长度与角度综合(提高篇)

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角(提高)知识讲解

角(提高)责编：康红梅【学习目标】1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算； 2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5.掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算； 6•了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题.【要点梳理】要点一、角的概念及表示1 •角的定义：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边•如图图1图2(2 )定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线0A 绕它的端点0旋转到0B 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置 0A 是角的始边，终止位置 0B 是角的终边.要点诠释：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.(2) 平角与周角：如图1所示射线0A 绕点0旋转，当终止位置 0B 和起始位置0A 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2所示继续旋转，0B 和0A 重合时，所形成的角叫做周角.平角图I2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下四种:周角图2«示方法图示记法 '适范围(1)用三个丸垢字母表示裁 A BOA 任柯情况都适用，表示顶点的字母写在中间(2｝用一个大写字母表示, /OAO以某一点为顶点的甬只有一个时，可以用顶点表示角(各)用阿拉伯數字表示£1 任何情况那适用(4)用希腊字//.a 任何情况都适用1°的—为1分，记作“ 1 ‘” 1 ‘的—为1秒，记作“ 1 〃” .这种以度、分、秒为单位6060的角的度量制，叫做角度制.1 周角=360° , 1 平角=180°, 1°= 60’，1 '= 60〃.要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位.2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.方法1:度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2 :叠合比较法•把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较/ AOB 和/A ‘ O ‘ B '的大小：如下图，由图(1)可得/ AOB </ A ‘ 0’ B ‘；由图(2)可得/ AOB = / A ‘ 0’ B ‘；由图(3)可得/ AOB >/ A ‘ 0’ B ’.3. 角的和、差关系要点诠释：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母.3.角的画法(1) 用三角板可以画出 30 °、45 °、60 °、90°等特殊角. (2) 用量角器可以画出任意给定度数的角.(3) 利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 要点二、角的比较与运算1. 角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成1 1360等份，每一份就是1°的角，如图所示，/ AOB 是/ 1与/ 2的和，记作：/ AOB = / 1 + / 2; / 1是/ AOB 与/ 2 的差，记作：/1 = / AOB- / 2.要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：① 对中(角的顶点与量角器的中心对齐 ② 重合(一边与刻度尺上的零度线重合 ③ 读数(读出另一边所在线的度数).(2)利用三角板除了可以做出 30°、45 出 15°, 75°, 105°,, —i4. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC 是/ AOB 的角平分线，/ AOB= 2/AOC= 2/ BOC 1—/ AOB .2要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 要点三、余角、补角、对顶角1.余角与补角(1) 定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角.类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角. (2)性质：同角(等角)的余角相等•同角(等角)的补角相等.要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.(2) —个锐角的补角比它的余角大 90°. 2.对顶角(1) 定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边为对顶角. 要点诠释：(1) 对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. (2) 只有两条直线相交时，才能产生对顶角•两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线(2) 性质：对顶角相等.、60 °、90°外，根据角的和、差关系，还可以画120°, 135°, 150°, 165 ° 的角.(相对)的两个角，互coRS/AOC =/ BOC =要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角. 例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB 的方向是南偏西30°.这里的“北偏东 60 °”和“南偏西30 °”表示方向的角，就叫做方位角.北要点诠释：(1) 正东，正西，正南，正北 4个方向不需要用角度来表示； (2)方位角必须以正北和正南方向作为 “基准”，“北偏东60 °” 一般不说成“东偏北30°”；(3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线” ，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；(4) 图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点. 要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应时针每小时转30 ° ,时针1分钟转0.5 ° ,利用这些关系，算问题. 【典型例题】类型一、角的比较与运算150 ° , 165°的七个度数的角，画法如图所示.A30°的角，分针1分钟转6°, 可帮助我们解决钟表中角度的计1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180 30°, 45°, 60° 的所有角.【思路点拨】首先发现一副三角板上有用这些角进行一次和差，可得小于 180【答案与解析】解：除了可以画 30°, 45°, 60°, 90外，还可画 15° 的角, ,90° ,75° 试 -- 画出来.这样4个不相等的角，利,105°, 120°, 135°,2LAOS=15^(2)O mOB=\22O AAOB=}35^(5)0 B 乙/O5沁53(6)A B AAA(1)35° 36' 47〃X 9=320° 31' 3〃.⑷、1肾5丫2『3）41"37'3 ______11_9_ V 将余数旷化为1时）罰 ____ （将余数r 化为60"）6••• 41° 37'- 3 = 13° 52 ' 20〃.【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60〃进1',满60'进1 °; 对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入. 举一反三：【变式】计算：【总结升华】利用一副三角板共可以画出 11个度数的角，分别是：30°, 45° , 60°, 90°,-i , 150°, 165°.15°, 75°, 105° , 120° , 135 时2.计算下列各题：(1)152° 49' 12〃 +20.18 (3)35° 36' 47〃X 9;【答案与解析】解：(1)解法一：•••20. 181訝49'1『 * + 2(/10苗 ** . 172*59'6(/'(2)82° -36 (4)41° 37' 42'15〃；十20° 10' 48〃即：152° 49' 12〃 +20. 18 解法二：•••152° 49' 12〃 = 152. 82° +20. 18°=173° 即：152° 49' 12〃 +20. 18° =(2)将 82° 化为 81° 59' 60〃，8r59'6Cf.—36型 15"…~45尊7旷45跻82° -36° 42' 15〃= 45°35°36'4尸 n173 152.82173 则17' 45〃.=5° 31都化成度或分、秒表示，然后进行计算;(1)23° 45' 36〃+66 ° 14' 24 〃；(2)180° -98° 24' 30〃；(3)15° 50' 42〃X 3; (4)88° 14' 48〃十4.【答案】解：(1)23° 45' 36〃 +66 °14 (2) 180(3) 15° (4) 88°【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种： ①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较.②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较. 举一反三：【变式】如图，/ AOB 的平分线 OM,ON 为/ MOA 内的一条射线，OG 为/ AOB 外的一1MON = - (/ BON —/ AON )，你认2为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来。

2023届浙江金华丽水衢州十二校高三上期一联作文“高度、角度、尺度”导写及范文

2023届浙江金华丽水衢州十二校高三上期一联作文“高度、角度、尺度”导写及范文【原题呈现】23. 阅读下面的材料，根据要求写作。

为人处事有“三度”：高度、角度、尺度。

一个站到了一定高度的人，他大多会多角度地思考问题，待人处事也更讲究尺度。

以上材料对我们颇具启示意义。

请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思考。

要求：选准角度，确定立意，明确文体；不要套作，不得抄袭；不少于800字。

【审题指导】审题：这是一道引语式材料作文题。

材料提到为人处事有“三度”：高度、角度、尺度。

完美地呈现了人生处世关键。

因为高度决定视野，角度改变观念，尺度把握人生。

具体看来，高度决定视野，站的越高看得越远，不同的高度，其视野也不一样，欲想站到高处，必须披荆斩棘，攀登而上，“只有那些不畏艰难，沿着崎岖山路攀登的人，才能达到希望的顶点”，因而站在一定的高度去认识和分析问题，视野才会更开阔。

角度改变观念，改变观念要求我们要多角度去看待事物，对每个问题要辩证的，一分为二的去看待。

不同角度、不同侧面去看待人或事，往往会有截然不同的感受和认识，从而修正自己在感受和认识上的偏差，这对调整心态，把握处世观，选择人生轨迹大有益处。

尺度把握人生，人的一生是曲折的，怎样更好地把人生是要有合适的尺度的。

真理与谬误往往一墙之隔，做任何事情，能把握好尺度，在生活中则能左右逢源，否则只能四面楚歌。

即做人、做事，惟有能恰当把握好尺度者，其人生才会更顺畅如意，丰富多彩，有滋有味。

综合看来，高度、角度和尺度，三者紧密相关、相辅相成。

站好高度，前途无量；换个角度，海阔天空；把握尺度，循规蹈矩。

人如果站到一定高度，多角度地思考问题，待人处事也更讲究尺度。

行文思路上，先提出三度的重要性，然后采用并列结构分别对高度、角度、尺度进行论述，然后阐述三者间相辅相成的辩证关系。

最后归结全篇，重申论点，提出号召，当你面对生活的困苦时，当你面对人生的缺憾，当你的思想被桎梏时，不妨提高站位，转换思路，拿捏好尺度，迈动智慧的双脚走一走，就会收到“柳暗花明又一村”的意外惊喜。

中考数学复习考点知识专题训练19---因旋转产生的角度问题(提高篇)

中考数学复习考点知识专题训练19 因旋转产生的角度问题（提优篇）1．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠BAN＝°；（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B 开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN 之前．若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．2．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CDN，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图2，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B 转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值．（2）如图1，若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，若∠C＝70°，求∠BAC的度数．（3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？4．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC 交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．5．如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B 和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a﹣3|+√b−1=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN ＝45°（1）求a，b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC 交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．7．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a＝27＝32•3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC＝．8．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN ＝45°．（1）则a＝，b＝；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是（请直接写出结论）．9．辽宁汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线白BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，假定这带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）请直接写出a＝，b＝．（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动秒，两灯的光束互相平行．（请直接写出答案）10．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（∠AED＝30°的Rt△），将三角板ABC（∠ACB＝45°的Rt△）绕点A顺时针旋转一个大小为α的角（0°＜c≤45°），试问：（1）当α＝度时，能使图2中的AB∥DE；（2）当α＝度时，能使图3中的AB与AE重合；（3）当0°＜a≤45°时，连接BD（如图12﹣4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．11．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是，并说明理由．（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）中的结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠P AC＝30°，∠PBC ＝35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．12．已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB＝90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A＝36°．（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．13．一副直角三角板叠放如图①，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A顺时针旋转角α（α＝∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直．（1）如图②，α＝°时，BC⊥AE；（2）请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角α，并用符号表示出垂直的边．14．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连P A和PC，作∠P AB和∠PCD 的平分线相交于点Q．（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC＝180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．15．将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠AOB＝90°；在△COD中，∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°．（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC＝45°时，①试说明CO平分∠AOB；②试说明OA∥CD（要求书写过程）；（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC ＝45°是否成立，并说明理由．16．将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．（1）如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD＝；（2）三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时OA ∥CD，求出∠BOD的大小；（3）在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD的大小．17．已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝．（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．19．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．20．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC＝；（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC1，试问：①当α＝时，能使AB∥CD；②当α＝45°时，∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝；③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．。

期中复习合订版(提高)

【例 1】下列命题中，真命题的个数是（）.
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等.
②如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等.
③如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等.
④如果两个直角三角形有两个角对应相等，那么这两个三角形全等.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【巩固】下列命题中：① 形状相同的两个三角形是全等形；② 在两个三角形中，相等的角
是对应角，相等的边是对应边；③ 全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别
相等，其中真命题的个数有（）.
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【例 2】如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，△ABC 的面积是 28 cm2．已知 AB＝20 cm，AC＝8 cm，则 DE＝__________.
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全等是整个初二的重难点，学生的分数差距也主要集中在这个方面，而全等现阶段主要是三大模型，手拉手，夹半角，三垂直．一般中档型的证明题是围绕着这三大模型进行改编的，而稍微难一点的的题目会围绕着构造全等这个方面来进行考查．
对应边，对应角相等
全等的性质
让学习更有效
模块一
角度问题
【例 1】如图，在△ABC 中，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，AD 是∠BAC 的角平分线，AE
是 BC 边上的高，则∠DAE 的度数是（）.
A．10°
B．20°
C．30°

2021年高考物理最新模拟题精练专题2.19 活结问题(提高篇)(解析版)

2021年高考物理100考点最新模拟题千题精练第二部分相互作用专题2.19 活结问题（提高篇）一．选择题1.（2020年4月全国百校联盟质检）如图所示，直杆AB可绕其中心O在竖直面内自由转动，一根细绳的两端分别系于直杆的A、B两端，重物用光滑挂钩吊于细绳上，开始时重物处于静止状态，现将直杆从图示位置绕O点沿顺时针方向缓慢转过90°，则此过程中，细绳上的张力A.先增大后减小B.先减小后增大C.一直减小D.大小不变【参考答案】A【名师解析】挂钩相当于质量可以忽略的动滑轮，两侧细绳上拉力相等，且两侧细绳与竖直方向的夹角相等，设为θ，可得2Fcosθ=mg，F=mg/cosθ。

现将直杆从图示位置绕O点沿顺时针方向缓慢转过90°，则此过程中，θ先增大后减小，cosθ先减小后增大，细绳上张力先增大后减小，选项A正确。

2.如图所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安在一根轻木杆B上，一根轻绳AC绕过滑轮，A端固定在墙上，且绳保持水平，C端挂一重物，BO与竖直方向夹角θ=45°，系统保持平衡．若保持滑轮的位置不变，改变θ的大小，则滑轮受到木杆作用力大小变化情况是（）A．只有角θ变小，作用力才变大B．只有角θ变大，作用力才变大C．不论角θ变大或变小，作用力都是变大D．不论角θ变大或变小，作用力都不变【参考答案】.D【名师解析】：对滑轮受力分析，受两个绳子的拉力和杆的弹力；滑轮一直保持静止，合力为零，故杆的弹力与两个绳子的拉力的合力等值、反向、共线；由于两个绳子的拉力大小等于重物的重力，大小不变，方向也不变，故两个拉力的合力为2mg，与水平方向成45°斜向右下方，选项D正确。

3.如图所示，直杆BC的一端用铰链固定于竖直墙壁，另一端固定一个小滑轮C，细绳下端挂一重物，细绳的AC段水平。

不计直杆、滑轮及细绳的质量，忽略所有摩擦。

若将细绳的端点A稍向下移至A'点，使之重新平衡，则此时滑轮C的位置A在AA'之间B与A'点等高C在A'点之下D在A点之上【参考答案】 D【名师解析】由于杆一直平衡，对两根细绳拉力的合力沿杆的方向向下，又由于同一根绳子的张力处处相等，而且两根细绳的拉力大小相等且等于物体的重力G，根据平行四边形定则，合力一定在角平分线上，若将细绳的端点A稍向下移至A′点，若杆不动，则∠A′CB＜∠BCG，则不能平衡，若要杆再次平衡，则两绳的合力一定还在角平分线上，所以BC杆应向上转动一定的角度，此时C在A点之上，故D正确．4.如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行．在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，下列说法正确的是（）A．b对c的摩擦力可能始终增加B．滑轮对绳的作用力方向始终不变C．地面对c的支撑力始终变小D．对地面的摩擦力方向始终向左【参考答案】.AB【名师解析】对b受力分析：b受重力，a给它的拉力，斜面给它的支持力，摩擦力未画出，摩擦力有多种情况：（1）F大于重力沿斜面向下的分力，则摩擦力沿斜面向下，在a中的沙子缓慢流出的过程中，拉力F变小，摩擦力先变小到零后反向变大．（2）F小于重力沿斜面向下的分力，则摩擦力沿斜面向上，在a中的沙子缓慢流出的过程中，拉力F变小，摩擦力一直变大．故A正确．由于a、b、c都处于静止状态，故绳子方向不发生变化，绳子对滑轮的作用力方向不变，故滑轮对绳的作用力方向始终不变．故B正确．选bc整体为研究对象，受力分析如图：在a中的沙子缓慢流出的过程中，拉力F变小，故支持力N一直变大，故C错误．地面对C的摩擦力一直向左，故对地面的摩擦力一直向右，故D错误．5.如图所示，轻杆BC一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C，系重物的轻绳绕过滑轮C 将上端固定于墙上的A点，不计摩擦，系统处于静止状态，现将A点沿墙稍上移一些，系统又处于静止状态，则由于A点的上移（）A. 轻杆与竖直墙壁间的夹角减小B. 绳的拉力增大，轻杆受的压力减小C. 绳的拉力不变，轻杆受的压力减小D. 绳的拉力减小，轻杆受的压力不变【参考答案】 C【名师解析】由于绳子的拉力与重力大小相等，由平衡条件得知，轻杆的支持力N与T、G的合力大小相等、方向相反，则轻杆必在T、G的角平分线上，当将A点沿墙稍上移一些，系统又处于静止状态时，根据对称性，可知，T、G夹角增大，则轻杆与竖直墙壁间的夹角增大．故A错误．B、C、D以滑轮C为研究对象，分析受力情况，系统处于静止状态时，滑轮的合力为零，则绳子的拉力T和轻杆的支持力N的合力与重力G大小相等、方向相反，作出力的合成图如图．将A点沿墙稍上移一些时，系统又处于静止状态，则绳子的拉力大小等于物体的重力，保持不变．而轻杆的支持力N大小等于T、G的合力大小，T与G的夹角增大，则知N减小．故绳的拉力不变，轻杆受的压力减小．故C正确，BD错误．6. 如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，连接物体B的一段细绳与斜面平行，已知A、B、C都处于静止状态．则（）A．物体B受到斜面体C的摩擦力一定不为零B．斜面体C受到水平面的摩擦力一定为零C．斜面体C有沿地面向右滑动的趋势，一定受到地面向左的摩擦力D．将细绳剪断，若B物体依然静止在斜面上，此时水平面对斜面体C的摩擦力一定不为零【参考答案】C【名师解析】设A、B、C的重力分别为G A、G B、G C．若G A=G B sinθ，B相对于C没有运动趋势，不受到C的摩擦力．故A错误．以B、C整体为研究对象，分析受力如图，根据平衡条件得：地面对C的摩擦力f=Fcosθ=G A cosθ，方向水平向左，说明C有沿地面向右滑动的趋势，则受到向左的摩擦力，故B错误，C正确．将细绳剪断，若B依然静止在斜面上，则以B、C整体为研究对象得到，f=0，即水平面对C的摩擦力为零．故D错误．7.如图所示，物体A、B用细绳与弹簧连接后跨过滑轮。

线段的长度与角度的测量知识点总结

线段的长度与角度的测量知识点总结在几何学中，线段的长度和角度的测量是非常重要的概念和技巧。

准确测量线段的长度和角度可以帮助我们解决各种几何问题、设计图纸、建筑结构以及进行精确的测量工作。

本文将对线段长度的测量方法和角度的测量方法进行总结与讨论。

一、线段长度的测量方法1. 直尺测量法：直尺是一种常见的测量工具，通过将直尺的一端对齐线段的起点，再用笔或者其他工具标记终点，最后将直尺移开并将笔直地直线连接起点和终点，即可得到线段的长度。

这种方法适用于简单直线段的测量。

2. 卷尺测量法：卷尺是一种常见的测量工具，通过将卷尺的一端对齐线段的起点，再将卷尺拉直到终点处，读取卷尺上的长度刻度即可得到线段的长度。

这种方法适用于直线段和曲线段的测量。

3. 特殊仪器测量法：在一些应用场景中，需要更加精确地测量线段的长度，此时可以使用专门的测量仪器，如激光测距仪、测量仪等。

这些仪器能够快速准确地测量线段的长度，适用于工程测量、建筑设计等领域。

二、角度的测量方法1. 直角器与量角器测量法：直角器和量角器是常见的角度测量工具。

对于直角器，首先将直角器的一条边对齐角的一条边，然后读取直角器上的刻度即可得到角度的大小。

而对于量角器，需要将量角器平放在角的两条边上，读取量角器刻度盘上与角度相对应的数值，即可得到角的大小。

2. 转角器测量法：转角器是一种特殊的角度测量工具。

通过将转角器的两个臂分别与角的两条边对齐，并旋转臂使其与直线重合，再读取转角器上的刻度值即可得到角的大小。

转角器适用于各种角度的测量，特别是非直角的角度。

3. 数学计算法：在一些特殊情况下，我们可以通过一些数学计算方法来得到角的大小。

例如，当两条线段成正切关系时，可以通过反正切函数来计算角的大小。

而当两条线段成余弦或正弦关系时，可以通过反余弦或反正弦函数来计算角的大小。

综上所述，线段的长度与角度的测量方法有多种，选择适当的测量工具和方法可以帮助我们进行准确的测量和计算。

长度与角度综合(上) (2)

【大海传功】一、角的分类⑴我们熟悉的⑵我们不熟悉的余角：两角和等于直角时，其中一个角叫做另一个角的余角．这两个角叫做互为余角．补角：两角和等于平角时，其中一个角是另一个角的补角．这两个角叫做互为补角．对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线所夹的角，叫做原角的对顶角．如图，我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角．⑴(★★)如图，在直角∠AOB内有两条射线OC，OD。

已知∠1比∠2小10°，∠3比∠2大10°，则∠3＝_______ 。

⑵(★★★)(“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试)直线AB、CD相交，若∠1、∠2 和∠3的关系如图所示。

则∠3－∠1＝______ 。

⑶(★★★)(小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试)如图，直角的顶点在直线e上，则图中所有小于平角的角之和是________ 度。

【大海传功】二、多边形的内角和和外角和如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝130°那么∠A＝_______ 度。

试求下列各图中∠A的度数。

(★★★)(★★★)(“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试)⑴(★★★)如图，CDGHI为正五边形，ABCDEF为正六边形，试求∠BCI的度数。

⑵(★★★★)如图，正五边形ABCDE，若△CDF为正三角形，试求∠BFE的度数。

⑴(★★★)如图，已知∠1＝2∠2＝3∠3，试求∠1 和∠3。

⑵(★★★)若一n多边形其二内角分别为100°、80°，剩下的内角均为135°，试求n的值。

⑶(★★★★)已知一正多边形，其内角小于160°，且大于150°，试求出此多边形可能是哪几种正多边形？(★★★★)如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC＝ACB，∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度数。

【小升初专项训练】长度和角度

长度和角度第一关1有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角．(2)一个钝角减去一个锐角，得到的角不可能还是钝角(3)三角形的三个内角中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可能有钝角．(7)25°的角用10倍的放大镜看就变成了250°．其中，正确说法的个数是多少？【答案】4°2已知α是锐角，β是钝角，4位同学在计算0.25(α+β)时，得到的结果依次是15.2°、45.3°、78.6°、112°，其中可能正确的是哪个？【答案】45.3°3如图所示，已知∠ABC=90度，∠1+∠2=∠3，求∠3。

【答案】45°4如图，在直角AOB内有一条射线OC，并且∠AOC比∠n大20．求∠BOC。

【答案】35°5如图所示，∠1+∠5=∠2+∠4=∠3，求∠3。

【答案】30°6如图，直角的顶点在直线l上，则图中所有小于平角的角之和是多少度？【答案】450°7如图，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=30°，则图中所有锐角度数的和是多少？【答案】480°8图中，∠1=∠2=∠3，如果图中所有角的和等于150°，那么∠AOB是多少度？【答案】45°9如图A、O、B三点在一条直线中，已知PO平分∠COB，∠QOP=4∠AOQ，∠QOC=120°，求∠AOQ。

【答案】10如图，∠1=∠2=60度，那么，∠AOD的大小是多少度？【答案】120°11如图，已知直线AB和CD交于点O，若∠AOC=20°，∠EOD=60°，则∠AOE=　100°，求∠BOC。

【答案】160°12如图，已知∠1=140°，∠3=35°求∠2是多少度？【答案】105°13直线AB、CD相交，若∠1、∠2和∠3的关系如图所示．求∠3-∠1。

高度决定速度_角度决定长度

高度与角度2011年外审发现整改评审会有感从青藏高原流下来的水成千上万条，为什么绝大多数流着流着就没有了，为什么只有长江和黄河最终形成两条奔腾不息的大河？答案：只有这两条河发源的高度和角度不同！高度比别人高会导致什么呢？会导致这条河水的起点和终点之间的落差大，水的落差大形成较大的势能，导致水流流淌的速度大！所以，高度决定速度！那么河流发源的角度不同将会导致什么不同？假如给一些人10个小时时间去走路，以同一个起点向不同的角度走，看他们每个人能走多远！你沿着45度的方向，他沿着90度方向，另一个人沿着135度的方向……每个人在不同角度将意味着他遇到困难的性质和大小是完全不同的：你在45度的方向遇到一条高速公路，一马平川；他在90度的方向上遇到的是几座高山；另一个人在135度的方向上遇到的是几条大河……不同角度上行走的人得拿出不同的资源和时间来克服道路上遭遇的不同的困难，也就意味着每个人在不同角度上在10个小时内能行走多远。

所以，角度决定长度！同样，很多企业都希望做百年企业，为此这些企业家展开艰辛的努力，但是为什么怎么绝大多数企业做着做着就没有了；很多人都想成才，为此勤奋努力，但为什么绝大多数人慢慢就变得平庸了？因为，他们缺乏高度和角度！有这样一则故事：有两匹马几乎同时出生，老大被一位农夫牵回家拉磨磨面粉；老二被一位和尚牵过去到西天取经。

十年后这两匹马又见面了。

老大就非常不服气，对老二说：“我在这十年内也是每天都在不停地走，没有比你少走一步，为什么到今天我还得不停地走，否则主人就不给我饭吃？你也没有比我多走一步啊，为什么你从印度回来就被授予‘劳动模范’的关荣称号，还在河南的洛阳给你奖励了一座大宅子，叫白马寺。

那么多人每天给你叩头供奉，你后半身整个就衣食无忧，凭什么啊？而且，在我看来，你还利用公款旅游了一把！这两匹马的命运怎么差这么大呢？老二是这样回答老大的：“你在这十年内确实没比我少走一步，你确实很辛苦，我也确实利用公款旅游了一把。

角度决定高度作文

角度决定高度作文《角度决定高度》嘿！同学们，你们有没有想过，看同样的一个东西，咱们从不同的角度去瞧，会有完全不一样的发现呢？这就好比我们爬楼梯，站在一楼看到的风景，和站在顶楼看到的风景那可太不一样啦！这就是我想说的——角度决定高度！就说我上次参加的那场拔河比赛吧。

一开始，我们队的小伙伴们都觉得没啥希望能赢，为啥？因为对方看起来一个个都壮得像小牛犊子！这可把我们愁坏啦，这还怎么比呀？可我转念一想，不对呀！他们块头大，说不定动作就没咱们灵活呢！我赶紧把这个想法告诉了队友们。

“嘿，大家别灰心，他们虽然力气大，可咱们灵活呀，咱们就跟小猴子一样，以巧取胜！”我大声喊道。

比赛开始了，我们没有像蛮牛一样只顾着使蛮力，而是巧妙地调整着节奏和用力的方向。

对方虽然力气大，可就像没头的苍蝇，乱使劲儿。

咱们这边呢，劲儿都往一处使，嘿！还真就把他们给拉过来啦！赢了比赛后，大家都高兴得又蹦又跳。

这时候我就在想，要是一开始我们就只看到对方的强大，觉得自己肯定输，那哪还有这胜利的喜悦呀？这不就说明了，看事情的角度能决定最后的结果吗？再比如说，我有个同学叫小李。

他学习成绩不太好，每次考试分数一出来，他就耷拉着脑袋，觉得自己没希望了。

有一次我跟他说：“小李，你别光盯着分数看呀，你想想，每次考试不都能让你发现自己哪些地方没学好吗？这多好的机会去进步呀！”他听了我的话，眼睛一下子亮了起来。

从那以后，他不再只因为分数低而沮丧，而是认真分析错题，找自己的薄弱环节。

慢慢地，他的成绩还真就提高了不少呢！这就好像爬山，要是你一直盯着脚下的石头和荆棘，就会觉得这山太难爬了，肯定爬不上去。

可要是你抬头看看山顶的美景，心里想着那美丽的风光在等着你，是不是就有劲儿往上爬啦？咱们在生活中不也是这样吗？遇到困难的时候，如果只看到困难有多大，那肯定被吓得不敢前进。

但要是换个角度，想想克服了困难能得到啥，说不定就有勇气去面对啦！所以说呀，角度真的能决定高度！咱们得学会从不同的角度去看事情，这样才能看到更多的可能，才能站得更高，看得更远！你们说，是不是这个理儿？。

星火教育：二年级数学长度与角度知识点解析

星火教育：二年级数学长度与角度知识点解析进入小学二年级，我们开始正式接触数学的一些基本概念，第一章节，我们先讲解一下长度与角度的知识点。

长度一般以米和厘米为单位，较短的物体一般用厘米表示，测量工具是直尺。

我们只要将线段的一端对准直尺的0刻度，然后读出另一段的数目，就可以测量出长度的大小。

而角度，我们一般以三角尺来测量，角度的大小与两边的长短没有关系，只与两边开度的大小有关。

下面，星火教育就来总结一下长度与角度的知识点，并做出相关的点评。

长度的相关知识点1、测量物体的长度时，要用统一的标准去测量;常用的长度单位有：米和厘米。

2、测量较短物体通常用厘米作单位，用字母(cm)表示;测量较长物体通常用米作单位，用字母(m)表示。

3、测量时：一般是把尺子的“0”刻度对准物体的左端，再看物体的右端对着几，对着几就是几厘米。

例：画一条4厘米长的线段，一般应从尺的()刻度画起，画到()厘米的地方;还可以从尺的()刻度画起，画到()厘米的地方。

4、1米=100厘米100厘米=1米。

5、拉紧的一段线，可以看成一条线段线段的特点：①线段是直的可以量出长度。

②线段有两个端点。

角度的相关知识点1、角的画法：先画顶点后画边从一个点起，用尺子向不同的方向画两条边，就画成一个角。

2、用三角尺可以画出直角。

要知道一个角是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比。

(点对点，边对边，边重合，是直角)3、三角尺上有3个角，其中最大的那1个是直角，其余2个都是锐角。

正方形、长方形都有4个角，4个角都是直角。

4、角的大小与两条边的长短无关，只和两条边张开的大小有关。

【用放大镜看一个角，这个角的大小不改变。

】直角比直角大的角叫做钝角比直角小的角叫锐角5、用三角尺画直角的方法：三角尺的直角边，沿着一画是直角(一点、二线、三标记。

)6、所有的直角大小都一样。

拿一张纸，先上下对折，再左右对折可以得到直角。

长度与角度的相关知识点已经汇总到位，当然这仅仅是一些基本的汇总，相关的具体内容还需要家长与孩子一起辅导，让孩子逐渐熟悉长度与角度相关的内容，为下学期的学习做好准备。

拓展讲座——第08讲长度与角度

拓展讲座——第08讲长度与角度一、教学内容：本讲讲解各种计算线段、折线的长度，直线形周长的几何问题。

求解时线段的平移通常发挥着重要的简化作用。

多边形内角与外角、对顶角等基本概念和性质，涉及角度的计算与构造问题。

平移就是保持线段的方向和长度不变的平行移动。

n边形的内角和是（n－2）×180°。

（你会证明吗？提示：把多边形分割成三角形）。

二、例题请见下页[例1] 把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，摆完第十五层。

这个图形的周长是多少厘米？[分析]先理解题意，是如图的摆法，第一层有一个长方形，第二层有两个，……，第十五层有十五个长方形。

请大家把属于周长计算范围的边用红色标出来（注意一定不是被覆盖住的地方）。

很容易就发现，如果我用一个大长方形把这个图形正好圈起来，那么求这个多边形的周长就转化为求一个长为2 ×15 = 30厘米，宽为15厘米的长方形的周长。

（把每条线段平移到大长方形上即知）。

解：（2×15＋1×15）× 2 ＝45 × 2 ＝90（厘米）：这个图形的周长是90厘米。

[评注]看清题意，理解“周长”，转化成简单情形，抓住线段的平移。

[例2] 求下图的周长。

单位是厘米。

BC＝3，ED＝8，NJ＝9，KJ＝20。

[分析] 看上去好像条件不够，但是如果我们分水平方向和垂直方向来考虑，就会发现：AB＋CD ＋EF＋GH＋MN ＝KJ＝20；ED＝FG，MH＋AK＝BC＋NJ（为什么？大家自己想清楚）。

下面就好做了。

解：我们分水平方向和垂直方向来考虑。

1）AB ＋ CD ＋EF ＋GH＋ MN ＝KJ＝ 20；2）因此水平方向共有20 ＋ 20 ＝40厘米。

3）ED＝ FG，MH ＋AK＝ BC ＋ NJ4）因此垂直方向共有：ED ＋ FG＋ MH ＋ AK ＋ BC ＋NJ＝2 ×（BC＋DE ＋NJ）＝ 2×（3＋8＋9）＝ 40厘米。

专题4.2 线段、角度综合运用(强化)(解析版)

专题4.2 线段、角度综合运用【例题精讲】【例1】线段与角的计算．（1）如图1，已知点C 为AB 上一点，15AC cm =，23CB AC =，若D 、E 分别为AC 、AB 的中点，求DE 的长．（2）已知：如图2，AOB Ð被分成::2:3:4AOC COD DOB ÐÐÐ=，OM 平分AOC Ð，ON 平分DOB Ð，且90MON Ð=°，求AOB Ð的度数．【解答】解：（1）15AC cm =Q ，23CB AC =，21510()3CB cm \=´=，151025()AB cm \=+=．D Q ，E 分别为AC ，AB 的中点，112.52AE BE AB cm \===，17.52DC AD AC cm ===，12.57.55()DE AE AD cm \=-=-=；（2）设2AOC x Ð=，3COD x Ð=，4DOB x Ð=，则9AOB x Ð=，OM Q 平分AOC Ð，ON 平分DOB Ð，MOC x \Ð=，2NOD x Ð=，326MON x x x x \Ð=++=，又90MON Ð=°Q ，690x \=°，15x \=°，135AOB \Ð=°．【题组训练】1．已知90AOB COD Ð=Ð=°，OE 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð．（1）如图1，若OB ，OC 重合，则EOF Ð=　90°　；（2）如图2，20BOC Ð=°，求EOF Ð的度数；（3）如图3，求EOF Ð的度数．【解答】解：（1）OB Q ，OC 重合，180AOB COD \Ð+Ð=°．OE Q 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，12EOB AOB \Ð=Ð，12BOF COD Ð=Ð．EOF EOB BOF\Ð=Ð+Ð1122AOB COD =Ð+Ð1()2AOB COD =Ð+Ð11802=´°90=°．故答案为：90°．（2）90AOB COD Ð=Ð=°Q ，20BOC Ð=°，?70AOC AOB BOC \Ð=ÐÐ=°，?70BOD COD BOC Ð=ÐÐ=°．OE Q 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，1352EOC AOC \Ð=Ð=°，1352BOF BOD Ð=Ð=°．35203590EOF EOC BOC BOF \Ð=Ð+Ð+Ð=°+°+°=°．（3）设BOC x Ð=°．90AOB COD Ð=Ð=°Q ，BOC x Ð=°，(90)AOC AOB BOC x \Ð=Ð+Ð=+°，(90)BOD COD BOC x Ð=Ð+Ð=+°．OE Q 平分AOC Ð，OF 平分BOD Ð，11(90)22EOC AOC x \Ð=Ð=+°，11(90)22BOF BOD x Ð=Ð=+°．11?(90)(90)?9022EOF EOC BOF BOC x x x \Ð=Ð+ÐÐ=+°++°°=°．2．点O 在直线AD 上，在直线AD 的同侧，作射线OB ，OC ，OM 平分AOC Ð．（1）如图1，若40AOB Ð=°，60COD Ð=°，直接写出BOC Ð的度数为　80°　，BOM Ð的度数为；（2）如图2，若12BOM COD Ð=Ð，求BOC Ð的度数；（3）若AOC Ð和AOB Ð互为余角且30AOC Ð¹°，45°，60°，ON 平分BOD Ð，试画出图形探究；BOM Ð与CON Ð之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）40AOB Ð=°Q ，60COD Ð=°，180406080BOC \Ð=°-°-°=°；180********AOC COD \Ð=°-Ð=°-°=°，OM Q 平分AOC Ð，1602AOM AOC \Ð=Ð=°，604020BOM AOM AOB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；故答案为：80°，20°；（2）12BOM COD Ð=ÐQ ，\设BOM a Ð=，则2COD a Ð=，1802AOC a \Ð=°-，OM Q 平分AOC Ð，1902COM AOC a \Ð=Ð=°-，9090BOC BOM COM a a \Ð=Ð+Ð=+°-=°；（3）45BOM CON Ð+Ð=°或45CON BOM Ð-Ð=°，理由：如图3，AOC ÐQ 和AOB Ð互为余角，\设AOB a Ð=，则90AOC a Ð=°-，180180BOD AOB a \Ð=°-Ð=°-，OM Q 平分AOC Ð，\114522AOM AOC a Ð=Ð=°-，3452BOM AOM AOB a \Ð=Ð-Ð=°-，180180BOD AOB a Ð=°-Ð=°-Q ，ON 平分BOD Ð，\119022DON BOD a Ð=Ð=°-，13180180(90)(90)22CON AOC DON a a a \Ð=°-Ð-Ð=°-°--°-=，45BOM CON \Ð+Ð=°；如图4，AOC ÐQ 和AOB Ð互为余角，\设AOB a Ð=，则90AOC a Ð=°-，180180BOD AOB a \Ð=°-Ð=°-，OM Q 平分AOC Ð，\114522AOM AOC a Ð=Ð=°-，3452BOM AOB AOM a \Ð=Ð-Ð=-°，180180BOD AOB a Ð=°-Ð=°-Q ，ON 平分BOD Ð，\119022DON BOD a Ð=Ð=°-，13180180(90)(90)22CON AOC DON a a a \Ð=°-Ð-Ð=°-°--°-=，45CON BOM \Ð-Ð=°；综上所述，BOM Ð与CON Ð之间的数量关系为45BOM CON Ð+Ð=°或45CON BOM Ð-Ð=°．3．如图，点E 是线段AB 的中点，C 是EB 上一点，12AC =．（1）若F 为CB 的中点，且4BC =，求EF 的长；（2）若:1:4EC CB =，求AB 的长．【解答】解：（1）Q 点E 是线段AB 的中点，AE BE \=，设CE x =，12AE BE x \==-，12BC BE CE x x \=-=--，F Q 为CB 的中点，162CF BC x \==-，66EF CE CF x x \=+=+-=；（2）:1:4EC CB =Q ，\设CE x =，则4CB x =，Q 点E 是线段AB 的中点，AE BE \=，5AE x \=，612AC x \==，2x \=，1020AB x \==．4．如图，线段20AB cm =，C 是线段AB 上一点，25AC AB =，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点．（1）AC =　8　cm ，BM = cm ；（2）求线段CM 的长；（3）求线段MN 的长．【解答】解：（1）Q 线段20AB cm =，25AC AB =，22085AC cm \=´=，M Q 是AB 的中点，1102AM BM AB cm \===．故答案为：8，10；（2）由（1）得，10AM cm =，1082CM AM AC cm \=-=-=．答：CM 的长度是2cm ；（3）N Q 是AC 的中点，142AN AC cm \==，1046MN AM AN cm \=-=-=．答：线段MN 的长度是6cm ．5．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134BD AB CD ==，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是15cm ，求AB ，CD 的长．【解答】解：设BD x =cm ，则3AB x =cm ，4CD x =cm ，6AC x =cm ．Q 点E 、点F 分别为AB 、CD 的中点，1 1.52AE AB x \==cm ，122CF CD x ==cm ．6 1.52 2.5EF AC AE CF x x x x \=--=--=cm ．15EF cm =Q ，2.515x \=，解得：6x =．18AB cm \=，24CD cm =．6．如图，已知B 、C 在线段AD 上．（1）图中共有 6　条线段；（2）若AB CD =．①比较线段的长短：AC BD （填：“>”、“ =”或“<” )；②若20AD =，12BC =，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，求MN 的长度．【解答】解：（1）以A 为端点的线段有AB 、AC 、AD 共3条；以B 为端点的线段有BC 、BD 共2条；以C 为端点的线段为CD ，有1条，故共有线段的条数为：3216++=，故答案为：6；（2）①AC AB BC =+Q ，BD BC CD =+，且AB CD=AC BD\=故答案为：=；（2）①若AB CD =，则AB BC CD BC +=+，即AC BD =．故答案为：=；②20AD =Q ，12BC =，8AB CD AD BC \+=-=，M Q 是AB 的中点，N 是CD 的中点，12BM AB \=，12CN CD =，\11()8422BM CN AB CD +=+=´=，41216MN BM CN BC \=++=+=．7．已知：如图，O 是直线AB 上的一点，90COD Ð=°，OE 平分BOC Ð．（1）若30AOC Ð=°，求COE Ð的度数；（2）若AOC a Ð=，求DOE Ð的度数（用含a 的代数式表示）．【解答】解：（1）OE Q 平分BOC Ð，30AOC Ð=°，180********COB AOC \Ð=°-Ð=°-°=°，1150752COE \Ð=°´=°．（2）)OE Q 平分BOC Ð，若AOC a Ð=，180180COB AOC a \Ð=°-Ð=°-，11(180)9022COE a a \Ð=°-´=°-，90COD Ð=°Q ，1190(90)22DOE COD COE a a \Ð=Ð-Ð=°-°-=．8．如图所示，OE ，OD 分别平分AOC Ð和BOC Ð．如果88AOB Ð=°，36BOC Ð=°，求DOE Ð的度数．【解答】解：如图所示：AOC AOB BOC Ð=Ð+ÐQ ，88AOB Ð=°，36BOC Ð=°，8836124AOC \Ð=°+°=°，又OE Q 平分AOC Ð，1622COE AOC \Ð=Ð=°，又COE BOE BOC Ð=Ð+ÐQ ，623626BOE \Ð=°-°=°，又OD \平分BOC Ð，1182BOD BOC \Ð=Ð=°，又DOE BOE BOD Ð=Ð+ÐQ ，261844DOE \Ð=°+°=°．9．如图，已知2BOC AOC Ð=Ð，OD 平分AOB Ð，且38AOC Ð=°，求COD Ð的度数．【解答】解：如图所示：2BOC AOC Ð=ÐQ ，38AOC Ð=°，23876BOC \Ð=´°=°AOB BOC AOC\Ð=Ð+Ð7638114AOB \Ð=°+°=°OD Q 平分AOB Ð111145722AOD AOB \Ð=Ð=´°=°，又COD AOD AOC Ð=Ð-ÐQ ，573819COD \Ð=°-°=°．10．如图，点O 是直线AB 上一点，OM ，ON 在直线AB 的异侧，且90MON Ð=°，OE 平分MOB Ð，OF 平分AON Ð．（1）若150BOM Ð=°，求BOE Ð和NOF Ð的度数；（2）设AOF q Ð=，用含q 的式子表示MOE Ð．【解答】解：（1）OE Q 平分BOM Ð，150BOM Ð=°，111507522BOE BOM \Ð=Ð=´°=°，150BOM Ð=°Q ，18015030AOM \Ð=°-°=°，90MON Ð=°Q ，903060AON \Ð=°-°=°，OF Q 平分AON Ð，11603022NOF AON \Ð=Ð=´°=°．（2）AOF q Ð=Q ，OF 平分AON Ð，2AON q \Ð=，90MON Ð=°Q ，902MOA q \Ð=°-，180(90)90BOM q q \Ð=°-°-=°+，OE Q 平分MOB Ð，114522MOE BOM q \Ð=Ð=°+．11．已知，如图，:3:2AOB BOC ÐÐ=，OD 是BOC Ð的平分线，OE 是AOC Ð的平分线，且16BOE Ð=°．（1）求DOE Ð的度数；（2）求AOC Ð的度数．【解答】解：（1）设3AOB x Ð=，2BOC x Ð=．则5AOC AOB BOC x Ð=Ð+Ð=．OE Q 是AOC Ð的平分线，1522AOE AOC x \Ð=Ð=，513?22BOE AOB AOE x x x \Ð=Ð-Ð==，16BOE Ð=°Q ，\1162x =°，解得，32x =°，OD Q 是BOC Ð的平分线，32BOD BOC x \Ð=Ð==°，321648DOE DOB BOE \Ð=Ð+Ð=°+°=°．（2）5160AOC AOB BOC x Ð=Ð+Ð==°12．如图，点A 、O 、B 在同一条直线上．（1）AOC Ð比BOC Ð大100°，求AOC Ð与BOC Ð的度数；（2）在（1）的条件下，若BOC Ð与BOD Ð互余，求BOD Ð的度数；（3）在（1）（2）的条件下，若OE 平分AOC Ð，求DOE Ð的度数．【解答】解：（1）AOC ÐQ 比BOC Ð大100°，100AOC BOC \Ð=Ð+°，又点A 、O 、B 在同一条直线上．180AOC BOC \Ð+Ð=°，100180BOC BOC \Ð+°+Ð=°，40BOC \Ð=°，140AOC Ð=°；（2）BOCÐQ与BODÐ互余，90BOD BOC\Ð+Ð=°，90904050 BOD BOC\Ð=°-Ð=°-°=°；（3）OEQ平分AOCÐ，\得1702COE AOCÐ=Ð=°，90BOD BOCÐ+Ð=°Q，DOE COE COD COE BOD BOC\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð7090=°+°160=°．13．如图，点A，O，B在一条直线上，3AOC CODÐ=Ð，OE平分BODÐ．（1）若10CODÐ=°，求AOCÐ的余角的度数；（2）若45AOCÐ=°，求COEÐ的度数．【解答】解：（1）3AOC CODÐ=ÐQ，10CODÐ=°，30AOC\Ð=°，AOC\Ð的余角903060=°-°=°，AOC\Ð的余角的度数是60°；（2）3AOC CODÐ=ÐQ，45AOCÐ=°，\1153COD AOCÐ=Ð=°，Q点A，O，B在一条直线上，180AOB\Ð=°，1801804515120 BOD AOC COD\Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，OEQ平分BODÐ，\1602DOE BODÐ=Ð=°，156075 COE COD DOE\Ð=Ð+Ð=°+°=°，COE\Ð的度数为75°．14．如图，已知线段30AD cm =，点C 、B 都是线段AD 上的点，点E 是AB 的中点．（1）若6BD cm =，求线段AE 的长；（2）在（1）的条件下，若13AC AD =，且点F 是线段CD 的中点，求线段EF 的长．【解答】解：（1）30AD cm =Q ，6BD cm =，30624()AB AD BD cm \=-=-=，Q 点E 是AB 的中点，112()2AE AB cm \==；（2）13AC AD =Q ，10AC cm \=，20CD cm =，Q 点F 是线段CD 的中点，1102DF CD cm \==，30AD cm =Q ，12AE cm =，3012108()EF cm \=--=．15．如图，已知点D 是线段AB 上一点，点C 是线段AB 的中点，若8AB cm =，3BD cm =．（1）求线段CD 的长；（2）若点E 是直线AB 上一点，且13BE BD =，求线段AE 的长．【解答】解：（1）Q 点C 是线段AB 的中点，8AB cm =，142BC AB cm \==，431()CD BC BD cm \=-=-=；（2）①当点E 在点B 的右侧时，如图：3BD cm =Q ，13BE BD =，1BE cm \=，819()AE AB BE cm \=+=+=；②当点E 在点B 的左侧时，如图：3BD cm =Q ，13BE BD =，1BE cm \=，817()AE AB BE cm \=-=-=；综上，AE 的长为9cm 或7cm ．16．如图，已知线段36AB =，在线段AB 上有四个点C ，D ，M ，N ，N 在D 的右侧，且::1:2:3AC CD DB =，2AC AM =，6DB DN =，求线段MN 的长．【解答】解：::1:2:3AC CD DB =Q ，36AB =，6AC \=，12CD =，18DB =，2AC AM =Q ，3AM \=，633CM AC AM \=-=-=，6DB DN =Q ，3DN \=，312318MN MC CD DN \=++=++=．17．如图，已知线段AF 长13cm ，点B 、C 、D 、E 顺次在AF 上，且AB BC CD ==，E 是DF 的中点，5CE cm =，求BE 的长．【解答】解：设AB BC CD x ===cm ，则2BD x =cm ，133DF x \=-，E Q 是DF 的中点，1(133)2DE x \=-，5CE =Q ，1(133)52x x \+-=，3x \=，3BC \=，8()BE BC CE cm \=+=．18．如图，线段12AB =，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点．（1）求线段AD 的长；（2）若在线段AB 上有一点E ，13CE BC =，求AE 的长．【解答】解：（1）12AB =Q ，C 是AB 的中点，6AC BC \==，D Q 是BC 的中点，132CD BC \==，9AD AC CD \=+=；（2）6BC =Q ，13CE BC =，1623CE \=´=，当E 在C 的左边时，624AE AC CE =-=-=；当E 在C 的右边时，628AE AC CE =+=+=．AE \的长为4或8．19．如图，已知在线段AB 上两点C 、D ，点D 是AB 的中点，:5:7AC CB =，4CD =．求线段AB 的长．【解答】解：:5:7AC CB =Q ，设5AC x =，7BC x =，5712AB AC CB x x x \=+=+=，D Q 为线段AB 的中点，162AD AB x \==，65CD AD AC x x x \=-=-=，4CD =Q ，4x \=，1212448AB x \==´=．20．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 、点E 分别是线段AC 、CB 上的点，且23AD AC =，35DE AB =，若15AB =，求线段CE 的长．【解答】解：23AD AC =Q ，13DC AC \=，而C 是线段AB 的中点，12AC AB \=，111326DC AB AB \=´=，又CE DE DC =-Q ，31131315 6.5()563030CE AB AB AB cm \=-==´=，故线段CE 的长为6.5cm ．21．如图，已知24AB cm =，38BC AB =，点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，求线段DE 的长．【解答】解：24AB cm =Q ，38BC AB =，3324988BC AB cm \==´=，E Q 为AC 中点，111()(249)16.5222AE AC AB BC cm \==+=´+=，D Q 为AB 中点，11241222AD AB cm \==´=，16.512 4.5DE AE AD cm \=-=-=．22．如图所示，6BC cm =，7BD cm =，D 是AC 的中点，求AB 的长．【解答】解：6BC cm =Q ，7BD cm =，1()CD BD BC cm \=-=，Q 点D 是AC 的中点，1AD CD cm \==，178()AB AD BD cm \=+=+=．即AB 的长是8cm ．23．如图，已知线段23AB =，15BC =，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长；（2）在CB 上取一点N ，使得:1:2CN NB =，求线段MN 的长．【解答】解：（1）线段23AB =，15BC =，23158AC AB BC \=-=-=．又Q 点M 是AC 的中点．118422AM AC \==´=，即线段AM 的长度是4．（2）15BC =Q ，:1:2CN NB =，1115533CN BC \==´=．又Q 点M 是AC 的中点，8AC =，142MC AC \==，459MN MC NC \=+=+=，即MN 的长度是9．24．（1）如图①，线段20AB cm =，点C 为线段AB 的中点，求线段AC 的长；（2）如图②，在（1）的条件下，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的长．【解答】解：（1）Q 线段20AB cm =，点C 为线段AB 的中点，112010()22AC AB cm \==´=．（2）M Q 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，12MC AC \=，12CN BC =，Q 线段20AB cm =，11()10()22MN MC CN AC BC AB cm \=+=+==．25．如图，已知120AOB Ð=°，OC 是AOB Ð内的一条射线，且:1:2AOC BOC ÐÐ=．（1）求AOC Ð的度数；（2）过点O 作射线OD ，若12AOD AOB Ð=Ð，求COD Ð的度数．【解答】解：（1）:1:2AOC BOC ÐÐ=Q ，120AOB Ð=°，111204033AOC AOB \Ð=Ð=´°=°；（2）12AOD AOB Ð=ÐQ ，60AOD \Ð=°，当OD 在AOB Ð内时，20COD AOD AOC Ð=Ð-Ð=°，当OD 在AOB Ð外时，100COD AOC AOD Ð=Ð+Ð=°．故COD Ð的度数为20°或100°．26．如图所示，OC 是AOD Ð的平分线，OE 是BOD Ð的平分线，65EOC Ð=°，25DOC Ð=°，求AOB Ð的度数．【解答】解：如图所示：EOC DOE DOCÐ=Ð+ÐQ，65EOCÐ=°，25DOCÐ=°，652540DOE\Ð=°-°=°，OCQ是AODÐ的平分线，224080BOD EODÐ=Ð=´°=°，同理可得：50AODÐ=°又AOB AOD BODÐ=Ð+ÐQ130AOB\Ð=°．27．如图，O为直线AB上一点，90DOEÐ=°，OF平分BODÐ．（1）若20AOEÐ=°，则BOFÐ=　55°　；（2）若BOFÐ是AOEÐ的5倍，求AOEÐ度数．【解答】解：（1）90DOEÐ=°Q，20AOEÐ=°，902070AOD DOE AOE\Ð=Ð-Ð=°-°=°．180********BOD AOD\Ð=°-Ð=°-°=°．OFQ平分BODÐ．\111105522BOF BODÐ=Ð=´°=°．故答案为：55°．（2）设AOE xÐ=，则5BOF xÐ=．90AOD x\Ð=°-．180(90)90BOD x x Ð=°-°-=°+．OF Q 平分BOD Ð，\11(90)4522BOF x x Ð=°+=°+．\14552x x °+=，即9452x =°\245109x =°´=°，10AOE \Ð=°．28．如图，将AOB Ð绕点O 逆时针旋转q 角，得到A OB Ð¢¢．（1）若90AOB Ð=°，且32A OB Ð¢=°，求AOB Ð¢的度数．（2）若160AOB Ð¢=°，且:2:3A OB BOB Ð¢Ð¢=，求q 角的度数．【解答】解：（1）Q 将AOB Ð绕点O 逆时针旋转q 角，得到A OB Ð¢¢，AOB A OB \Ð=Ð¢¢．AOB A OB A OB A OB \Ð-Ð¢=Ð¢¢-Ð¢．即AOA BOB Ð¢=Ð¢．90AOB Ð=°Q ，32A OB Ð¢=°，903258AOA \Ð¢=°-°=°．58BOB \Ð¢=°．9058148AOB AOB BOB \Ð¢=Ð+Ð¢=°+°=°．（2）由（1）知：AOA BOB Ð¢=Ð¢．:2:3A OB BOB Ð¢Ð¢=Q ，\设2A OB x Ð¢=°，则3AOA BOB x Ð¢=Ð¢=°．160AOB Ð¢=°Q ，160AOA A OB BOB \Ð¢+Ð¢+Ð¢=°．323160x x x \++=．20x \=．Q 将AOB Ð绕点O 逆时针旋转q 角，得到A OB Ð¢¢，360AOA x q \=Ð¢==°．29．如图，已知150AOB Ð=°，OC 为AOB Ð内部的一条射线，60BOC Ð=°．若OE 平分AOB Ð，OD 为BOC Ð内部的一条射线，12COD BOD Ð=Ð，求DOE Ð的度数．【解答】解：150AOB Ð=°Q ，OE 平分AOB Ð，1752EOB AOB \Ð=Ð=°，60BOC Ð=°Q ，12COD BOD Ð=Ð，40BOD \Ð=°，20COD Ð=°，754035EOD EOB DOB \Ð=Ð-Ð=°-°=°．30．如图，已知直线AE ，O 是直线AE 上一点．OB 是AOC Ð的平分线，OD 是COE Ð的平分线．30AOB Ð=°．（1）求COE Ð的度数；（2）求BOD Ð的度数．【解答】解：（1）OB Q 是AOC Ð的平分线，12AOB BOC AOC \Ð=Ð=Ð，又30AOB Ð=°Q ，260AOC AOB \Ð=Ð=°，180COE AOC Ð+Ð=°Q ，180********COE AOC \Ð=°-Ð=°-°=°；（2）OD Q 是COE Ð的平分线．120COE Ð=°，1602COD COE \Ð=Ð=°，30AOB BOC Ð=Ð=°Q ，BOD BOC COD \Ð=Ð+Ð3060=°+°90=°．。

人教版小学二年级上学期数学提高测验

人教版小学二年级上学期数学提高测验最新的人教版小学二年级上学期数学提高测验一、长度和距离的认识1.长度是指物体的尺寸，通常用厘米（cm）或米（m）作单位。

如：铅笔长15cm，桌子长1m。

2.距离是指物体之间的距离，通常用米（m）作单位。

如：小猫距离桌子5m。

3.长度和距离的测量方法：将物体的一端对准测量器的“0”刻度，然后将其移到所需测量的物体另一端，此时测量器的读数即为该物体的长度或距离。

二、角的识别和大小比较1.角是由两条线段或射线共享一个端点而形成的图形。

角可以根据其度数来分类：锐角（小于90度）、直角（等于90度）、钝角（大于90度）和周角（等于360度）。

2.角的大小可以用量角器来测量，通常用度数来表示。

量角器上有内外两个刻度，内刻度用于测量小于180度的角，外刻度用于测量大于180度的角。

3.如何比较两个角的大小：将两个角的一边对齐，然后观察另一边的位置。

如果另一边重合，则两个角相等；如果另一边位于内侧（靠近起点的一侧），则第一个角小于第二个角；如果另一边位于外侧（远离起点的一侧），则第一个角大于第二个角。

三、表内乘法的应用1.表内乘法是指将一个数的各位上的数字分别乘以另一个数的各位上的数字，然后将得到的所有乘积相加。

例如：32 x 14 = 3 x 1 + 2 x 4 + 3 x 4 + 2 x1 = 50。

2.表内乘法可以用于解决实际问题，如计算物品的总价、计算面积等。

四、表内除法的应用1.表内除法是指将一个数除以另一个数，并得到商和余数。

例如：32 ÷4 =8 余 0。

2.表内除法可以用于解决实际问题，如分物品、计算单价等。

五、简单的加减乘除实际问题1.问题：小明有5个苹果，小红有3个苹果，小明给小红多少个苹果后，两人的苹果数相同？2.解法：设小明给小红x个苹果，则小明现在有5-x个苹果，小红有3+x个苹果。

根据题意可得方程：5-x = 3+x，解得x=1。

因此，小明给小红1个苹果后，两人的苹果数相同。

七年级角提高题

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第十五讲角一、选择题1．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起,在图中所标记的角中,与∠1互余的角有几个（）A．2个B．3个C．4个D．6个2.如图，A、O、B在一条直线上，∠AOC=∠BOC,若∠1=∠2,则图中互余的角共有( ）A. 5对B. 4对 C。

3对 D。

2对3．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°再沿南偏东60°方向走到C点．这时∠ABC的度数是（)A．120°B．135°C．150°D．160°5．如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于()A．40°B．75°C．85°D．140°A．30B．60°C．90°D．120°A．15°B．75°C．145°D．165°8．用两块角度分别为30°，60°,90°和45°，45°,90°三角板画角,不可能画出的角是（）A．125°B．105°C．75°D．15°二．填空题1．如图,将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF，则∠EBF=________°．2．若∠α的补角为76°28′，则∠α=_________．3．如图，将一幅三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O,绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是_________．4．在锐角∠AOB内部,画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线,可得6个锐角;画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律,画10条不同射线,可得锐角_________个．5. 如图，O 是直线AB 上一点,∠AOE=∠FOD=900，OB 平分∠COD,图中与∠DOE 互余的角是_______，与∠DOE 互补的角是________6、如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOD=1200,CO⊥AB 于O ，OE 平分∠BOD ，则图中互补的角共有_____对7.如图，A 、O 、B 在一条直线上，∠AOC=∠BOC,若∠1=∠2，则图中互补的角共有_________．8. 一个角的补角是这个角的3倍，这个角的度数为_______ 9. 把一个平角16等分,则每份为_______（用度分秒表示）10。

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(★)
⑴如图，从A点到B点的最短路线是什么？
(★★)
⑵古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军
不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从甲地出
发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法。

问走什么样的路线
最短呢？
例1
长度与角度综合(下)
1
(★★★)
⑶如图，A、B两个电话机到电话线l的距离分别为3米和5米，CD＝6米。

若由l
上一点分别向A、B连电话线，最短为_____米。

例2
(★★★)
如图，∠POQ＝30°。

A为OQ上一点，B为OP上一点，且OA＝5，OB＝12。

在
OB上取点A1，在AQ上取点A2，求AA1＋A1A2＋A2B的最小值。

例3
(★★★)
如图，六边形ABCDEF的三组对边AB与DE、BC与EF、CD与AF均平行且相等，
已知AC＝24厘米，CE＝18厘米，求六边形ABCDEF的面积？
2。