数学建模大赛 货物运输问题
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
数学建模送货线路设计问题 答案仅供参考
装订线第九届西安电子科技大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目A (B)题剪切线通信工程学院第队送货路线设计问题1、问题重述现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。
现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。
该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。
各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。
假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。
送货员的平均速度为24公里/小时。
假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。
请完成以下问题。
1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
给出结果。
要求标出送货线路。
2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路。
3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。
由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。
可不考虑中午休息时间。
2、问题分析送货路线问题可以理解为：已知起点和终点的图的遍历问题的合理优化的路线设计。
图的遍历问题的指标：路程和到达的时间，货物的质量和体积，以及最大可以负载的质量和体积。
在路线的安排问题中，考虑所走的路程的最短即为最合理的优化指标。
对于问题二要考虑到所到的点的时间的要求是否满足题意即采用多次分区域的假设模型从而找出最优的解对于问题三则要考虑到体积和质量的双重影响，每次到达后找到达到最大的体积和质量的点然后返回，再依次分析各个步骤中可能存在的不合理因素达到模型的进一步合理优化得到最合理的解。
数学建模运输问题
数学建模运输问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd 算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd 算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：-1，第二辆车：，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
数学建模,线性规划,运输为问题
X31 30.00000 0.000000
X32 20.00000 0.000000
X33 0.000000 3.000000
X34 0.000000 11.00000
X35 0.000000 23.00000
X36 0.000000 8.000000
X41 0.000000 7.000000
Objective value: 1620.000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 9
Variable Value Reduced Cost
X11 0.000000 14.00000
X12 0.000000 6.000000
X13 0.000000 4.000000
X55 0.000000 8.000000
X56 0.000000 32.00000
X64 30.00000 0.000000
X65 0.000000 3.000000
X66 0.000000 7.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1620.000 -1.000000
X42 0.000000 0.000000
X43 40.00000 0.000000
X44 0.000000 26.00000
X45 0.000000 16.00000
X46 0.000000 13.00000
X52 30.00000 0.000000
X53 0.000000 0.000000
X54 0.000000 21.00000
供应限制：x11+x12+x13+x14+x15+x16=20
货运列车编组运输问题-数学建模
西南财经大学数学建模竞赛货运列车编组运输问题货运列车编组运输问题摘要本次问题编程的目的是，在不同问题设定下，制定货运列车的最佳编组方案。
对于问题一：问题一是以运输货物数量最多、运输总重量最小为目标函数的双目标优化问题。
参考公司投资组合问题中为解决利润最大、风险最小而采用的有效前沿的方法，我们用MATLAB编程得到可行的装运方案，做出各方案的运输总重量和运输数量决定的散点图，得到类似的有效前沿，具体方案见4.2表二：对于问题二：问题二是下料问题，因此需要先确定可行的下料方式，即两种车厢可行的货物装载方式。
以每种装载方式的使用次数为决策变量，总使用次数最少为目标函数，建立整数线性规划模型求解。
用MATLAB解得：要将货物运输完毕，B,C,E分别为68、50、41件时使用的最少车厢数量为25，B,C,E分别为48,42,52件时使用的最少车厢数量为21，具体方案见5.2表三、表四。
对于问题三：由于上午、下午需要运输的集装箱数量是随机的，导致铁路部门的利润也是随机的，因此我们以铁路部门的平均日利润最大为目标函数，对上午、下午进行独立分析，构建概率模型，并用MATLAB求解，得到最佳编组方案:上午发的列车带41节Ⅰ型车厢、下午发的列车带38节Ⅰ型车厢。
对于问题四：我们参考图论模型中的dijkstra算法，将模型中的权重新定义为到各站点的收益，利用matlab软件找到收益最大的路线，尽可能满足这条路线上的需求量，然后去掉路线中除去起点和终点的点，再次运用程序计算利润最大的路线，重复以上过程到只剩下起点和终点。
得到最佳编组运输方案为：路线A-B1-C2-D2-E3-F运输3次分别带40、40、29节车厢；路线A-B2-C2-D1-E1-F 满载运输1次；路线A-B2-C4-D3-E3-F运输2次分别带40、2节车厢；路线A-B1-C1-D1-E2-F运输1次带27节车厢；路线A-B2-C3-D2-E2-F运输1次分别带29节车厢，此时铁路部门利润为449050元。
专题二运输规划问题建模
27
销地 产地 A1 A2 A3 销量 销地 产地 A1 A2
目标函数表示运输总费用，要求其极小化； 第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数 量之和等于该销地的销量；
第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和 等于该产地的产量；
第三个约束条件表示变量的非负条件。
5
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个 门市部，日销售量分别是：40，40，60，20 台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示， 试安排一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
6
供求平衡的运输问题：供：50+60+50=160
需：40+40+60+20=160
数学模型
min z
i1
3
4
j1
c ij x ij
1 3 1 7 2
2 11 9 4 6
3 3 2 10 5
4 10 8 5 7
供应 7 4 9
25
（2）最优解的判别 判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。当所有的非基 变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。 ① 方法一：闭回路法
在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发， 找一条闭回路。 它是以空格为起点，用水平线或垂直线向前划， 每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到 起始空格处为止，(A1 , B1) 空格与(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1) 三个有数字的格构成一闭回路，如 此等等。 每个空格都存在唯一的闭回路。
全国大学生数学建模竞赛——运输问题(参考答案)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。
2023高教杯数学建模d题
2023高教杯数学建模d题
2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题：
题目：国际快递服务中的包裹配送决策
问题描述：
国际快递服务中，一个重要的决策是如何选择最优的配送路径。
在配送过程中，存在许多因素需要考虑，如运输成本、运输时间、交通状况、天气等。
因此，制定一个有效的配送策略是至关重要的。
任务要求：
1. 根据所给数据，分析影响配送成本的主要因素。
2. 基于所给数据，构建数学模型，预测未来一周内的每日最优配送路线。
3. 基于所建模型，给出一种有效的配送策略，以优化总成本并减少总运输时间。
4. 根据所建模型和策略，预测未来一个月的快递需求量，并给出相应的配送方案。
5. 针对所给策略和方案，分析其可能存在的风险，并提出相应的应对措施。
题目给出的数据：
1. 不同路线上的配送成本（单位：元/公里）。
2. 不同路线的长度（单位：公里）。
3. 不同路线的交通状况（用数值表示，数值越大交通状况越差）。
4. 不同路线的天气状况（用数值表示，数值越大天气状况越差）。
5. 每日的快递需求量。
注：数据量较大，具体数据可从配套的Excel文件中获取。
数学建模2023年c题
数学建模2023年c题数学建模 2023 年 C 题：优化物流配送方案以降低成本在当今竞争激烈的商业环境中，物流配送环节对于企业的运营和发展至关重要。
如何优化物流配送方案以降低成本，提高效率，成为了许多企业关注的焦点。
本次数学建模 2023 年 C 题正是围绕这一实际问题展开。
我们首先对问题进行了深入的分析。
物流配送涉及到众多因素，如货物的数量、重量、体积、配送地点的分布、运输工具的选择、运输路线的规划等等。
这些因素相互影响，构成了一个复杂的系统。
为了建立有效的数学模型，我们对每个因素进行了量化和数学描述。
例如，货物的数量可以用整数表示，重量和体积可以用实数表示，配送地点可以用坐标表示，运输工具的运载能力可以用固定的数值表示等等。
在模型的构建过程中，我们考虑了多种约束条件。
首先是运输工具的容量限制，不能超过其最大承载量。
其次是配送时间的限制，要确保货物能够按时送达目的地。
此外，还有道路状况、交通规则等实际因素的影响。
我们采用了线性规划的方法来求解这个模型。
通过建立目标函数，即成本最小化，同时满足上述约束条件，运用相关的数学软件和算法，得到了最优的配送方案。
在实际应用中，我们对一个具体的物流配送案例进行了分析。
假设一家企业需要将一批货物从多个仓库配送到多个销售点，我们收集了相关的数据，包括货物的信息、仓库和销售点的位置、运输工具的参数等。
通过将这些数据输入到我们建立的数学模型中，经过计算和优化，得出了最佳的配送路线和运输工具的安排。
结果显示，通过合理的规划，可以显著降低运输成本，提高配送效率。
然而，这个模型也存在一定的局限性。
例如，它没有充分考虑到一些突发情况，如道路施工、天气变化等对配送的影响。
此外，对于一些复杂的物流网络，模型的计算复杂度可能较高，需要进一步优化算法。
为了改进模型，我们可以引入更多的随机因素和动态变化，以增强模型的适应性和鲁棒性。
同时，结合人工智能和大数据技术，实时获取路况信息和客户需求的变化，及时调整配送方案。
数学建模大赛-货物运输问题
货物配送问题【摘要】本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。
我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。
针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。
第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。
第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时最少、费用最少的方案。
耗时为40.5007小时，费用为4685.6元。
针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。
耗时为26.063小时，费用为4374.4元。
针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。
我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。
题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。
然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨，则用6吨货车运输，若在7~8吨用8吨货车运输。
最后得出耗时最少、费用最省的方案。
耗时为19.6844小时，费用为4403.2。
一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题随着电子商务的迅速发展，快递行业成为中国物流行业中的重要组成部分。
快递包裹的及时送达和安全运输是快递企业必须面对的重要挑战之一。
针对如何在有限的空间中最大化地装载包裹，优化装箱方案已成为快递企业的一项重要课题。
本文将重点讨论长三角高校数学建模竞赛中的快递包裹装箱优化问题。
快递包裹装箱问题涉及到如何在有限的空间中合理地摆放不同尺寸和重量的包裹，以便最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
在实际应用中，我们可以将快递箱视为一个三维的容器，而包裹则是不同形状和大小的物体。
装箱优化问题可以归结为如何在给定的容器和包裹条件下，找到最优的摆放方案，使得总体积最小化或者总重量最小化。
对于快递包裹装箱优化问题，我们可以采用数学建模的方法来解决。
首先，我们需要确定一个合适的目标函数，它可以衡量不同装箱方案的优劣。
对于总体积最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹体积的和。
对于总重量最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹重量的和。
在确定目标函数之后，我们可以建立一个数学模型来描述这个优化问题。
在数学模型中，我们需要定义相关的变量和约束条件。
变量可以表示每个包裹的位置和方向，而约束条件则可以限制包裹之间的相互位置以及与容器的边界的关系。
例如，我们可以定义一个二维数组来表示容器的布局，其中每个元素表示一个位置，0表示空位置，1表示有包裹。
我们还可以引入一些约束条件来控制包裹的位置和方向，例如，每个包裹的底部必须在一个平面上，不能旋转等。
在实际应用中，我们可以采用启发式算法来求解这个优化问题。
启发式算法是一种基于经验和直觉的求解方法，它可以在合理的时间内找到一个较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
这些算法都可以通过不断地调整包裹的位置和方向来搜索最优解。
快递包裹装箱优化问题是一个复杂而实际的问题，它涉及到多个变量和约束条件。
通过数学建模和启发式算法，我们可以找到一个较好的装箱方案，以最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
数学建模货运列车编组运输问题
数学建模货运列车编组运输问题数学建模是一门将实际问题抽象化并运用数学方法解决的学科。
货运列车编组运输问题是在实际生产与运输中常遇到的一个问题，即如何合理编组货运列车，以达到效率最大化、成本最小化的目标。
本文将针对这个问题进行深入探讨，并给出一种解决方案。
首先，我们来分析货运列车编组运输问题的背景和影响因素。
货运列车作为运输货物的一种重要方式，具有运载量大、运输成本低的优势。
然而，由于货物种类和数量的不同，以及货物间的相互关系，如何合理编组列车、安排运输路线，成为一个关键问题。
合理的编组方案可以提高运输效率，减少运输成本，提高生产力。
其次，我们来了解一下数学建模在解决货运列车编组运输问题中的应用。
数学建模是通过建立合理的数学模型，运用数学方法来解决实际问题的过程。
在货运列车编组运输问题中，数学建模可以帮助我们确定合适的编组方案。
具体来说，我们可以将问题抽象为一个数学模型，考虑列车的运载限制、货物的属性、运输距离、运输成本等因素，并通过数学方法求解最优解。
接下来，我们来介绍一种常用的数学建模方法——线性规划。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解一类特殊的最优化问题。
在货运列车编组运输问题中，我们可以将其建模为一个线性规划问题。
具体来说，我们可以定义目标函数和约束条件，通过线性规划求解器求解最优解。
目标函数可以是最小化运输成本或最大化运输效率，约束条件包括列车的运载限制、货物的属性等。
通过求解线性规划问题，我们可以得到一个最优的编组方案。
除了线性规划，还有其他一些数学建模方法可以用于解决货运列车编组运输问题，如整数规划、动态规划、遗传算法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题的性质选择适合的方法。
然后，我们来讨论一些与货运列车编组运输问题相关的实际案例。
以某货运公司为例，他们需要编组一列货运列车，按照一定的编组规则将货物装载到不同的车厢中，以便快速、高效地运输货物。
该公司采用了数学建模的方法，通过线性规划求解器得到了一个最优的编组方案。
数学建模运输规划问题
T3
4 --- 2 3 1
21 8 2 4
T4
32321 2
1 --- 2 6
B1
31724 1 1
142
B2
11 9 4 8 5 8 --- 1
21
B3
3 2 10 4 2 2 2 4 2
3
B4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
2021/10/10
2868
解：把此转运问题转化为一般运输问题： 1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和 销地；
0
100
5’
M M M M 14.0 14.3
0
40
6
M M M M M 13.5.5
0
销2量021/10/10104 75 115 160 103 150
36
80 40
------------------------3
例3 仪器公司在大连和广州有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产450台,广州分厂每月生产600台。公司在上海和天津有两 个销售公司负责对南京、济南、南昌、青岛四个城市的仪器供应。 因为大连距离青岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接供货，运输 费用如下图。应该如何调运仪器，可使总运输费用最低？
0
50
2’
M 15 15.3 15.5 15.7 15.9
0
10
3
M M 13.5 13.8 14.0 14.2
0
90
3’
M M 14.5 14.8 15.0 15.2
0
20
4
M M M 13.0 13.3 13.5
0
100
4’
M M M 14.0 14.3 14.5
城市货物运输数学建模
B题物资运送问题摘要本文主要是以物资供应为背景,针对建立49个城市的供应网络以及对可能被破坏的道路问题进行研究,我们运用了Floyd算法,借助MATLAB软件,综合分析了49个城市的供应链网络的相关数据,建立了板块内供应点的固定费用与运输费用之和的二元一次的模型,利用穷举法对所有可能成为供应点的城市计算其作为供应点的总费用,比较确定出了八个供应点,并建立了相关的供应关系网络见文中表13.在预测恐怖分子破坏道路的问题上，首先对数据分析，排除可以肯定不能成功的方案，再运用穷举法比较得出最终被破坏的道路.针对问题一,就如何对城市供应点进行优化,使物资运送费用最小进行研究.利用MATLAB软件画出各城市间道路的分布情况,根据道路分布、建立供应点的个数以及最终的优化目标,将整个城市网络分为八个部分,每一个部分分别对应一个供应城市.由于28号城市距离每个可建为供应点的城市路程都较远,因此,将28号城市单独划分为一类,具体图像见图1.运用Floyd算法,计算出每个城市之间的最短路径,再根据建立供应点的要求,剔除距离过远的城市,依据求出的最短路径对整个城市网络进行初步划分,得出可能作为供应点的城市.由题中给出的运输价格,建立总费用与运输距离、需求量之间的二元一次函数关系式,用穷举法对所有可能的作为供应点的城市计算它们对应的总费用,最后比较得到的总费用,选择每个板块内供应费用最小的城市为供应点,得出这八个供应点分别为:4、10、14、20、24、26、28、40.针对问题二,由表4中可能被破坏的道路结合城市路径分布图1,在供应点都不改变的情况下,首先排除不能被破坏的道路,再运用Floyd算法,求出被破坏后受到影响的被供应点到供应城市的最短路径.假设可能被破坏的道路都被破坏,由问题一的得出的总费用与运输路程、需求量之间的二元一次函数关系式,计算出被破坏后相对于破坏前增加的费用.采用穷举法与排列组合对所有的情况进行组合,分别得出它们的组合后增加的总费用,得出费用最接近破坏前总额的25%的破坏方案,判断出恐怖组织可能破坏的道路为:1、2、4、5、6、9.为何要用英文的句号？？？后面也是？关键字: 道路破坏最短路径Floyd算法穷举法一、问题重述某公司要在全国各城市之间建立物资供应网络,需要选定部分城市作为供应点,向各个城市供应物资.该公司共考虑49个城市的网络, 城市的坐标见附录一中的表1,城市之间的道路连接关系见附录一中的表2,在每个城市建立配送中心的固定费用和需求量见附录一中的表3.现需要在这些城市中建立8个物资供应点,为各城市提供货物供应, 供应点城市不产生费用.货物运输利用汽车进行公路运输,运输价格每公里运输费用为:送货距离在300公里以下,500吨以下部分,每吨0.7元;501吨至1000吨部分,每吨0.6元;1001吨至1500吨部分,每吨0.5元;1500吨以上部分,每吨0.45元;距离在301公里至500公里,每吨每公里运费增加0.1元（超出300公里的部分）;距离超出500公里的部分,每吨每公里运费增加0.15元.汽车回到出发点的空驶费用为0.3元/公里.建立供应点后,有恐怖组织对该供应网络的道路进行破坏,但并非所有的道路都可以被破坏,可破坏的道路见附录一中的表4.当某条道路被破坏后,该条道路就不能再被使用,以前运输经过该道路的只有改道,但总是沿费用最小路径运输.恐怖组织的目标是使所有运送物资的汽车消耗的总费用增加25%,而每破坏一条道路都需要成本和代价,因此需要破坏最少的道路.问题:1、求出当总费用最小时选出的供应点的城市,并给出每个供应点供应的城市.2、问恐怖组织能否实现该目标？如果能实现,可能会选取哪几条线路进行破坏.二、问题分析对于问题一,根据题目可知供应点城市应该满足两个基本条件:一是与被供应城市有道路连接,二是供应城市i 到被供应城市j 的运输费用加上建设供应点的固定费用之和Z j i ）（,最小.根据各城市的坐标以及各公路段的连接情况,运用MATLAB 软件画出各城市路径图1,假设供应点到被供应城市之间最多只有一个中转城市,将49个供应城市划分在八个板块内,通过总费用Z j i ）（,与运送的最短路程),(j i D 及所需运送物质吨数)(j Q 之间的二元一次非线性函数关系式,计算出各个板块内可用来作为供应点的城市对应的总费用Z j i ）（,,选择各个板块内总费用最小的供应城市作为该板块的唯一供应点,最后将各版块所求最小费用相加即得到总费用Z .对于问题二,首先依据问题一得出的结论,计算出破坏前总费用的25%,再分别求出各板块内每条可能被破坏的道路被破坏并且选择新的最短运输路线后所在板块内增加的费用.运用排列组合可知恐怖分子可能试行的方案有256种,由于要使破坏后增加的费用达到破坏前总额的25%,因此可以排除一些费用特别低的组合。
数学建模培训题航空货运问题(改编自美赛倒煤台问题)点评解析
点评：航空货运问题一、基本参数1、货机：假设均匀分布每天三架货机。
2、工作时间5：00—20：00设置为 t ：[0，15]？每天货机到达时间：5：00—20：00；一工作组装满装卸场：6小时；一货机装满：3小时； 装卸台的容量：1.5货机；3、费用系数：停机费（等待装货）：15000元/小时架一工作组：每小时9000元；二工作组：每小时12000元 4、服务原则：假设先来先服务二、模型建立：概率计算模型 （一）概率分布1、三架货机到达的时刻3,2,1,=i t i 服从[0，15]上的均匀分布，则：密度函数：()1,01515f t t =≤≤ 分布函数：(),01515tF t t =≤≤ 2、设τ,δ,ε分别是首架货机到达时刻、第一架与第二架间隔、第二架与第三架间隔， （1）τ的分布函数331321321321321321))(1(1))(1(1)()()(1),,(1)()()},,(min{)()(1t F t t P t t P t t P t t P t t t t t t P t t t t t t P t t t t t t P t t t t P t P t F t --=≤--=>>>-=>>>-=≤⋃≤⋃≤-Ω=≤⋃≤⋃≤=≤=≤=τττ的密度函数：()()()112515151)151(3]1[3)(')(22211-=-=-==t t t f t F t F t f t t ττ ]15,0[∈t （2）其余两货机到达与第一个到达的货机的间隔21,t t ∆∆在0到15-τ之间是均匀分布的于是：τ-=∆151)(t f i t , τ-≤≤150t ；τ-=∆15)(t t F i t , τ-≤≤150t ，i =1,2 δ 的密度函数/121212()()()1()1()()F t P t P t t t t P t t t t P t t P t t δτδ=≤=∆≤∆≤=-∆>∆>=-∆>∆>221)](1[1)](1[11t F t t P t ∆--=≤∆--=()()2//15152)()](1[2)(')(11---=-==∆∆τττδτδt t f t F t F t f t t（3）第三架货机到达与第二个到达的货机的间隔ε在0和15-δ-τ之间是均匀分布的， 于是：ε 的密度函数τδτδε--=151),/(f3、联合概率分布条件概率（A|B ）公式 ()()b f b a f f b b a ,/=()τδε,,联合概率分布：()()()11252112515*1515*2*151**151**,,22//),/(=------=--==τττδτδτδτδεττδττδτδεf f f f f pdf4、另：顺序统计量前k 个(1)k n ≤≤次序统计量的联合密度为:12112![1()]() ()!(,,,) 0 kn kk i n i n n F x f x a x x x b n k f x x x -=⎧-<<<<<⎪-=⎨⎪⎩∏其他特别地，当3k n ==时有 ……（二）优化模型模型： →只要是优化必须给个优化模型！——如何调用、调用第二班、三班② 目标——费用③——货机到达——随机——概率分布①——费用期望值③ 约束——时间关系（1）决策变量：调用工作组（一、二个） →与到达时间有关 （2）目标：费用费用=工作组装装卸台+第一架停机费+第二架停机费+第三架停机费其中：第一架停机费受前一天工作状态影响，情形比较复杂，我们不直接讨论，而是用迟滞概率讨论代替。
数学建模大赛-货物运输问题
数学建模大赛-货物运输问题问题重述：某港口需要将三种原材料A、B、C分别运往8个公司，运输车有三种型号：4吨、6吨、8吨。
每辆车有固定成本，每次出车也有固定成本。
运输车平均速度为60公里／小时，每日工作不超过8小时。
设计一个方案，使得耗时最少、费用最省。
方案设计：针对问题一，我们首先考虑最小化运输次数，然后根据卸载顺序和载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型。
我们采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案，并将方案分为两步：第一步是使每个车次满载并运往同一个公司；第二步是采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时为40.5007小时，费用为4685.6元的方案。
针对问题二，我们加上两个定理及其推论，设计的数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采用与问题一相同的算法，得出耗时为26.063小时，费用为4374.4元的方案。
针对问题三的第一小问，我们排除了4吨货车的使用，并仍旧采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，分为三步：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。
最后得出耗时为19.6844小时，费用为4403.2元的方案。
建立模型时，需要注意以下几个问题：目标层：在建立模型时，如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，会导致模型中变量过多，不易求解。
因此，可以将目标转化为两个阶段的求解过程。
第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。
约束层：1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，需要考虑不同方向时的载重用；(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；(4)满足各公司当日需求。
数学建模运输问题送货问题
27次，其中9次装两单位B，8次装一单位A和两单位
，10次装一单位A和一单位C。
B，可单独考虑，27次中有9次装两单位的B，可先顺时针运两次给公司2，
1单位B给公司1,1单位B给公司2，以此类推。对于A,C，由于需要考虑卸
1可以运3次一单位A和一单位C，一次一单位A和
C。 以此类推。
模型建立
27次，通过分析题中数据和线路图可得到如下求解最小运费
iX 表示第i次运输装C的单位数；
iY 表示第i次运输A到达目的地所走的路程；
iY 表示第i次运输B到达目的地所走的路程；
iY 表示第i次运输C到达目的地所走的路程；
表示运输车的方向（等于0按照顺时针即○9 ○1 ○2；等于1按照逆时针即○9
8 ○7）；
表示最小成本；
Z 表示第i次运输j的所走单位路程的单位成本；
1A1C 1,0 0,1 276.2 95
1A2C 1,2 89.6 41
1A2C 1,2 168 55
1A2C 1,2 268.8 73
1A2C 1,2 268.8 73
1A2C 1,2 123.2 47
2B 2 162
a表示8个公司对A的总需求量，b表示8个公司
B的总需求量，c表示8个公司对C的总需求量
ijm
njijYXZM11
236iiiXXX
0P时，
223iiiiYYYY
1P时，
223iiiiYYYY
11
miimiimiiXaXbXc
njmi,...,2,1,...,2,1，
模型求解
B的运输车次时单独的，故单独考虑B的运输。我们考虑到车只能顺时针
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货物配送问题【摘要】本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。
我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。
针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。
第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。
第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时最少、费用最少的方案。
耗时为小时，费用为元。
针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。
耗时为小时，费用为元。
针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。
我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。
题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。
然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。
最后得出耗时最少、费用最省的方案。
耗时为小时，费用为。
一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。
运输车载重运费元/吨公里，运输车空载费用元/公里。
一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。
卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。
问题：1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数应如何调度3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是元/吨公里，空载费用分别为，，元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。
图１唯一的运输路线图和里程数二、模型假设1)港口的容量足够大，多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象；2)多辆运输车可以在港口同时装车，不必等待；3)双向道路上没有塞车现象；4)8个公司之间没有优先级别，货运公司只要满足他们的需求量就可以；货车完成他们日常的送货任务之后，回到港口。
5)假设运输车不会因天气状况，而影响其行驶速度，和装载、卸载时间。
6)运输路不会影响运输车行驶速度。
7)运输车正常出车。
三、问题分析运输过程的最大特点是三种原料重量不同，分为大小件，当大小件同车，卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，要区别对待运输途中是否可以调头的费用。
在问题一中，运输途中不能调头，整个送货路线是一个环形闭合回路，如果沿着某一方向同时给多家公司送货时，运输车必须为距离港口近的公司卸下小件，为距离港口远的公司运送大件；而在问题二中，运输途中可以调头，可以首先为远处公司运送小件，在返回途中为距离较近的公司卸下大件。
从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。
但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。
运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
建立模型时，要注意以下几方面的问题：目标层：如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，模型中变量过多，不易求解。
由于各辆运输车之间相互独立，可以将目标转化为两个阶段的求解过程，第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。
约束层：(1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，要考虑不同方向时的载重用；(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；(4)满足各公司当日需求。
四、符号说明和名词约定五、建立模型一、问题一i.车次规划模型的分析车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。
运输途中不能掉头，所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。
1)运输途中不能掉头，所以为某些公司送货时，运输车从港口出发，按顺时针方向沿闭合回路绕行，为其它公司送货时，按逆时针方向沿闭合回路绕行。
公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离，如下表：析中给出的最佳运输路径进行货物的分配运输。
即若港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发，根据货运里程短，④点为顺时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点，根据货运里程短，⑤点为逆时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点。
结论：在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。
如下图所示：2）根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出，A和C可以搭配运输，B和C可以搭配运输，而A与B不能同车运输。
不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货，当大小件搭配运输时，必须首先卸下小件，在后续公司卸下大件。
我们把这种特点总结如下：1、若在第j个公司卸下的是大件A，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C（A与B不能同车运输，更不可能有B）；2、若在第j个公司卸下的是B，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C。
ii.模型建立基于以上约束条件建立如下模型：第一步：根据车载重相对最大化的基本思想。
可以分为两小步：分为两种满载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。
并使每一车次在同一公司卸货。
满载运载方案如下表1：表1权，在保证满足各公司对A需求量条件下，1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位；第三批次运输剩下所需的货物。
具体运输方式：首先优先考虑A货物的处理方法，可知1公司还需1个车次的1A和一个车次的1A1C，4公司还需要2个车次的1A，8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C；接着处理B货物，1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公司和4公司共需要1个车次的2B;最后处理C货物，5、6、7公司共需要1个车次的6C。
由此可知共出车28次。
如下表2：表2所需运费及时间如下表3：表3运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
最后经过模型的计算得到最少费用为：元，最少耗时为：小时。
二、 问题二i. 车次规划模型的分析两个定理的证明定理一、车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头途中允许调头，运输车可以先为较远的公司送去小件原料，然后调头，为比较近的公司送去大件。
从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。
但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。
证明过程如下：在上图中，记O 点为港口，N 、M 为两公司。
M 到港口的距离是S1，NM 两个公司之间的距离为S2。
假设将两种货物a 和b （重量分别为x 吨、y 吨），分别运往N 和M 两公司，现有两种运输方案：1.若先运货a 、b 到N ，将a 卸到N ，调头返回，将货物b 运往M ，那么a 必为C 原料（x ＝1），b 为A 或B （34y ≤≤），记运费用为f 12.若先单独运送货物a 到N ，返回港口后，再次出车，将货物b 运往M ，即出车两次，记运费用为f 2。
➢ 两种方案需要的车辆相同时，为比较两种运输方式费用的大小，两种运输的种类质量均相同，记：12f f f =-若f > 0恒成立，则载重调头送货不节省费用，通过数据处理提取函数： 因为 43y ≥≥ 并且N 、M 两公司在本题中的最小距离24s = 代入到 f 中，化简得到令 min 131.60.40f s =-< 得到 175s >而港口到所有公司最短路的最大值为29公里，所以min 0f >恒成立。
说明前一种花费较高。
➢ 方案二比方案一需要的车辆多时第二种方案是出车两次，运输时间较长，在8小时的工作时间内，可能会比调头载重运输时多安排车辆，派车费用增加。
我们考虑一种最差情况，因多运一次而增派一辆车，此时有得到 1s 29≥ 因为港口到所有公司的最短路径 129s ≤ 所以 min 0f ≥综上，载重调头运输花费较高。
证明了以运费用最小为目标时，车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头。
定理一的推论：运载里程与空载里程相同（表四中的第28车次例外），且每次出车均不绕圈工作。
定理二、车辆载重行程是各公司到港口的最短路，且载重费用固定不变 在定理一的基础上，车辆当且仅当运完最后一件货才调头，且每次出车均不绕圈工作，那么每一单位的原料都可以由最短路径运至需货公司。
我们变换视角，从宏观的角度看去，对8个公司所需货物的数量分别乘以公司和港口的最短距离和载重单价（元/吨公里）就是将货物运至公司的载重费用，载重费用因子：货物的数量、公司和港口的最短距离、载重单价都是定值，因此，载重费用是固定不变的。
车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。
运输途中可以掉头，即货车可以送完货沿原路返回港口。
ii. 模型建立根据问题一约束条件：在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。
此结论也可以适用货车可以掉头的情况。
加上上面两个定理，数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
故同样分为两步骤：第一步分为两种满载方案：第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。
并使每一车次在同一公司卸货。
第二步我们采用批次运输方案：第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，C与A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位；第三批次运输剩下的货物。