不等式的基本性质和解法

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号：

学员编号： 年 级：高一 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 不等式的基本性质和解法 授课时间

教学目标 1.不等式的基本性质能够灵活应用

2.不等式的解法，包括一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 重点、难点 一元二次不等式的解法

考点及考试 要求

一元二次不等式，绝对值不等式和分式不等式的解法

教学内容

一、知识要点：

1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有： (1)对称性或反身性：a>b ⇔bb ，b>c ，则a>c ；

(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac

(1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； (2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。 特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； (4)开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则

n

1n

1b a >

；

(5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则b 1

a 1<。

掌握不等式的性质，应注意：

(1)条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号； (2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的

例1：

1)、5768--与的大小关系为 .

2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 .

3）已知,αβ满足11123αβαβ-+⎧⎨+⎩

≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围.

例2.比较()2

1+a 与12+-a a 的大小。

例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。

例4.已知a,b 为非零实数，且a

A 、 22b a <

B 22ab b a <

C b

a a

b 221

1< D b a a b <

二、一元二次不等式的解法

一元二次不等式0322

>--x x 的解法。

解法一：原不等式可化为 0)1)(3(>+-x x ，它等价与

⎩⎨⎧<+<-⎩⎨

⎧>+>-0

10

30103x x x x 或将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解集 }31|{>-

解法二：利用数轴 ， －1、3将数轴分成三个部分，

当3>x 时，01,03>+>-x x 所以0)1)(3(>+-x x 当31<<-x 时，01,03>+<-x x 所以0)1)(3(<+-x x 当1-+-x x

可得原不等式的解集 }31|{>-

解法三：利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数322

--=x x y 取正值时

x 的取值范围，即求该二次函数的图像在x 轴上方时x 的取值范围。

我们知道，二次函数322

--=x x y 的图像是一条开口向上的

抛物线，它与x 轴有两个交点，由方程0322

=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当

31>-

0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在x 轴下

方，即0322

<--x x ，于是可得不等式解集为

}31|{<<-x x 。

[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和

-1 3 x

y

x

0 - 3

并集来说明。解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。

例1．利用二次函数图像解下列不等式。

（1）0322

<--x x （2）0442

>+-x x

[说明]点评中强调一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间的联系。由学生归纳如何利用二次函数的图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤：求出相应的一元二次方程的解；画出相应的二次函数的图像；写出不等式的解集。第2小题函数的图像与x 轴相切，教师可提示学生思考如果图像与x 轴相离时的不等式的解的情况。

一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。

0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2)

0(>a 的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

02=++c bx ax 0>a 的根

有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根

a

b x x 22

1-== 无实根 02=++c bx ax 0

>a 解集

{}2

1

x x x x x ><或

⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R

02=++c bx ax 0

>a 的解集

{}21

x x x

x <<

∅ ∅

1．用区间来表示不等式的解集

设b a ,都为实数，并且b a <,我们规定:

(1)集合{}b x a x ≤≤|叫做闭区间,表示为],[b a ； (2)集合{}b x a x <<|叫做开区间,表示为()b a ,；