解（1）根据定理2的全概率公式()22-，得()()()121211,,i j P k P k i j P i j ηηξξξξ∞∞=========∑∑注意到，当,i j 均不等于k 时，()12,0;P k i j ηξξ====当,1,2,,i k j k ==或,1,2,1j k i k ==-时， ()12, 1.P k i j ηξξ====再由1,2ξξ的独立性知()()()221212,i j P i j P i P j p q ξξξξ+-======于是()()()1121211,,k ki j P k P i k P k j ηξξξξ-======+==∑∑()1222221112k ki k k j k k k i j p q p q pq q q q -+-+--+===+=--∑∑ （2）根据定理2.3.2的全概率公式（2-2），得,ξη的联合分布()()()121221,,j P i j P i k j P j ξξξηξξ∞========∑()()()()1221122122,,,,0,0,kj i i k P i j P j i k pq i k P i k P k i k p q i k i k i kξξξξξξ=-+-⎧====⎪⎪⎪⎧=⎪⎪⎪====<=<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪⎪>⎪⎪⎩∑ 通过上述例子当中原因事件用一维、二维及n 维随机变量取值表示时全概率公式的应用，可以看到全概率公式在概率论中的重要作用.并且在可靠性模型、存储模型、风险模型等研究中都大量使用过全概率公式，特别是原因事件用一维、二维及n 维随机变量取值表示时全概率公式的应用.3 贝叶斯公式的应用及其推广3.1 贝叶斯公式的定义引理[]13.1.1 若12,,B B 为一列互不相容的事件，且1i i B ∞==Ω()0,1,2,i P B i >= 则对任一事件A ，有 ()()()()()11,2,.,i i i j jj P B P A B P B A i P B P A B ∞===∑ （3-1）贝叶斯公式为我们提供了科学的决策和推断的方法.已知实验后的“结果”()A 要求推断哪种“原因”()i B 产生的可能性大，它的方法步骤是：1) 首先计算出每一个()i P B ，这是实验前产生的概率叫做先验概率，它反应了各种“原因”发生的可能性大小；2) 计算()i P A B ，它表示“原因” ()i B 发生的条件下产生“结果”()A ，从而由贝叶斯公式反推出“结果” ()A 已经发生的条件下“原因” ()i B 发生的概率()i P B A ，它是实验后确定的概率称为后验概率;3) 最后比较各个()i P B A 的大小，若()k P B A 是各个()i P B A ()1,2,i =中最大的一个，这就表明了产生“结果” ()A 最可能的“原因”是k B .证明由条件概率的定义及乘法公式有()()()()()(),i i i i P A P B A P A B P A B P B P B == 对()P B 运用全概率公式并代入这个式子，即得贝叶斯公式()()()()()11,2,.,i i i j jj P B P A B P B A i P B P A B ∞===∑由证明可以知道贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的.并且它与全概率公式一样在实际生活中也有着特别广泛的应用，下面来探讨贝叶斯公式在以下几个方面的应用.3.2贝叶斯公式的应用3.2.1 在概率推理中的应用例3.2.1 已知一个位于英国的发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”，由于通讯系统收到了某些信号的干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是分别以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同样，发出信号“1”时分别以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收报台收到“0”，求它没收错的概率是多少？解设A =“发报台发出信号‘0’”， A =“发报台发出信号‘1’”.B =“收报台收到信号‘0’”， B =“收报台收到信号‘1’”.于是()()0.6,0.4,P A P A == ()()0.80.1.P B A P B A == 由贝叶斯公式（3-1），得()()()()()()()P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+0.60.80.9230.60.80.40.1⨯==⨯+⨯ 即收报台没收错信号的概率为0.923.由此可见，通过贝叶斯公式计算可以帮助我们从接收的结果中，分析信号传递的错误性大小.3.2.2 在破案中的应用例3.2.2 在一个大雾天的下午五点左右发生了一起交通事故，肇事车是本市一辆出租车，该车早已逃逸.有一个目击者认定是一辆绿色出租车，假定经调查该市有红、绿两种颜色的出租车，其中绿色占 17%，红色占 83%，我们假定通过测试可知，目击者将红色看成红色的概率为 0.8，将红色看成绿色的概率为 0.2，将绿色看成绿色的概率为 0.9，将绿色的看成红色的概率为 0.1.若你是交警，你能确信目击者的证言吗？解设A =“该出租车确实是绿色的”， B =“该出租车确实是红色的”， C =“目击者看到的是绿色的”， D =“目击者看到的是红色的” 由贝叶斯公式得()()()()()()0.170.900.170.900.830.2P A P C A P A P C A P B P C B ⨯=⨯+⨯+ 0.480≈根据计算，在这种情形下目击者尽管说的是真话，但他判断正确的概率也只有0.480，所以交警要想破案，还得收集其它方面的数据，不能仅凭目击者的话来破案.3.2.3 在经济中的应用当今概率统计与经济息息相关，几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用，实践证明，概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段.在概率决策中，有一类决策就是贝叶斯决策，也就是根据贝叶斯公式进行概率判断，特别在信息不完全的情况下应用贝叶斯公式解决应用问题是非常有效的.生产管理是现代企业管理的重要一环，但是在生产管理过程中很多企业根据主观判断进行，难以准确度量，利用贝叶斯公式可以很好的解决这一问题.例3.2.3 (贝叶斯公式与生产管理的关系)假设某个工厂有4个车间生产同一件农用产品，其产量占总产量的比例分别为0.15、0.2、0.3和0.35，且已知各车间生产的次品率分别为0.05、0.04、0.03和0.02．现有一农户购买了该厂的农用产品，其中1件产品是次品，对该农户造成了重大的损失，因此工厂按规定进行了索赔.现在厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂长应该如何追究生产车间的责任?解由于不知该产品是由哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任.各车间所负责任的大小应该正比与该产品由各个车间生产的概率.设 j A =“该产品是由第j 个车间生产的”，1,2,3,4;j =B =“从该厂的产品中任取1件恰好取到次品”.则第j 个车间所负责任的大小为条件概率()j P A B ，1,2,3,4j =．由贝叶斯公式得()()()()()41,1,2,3,4.j jj ii i P A P B A P A B j P A P B A ===∑又因为()1P A =0.15， ()2P A =0.2， ()3P A =0.3， ()4P A =0.35()1P B A =0.058，()2P B A =0.04，()3P B A =0.03，()4P B A =0.02从而()()()()()11141i ii P A P B A P A B P A P B A ==∑=0.238;()()()()()222410.254i ii P A P B A P A B P A P B A ===∑;()()()()()333410.286;i ii P A P B A P A B P A P B A ===∑()()()()()444410.222i ii P A P B A P A B P A P B A ===∑.即第1、第2、第3、第4车间所负责任的百分比分别为0．238、0.254、0.286、0.222，显然可见，第3车间负的责任应该最大为0.286.根据后验概率进行判断，对追究责任和索取赔偿具有一定的理论依据.我们知道营销的成功与信誉度有很大的关系，信誉度越高，一个公司成功的概率就越大，而相反一个公司总是做一些让消费者失信的事情，那么可想而知，久而久之这样的公司在消费者心中就会留下信誉不好、不诚信的不良影响.下面利用贝叶斯公式考察如果一家公司多次不讲究信誉会有怎么样的结果. 例3.2.4 （贝叶斯公式与营销信誉度的关系）经过大量的调查我们知道现有一家公司的可信度为0.8，不可信度为0.2，问该公司多次失信后客户对其相信度变为多少?解现在用贝叶斯公式来分析此问题中的可信度是如何下降的.首先记事件A = “不可信”，事件B =“可信”不妨设客过去对该公司的印象为()()0.8,0.2P B P B == 现在可以用贝叶斯公式来求()P B A ，即该公司失信一次后，客户对可信程度的改变.不妨设()()0.1,0.5.P A B P A B ==则客户根据这个信息对这家公司的可信程度改变为 ()()()()()()()0.80.10.4440.80.10.20.5P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===⨯+⨯+ 这就表明了客户经过一次上当受骗后，对这家公司的可信度由原来的0.8下降为了0.444，故在此前提下，我们可以对这家公司的可信程度再一次用贝叶斯公式来计算()P B A ，即为该公司第一次不诚信后，客户对它的可信程度的概率()0.4440.10.1380.4440.10.5560.5P B A ⨯==⨯+⨯ 从中可以看出客户经过再次上当，对这家公司的可信程度已经从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，该公司又怎能奢望对客户进行第三次营销的时候会成功，并且顾客又怎能再轻易上这家公司的当，顾客又怎么会相信且愿意去继续购买这家公司的产品呢?进而必然严重影响了该公司的营销业绩.3.3 贝叶斯公式的推广3.3.1 贝叶斯公式与全概率公式的联系若把全概率公式中的A 视作“果”，而把Ω的每一划分i B 视作“因”，则全概率公式反映“由因求果”的概率问题.公式()()()1ni i i P A P B P A B ==∑中的()i P B 是根据以往的信息和经验得到的，所以被称为先验概率.而贝叶斯公式又称为“执果溯因”的概率问题，即在结果A 已经发生的情况下，寻找A 发生的原因.公式()()()()i i i P B A P A B P B P A =中的()i P B A 是得到“信息” A 后求出的，称为后验概率.先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算是以先验概率为基础的.由贝叶斯公式知，求()i P B A 要用到()P A ，而()P A 是由先验概率计算得到的.3.3.2 贝叶斯公式的推广由上述3.3.1中所述的贝叶斯与全概率公式的联系可知，贝叶斯公式是全概率公式的逆过程，而在全概率公式的推广的2.3.1与2.3.2中，已经分别给出了原因事件用n 维离散型随机变量取值表示的全概率公式和原因事件用n 维连续型随机变量取值表示的全概率公式，因此，可以根据贝叶斯公式和全概率公式的联系给出它的推广.在这里，就不再复述了.3.4 全概率公式与贝叶斯公式的综合运用通过以上的关于贝叶斯和全概率公式的应用举例，我们可以看到，全概率公式与贝叶斯公式在生活实际的应用中其实是相互关联，它们之间有着一定程度的联系.并且通过分析全概率公式和贝叶斯公式的联系我们也可以知道贝叶斯公式其实就是全概率的一种变形，即贝叶斯公式是全概率公式的一个逆过程，在上文叙述中也描述了它与全概率公式是互逆应用的.其实在解决我们生活中比较复杂的问题时往往需要综合应用这两个公式，而单纯的运用其中一个公式是很难解决问题的，因此在遇到比较复杂的或是抽象的问题，不能只用全概率公式就解答出来的时，就要多考虑一下是否再运用一下贝叶斯公式，即将这两个公式同时运用就能将问题很好的解决.不要低估这两个公式的综合运用，有时会为生产实践提供更有价值的决策信息与帮助.如在上述例2.2.3中，可以再追加一问，“被确诊为禽流感患者是仅发热病人的概率是多少？”分析我们可以先应用贝叶斯公式()()()()P B P G B P B G P G =()P B 和()P G B 都是已知的，但是()P G 却是未知的因此我们要先求出它，这就要用到全概率公式了.由例2.2.3知()()()()()()()P G P A P G A P B P G B P C P G C =++()()()()()()P D P G D P E P G E P F P G F +++ 30050010000.5%0.4%0.1%300003000030000=⨯+⨯+⨯ 800450297000.3%0.2%0.001%300003000030000+⨯+⨯+⨯ =0.0002699所以，将()P G =0.0002699代入到贝叶斯公式得()()()()P B P G B P B G P G =5000.4%300000.2470.0002699⨯=≈ 从而求得被确诊为禽流感患者是仅发热病人的概率约为24.7%.下面我们再来看一个同时应用这两个公式来解决世界数学难题的例子. 例3.2.5 在1990年第9期的Parade 杂志中，有这样这样一道趣味题，也就是被人们称之为 “玛丽莲问题”的有奖竞猜题目.题目如下: 有三扇门可供参与者选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊.你当然想选中汽车.主持人让你随便选.比如，你选中了A 门.于是，主持人打开了其余两扇后面是山羊的门中的一扇，比如是C 门.现在主持人问你：“为了增加您能选中汽车的概率，你可以换选剩下的一扇门，那么你是换还是不换呢？”分析记O.C =“主持人打开了C 门”，下面分两种情况进行讨论.（1）主持人提前知道每扇门后面的奖品如果汽车在A 门，则主持人有B 、C 两种选择，则他打开C 门的概率为()1.;2P O C A =如果汽车在B 门,主持人为了打开有羊的门，只能选择C 门此时他打开C 门的概率为().1;P O C B =如果汽车在C 门，主持人为了打开有羊的门，绝对不能打开C 门，所以他打开C 门的概率为().0;P O C C =由全概率公式得，他打开C 门的概率为()()()()()()()....P O C P A P O C A P B P O C B P C P O C C =++ 1111103233=⨯+⨯+⨯ 111632=+= 又由贝叶斯公式，在主持人打开C 门的条件下A 、B 两门后面是汽车的概率分别为()()()()...P A P O C A P A O C P O C =1/611/23== ()()()()...P B P O C B P B O C P O C = 1/32.1/23==因此，为了增大参与者选中汽车的概率，应该选择换门.（2）主持人不知道门后面的奖品如果汽车在A 后面，主持人有B 、C 两种选择，他打开C 门的概率为()1.;2P O C A = 如果汽车在B 门后，主持人有B 、C 两种选择，开C 门的概率为()1.;2P O C B = 如果汽车在C 门后，主持人还是有B 、C 两种选择只是不符合主持人选中的门后面是羊的题意，故此时概率为().0.P O C C =所以主持人打开门看到是羊的概率为()()()()()()()....P O C P A P O C A P B P O C B P C P O C C =++ 11111032323=⨯+⨯+⨯ 111;663=+= 此时，在主持人打开C 门后，A 、B 门有汽车的概率分别为()()()()...P A P O C A P A O C P O C =1/61;1/32== ()()()()...P B P O C B P B O C P O C =1/61.1/32==从而可见，换与不换门的概率都是一样的.但由于从实际情况来看，主持人提前不知门后面的奖品这种情况几乎不存在，我们可只考虑（1）这种情况，即认为参与者应该换门.通过上面这个例题我们可以知道综合运用全概率公式和贝叶斯公式，使我们把问题更加简单、准确、有效的解决了.其实它们的综合应用远不止这些，还表现在很多方面.综合应用好全概率公式与贝叶斯公式还可以用来解决医疗、工程、投资、保险等一系列不确定的问题中，成为我们解决复杂问题的有效工具. 4 结论数学是一门很深奥同时也是一门很实用的学科.学好了数学，我们就可以更好的利用我们所学的知识去解决生产、生活中的实际问题，对我们解决问题提供了非常好的方法和工具.本文详细介绍了全概率公式、全概率公式的几个实际应用、全概率公式的推。

全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用

全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用
全概率公式和贝叶斯公式是数理统计中常用的两个公式，也可以
在生活中应用于各种情况。

全概率公式（Law of Total Probability）是指当事件A可以被
划分为互斥事件B1、B2、...、Bn时，事件A的概率等于所有划分事
件的概率之和。

在生活中，我们可以利用全概率公式来计算各种复杂
事件的概率。

举个例子，假设我们要计算某人得某种疾病的概率。

这个疾病可
能与许多因素有关，比如年龄、性别、家族史等。

我们可以将得病与
不同因素进行划分，然后根据每组因素的概率以及对应组下得病的概
率来计算最终得病的概率。

贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是指在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率。

贝叶斯公式可以用于更新概率，并且在生活中
有很多实际应用。

举个例子，假设我们要判断某个监控摄像头的报警是否是真实的。

已知报警系统的误报率是0.01，真实报警的概率是0.98。

我们可以使
用贝叶斯公式来计算，在已知收到报警的情况下，该报警是真实的概率。

除了上述例子之外，全概率公式和贝叶斯公式还可以应用于市场调研、医学诊断、机器学习等领域。

在这些领域里，我们可以通过利用已有的信息和数据，利用贝叶斯公式来更新我们的信念和推测，从而得出更准确的结论。

总之，全概率公式和贝叶斯公式在生活中有很多应用。

它们可以帮助我们计算复杂事件的概率，更新概率的信念，做出准确的决策。

全概率公式和贝叶斯公式的应用

全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它们在实际问题中有广泛的应用。

下面将介绍它们的应用场景。

1. 全概率公式的应用全概率公式描述了在已知某些条件下，事件 A 发生的概率等于事件 B 发生的概率，即 P(A|B) = P(B|A)。

这个公式可以用于解决多种问题，例如:- 假设检验问题。

在假设 H0 成立的情况下，根据全概率公式可以计算出拒绝 H0 的概率。

例如，假设我们要检验一个假设 H0:参数a=0，对于任意的备择假设 H1:a>0，我们可以使用全概率公式计算P(H0 成立 | 数据),如果该值小于预设显著性水平α，则我们可以拒绝 H0，认为 a>0。

- 贝叶斯公式的应用。

贝叶斯公式可以用来计算在已知某些条件下，事件 A 发生的概率。

例如，如果我们想要计算某只股票未来上涨的概率，可以使用贝叶斯公式计算在当前价格下，过去一段时间内股票上涨的概率，然后根据这个概率预测未来股票价格。

2. 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式是一种基于概率的推理方法，可以用来建立已知事件B 的条件下，事件 A 发生的概率。

贝叶斯公式可以用于多种问题，例如:- 模型选择问题。

贝叶斯公式可以帮助决策者在多个模型中选择最合适的模型。

例如，当我们面临一个分类问题，有多个模型可供选择时，可以使用贝叶斯公式计算每个模型的概率，然后根据贝叶斯定理选择概率最大的模型。

- 条件概率问题。

贝叶斯公式可以用来计算给定事件 B 的条件下，事件 A 发生的概率。

例如，如果我们想要计算某只股票未来上涨并且发生在过去一段时间内，可以使用贝叶斯公式计算在过去一段时间内，股票上涨并且发生的时间。

全概率公式和贝叶斯公式是非常有用的工具，可以用于解决多种实际问题。

概率在生活中的应用——毕业论文

概率在生活中的应用——毕业论文概率是统计学中的一个重要概念，指的是某个事件发生的可能性大小。

概率不仅在数学和统计学领域中得到了广泛应用，更是在现实生活中普遍存在。

本论文将探讨概率在生活中的应用，旨在让人们更好地理解和应用这个概念。

一、概率在赌博中的应用赌博是人类历史上一种古老的娱乐活动，也是概率论的重要应用领域。

在赌博中，人们根据已有的信息，利用概率计算出下一次赌局的胜率，从而进行投注。

例如，在玩扑克牌时，人们会根据已有的牌面，计算出下一张牌出现的可能性，以决定自己是否跟注或加注。

在博彩业中，使用概率论可以制定出公平的规则，确保赌博活动的公正性和合法性。

二、概率在保险行业中的应用保险可以看作是人们将固定的保费交给保险公司，以对将来不确定的经济损失进行风险转移的一种方式。

通过概率分析，保险公司能够计算出不同保单的理论定价，确定实际保费的水平，并了解自己所承担的风险。

同时，保险公司可以利用概率分析调整保险责任和赔付比例，以控制自身的风险水平。

三、概率在金融市场中的应用金融市场是一个风险和收益并存的场所，如何控制风险是金融投资者最关心的问题。

概率论在金融市场中发挥着重要作用。

通过利用概率分析，可以对不同类别的金融资产进行风险测度和风险管理，为投资者提供风险控制的参考指标。

同时，对各种金融市场的行情和交易模式进行概率分析，不仅可以帮助投资者制定正确的投资策略，还有助于金融机构更好地控制自身的风险和稳健运营。

四、概率在医疗保健中的应用在医疗保健领域中，概率论可以帮助医生做出正确的医疗决策，提高医疗保健的效率和质量。

通过对患病率、疾病转归率、治疗效果等因素进行概率分析，可以预估医疗保健工作者在特定情况下采取不同方案的成本和效益，从而找到最优的治疗方案。

五、概率在运输物流中的应用运输物流是一个人口流动极为频繁的领域，在物流和供应链管理中广泛应用了概率论。

通过概率分析，可以量化运输车辆的运行时间和路线，预测货物到达目的地的时间，从而制定最优的配送计划。

全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用

全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用一、全概率公式全概率公式是概率论中的基本公式之一，也称作“条件概率公式”。

简单地说，它是用于计算一个事件发生的概率，而该事件可以发生在多个不同的情况下。

这个公式通常是这样表述的：P(A) = ΣP(A|B_i)*P(B_i)其中，A是要计算的事件，B_i 是 A 可以在其上发生的情况。

P(A|B_i) 是在给定的情况 B_i 下 A 发生的概率，P(B_i) 是情况B_i 发生的概率。

Σ 是对所有情况 B_i 求和。

换句话说，这个公式的含义是：要计算事件 A 发生的概率，我们需要把所有可能性下的条件发生的概率乘起来，再加起来，最终就得到了事件 A 发生的概率。

二、贝叶斯公式另一个常用的概率公式是贝叶斯公式，它与全概率公式有关。

贝叶斯公式是用于计算事件的后验概率（posterior probability），即已知某些证据的情况下再计算事件 A 发生的概率。

它经常用在统计学、机器学习等领域中。

贝叶斯公式通常表述为：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / Σ(P(A|B_i)*P(B_i))在这个公式中，A 是已知的证据，B 是要计算的事件。

P(A|B) 是在事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率，P(B) 是事件 B 发生的先验概率（prior probability），即在没有任何证据的情况下事件B 发生的概率。

Σ(P(A|B_i)*P(B_i)) 是全概率公式中的求和项。

三、推广及应用全概率公式和贝叶斯公式可以相互推导，它们都是计算概率的重要工具，广泛应用于各种领域中。

例如：1、在医学诊断中，医生可以利用贝叶斯公式来计算某个病人患病的概率，而这个概率可以作为判断病人是否需要进一步检查或治疗的依据。

2、在自然语言处理中，贝叶斯公式可以用于计算文档中词汇的概率，从而实现文本分类、情感分析等任务。

3、在无人驾驶汽车中，全概率公式可以用于估计车辆在道路上的位置，贝叶斯公式可以用于预测其他车辆的行驶路线和速度，从而实现智能决策和避免碰撞。

全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用

全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用【引言】在我们的日常生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件和概率问题，比如天气预测、医学诊断、市场营销等。

而在处理这些问题时，全概率公式和贝叶斯公式是非常重要的工具。

本文将从这两个公式的基本原理入手，探讨它们在生活中的各种应用。

【什么是全概率公式和贝叶斯公式？】让我们简单了解一下全概率公式和贝叶斯公式的基本原理。

全概率公式是概率论中的一个重要定理，它用于计算一个事件的概率，通过将该事件分解成若干个互斥事件的概率之和来实现。

而贝叶斯公式则是用来计算在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率的公式，是一种条件概率公式。

【全概率公式在生活中的应用】1. 天气预测在天气预测中，我们经常会听到气象局发布的降水概率。

而这个降水概率就是通过全概率公式计算得出的。

气象局会根据历史数据和各种气象因素，将降水分解成多种可能性，并计算出每种可能性的概率，然后将这些概率加和得到最终的降水概率。

2. 市场营销在市场营销中，我们需要了解消费者购买某种产品的概率，以便制定营销策略。

通过全概率公式，我们可以将消费者购买某种产品的概率分解成多种可能性，比如消费者对产品的喜好程度、市场竞争状况等因素，然后通过加和得到最终的购买概率，从而帮助企业制定更加精准的营销策略。

【贝叶斯公式在生活中的应用】1. 医学诊断在医学诊断中，贝叶斯公式被广泛应用。

假设一个人得了某种疾病，医生需要通过一系列检查来确定疾病的可能性。

贝叶斯公式可以帮助医生计算在已知某些症状的情况下，患上这种疾病的概率是多少，从而帮助医生做出更准确的诊断。

2. 垃圾邮件过滤在电流信箱系统中，垃圾邮件的过滤是一个重要的问题。

贝叶斯公式被广泛用于垃圾邮件的过滤，系统会根据已知的垃圾邮件和正常邮件的特征，计算收到一封新邮件是垃圾邮件的概率，然后根据这个概率来决定是否将邮件放入垃圾箱。

【个人观点和理解】在我看来，全概率公式和贝叶斯公式不仅是概率论中的重要工具，更是我们日常生活中思考问题、做决策的重要方法。

浅谈生活中的概率问题论文

浅谈生活中的概率问题摘要：随着科技的发展，时代的进步，概率论与数理统计作为数学的一个分支，在生活中扮演着越来越重要的角色，生活中处处存在着概率统计，看完本文大家就知道概率的魅力了。

在本文中，从概率论的基础知识出发，主要使用古典概型、全概率公式的知识，以及条件概率、贝叶斯公式、几何概型的知识还有贝努里概型等知识。

通过具体例子论述了这些知识在日常生活中包括抽奖、学习、天气预测、约会、质量检测、医疗、保险等七个方面的应用。

关键词：概率; 抽奖; 保险; 古典概型正文：一引言生活是多姿多彩的，仔细察看，我们就会感觉到生活中有不少有趣的数学问题，而概率论起着重要的作用.跟着社会的发展，概率论被普遍地用在医学领域、各种经济学、科学、金融学、经济学等.在实际生活中，运用概率论是普遍的，几乎到处都有.概率，简单地说，是一个事件的可能性大小.有些事件的概率是100%或是1，因为它会发生，例如，太阳从东升西下；还有有些事件的概率可能是0，因为它是不会发生，如太阳在西方升起.但生活中的许多现象是可能发生的，这可能会或可能不会发生，这些事件的概率是0和1之间.本文从有趣的概率问题开始，了解日常生活中常见的概率问题.二概率论的简介（一）概率论的产生和发展最初，由于保险行业的生产和发展，在十七世纪产生的概率理论.然而数学家们考虑概率论问题来历，倒是从一个赌徒的要求.早在1654年，有个传闻.当时的数学家因为一个问题忧虑了很长时间，那就是因为一个赌博者梅尔：“两个赌博者在举行打赌中，谁先取得3胜就算赢，所有的赌金就归谁.没想到，出于某种原因，当他们中一个人赢得2胜，另一个人赢得1胜的时候，停止赌博了.赌本应该如何合理的分配才是公平呢?这个问题让一个出名17世纪的数学家帕斯卡奋斗三年.三年后，惠更斯也用自己的方式来解决这个疑问，编出了《论赌博中的计算》的书，它认为有关概率论的最先的论著.（二）概率论的研究对象概率论是学习任意现象的数量法律数学的分支.现实生活中每个现象有两种可能性，确定性和随机性.在某些情况下已知该现象的必然结果的现象称为确定性现象.比如水从高处流到低处，同性电荷一定互斥等.随机的结果是不确定的现象.在一定的条件下,一些观测和实验会得到不同的成果，可能会或可能不会发生.例如，实弹射击，打一发子弹，可能中或不能中、在生产灯的同样处理条件，变化它的生活的长度等等.概率论是钻研随机现象统计规律的部分,是一种随机现象，经过随机实验来研究.对随机现象的试验、观察、记录统称为随机试验.它反复出现在一定的条件下，每一次的结果都是一个以上，所有可能结果可以在试验前肯定，但它不能确定最终结果.随机现象的最终结果具有统计规律性.随机现象的每一个基本结果统称为随机事件简称事件.随机现象是偶然的，但它是可能性的随机现象，还可以测量的.概率是概率论的最初概念，它是随机事件的概率测度的数学性质.在实际生活中，不管是下不下雨，还是发生某类事件，这些结果都是不确定的，这时可以用概率进行分析.事实上，概率论是常识转化为精确的数学述所减少到计算过程中实现简单和清晰的效果.复杂度降低到简约而不忽略任何可用信息.“概率论为逻辑”规定的情况下，远远超出了纯粹的归纳或演绎推理的信息不完全一致的绘制结论的方式.该方法发现了广泛的在各个科学领域的应用：数学，物理，气象学，医学，经济学，心理学，军事等等.（三）概率的基本概念概率又称几率，是衡量一个随机事件出现的可能性的量度，同时在概率理论中亦然是一个最基本的概念.概率的公理化定义：设A 为代表随机实验E 的每一个事件，S 为随机实验E 的样本空间，称满足以下条件的实数P(A)为事件A 的概率：非负性 P(A)>0规性 P(S)=1可列可加性设事件1,2A A ,...为两两相互排斥，然而 11()()k k k k P A P A ∞∞===∑ 1古典概率定义1 ：一个随机试验的样本空间为Ω={ω1 ,ω2,..... ωn },满足以下性质:(1)样本点总数有限，即n 有限；(2) 每一个样本点出现的几率相等，即Ｐ（{ω1}）=Ｐ（{ω2}）=…=Ｐ（{ωn }）=1n称符合以上两个性质的为概型为古典概型.随机事件Ａ⊂Ω ,Ａ={ωi1，ωi2，…, ωim }, Ｐ（Ａ）=mn称此概率为随机事件Ａ的古典概率.0≤m ≤n, 0≤Ｐ（Ａ）≤1 ,Ｐ（Ω）=1, Ｐ（Ø）=0 .例1：在N ()N n ≥个盒子中随机放入n 只球，找出每一个盒子最多有一只球的几率.解：将n 只球放入N 个盒子中去，每一种放法是一个基本事件.每一只球都能放置N 个盒子中的随意一个盒子，故共有n N N N N N ⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 种放法.而每一个盒子中最多放一只球的放法共有(1)[(1)]N N N n -⋅⋅⋅--种.于是所求的概率为(1)(1)n N n n A N N N n p N N-⋅⋅⋅-+== 2条件概率条件概率是概率论中的一个基本的观念.是事件A 已经发生的情况下事件B 可以发生的概率.定义2：设A ，B 是两个独立事件，且A 并不是不可能事件，则P(A)> 0. 则事件A 已经发生的情况下事件B 发生的条件概率，表示为 P(B ｜A)=(AB)()P P A 同理若P(B)>0，则P(A ｜B)=()()P AB P B 例2：某市调查该市学生的听觉和视觉：调查表明视觉有缺陷的占全体学生的30%，听觉有缺陷的占7%，且视觉和听觉都有缺陷的占3%，记E =“学生视觉有缺陷”，()0.30P E = H =“学生听觉有缺陷”，(=P H ）0.07 EH =“学生视觉与听觉都有缺陷”，()0.03P EH =先来研究下面三个问题：①事件E 与H 是否独立？由于()()0.300.070.021()P E P H P EH =⨯=≠事件E 与H 不是相互独立的，即学生的视觉缺陷和听觉缺陷有联系.②假如已知一名学生听觉有缺陷，并且他视觉也有缺陷的概率为多少？可算得P E （｜()0.033)()0.077P EH H P H === ③假如已知一名学生视觉有缺陷，并且他听觉也有缺陷的概率为多少？这需要计算条件概率(P H ｜)E ，可知(P H ｜)E =()0.031()0.3010P EH P E == 3几何概率设Ω是一个有界域，在相同条件下，每一个点出现在这个区域的可能性大小一样，D ⊂Ω ,用事件A 表示每个点落在D 中，则 ()D P A =Ω的长度（面积，体积）的长度（面积，体积）被定义为事件A 的几何概率. 4全概率公式全概率公式是概率公式的基本原则之一.它使一个繁杂事件的概率问题简单化，容易解决.下面来叙述获得全概率公式的简单形式和一般形式.定理1：设A 和B 是两个事件，如果 0()1<P B <,则()(P A P A =｜)()(B P B P A =｜)P(B)B证：由B B =Ω和事件运算性质知(=A =AΩ=A B B AB AB ）显然AB 与AB 是互不相容事件，由加法公式和乘法公式知()(P A P A =｜)P(AB)P(A B +=｜)()P(A B P B +｜)()B P B由于P(B)不为0与1，所以 ()0P B >,从而上述两个条件概率P(A ｜B)与P(A ｜B ）都是有意义的.5贝叶斯公式定理2：设事件1,2,...,n B B B 是一个基本空间Ω的划分，以及它们各自概率12(),(),...,P()n P B P B B 是已知的，又设A Ω是中的一个事件，()0i P A 〉，且在诸B 给定下事件(A P A 的条件概率｜1B ),(P A ｜2)B ,...,(P A ｜n B ）可以通过实验等手段得到，在A 给定的条件下，事件k B 的条件概率为(k P B ｜1()()P(B ))P(B )k n k i i iP A A P A B ==∑｜B ｜， k=1,2,...,n证：因诸1()0P(A)0P B 〉〉和，由乘法公式知(k P B ｜)()(A P A P A =｜)P(B )k k B其中()P A 用全概率公式代入即得上述贝叶斯公式.6贝努里公式反复举行的n 个独立实验，每个实验的条件都是平等的.每一个实验可以成功的概率是p,不能成功的概率是q=1-p . 如此反复的n 次验称为n 重贝努里试验，被称为bernonlli 测试或bernonlli概率.定理3：设一个事件A 在某个实验中发生的概率为P(0<P<1),在n 次贝努里实验中正好发生K 次的几率为()k k n k n n P k C p q -= （k=0,1,2,...,n) 其中 q=1-p事件A 在规定的K 次出现的概率为： (1)kn k p p --，共有k n C 种不同的方法. 三概率在生活中的应用(一）抽奖问题（古典概型）例3：为报答广大顾客长时间对公司产品的喜好和支持，某一个洗刷用品的公司想出一下活动：特举办免费抽奖活动.抽奖方式如下：箱中有20个球，10个5分和10个10分.从箱子中拿出10个球，把每一个球的分加在一起，根据总分设立奖项以下：一等奖：100分，电脑一台二等奖：50分，29寸彩电一台三等奖：95分，MP4一个四等奖：55分，电饭煲一个五等奖：90分，沐浴露两瓶六等奖：60分，洗发水一瓶七等奖：85分，毛巾两条八等奖：65分，香皂一块九等奖：80分，牙膏一盒十等奖：70分，牙刷一把十一等奖：75分，以成本价购买洗发水一瓶大部分人很容易受到勾引，他们以为共11种结果中10种结果可以无偿得到奖品，约90.90%的中奖率.但如果你仔细看，你会发现中十一奖的人最多，并且就算中其余的免费奖项，也多半是一些价钱较低的奖品.那么问题到底出现在哪呢？以下我们用概率的常识来分析：设随机拿出的10个球中10分的球有X 个，5分球的有10-X ，可以知服从超几何分布，即 1010101020{}i i C C i C -P X ==（i=0,1,...,10) 由上式可计算得：从这个结果我们可以知道，问题的症结是，每一个奖项呈现的概率不同，抽奖者中十一奖的概率超出了1/3，并且价钱越高被抽中的概率越低.尤其是只有1/100000的概率中两个大奖.所以，看起来是无偿的，但实际是商家为了获得更多的利益所取的手段. （二）概率在学习中的应用（古典概率）例4：选择题瞎猜问题现在用计算机阅卷的考生越来越多.于是在考试中，计算机阅卷的选择题的比例越来越大.你想过做选择题时全用猜测做题可以得多少分吗？比如，有5到3选1的选择题，5道题全部答错的概率为：5232()13%3243=≈ 因此，只要用1减去5个问题都做错的概率：100%-13%=87%因而可知，如果不看问题，随机选择，几乎有90%的概率至少可以答对1个问题.固然，肯定不是鼓励大家在做选择题时随机选择.若是知道正确答案，就要选准确的答案.如果考试中有10个选择题，每个题都有4个选项，但此中唯有1个准确答案.在这种情况下，最少能答对1道题的概率为多少？10道题全部答错的概率为：103()0.056 5.6%4== 最少答对1个问题的概率是用1减掉共10个问题中全都没答对的概率5.6%，即94.4%.因此，即使随机乱选，10道题中不难能猜对最少一道题.那么做10道题中猜对5道题的概率又如何计算呢？通过下面的公式可以算出概率为P 的事件发生r 次的概率：(1)r n r n C P P -⨯⨯-而是从n 个元素中选出r 个元素的公式，计算方法为：!!()!r n C n r n r =÷⨯-我们的问题是，我们有10个选择题：4选1，能猜对此中5道题的概率为多少？换言之，就是在10道题中，概率为14的情况出现5次的概率为多大？一共有10道选择题，所以10n =；由于是4选1的选择题，所以14P =; 问的是猜对5道题的概率，所以5r =. 把11054n P r ===、和代入上述公式中，便得到： 55510131243()()2520.058 5.8%4410241024C ⨯⨯=⨯⨯≈= 于是，做10道选择题时，可以的猜对当中5道题的概率仅为5.8%.这可以说明，能猜对的概率随着题目的数量增加而减小.所以，要想在考试中获得成更高成绩，只靠运气乱猜选是不可以的，务必拥有真才实学.（三）概率在天气预测的应用（条件概率）由长期的统计数据分析各个有关规律性，应用于不同城市的同类情况的预测是一个非常有用的手段.根据不同城市的天气情况进行分析，可以预测以后统一时间的天气情况.例5：甲、乙两城市位于不同地区，根据一百多年的资料可以统计，一年中下雨的比例甲、乙各为20% 和18%，仅有12%是两个市区同时下雨的天数.试求：甲城市有雨水是时乙城市也同时有雨的概率,乙城市有雨水时甲城市也有的概各为多少？甲、乙两个城市中最少一个城市有雨的概率为多大？解：设事件 A={甲城市下雨}，事件B={乙城市下雨}，由以上条件可以了解：P(A)=20%,P(B)=18%,P(AB)=12% .由条件概率公式可计算：P(B ｜A)= ()0.120.60()0.2P AB P A == P(A ｜B)=()0.120.67()0.18P AB P B == 由事件和概率的公式可算得，至少一个城市下雨的概率为：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=20%+18%-12%=26%通过概率的推算公式就能够得到其余相似事件的概率.简易预测根据地域的不同,同一时间的天气情况也不同，还可能预测相同区域来年相同时间段的天气情况.（四）约会问题（几何概率）例6：a 、b 两个人说好在5时到6时期间在某地方见面，并商量好如果先到的等了15分钟后，另一个人还没到，先到的人可以走，则两个人能见面的概率为多少？解法1（以长度为测度）一小时共60分钟，如果甲先到，甲将等待15分钟，占了，要会面成功乙也应该在这15分钟到达；若乙先到，也是如此，则111114444442P =⨯⨯+⨯⨯= 则两人会面成功的概率为12. 解法2 （以面积为测度）思路：两人达到见面地方时刻是不确定的，你可以用平面直角坐标轴表示.a 到达见面场所的时刻用x 轴代表，b 到达见面场所的时刻用y 代表示.0到60代表为5时至6时间段，a 、b 两人各自在5时到6时时间段抵达会面场所的时间，可以用横坐标0到60与纵坐标0到60的形中任意一点的表示.而能相会的时间由｜x-y ｜≤15所对应的图1中划线局部表示.以x 轴和y 轴各自表现a 、b 两人达到聚会场合的时刻，记5时为0时刻，则6时为60分计时，则有0≤x ≤60,0≤y ≤60 （单位:分钟）图1约会问题这样点（x ，y ）构成形 OABC ，即域 260OABC D S == ，如上面的图1所示.则两个人可以见面的充要条件为｜x-y ｜≤15.所确定区域记为d ，即图中划线区域面积.记两人能会面的事件为 A ，则22260-453600-20257()====36001660OABC S d P A D S =划线的面积的面积 (五）概率在质量检测问题中应用（全概率公式）例7：一些产物来自甲工厂、乙工厂、丙工厂，对这些产品都有合格率要求.于是对这三个工厂的每一个产品举行质量检测，甲、乙、丙产物的合格率各为95%、80%、65%.这批产品来自甲厂的占60%，来自乙厂的占30%，来自丙厂的占10%.解：记事件 A =产品合格,1B =产品来自甲工厂，23=B B =产品来自乙工厂，产品来自丙工厂.由上述条件可知(P A ｜1)0.95(B P A =，｜2)0.80(B P A =，｜3)0.65B =123()0.60()0.30()0.10P B P B P B ===，，由全概率公式知()(P A P A =｜11)()(B P B P A +｜222)()()(B P B P B P A +｜33)()B P B=0.950.65+0.800.30+0.650.10⨯⨯⨯=0.875故这批产品的合格率为0.875或87.5%.（六）概率在医疗问题中的应用（贝叶斯公式）例8：根据了解有一个地方住民肝癌发病率为0.0004，如果用1B 表示该地方住民患肝癌的事件.21B B =，则12()0.0004,()0.9996P B P B ==现用甲胎蛋白法检查肝癌.如果阴性表示不患肝癌，阳性表示患肝癌.因为技能和操纵不完善和各种特别原因，不是肝癌也能有阳性反应.根据屡次实验和统计，这两类错误产生的概率为 (P A ｜1)0.99,(B P A =｜2)0.05B =其中事件A 表示“阳性”.因此A 表示“阴性”，由此得(P A ｜1)0.01B =.它是“肝癌患者未必检出阳性”的概率.现在有人已检出阳性，问他患肝癌的概率1(P B ｜)A 为多大？这里已知的第一组概率{()}i P B 是从调查得知，第二组概率{(P A ｜)}i B 是从试验得知，于是可用贝叶斯公式算得要求概率1(P B ｜0.990.0004)0.990.00040.050.9996A ⨯=⨯+⨯=0.0003960.007860.0003960.04998=+ 这意味着，在检测发现阳性的人中，确实是患肝癌的概率小于1%.（七）保险行业的概率知识的应用（贝努里公式）在现实生活中，我们接触更多的社会，也就是常说的五大社会保险和住房公积金.例9：当前，人们越来越关注自己和家人的自身安全问题、他们的家庭和财产的安全和社会问题；有人会怀疑，保险公司和投保人当中，谁是最大的受益者？假如某一个保险公司里有2500名年龄和社会阶级相同的人加入了保险，每个人每年死亡的概率为0.002，每一个投保人在1月1日支付120元保险费，并且在死亡之后，家属可以通过公司获得20000元报偿费.那么问：“保险公司赔本”的概率为多少？分析：假如观测某一个人在一年是否死亡行为实验.并且利用2500重的贝努里-- . -zj 资料- 概型来解决本题，而P （每一个人在一年死亡的概率）=0.002如这群人每年的死亡人数记为X ，则()k P X ==250025000.002(10.002),(02500)k k k C k --≤≤，记A=保险公司赔本，死亡人数用x 表示，这样保险公司应该赔20000x(元），而公司的总收入为2500120⨯(元），所谓赔本，便是指“200002500120x >⨯”发生.所以有A=200002500120x >⨯，推得x>15 即x>15.所以 25002500250016()(15=(10.002)0.000069k k k C -=P A =P X〉-≈∑）经过计算可得到“保险公司赔本”的概率是0.000069.并且能够说明保险公司乐于展开保险业务的缘故。

浅析概率论在生活中的应用毕业论文(一)

浅析概率论在生活中的应用毕业论文(一)概率论作为一门研究随机事件概率规律的学科，不仅在理论研究中有着广泛的应用，也逐渐渗透到我们的日常生活中，无论是从商业、医疗、技术等方面，都得到了广泛应用。

本文就从以下几个方面简要探讨概率论在生活中的应用。

1. 保险行业保险行业一直是概率统计学的应用领域之一。

在保险业中，保险公司要根据统计数据和概率论的知识对客户进行风险分析并制定相应的保险方案。

比如，在车险中，保险公司会根据客户的性别、年龄、车型等信息计算出客户的出险概率，从而制定出相应的保险费用。

这种保险费用制定方式不仅使保险公司能够更加科学地进行风险评估，降低了客户的保险成本，也使得保险公司更加准确地控制保险赔付率，保证了公司的盈利能力。

2. 医学概率论在医学领域中应用广泛。

例如在病人诊断中，一系列试验和检查结果需要根据概率理论进行分析和判断。

医学研究还涉及到新药的测试。

在这种情况下，概率统计学的方法被用来评估患者使用新药的风险，以及新药的作用和副作用。

此外，在流行病学中，概率统计学方法被用来分析疾病的传播和预测未来的疫情。

3. 投资股票交易也是概率论的应用领域之一。

投资者需要了解股票价格变动的概率规律，并且基于概率统计学方法进行分析和预测未来股票价格的趋势。

这需要投资者利用历史数据和统计模型来模拟和预测股票价格。

这种预测方法具有一定的误差，但也给投资者提供了一定的参考信息。

4. 体育竞技体育竞技也是概率论的应用领域。

在足球比赛中，根据球队近期表现、场地、天气等因素，可以利用概率理论来预测哪个球队有更大的获胜概率。

此外，在比赛中，也需要根据概率理论来决定是否采用进攻或者防守策略等。

总结而言，概率论在我们的生活中扮演着重要的角色。

可以帮助我们做出明智的决策，减少我们所面临的风险，并提升我们的成功概率。

因此，概率论的知识对于每个人来说都是十分必要的。

全概率公式与贝叶斯公式在临床诊断上的应用

全概率公式与贝叶斯公式在临床诊断上的应用1 全概率公式全概率公式又称贝叶斯定理，是统计学中最基本、最常用的公式类型，可用来统计事件发生的概率。

特别是在临床诊断上，全概率公式运用比较广泛，它可以根据一定的病变条件，通过计算得出疾病患者潜在疾病发生可能性，有助于临床诊断过程。

全概率公式的具体定义为：p(A)=p(A|B)p(B)+p(A|C)p(C)+p(A|D)p(D)+···其中，A表示事件，B、C、D分别表示子事件，p(A|B)表示B的条件下发生A的概率，p(B)代表B事件发生的概率。

2 贝叶斯公式贝叶斯公式是全概率中应用最广泛的一种公式，也称为贝叶斯定理，它是用来估算概率的公式。

贝叶斯公式的具体表示为：p(B|A)=p(A|B)p(B)/ p(A)其中，A表示事件，B表示子事件，p(A|B)表示B的条件下发生A 的概率，p(B)为B事件发生的概率。

在临床检测中，对某病症的检测就可以用贝叶斯公式来估算，它可以根据相关的检测结果推算出病症的潜在发生概率，为临床诊断提供重要的参考依据。

3 全概率公式与贝叶斯公式在临床诊断上的应用全概率公式与贝叶斯公式可以有效地帮助临床诊断，它们可以为临床医生提供以下诊断帮助：（1）从患者病变诊断数据出发，计算出某病症病变的发生可能性。

（2）依据临床检测结果，可以判定检测的结果是正面的可能性有多少。

（3）可以根据多项检测项目的结果，计算出这些检测结果凝聚的一个概率结果，从而作出最终诊断的诊断结果。

总之，全概率公式与贝叶斯公式可以有效地为临床诊断提供丰富的数据信息，使诊断过程更加科学准确；不仅可以提升诊断结果的准确性，还可以为患者提供更好的治疗解决方案。

全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用

全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用全概率公式和贝叶斯公式在生活中有很多应用。

以下是一些常见的应用情境：1.疾病诊断：在医学诊断中，全概率公式和贝叶斯公式被广泛用于疾病诊断。

医生通过结合患者的症状和疾病的概率信息，使用贝叶斯公式计算患者患病的概率。

全概率公式则可以用于计算在不同条件下患病的概率。

2.金融风险管理：在金融领域中，全概率公式和贝叶斯公式被用于评估不同投资组合的风险。

投资者可以利用贝叶斯公式根据历史数据和市场情报来更新他们对不同投资方案的概率评估。

全概率公式则可以用于计算不同市场情景下的投资组合回报的概率。

3.信息过滤：在垃圾邮件过滤中，全概率公式和贝叶斯公式用于计算一封电子邮件是垃圾邮件的概率。

通过分析邮件中的关键词、发件人、主题等信息，可以使用贝叶斯公式来更新垃圾邮件的概率评估。

全概率公式则可以用于计算不同邮件特征下是垃圾邮件的概率。

4.产品测试：在产品测试中，全概率公式和贝叶斯公式被用于计算产品的可靠性。

根据产品的设计、材料、测试数据等信息，可以使用贝叶斯公式来更新产品可靠性的估计。

全概率公式则可以用于计算在不同条件下产品失效的概率。

5.搜索引擎排名：在搜索引擎排名中，全概率公式和贝叶斯公式被用于计算网页的相关性。

搜索引擎会根据用户的查询和网页的内容来计算每个网页的相关性分数，并通过贝叶斯公式来更新相关性的估计。

全概率公式则可以用于计算不同查询条件下网页相关性的概率。

这些是仅举的一些例子，全概率公式和贝叶斯公式在各个领域中都有广泛的应用。

它们提供了一种理论框架，通过结合概率信息和观察数据，可以更准确地进行推理和决策。

全概率公式和贝叶斯公式实际应用的例子

全概率公式和贝叶斯公式实际应用的例子以下是 8 条关于全概率公式和贝叶斯公式实际应用的例子：1. 你知道天气预报为啥有时候那么准吗？这就像是全概率公式在起作用呀！比如要预测明天是否下雨，我们要考虑各种因素的概率，像气压、湿度、云层等等，把这些所有可能的情况综合起来判断，这多有意思啊！就好比侦探在拼凑线索找到真相一样。

2. 嘿，你想想看，选股票是不是也能用全概率公式呢！我们要分析公司的业绩、市场趋势、行业前景等等，然后综合判断买入的概率，这可不是随便乱来的，就像在下一盘很大的棋！3. 哇塞，比如说在医疗诊断中，医生判断一个病人得某种病的概率，不就可以用到贝叶斯公式嘛！先根据以往的病例数据有个初步判断，然后再结合这个病人的具体症状进行修正，这多像在黑暗中找到正确的道路啊！4. 你说在保险行业，他们怎么确定保费呢？哈哈，这时候全概率公式就闪亮登场啦！要考虑各种风险因素的概率，来制定合理的价格，这可不能马虎啊！5. 哎呀，选专业的时候也有点像用贝叶斯公式呢！我们先有个大概的想法，然后再根据了解到的专业前景、自己的兴趣等不断调整对各个专业的看法，最后找到最适合自己的，这过程多刺激呀！6. 嘿呀，在质量检测中，判断一批产品是否合格，就是全概率公式发挥威力的时候呀！要考虑各种缺陷出现的概率，确保产品质量过硬，多重要啊！7. 你想想，在犯罪调查中，警察不就是用贝叶斯公式在推断真相嘛！先有一些线索和怀疑，然后随着调查的深入不断更新对嫌疑人的判断，这多像一场精彩的解谜游戏啊！8. 哇，在物流配送中，要确定货物到达的时间，这也可以运用全概率公式呀！考虑各种可能影响的因素，给客户一个准确的预期，这可不是随随便便就能做到的哟！总之，全概率公式和贝叶斯公式在我们生活中无处不在，它们就像隐藏在幕后的魔法，让很多事情变得更科学、更准确！。

毕业答辩-关于全概率公式及其应用

E B1 P(B1)
P(C1|B1) P(C2|B1) P(C1|B2) B2 P(C2|B2)
C1 C2
C1 C2
P(B2)
方切断 , 将所求事件作为末节点 , 直接与切断之前
的部分连接.
第三章全概率公式的实际应用
全概率公式在调查敏感问题中的应用
政府机密军事机密个人隐私
受法律保护
敏感问题
反之则回答问题 B ，为了更加接近真实情况，被调查对象掷硬币的结果必须只有当事人知道，包括调查者在内的其余所有人都必须不得而知 .
用 A 表示被调查学生回答问题 A , 概率为 P(A) =p 1 ，用 B 表示被调查学生回答向题 B, 概率为 P(B)= 1-p 1 . 经过随机选答实验后，可以得到 n 个被调查对象中回答 “ 是 ” 的人数，设为 m ，又，设事件 C 为被调查对象回答 “ 是 ” ，其概率为 P( C) = λ = m/n. 同样地，回答问题 B 的对象中回答 “ 是 ” 的概率为 p 2 =P( C|B) ；回答问题 A 的对象中回
(1)问题的定义 (2)目标问题的非敏感化 (3)设计标准化问卷和对比实验用的“基准卷” (4)制定实验调查方案 (5)建立还原模型和误差控制模型 (6)实验验证
调查某院校学生作弊情况
1、确定调查课题. 高校学生考试作弊情况 . 2、确定调查对象、调查范围. 调查范围：某高校调查对象：本学期所有在校参加期末考试的学生 3、修正标准化问卷及敏感相关度系数表. 对于具体的调查课题 , 应根据其与基础模型目标问题的差异 , 对基础模型中的标准化问卷和敏感相关度系数表进行适当的修正或调整 . 4、使用标准化问卷进行调查. 调查方式需要根据问卷形式与问卷长度、调查对象、调查要求、经费预算等情况进行选择 . 可供选用的调查方式有 : 邮寄问卷调查、访问调查、电话调查和网上调查等.

全概率公式和贝叶斯公式的意义

全概率公式和贝叶斯公式的意义在咱们的数学世界里，全概率公式和贝叶斯公式就像是两个神秘而强大的魔法工具。

这俩家伙可不简单，它们的意义那是相当深远，而且在生活中的用处多到超乎你的想象。

就拿我之前遇到的一件事儿来说吧。

有一次我和朋友去商场逛街，准备买一件衣服。

我们在不同的店铺里看到了类似的款式，但价格和质量却有所不同。

这时候全概率公式和贝叶斯公式就派上用场啦！比如说，我们先把整个商场里卖这种衣服的店铺分成几个类别，像是高端品牌店、普通品牌店和一些不知名的小店。

假设高端品牌店的衣服质量好的概率是 80%，价格高的概率是 90%；普通品牌店衣服质量好的概率是 60%，价格适中的概率是 70%；不知名小店衣服质量好的概率是 40%，价格低的概率是 80%。

如果我们事先不知道会走进哪一家店，那么根据全概率公式，我们就可以算出买到质量好且价格合适的衣服的总概率。

这就像是在一片迷雾中，给我们指出了一条相对清晰的道路。

而贝叶斯公式呢，则可以在我们走进一家店，看到了一些初步的情况后，比如衣服的做工、面料，还有店员的介绍，来重新调整我们对这家店衣服质量好或者价格合适的概率估计。

比如说，我们走进一家普通品牌店，看到衣服的面料还不错，这时候贝叶斯公式就能帮助我们根据这个新的信息，更准确地判断这件衣服质量好的概率是不是比我们最初估计的 60%要高。

全概率公式就像是一个全面的预测工具，它考虑了所有可能的情况，然后给出一个综合的概率估计。

这就好比你要出门，不知道天气如何，但是你知道晴天、阴天和雨天出现的概率，以及在每种天气下你会遇到某种情况的概率，全概率公式就能帮你算出总的可能性。

贝叶斯公式呢，则更像是一个动态调整的神器。

它能根据新的信息不断更新我们的认知和判断。

就像你一开始觉得某个事情发生的概率是这样的，但是当有了新的证据或者情况出现时，它能让你及时调整你的想法，让你的判断更加准确。

再比如说在医疗领域，医生诊断疾病的时候也会用到这两个公式。

全概率公式和Bayes公式的推广及其应用

全概率公式和Bayes公式的推广及其应用全概率公式和Bayes公式都是概率论中的基本公式，并且有非常广泛的应用。

但其形式决定了这两个公式的使用条件是样本空间被分划为有限的一组事件，下面进一步讨论其推广形式及其应用范围，以便更好地利用这些基本公式。

一、全概率公式对于一些较为复杂的概率问题，直接计算其概率可能很困难，往往可以将它们分解为一些较为简单的情况来计算，全概率公式就是解决这类问题的一个工具。

定理（全概率公式）设A1，A2，L，An是对样本空间Ω的一个分划，则对任何B∈F，有P(B)=P(AK)P(B|AK)。

此公式借助另外的事件组将一个事件分解为若干个简单的事件，但只能分解为有限个事件。

如果取n→∞，也可以得到将一个事件分解为可列个事件的全概率公式。

考虑数列cn=fKgP(A|a+k△x-△x＜η＜a+k△x)g△x，其中△x=，fK=，则由全概率公式可得{cn}为常数数列且cn=P(Ag(a＜η＜b))，则=P(Ag(a＜η＜b))，即f(x)gP(A|η=x)dx=PAg(a＜η＜b)，上式两边同时取极限则结论得证。

该形式用于将一个事件分解为不可列种小事件，不可列种情况在实际应用中一般表现为某量取到了某值，下面是一个例子：布丰设计出一个抛针实验：在一张足够大的纸上画满平行线，相邻平行线间距为l。

【整理版】全概率公式与贝叶斯公式的运用举例3

贝叶斯公式的应用一、综述在日常生活中，我们会遇到许多由因求果的问题，也会遇到许多由果溯因的问题。

比如某种传染疾病已经出现．寻找传染源；机械发生了故障，寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。

在一定条件下，这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解。

以下从几个的例子来说明贝叶斯公式的应用。

文【1】主要应用贝叶斯公式的简单情形，从“疾病诊断”，“说谎了吗”，“企业资质评判”，“诉讼”四个方面讨论其具体应用。

文【2】用市场预测的实例，介绍了贝叶斯公式在市场预测中的应用。

贝叶斯市场预测能对信息的价值是否需要采集新的信息做出科学的判断。

文【3】、文【4】介绍贝叶斯过滤技术的工作原理及技术原理，讨论了邮件过滤模块，通过分析研究该模块中垃圾邮件关键词的统计概率分布，提出了基于贝叶斯概率模型的邮件过滤算法，并对该算法的合理性和复杂度进行了分析。

可以根据垃圾邮件内容的特征，建立贝叶斯概率模型，计算出一封邮件是垃圾邮件的概率，从而判断其是否为垃圾邮件。

文【5】基于贝叶斯公式中概率统计的重要性与在日常生活中应用的广泛性，概述了贝叶斯统计的基本思想及其与其他统计学派的争论，并对作为贝叶斯统计基石的贝叶斯公式进行了归纳。

二、内容1.疾病诊断.资料显示, 某项艾滋病血液检测的灵敏度( 即真有病的人检查为阳性) 为95%, 而对没有得病的人，种检测的准确率( 即没有病的人检查为阴性) 为99%. 美国是一个艾滋病比较流行的国家, 估计大约有千分之一的人患有这种病. 为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播, 几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查. 该计划提出后, 征询专家意见, 遭到专家的强烈反对, 计划没有被通过.我们用贝叶斯公式分析专家为何反对通过这项计划.设A= {检查为阳性}, B = { 一个人患有艾滋病}。

据文中叙述可知：()0.001,(|)0.95,()10.0010.999,(|)10.990.01P B P A B P B P A B===-==-=由公式：()()(|)()((|)P A P B P A B P B P A B=+得：()0.001*0.950.999*0.01P A=+=由公式：()(|)(|)()P A P A BP A BP A=得：0.001*0.95(|)0.0870.01094P B A=≈也就是说, 被检测患有艾滋病而此人确实患有该病的概率大约为0. 087. 这个结果使人难以接受, 好像与实际不符. 从资料显示来看, 这种检测的精确性似乎很高. 因此, 一般人可能猜测, 如果一个人检测为阳性, 他患有艾滋病的可能性很大, 估计应在90% 左右, 然而计算结果却仅为8. 7%. 如果通过这项计划, 势必给申请登记的新婚夫妇带来不必要的恐慌. 因为约有91. 3%的人并没有患艾滋病. 为什么会出现与直觉如此相悖的结果呢? 这是因为人们忽略了一些基础信息, 就是患有艾滋病的概率很低, 仅为千分之一. 因此, 在检测出呈阳性的人中大部分是没有患艾滋病的. 具体的说, 若从该地随机抽取1000 个居民, 则根据经验概率的含义, 这1000 居民中大约有1 人患有艾滋病, 999人未换艾滋病. 检查后, 大约有1*0.95999*0.0110.94+=个人检查为阳性, 而在这个群体中真正患有艾滋病却仅有1 人. 因此有必要进行进一步的检测. 但是, 我们也应该注意到, 这项检测还是为我们提供了一些新的信息. 计算结果表明, 一个检测结果呈阳性的人患有艾滋病的概率从最初的0. 001 增加到了0. 087, 这是原来患有艾滋病概率的87倍.进一步的计算, 我们得到一个检查呈阴性而患有艾滋病的概率为： ()(|)0.001*0.05(|)0.000060.98906()P B P A B P B A P A ==≈ 因此, 通过这项检测, 检查呈阴性的人大可放宽心, 他患有艾滋病的概率已从千分之一降低到十万分之六。

生活中常见的概率分布毕业论文

学号：2010310749哈尔滨师范大学学士学位论文题目生活中常见的概率分布学生指导教师年级2010 级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目生活中常见的概率分布学生姓名指导教师年级专业数学与应用数学2013年12月课题来源：由指导讲师提供。

课题研究的目的和意义：课本上学习的永远是理论，我们要通过研究该课题加深对概率的了解，尽可能与实际生活联系起来，我们学习概率，是为了更好的认识世界，学会利用概率知识解决实际中的问题。

概率已经是是人类在社会实践和生产活动中的一种智力积累，而且概率应用到生活是非常广泛的，例如物理、化学、通讯等领域，所以它是与日常生活和生产实践结合最紧密学科。

国内外同类课题研究现状及发展趋势：20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。

在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。

目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。

有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅和随机微分方程，点过程等。

此外，包括组合概率、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，至今仍有人在继续研究，并有新的发展。

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：主要内容：本文先介绍概率的起源，然后对概率的定义、性质及其定理进行阐述，再通过生活中的几个具体实例把概率溶于生活，并用概率的知识解决生活中的常见问题。

主要问题：我们都学习过概率的概念，掌握了计算概率的简单方法。

但是对于生活中的这类问题，人们学过之后，没有清晰的思路，没弄清概率和生活的真正联系，这就是本文研究的主要问题。

全概率公式和贝叶斯公式

单位代码： 005分类号： o1西安创新学院本科毕业论文设计题目：全概率公式和贝叶斯公式专业名称：数学与应用数学学生姓名：行一舟学生学号： 0703044138指导教师：程值军毕业时间：二0一一年六月全概率公式和贝叶斯公式摘要:对全概率公式和贝叶斯公式,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法,和一些实际的应用.全概率公式是概率论中的一个重要的公式,它提供了计算复杂事件概率的一条有效的途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简.而贝叶斯公式则是在乘法公式和全概率公式的基础上得到的一个著名的公式.关键词:全概率公式;贝叶斯公式;完备事件组The Full Probability Formula and Bayes Formula Abstract：To the full probability formula and bayes formula for complete, discusses the two commonly used methods of events, and some practical applications. Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation, it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events, full probability calculation problem change numerous will Jane. And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained.Key words：Full probability formula; Bayes formula; Complete event group;目录引言 (4)1.全概率公式和贝叶斯公式 (4)1.1 全概率公式 (4)1.2 贝叶斯公式 (5)1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用 (5)2全概率公式和贝叶斯公式的推广 (11)结束语 (13)参考文献 (14)致谢词 (15)引言应用全概率公式和贝叶斯公式是生活中和学习中经常运用到的两个公式，而在计算某个事件概率的关键是寻找与该事件相关的完备事件组,但在日常教学中发现许多同学在利用这两个公式计算某个事件的概率时,往往找不准相关的事件组,因而所求答案出现失误.本文针对这个问题展开讨论,通过对全概率公式和贝叶斯公式相关问题的分析,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法，并发现贝叶斯公式和全概率公式在生活和应用中的推广.1.全概率公式和贝叶斯公式定义1.1 设S 为样本空间 , 设1A ,2A ，n A 为S 的一个划分组,若它满足(1)i j =A A ∅, i ,j =1,2,…,n ,i ≠j ;(2)12···n A A A ∪∪∪=S . 则称1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组.1.1 全概率公式全概率公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,P (i A )＞0(i =1,2…),则对于任意事件B ,有[1]1()()(|)n i i i P B P A P B A ==∑.全概率公式的直观意义是:某事件B 的发生有各种可能的原因i A (i =1,2…),并且这些原因两两不能同时发生,如果B 是由原因i A 所引起的,若B 发生时,i BA 必同时发生,因而()P B 与()i P BA (i =1,2…)有关,且等于其总和11()()(|)n n i i ii i P BA P A P B A ===∑∑.全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率()i P BA ,或已知各原因i A 发生的概率()i P A 及在i A 发生的条件下B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2…).通俗地说,事件B 发生的可能性,就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件B 发生的可能性的乘积之和.1.2 贝叶斯公式贝叶斯公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,且()i P A ＞0(i =1,2,…),则对任何概率非零的事件B ,有1()(|)()(|)(|)()()(|)i i i i i n jj j P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑.在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.1.3 全概率公式和贝叶斯公式的应用从公式结构上看,全概率公式与贝叶斯公式关系密切,如何正确使用这两个公式是本文的一个重要的内容.无论全概率公式还是贝叶斯公式都需要正确的找出完备事件组.如果所求概率的事件与前后两个实验有关,且这两个实验彼此关联,第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响,而问第二个试验出现某结果的概率,这类问题是属于使用全概率公式的问题,将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和,这些事件就是所求的一个完备事件组.至于在什么情况下使用贝叶斯公式,这就要看问题的提法.如果已知某事件已发生,要求该事件与完备事件组中某一事件一同发生的概率,应采用贝叶斯公式求之.如果事件B 能且只能在原因1A ,2A ,…n A 下发生,且1A ,2A ,…n A 是两两互不相容,那么这些原因就是一个完备事件组.如果这些原因发生的概率()i P A 以及在原因i A 发生下事件B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2,…)都是已知的,或都可求出,则:(1) 可使用全概率公式计算事件B 的概率.(2) 如果已知事件B 发生,要计算导致结果B 发生的原因i A 的可能性大小,即事件i A 的条件概率(|)i P A B 的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把i A (i =1,2…)看成是导致事件B 发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成由因求果与执果求因的概率计算公式.例1.1 设甲箱中有3个白球和2个黑球,乙箱中有1个白球和2个黑球,自甲箱中任意取2球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出2球,试求:(1) 从乙箱中取出的两球是白球的概率;(2) 在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球是白球的概率. 解 (1) 从乙箱中取球(第二个试验)之前,要从甲箱中任意取两球放入乙箱(第一个试验),而从甲箱中取球的结果影响到从乙箱中取球的结果,本题可用全概率公式来求解.将第一个试验的样本空间分解,即可求得完备事件组.因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能:取得两白球,或者取得一黑球和一白球,或者取出两黑球,分别用1A ,2A ,3A 表示,则1A ,2A ,3A 即为所求的一个完备事件组,又设B 为乙箱中取出的两球是白球,则有21123322123222555331(),(),(),10510C C C C P A P A P A C C C ====== 2232123225531(|),(|),(|)01010C C P B A P B A P B A C C =====. 由全概率公式得到31()()(|)0.15i i i P B P A P B A ===∑.(2)本题是在B 发生的条件下求导致这一试验结果发生的原因属于事件1A 的概率有多大,须用贝叶斯公式,1111131()(|)()(|)(|)0.16()()(|)i i i P A P B A P A P B A P A B P A P A P B A ====∑. 例1.2 在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的,由于随机干扰,发送的信号0或1各有可能错误接受为1或0,现假设发送信号为0和1的概率均为1/2;又已知发送0时,接受为0和1的概率分别为0.7和0.3;发送信号为1时,接受为1和0的概率分别为0.9和0.1.求已知收到信号0时,发出的信号是0(即没有错误接受)的概率.解设0A ={发送信号为0},1A ={发送信号为1},0B ={收到信号为0},1B ={收到信号为1},因为收到信号为0时,除来自发送信号确系为0外,还由于干扰原因,发送信号为1时,接受的信号也可能为0,因此导致事件0B 发生的原因只有事件0A 与1A ,且它们互不相容,故0A 与1A 构成一完备事件组,由题设,有0()P A =1()P A =12,00(|)P B A =0.7,01(|)P B A = 0.1, 故 0()P B =0()P A 00(|)P B A +1()P A 01(|)P B A =12⨯0.7+12⨯0.1=0.4. 若接受信号0 时,发送信号是0的概率由贝叶斯公式得 000000()(|)(|)0.875()P A P B A P A B P B == 例1.3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解由于飞机被击落,必然是飞机被一人、二人或三人击中,如令C 表示事件飞机被击落,i B 表示事件飞机被i 人击中(i = 0,1,2,3),1A ,2A ,3A 分别表示甲、乙、丙击中了飞机.因0B ,1B ,2B ,3B 两两互不相容,故0B ,1B ,2B ,3B 构成一个完备事件组,又由题设知1A ,2A ,3A 相互独立,且1()P A =0.4,2()P A =0.5,3()P A =0.7,故1()P B =123()P A A A +123()P A A A +123()P A A A=1()P A 2()P A 3()P A +1()P A 2()P A 3()P A +1()P A 2()P A 3()P A=0.4⨯0.5⨯0.3+0.6⨯0.5⨯0.7+0.6⨯0.5⨯0.3=0.36.同理可求2()P B =123()P A A A +123()P A A A +123()P A A A=0.4⨯0.5⨯0.3+0.4⨯0.5⨯0.7+0.6⨯0.5⨯0.7 = 0.41;3()P B =123()P A A A =0.4⨯0.5⨯0.7=0.14.又()i P B ＞0(i =0,1,2,3),且由题设有0(|)P C B =0,1(|)P C B =0.2,2(|)P C B =0.6,3(|)P C B =1.于是由全概率公式即得31()()(|)i i i P C P B P C B ==∑= 0.36⨯0.2+0.41⨯0.6+0.41=0.728例1.4 两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是0.03,第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率.解记事件1A 为“取到第一台车床加工的零件”,则12()3P A =,11()3P A = 又记事件B 为“取到合格品”.显然1A ,1A 为一个完备事件组,则知()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+=210.970.940.9633⨯+⨯=. 且用贝叶斯公式可得到10.06()(|)3(|)0.50.04()P A P B A P A B P B ⨯=== 例1.5 学生在做一道有4个选项的选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了,试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率.(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是12； (2)学生知道答案的概率是0.2.解记事件A 为“题目答对了”,事件B 为“知道正确答案”,则按题意有(|)P A B =1，(|)P A B =0.25.(1)此时有()P B =()P B =0.5,所以由贝叶斯公式得()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+ =0.510.510.50.25⨯⨯+⨯=0.8 (2)此时有()P B =0.2,()P B =0.8,所以由贝叶斯公式得 ()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+ =0.210.210.80.25⨯⨯+⨯=0.5 例1.6 有两箱零件,第一箱装50件,其中10件是一等品;第二箱装30件,其中18件事一等品,现从两箱中任挑选出一箱,然后从该箱中先后任意取出两个零件试求：(1)第一次取出的是一等品的概率.(2)在第一次取出的是一等品的概率的情况下,第二次取出的仍是一等品的概率. 解记事件i A 为“第i 次取出的是一等品”,i =1,2.又记事件i B 为“取到第i 箱的零件”,i =1,2.则1A ,2A 为一个完备事件组.(1)用全概率公式可得1111212110118()()(|)()(|)0.4250230P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅= (2)又因为1211212122110911817()()(|)()(|)0.194232504923029P A A P B P A A B P B P A A B =+=⋅⋅+⋅⋅= 所以例1.7 甲、乙轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第n 次由甲掷的概率.解设事件i A 为“第i 次由甲掷骰子”,记()i i P P A =,i =1,2….则有11P =,15(|)6i i P A A +=,11(|)6i i P A A +=,那么1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组.所以由全概率公式可知道1111()()(|)()(|)n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+则可得n 1115121(1)6636n n n P P P P ---=+-=+ ，2n ≥. 由此可得递推公式1121()232n n P P --=-，2n ≥. 所以得11121()()232n n P P --=-，则将11P =，代入上式可得1112()223n n P --= 由此得1121()23n n P -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， n =2,3,… 例1.8 假设只考虑天气的两种情况：有雨和无雨.若已知今天的天气情况,明天天气保持不变的概率为P ,变的概率为1P -.设第一天无雨,试求第n 天也无雨的概率.解设事件i A 为“第i 天无雨”,记()i i P P A =,i =1,2，…. 则有11P =,且1(|)i i P A A P +=, 1(|)1i i P A A P +=-.那么1A ,2A ,3A …为一个完备事件组所以又全概率公式可得11(1)(1)n n P PP P P --=+--1(21)1n P P P -=-+-, 2n ≥.得递推公式111(21)()22n n P P P --=-- , 所以可知1111(21)()22n n P P P --=-- , 则将11P =,代入上式可得111(21)()22n n P P --=- 由此可得111(21)2n n P P -⎡⎤=+-⎣⎦ ,n =2,3,….2全概率公式和贝叶斯公式的推广设S 为样本空间 , 设1A ,2A ,…n A 为S 的一个划分组,它满足 (1) i j =A A ∅, i ,j =1,2,…,n ,i ≠j ;(2) 12···n A A A ∪∪∪=S 若i ()P A ＞0 ,i =1,2,…,n , 则对任一事件B , 由全概率公式得：ni i i=1()(|)()P B P B A P A =∑ ①现将①式推广为二重全概率公式.对于上述的划分:{}i A ,i = 1,2,…,n ,如果对i A ∀都存在一个划分组{}ij C ,i =1,2,…n ,j =1,2,…,j m ,且()ij P C ＞0,在i A 发生的条件下同样有:(|)i P B A =1(|)()jm ij ij j P B C P C =∑ ②利用①,②式,这样我们给出下列定理:定理1[]5设{}i A ,i =1,2,…,n 为样本空间的一个划分,且i ()P A ＞0,i =1,2,…n ,对每个i A 存在一个划分{}ij C ,j =1,2,…,m ,且()ij P C 〉0,则对任意的事件B ,有()P B =n11()(|)()jm i ij ij i j P A P B C P C ==∑∑ ③称③式为二重全概率公式.类似可以得到下列推广的贝叶斯公式.定理2[]5 设,{}i A i =1,2,…,n 为样本空间的一个划分,且i ()P A ＞0,i =1,2,…,n ,对每个i A 存在一个划分{}ij C ,j =1,2,…,j m ,且()ij P C ＞0,则有:(1) (|)i P A B =1n11()(|)()()(|)()jjm i ij ij j m iijij i j P A P B C P C P A P B CP C ===∑∑∑ ④(2) n11(|)(|)()(|)()(|)()jij ij i i ij m iijiji j P B C P C A P A P C B P A P B C P C ===∑∑ ⑤例2.1 设有三个大盒子,每个大盒子中有三个小盒子,每个大盒子中的第一个小盒子中分别装有1 个红球,3个白球;第二小盒中分别装有2个红球,2个白球;第三个小盒中装有3个红球,1个白球.假设取第一个大盒子的概率为12,取第二、第三大盒子中的概率都为14在取定某个大盒时,取其中第一小盒概率是12,取第二、三小盒子概率均为14.今任取一个大盒,再从中任取一小盒,从此小盒中任取一球.问: (1) 此球为红球的概率.(2) 若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒的概率.(3) 若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒中第二小盒的概率.解设1A ,2A ,3A 分别表示从第一、二、三大盒中取球的事件,B 表示取红球的事件，ij C 表示从第i 个大盒中取第j 个小盒,i =1,2,3,j = 1,2,3. 则由题意知11()2P A =,231()()4P A P A == 11(|)2i i P C A = 1,2,3,i = (|)ij i P C A 14= 1,2,3,i = 2,3,j =且11(|)4i P B C =, 21(|)2i P B C =, 33(|)4i P B C =, i =1,2,3，(1) 由③可知()P B =3311()(|)()i ij ij i j P A P B C P C ==∑∑=716(2) 由④可知31111()(|)()(|)()i j j j P A P B C P C P A B P B ==∑=12(3) 由⑤可知12(|)P C B =121211(|)(|)()()P B C P C A P A P B =27结束语本文介绍了全概率公式和贝叶斯公式的概念和意义,使我可以在遇到很多概率问题时熟练的应用和使用全概率公式和贝叶斯公式.并且本文还介绍了怎样寻找完备事件组的两种方法方法,这样在寻找到完备事件组之后就能够个方便和快捷的使用全改了公式和贝叶斯公式.然后在全概率公式和贝叶斯公式在使用基础上面对两公式进行了推广.这体现了全概率公式和贝叶斯公式在应用和实践中的重要的作用,并且显示了两个公式在生活中的重要作用.参考文献[1] 缪铨生.概率与数理统计[M].上海: 华东师范大学出版社,1997.58~61[2] 章昕.概率统计辅导[M].北京:机械工业出版社,2002.17~18[3] 宁荣建.概率论中有关计算公式的改进[J].大学数学,2004.20(5).[4] 复旦大学教研室.概率论(第一册概率论基础)[M].北京:高等教育出版社,1979.17~20[5] 许绍溥,姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程(上册)[M].南京:南京大学出版社,1990.22~26[6] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1989.12(3).50~66[7] 茆诗松,程依明.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.31~17致谢词本文是在程值军老师的悉心指导下完成的.从毕业设计题目的选择、到选到课题的研究和论证,再到本毕业设计的编写、修改,每一步都有程老师的细心指导和认真的解析.在程老师的指导下,我在各方面都有所提高,老师以严谨求实，一丝不苟的治学态度和勤勉的工作态度深深感染了我,给我巨大的启迪,鼓舞和鞭策,并成为我人生路上值得学习的榜样.使我的知识层次又有所提高.同时感谢所有教育过我的专业老师,你们传授的专业知识是我不断成长的源泉也是完成本论文的基础.也感谢我同一组的组员和班里的同学是你们在我遇到难题是帮我找到大量资料,解决难题.再次真诚感谢所有帮助过我的老师同学.通过这次毕业设计不仅提高了我独立思考问题解决问题的能力而且培养了认真严谨，一丝不苟的学习态度.由于经验匮乏,能力有限,设计中难免有许多考虑不周全的地方,希望各位老师多加指教.最后,我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅,评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.（全文共5765字）。

答辩稿

各位老师下午好。

我杨晓媛，来自于物理093班。

我的论文课题是“全概率公式和贝叶斯公式的应用”，课题的研究主要从以下几个方面展开：全概率公式和贝叶斯公式的起源和意义，两者之间的关系，实际生活中的应用和推广公式的应用。

这两个公式实质上是加法公式和乘法公式的综合应用，起源于17世纪。

从17世纪发展到现在许多国家对这两个公式有了多方面的研究。

全概率公式是从已知的简单事件概率推算出未知的复杂事件的概率。

贝叶斯公式的意义在于某件事的发生使原不可能发生的事变的可能。

从贝叶斯公式的证明可以知道，贝叶斯公式是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的。

在解决我们生活中较复杂的问题时往往需要综合运用两个公式，这样会使问题更容易得到解决，有助于更好的把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。

全概率公式和贝叶斯公式的应用我主要从市场决策、医疗诊断和实际比赛三个方面进行探究。

在其他领域对这两个公式也有广泛的应用，如保险、工程等。

由于时间关系我就全概率公式和贝叶斯公式在医疗诊断中的应用做个介绍。

就这个例子而言，若将此试验用于普查，在试验反应为阳性的情况下，不患癌症的概率为0.087，也就是说正确性只有%8.7,。

如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，所以概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。

利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治。

推广公式1是利用随机变量的联合分布、条件分布及边缘分布将全概率公式推广。

其基本思想是将一个边缘密度分解成条件密度，使所要解决的问题简化。

推广公式2是条件全概率公式的情形。

推广公式3是将全概率公式的条件和结论做了些改动，将一个事件变为一组事件利用条件概率的可叠加性推广得到。

而推广公式4则是推广公式3的矩阵表示。

这道例题是推广公式2条件全概率公式的应用，讲一个复杂事件用推广公式简单解决。