菱形的性质及判定

菱形的性质及判定

菱形的性质

及判定

知

识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求

菱

形 会识别菱形

掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题

会用菱形的知识解决有关问

题

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

知识点睛 中考要求

常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质

【例1】

☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它

和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是

【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm

若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则

1∠= 度．

图2

1

C

B

A

⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD

的边长是______．

例题精讲

【例3】

如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，

证明：AB 与EF 互相平分．

P H

F

E D

C

B

A

【例4】

☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．

图1

H

O D

C B

A

【巩固】

☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为

【例5】

☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为

【巩固】

如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长

为（ ）

A ．5

B ．10

C ．6

D ．8

图2

D

C

B A

【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC

的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒

图3

E D

P C

F

B

A

【例6】

☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）

A ．15︒或30︒

B ．30︒或45︒

C ．45︒或60︒ D

．30︒或60︒

【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，

AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．

【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两

次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）

A ．2

10cm B ．2

20cm C ．2

40cm D ．2

80cm

图1

D

C

B

A

【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形

的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是

【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱

形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的

长和花坛的面积．

图2

【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若

AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

板块二、菱形的判定

【例10】

如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．

D

C

A

B

【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于

点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形

F

E

D

C

B

A

【巩固】

已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.

O

D

E

F

C

A

B

【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿

过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．

C'

D

C

B A E

【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交

CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分

A

B C

D

E

F P P

F E

D

C B A