高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
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解： 为双曲柱面，所以选A。（内容要求10）
24、指出旋转曲面 的一条母线和旋转轴( ).
(A) ， 轴 (B) ， 轴
(C) ， 轴 (D) ， 轴
解： 为 绕 轴旋转的旋转抛物面，所以选A。（内容要求10）
25、平面 在 轴上的截距分别是().
(A) (B)
(C) (D)
解：化截距式方程为 在 轴上的截距为 ，所以选B。（内容要求11）
35、已知直线 和平面 平行，则 ()；
A. B. C. D.
解：因为直线 和平面 平行，所以直线 的方向向量 与平面 的法向量 垂直，即
解：由作图计算可知， ，所以选C。（内容要求2）
3、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ），则 ;
解： ，所以填2。（内容要求2）
4、向量 ， ，则 ( )；
A. B. C. D.
解： ，所以选C。（内容要求3）
5、向量 则
解： ，所以 ，所以填 。（内容要求3）
6、设a=2i+2j+2k，b=3j-4k，则a·b=。
26、过三点 ， ， 的平面方程为().
(A) (B)
(C) (D)
解：过三点 ， ， 的平面法向量
所以所求平面方程为 ，所以选A。（内容要求12）
27、求过点 且与直线 垂直的平面方程.
解：过点 且与直线 垂直的平面的法向量就是直线
的方向向量 ，所以所求平面方程为
（内容要求13）
28、求过点 且与直线 垂直的平面方程.
33、求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程.
解：两平面 和 的交线的方向向量为
所以，过点 与两平面 和 的交线平行的直线方程为
（内容要求14）
34、过点 且平行于直线 的直线方程为().
(A) (B)
(C) (D)
解：过点 且平行于直线 的方向向量为直线 的方向向量 ，由直线对称方程，选B。（内容要求14）
解：直线 的方向向量为 ，所以过点 且与直线 垂直的平面方程为
（内容要求13）
29、求通过点 且与两直线 和 平行的平面方程.
解：所求平面法向量为 ，于是所求平面方程为
（内容要求13）
30、已知两条直线的方程是 ， ，求过 且平行于 的平面方程.
解：所求平面法向量为 ，令 得直线上的点 ，于是所求平面方程为
15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数
16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量
二、例题习题
1、点 在 面上的投影点为( )；（内容要求1）
A. B. C. D.
解： 面不含x，所以x分量变为0，故选D
2、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ），则 （ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3
;
解： ，所以填1。（内容要求7）
14、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，已知 则
解：因为向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，
，所以 ， ，所以填 。（内容要求7）
15、设 ，且 ，则 ( )；
(A) (B) (C) (D)
解：因为 ，所以 ，所以选C。（内容要求8）
16、设向量 ， ，则向量 与向量 的关系是().
(A) (B) (C) (D)
解：因为 ，所以 ，选B。（内容要求5）
11、已知 ，且 与 的夹角为 ，则 ().
(A) (B) (C) (D)
解： ，所以， ，选A。（内容要求6）
12、设 为非零向量，且 ，则必有().
(A) (B)
(C) (D)
解： ，（ =0）
所以选C。（内容要求6）
13、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，则
(A)平行(B)斜交
(C)垂直(D)不能确定
解： ，所以选C。（内容要求9）
17、已知向量 ， ，则 ()；
A. B. C. D.
解：因为 ，所以 ，所以选D。（内容要求9）
18、在空间直角坐标系中,方程 表示的曲面是( )；
A.椭圆抛物面 B.双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面
解： 为椭圆抛物面，所以选A。（内容要求10）
高等数学期末复习
第八章向量代数与空间解析几何
一、内容要求
1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标
2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系
3、会运用定义和运算性质求向量数量积
4、会运用定义和运算性质求向量的向量积
5、掌握向量数积和向量积的定义形式
8、掌握向量的平行概念
9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面
11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距
12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量
13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量
14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量
19、在空间直角坐标系中，方程 表示的曲面是 ( ).
(A)双曲抛物面(B)旋转抛物面(C)椭圆抛物面(D)圆锥面
解： 为圆锥面，所以选D。（内容要求10）
20、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
A.圆B.球面C.椭球面D.圆柱面
解： 为圆柱面，所以选D。（内容要求10）
21、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
解： ，所以填-2。（内容要求3）
7、向量 ， ，则 ()；
A. B. C. D.
解： ，所以选C。（内容要求4）
8、向量 ,则 ；
解： ，所以填 ，或填 。（内容要求4）
9、 与 为两个向量， 为二者的夹角，则 ().
(A) (B) (C) (D)
解：由定义，选D。（内容要求5）
10、设 为非零向量，则 ( ) .
A.球面B.圆锥面C.圆柱面D.旋转抛物面
解： 为旋转抛物面，所以选D。（内容要求10）
22、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
A.球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面
解： 为圆柱面，所以选B。（内容要求10）
23、方程 表示().
(A) 双曲柱面 (B)双曲线 (C) 单叶双曲面 (D)双叶双曲面
（内容要求13）
31、过点 且平行于 面的平面方程为
解：因为平行于 面的平面为 型，所以平面方程应填 。或者，
面的平面的法向量为 ，所以平面方程为
所以平面方程应填 （内容要求13）
32、过点 且与平面 垂直的直线方程为
解：过点 且与平面 垂直的直线方向向量就是平面 的法向量 ，所以所填直线方程为 。（内容要求14）
24、指出旋转曲面 的一条母线和旋转轴( ).
(A) ， 轴 (B) ， 轴
(C) ， 轴 (D) ， 轴
解： 为 绕 轴旋转的旋转抛物面，所以选A。（内容要求10）
25、平面 在 轴上的截距分别是().
(A) (B)
(C) (D)
解：化截距式方程为 在 轴上的截距为 ，所以选B。（内容要求11）
35、已知直线 和平面 平行，则 ()；
A. B. C. D.
解：因为直线 和平面 平行，所以直线 的方向向量 与平面 的法向量 垂直，即
解：由作图计算可知， ，所以选C。（内容要求2）
3、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ），则 ;
解： ，所以填2。（内容要求2）
4、向量 ， ，则 ( )；
A. B. C. D.
解： ，所以选C。（内容要求3）
5、向量 则
解： ，所以 ，所以填 。（内容要求3）
6、设a=2i+2j+2k，b=3j-4k，则a·b=。
26、过三点 ， ， 的平面方程为().
(A) (B)
(C) (D)
解：过三点 ， ， 的平面法向量
所以所求平面方程为 ，所以选A。（内容要求12）
27、求过点 且与直线 垂直的平面方程.
解：过点 且与直线 垂直的平面的法向量就是直线
的方向向量 ，所以所求平面方程为
（内容要求13）
28、求过点 且与直线 垂直的平面方程.
33、求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程.
解：两平面 和 的交线的方向向量为
所以，过点 与两平面 和 的交线平行的直线方程为
（内容要求14）
34、过点 且平行于直线 的直线方程为().
(A) (B)
(C) (D)
解：过点 且平行于直线 的方向向量为直线 的方向向量 ，由直线对称方程，选B。（内容要求14）
解：直线 的方向向量为 ，所以过点 且与直线 垂直的平面方程为
（内容要求13）
29、求通过点 且与两直线 和 平行的平面方程.
解：所求平面法向量为 ，于是所求平面方程为
（内容要求13）
30、已知两条直线的方程是 ， ，求过 且平行于 的平面方程.
解：所求平面法向量为 ，令 得直线上的点 ，于是所求平面方程为
15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数
16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量
二、例题习题
1、点 在 面上的投影点为( )；（内容要求1）
A. B. C. D.
解： 面不含x，所以x分量变为0，故选D
2、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ），则 （ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3
;
解： ，所以填1。（内容要求7）
14、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，已知 则
解：因为向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，
，所以 ， ，所以填 。（内容要求7）
15、设 ，且 ，则 ( )；
(A) (B) (C) (D)
解：因为 ，所以 ，所以选C。（内容要求8）
16、设向量 ， ，则向量 与向量 的关系是().
(A) (B) (C) (D)
解：因为 ，所以 ，选B。（内容要求5）
11、已知 ，且 与 的夹角为 ，则 ().
(A) (B) (C) (D)
解： ，所以， ，选A。（内容要求6）
12、设 为非零向量，且 ，则必有().
(A) (B)
(C) (D)
解： ，（ =0）
所以选C。（内容要求6）
13、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，则
(A)平行(B)斜交
(C)垂直(D)不能确定
解： ，所以选C。（内容要求9）
17、已知向量 ， ，则 ()；
A. B. C. D.
解：因为 ，所以 ，所以选D。（内容要求9）
18、在空间直角坐标系中,方程 表示的曲面是( )；
A.椭圆抛物面 B.双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面
解： 为椭圆抛物面，所以选A。（内容要求10）
高等数学期末复习
第八章向量代数与空间解析几何
一、内容要求
1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标
2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系
3、会运用定义和运算性质求向量数量积
4、会运用定义和运算性质求向量的向量积
5、掌握向量数积和向量积的定义形式
8、掌握向量的平行概念
9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面
11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距
12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量
13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量
14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量
19、在空间直角坐标系中，方程 表示的曲面是 ( ).
(A)双曲抛物面(B)旋转抛物面(C)椭圆抛物面(D)圆锥面
解： 为圆锥面，所以选D。（内容要求10）
20、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
A.圆B.球面C.椭球面D.圆柱面
解： 为圆柱面，所以选D。（内容要求10）
21、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
解： ，所以填-2。（内容要求3）
7、向量 ， ，则 ()；
A. B. C. D.
解： ，所以选C。（内容要求4）
8、向量 ,则 ；
解： ，所以填 ，或填 。（内容要求4）
9、 与 为两个向量， 为二者的夹角，则 ().
(A) (B) (C) (D)
解：由定义，选D。（内容要求5）
10、设 为非零向量，则 ( ) .
A.球面B.圆锥面C.圆柱面D.旋转抛物面
解： 为旋转抛物面，所以选D。（内容要求10）
22、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
A.球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面
解： 为圆柱面，所以选B。（内容要求10）
23、方程 表示().
(A) 双曲柱面 (B)双曲线 (C) 单叶双曲面 (D)双叶双曲面
（内容要求13）
31、过点 且平行于 面的平面方程为
解：因为平行于 面的平面为 型，所以平面方程应填 。或者，
面的平面的法向量为 ，所以平面方程为
所以平面方程应填 （内容要求13）
32、过点 且与平面 垂直的直线方程为
解：过点 且与平面 垂直的直线方向向量就是平面 的法向量 ，所以所填直线方程为 。（内容要求14）