高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。
图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。
解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。
(完整版)高数期末复习题第八章空间解析几何与向量代数
第八章一、填空题8.1.1.1、点)1,3,2(-M 关于xoy 面的对称点是)1,3,2(-- .8.1.2.3、向量)2,20(),1,4,2(-=-=b a ϖϖ，则同时垂直于b a ϖϖ,的单位向量为)1,1,1(31--±. 8.1.3.1、向量=⊥-=-=c ,),,2,1(),1,1,3( 则： 且 b a c b a ϖϖϖϖ 1 . 8.1.41、点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离为 1 .8.1.51、. 过点02)1,2,1(=+-z y x 与平面 平行的平面方程为12=+-z y x 8.1.6.2、平面3=y 在坐标系中的位置特点是 平行xoz 面 .8.1.7.2、过三点A （2，0，0），B （0，3，0），C （0，0，4）的平面方程为1432=++z y x . 8.1.8.2、过两点）（，（2,0,1),1,2321--M M 的直线方程是12241-==-+z y x . 8.1.9.3、过点)4,2,0(且与平面2312=-=+z y z x 及都平行的直线是14322-=-=-z y x . 8.1.10.3、曲面z y x =-22在xoz 面上的截痕的曲线方程为⎩⎨⎧==02y z x . 二、选择题8.2.1.2、点)3,0,4(在空间直角坐标的位置是 （ C ）A ．y 轴上； B. xoy 平面上； C. xoz 平面上； D. 第一卦限内。
8.2.2.2、设AB 与u 轴交角为α，则AB 在u 轴上的投影AB j u Pr = （C ）A ．αcos ； B. αsin ； C. α ； D. α.8.2.3.2、两个非零向量b a ρρ与互相垂直，则 （ B ）A ．其必要不充分条件是0=⋅b a ϖϖ； B. 充分必要条件是0=⋅b a ϖϖ；C ．充分不必要条件是0=⋅b a ϖϖ； D. 充分必要条件是0=⨯b a ϖϖ.8.2.4.2、向量),,(z y x a a a a =ϖ, ),,(z y x b b b b =ϖ 且 0=++z z y y x x b a b a b a 则 （ C ）A. b a ϖϖ//；B. λλ(b a ϖϖ=为非零常数) ；C. b a ϖϖ⊥ ；D. 0ϖϖϖ=+b a .8.2.5.2、平面0633=--y x 的位置是 （ B ）A ．平行xoy 面；B . 平行z 轴 ； C. 垂直z 轴； D. 通过z 轴.8.2.6.2、过点131111)1,1,1(--=+=-z y x 与直线 垂直的平面方程为 （ A ） A. 1=-+z y x ； B. 2=-+z y x ；C. 3=-+z y x ；D. 0=-+z y x .8.2.7.2、直线37423L z y x =-+=-+：与平面3224=--z y x 的位置关系是（ A ） A ．平行； B. 直线在平面上； C. 垂直相交； D. 相交但不垂直.8.2.8.2、xoy 面上曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周，所得曲面方程是（ C ）A ．369)4222=-+y z x （； B. 36)(9)42222=+-+z y z x （; C. 36)(94222=+-z y x ; D. 369422=-y x .8.2.9.2、球面2222R z y x =++与平面a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线方程是（ D ）A ．2222)R z y z a =++-（； B. ⎩⎨⎧==++-0)(2222z R z y z a ； C. 2222)(R x a y x =-++； D. ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 8.2.10.3、方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x 表示 （ B ）A ．椭球面； B. 1=y 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D. 椭圆柱面在平面0=y 上的投影曲线.三、计算题8.3.1.2、 一平面过点)1,0,1(-，且平行于向量)0,1,1()1,1,2(-==b a ϖϖ和，求这个平面。
高数A2总复习资料
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
高等数学二第一章向量代数与空间解析几何
在 z 轴上, 则 x = y = 0
2.空间向量的坐标表示
(1)起点在原点的向量OM
z z
C
设点 M (x, y,z)
以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
ok xi xA
j
M yB y N
OM = OA + AN +NM
a,
b
(起点同).
b
(a,b)
规定：
a
a,
b正向间位于0到之间的那个夹角为
a,
b
的夹角,
记(1)为若(aa,, bb)同或向(，b,则a) (a,b) 0
(2) (3)
若 若
a , a ,
bb不反平向行，，则则(a(a,b,b))(0,
有MC
=
1 2
(a
b)
MA
又
b
= MC a = BD
=
1 2
(a
2MD
b)
D
b
A
a
有MD
=
1 2
(b
MB = MD
a)
1 2
(b
a)
1 2
(a
b)
C M
B
(四) 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点A及轴
A
u, 过A作u轴的垂直平面,
即: (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
(3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
解得:
z
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高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结
向量代数与空间解析几何知识点：
（1）向量代数知识点
（2）两平面夹角与两直线夹角公式
两平面夹角和两直线夹角公式（3）点到直线的距离公式
点到直线的距离
（4）常见二次曲线
常见二次曲线
题型一：求曲线上一点到某一固定平面的最近距离和最远距离例1：
【分析】:曲线上一点(x,y,z)到XOY面的距离为|z|，但把目标函数设为
f(x,y,z)=|z|，不便于计算，因而常把目标函数设为f(x,y,z)=z^2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。
解：
题型二：求直线方程
建立直线方程有两个基本方法：
（1）已知直线L上的一个点P（x0,y0,z0）和直线L的方向向量s={l,m,n}就可以确定直线L；
（2）两个不平行的平面相交于一直线；
例2：求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线方程。
分析：只要求出所求直线方向向量即可，可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。
解：。
高等数学——空间解析几何与向量代数
练 习 题
一、填空： 1 、向量是_________的量； 2 、向量的___________叫做向量的模； 3 、___________的向量叫做单位向量； 4 、_____________的向量叫做零向量； 5 、与_____无关的向量称为自由向量； 6 、平行于同一直线的一组向量叫做 _________ ，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________； 7、两向量___________，我们称这两个向量相等； 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 构成____________；
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点，坐标面上的点，
各卦象的点， z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
M ( x, y, z )若直线段落AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分， 则端点 A 的坐标为_________， 端点 B 的坐标为_________ .
二、在 yoz 面上，求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) ， B( 4 ,2 ,2 ) 和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则） （三角形法则）
b
c
a
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
(完整版)高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。
(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。
6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。
向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2。
向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
(完整版)向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线312141:1+=+=-z y x l 与⎩⎨⎧=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A.4π B. 3π C. 2πD. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13- B.13 C. 23- D. 237. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]A. (-1,2,3)B. (1,-2,3)C. (-1,-2,3)D. (1,2,-3)8.方程22222x y z a b+=表示的是 [ B ]A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C. 椭球面D. 球面9. 已知a ϖ={0, 3, 4}, b ϖ={2, 1, -2},则=b proj a ϖρ[ C ]A. 3B.31-C. -1D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. 222()a b a b =• B. 222()a b a b ⨯=⨯C. 22()()a b a b •=⨯D. 2222()()a b a b a b •+⨯=11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，则1l 与2l 的位置关系是 DA.异面B.相交C.平行D.重合12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 CA.关于XOZ 平面对称B.关于YOZ 平面对称C.关于原点对称D.关于直线x y z ==对称13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 CA.2221x y z ++= B.221x y z ++= C.21x y z ++= D.221x y z ++=15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 CA.2a a a = B. 2()a a b a b ••= C. 2()a b b ab ••= D. 222()a b a b =•16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20B. C.10D.17．已知直线l 方程2303450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系是CA. l 在π内B. l 垂直于πC. l 平行于πD.不能确定18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4πB. ,a b 夹角34πC. ,a b 夹角可能34π或4π D.以上都不对19.已知||1=a，||=b ¶(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1(B) 1+ (C) 2(D) 20.设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
同济大学数学系《高等数学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(向量代数与空间解析几何)【圣才出品】
图 8-1-3 4．利用坐标作向量的线性运算 设
，λ 为实数，则
注：当向量 时，向量 相当于
Hale Waihona Puke ，坐标表示式为5 / 77
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即
5．向量的模、方向角、投影 （1）向量的模 向量 r＝（x，y，z），则模
（2）两点距离公式
设点
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（2）性质
①
；
②a·b＝0⇔a⊥b（a、b 都为非零向量）．
（3）运算规律
①交换律 a·b＝b·a；
②分配律（a＋b）·c＝a·c＋b·c；
③结合律
．
（4）两向量夹角余弦的坐标表示式
2．两向量的向量积 （1）定义
①当 a、b、c 组成右手系时，α 为锐角，[abc]为正； ②当 a、b、c 组成左手系时，α 为钝角，[abc]为负． （5）a、b、c 共面⇔混合积[abc]＝0，即
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ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
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个平面上，称这 k 个向量共面．
2．向量的线性运算
（1）向量的加法
①定义
设有两个向量 a 与 b，任取一点 A，作
，再以 B 为起点，作
，连接
AC（图 8-1-2），则
向量
称为向量 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 c＝a＋b．
设 a (ax , ay , az ), b (bx , by , bz ), c (cx , cy , cz ) ，则 ax ay az
空间解析几何与向量代数复习题答案
间解析几何与 向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题 已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点 是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有 （C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示 （C ）A 坐标原点（0,0,0） ；B xoy 坐标面的原点（0,0） ；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、 直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习第八章向量代数与空间解析几何一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量二、例题习题1、点)2,4,1P在yoz面上的投影点为( )；（内容要求1）(-A. )2,4,1Q D. )2,4,0(Q(-(-(-Q B. )2,0,1Q C. )0,4,1解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ; 解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。
（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。
空间解析几何与向量代数知识点总结
空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。
常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。
2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。
直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。
单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。
曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。
7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。
8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。
9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。
10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。
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24、指出旋转曲面 的一条母线和旋转轴( ).
(A) ， 轴 (B) ， 轴
(C) ， 轴 (D) ， 轴
解： 为 绕 轴旋转的旋转抛物面，所以选A。（内容要求10）
25、平面 在 轴上的截距分别是().
(A) (B)
(C) (D)
解：化截距式方程为 在 轴上的截距为 ，所以选B。（内容要求11）
35、已知直线 和平面 平行，则 ()；
A. B. C. D.
解：因为直线 和平面 平行，所以直线 的方向向量 与平面 的法向量 垂直，即
解：由作图计算可知， ，所以选C。（内容要求2）
3、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ），则 ;
解： ，所以填2。（内容要求2）
4、向量 ， ，则 ( )；
A. B. C. D.
解： ，所以选C。（内容要求3）
5、向量 则
解： ，所以 ，所以填 。（内容要求3）
6、设a=2i+2j+2k，b=3j-4k，则a·b=。
26、过三点 ， ， 的平面方程为().
(A) (B)
(C) (D)
解：过三点 ， ， 的平面法向量
所以所求平面方程为 ，所以选A。（内容要求12）
27、求过点 且与直线 垂直的平面方程.
解：过点 且与直线 垂直的平面的法向量就是直线
的方向向量 ，所以所求平面方程为
（内容要求13）
28、求过点 且与直线 垂直的平面方程.
33、求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程.
解：两平面 和 的交线的方向向量为
所以，过点 与两平面 和 的交线平行的直线方程为
（内容要求14）
34、过点 且平行于直线 的直线方程为().
(A) (B)
(C) (D)
解：过点 且平行于直线 的方向向量为直线 的方向向量 ，由直线对称方程，选B。（内容要求14）
解：直线 的方向向量为 ，所以过点 且与直线 垂直的平面方程为
（内容要求13）
29、求通过点 且与两直线 和 平行的平面方程.
解：所求平面法向量为 ，于是所求平面方程为
（内容要求13）
30、已知两条直线的方程是 ， ，求过 且平行于 的平面方程.
解：所求平面法向量为 ，令 得直线上的点 ，于是所求平面方程为
15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数
16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量
二、例题习题
1、点 在 面上的投影点为( )；（内容要求1）
A. B. C. D.
解： 面不含x，所以x分量变为0，故选D
2、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ），则 （ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3
;
解： ，所以填1。（内容要求7）
14、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，已知 则
解：因为向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，
，所以 ， ，所以填 。（内容要求7）
15、设 ，且 ，则 ( )；
(A) (B) (C) (D)
解：因为 ，所以 ，所以选C。（内容要求8）
16、设向量 ， ，则向量 与向量 的关系是().
(A) (B) (C) (D)
解：因为 ，所以 ，选B。（内容要求5）
11、已知 ，且 与 的夹角为 ，则 ().
(A) (B) (C) (D)
解： ，所以， ，选A。（内容要求6）
12、设 为非零向量，且 ，则必有().
(A) (B)
(C) (D)
解： ，（ =0）
所以选C。（内容要求6）
13、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，则
(A)平行(B)斜交
(C)垂直(D)不能确定
解： ，所以选C。（内容要求9）
17、已知向量 ， ，则 ()；
A. B. C. D.
解：因为 ，所以 ，所以选D。（内容要求9）
18、在空间直角坐标系中,方程 表示的曲面是( )；
A.椭圆抛物面 B.双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面
解： 为椭圆抛物面，所以选A。（内容要求10）
高等数学期末复习
第八章向量代数与空间解析几何
一、内容要求
1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标
2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系
3、会运用定义和运算性质求向量数量积
4、会运用定义和运算性质求向量的向量积
5、掌握向量数积和向量积的定义形式
8、掌握向量的平行概念
9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面
11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距
12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量
13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量
14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量
19、在空间直角坐标系中，方程 表示的曲面是 ( ).
(A)双曲抛物面(B)旋转抛物面(C)椭圆抛物面(D)圆锥面
解： 为圆锥面，所以选D。（内容要求10）
20、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
A.圆B.球面C.椭球面D.圆柱面
解： 为圆柱面，所以选D。（内容要求10）
21、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
解： ，所以填-2。（内容要求3）
7、向量 ， ，则 ()；
A. B. C. D.
解： ，所以选C。（内容要求4）
8、向量 ,则 ；
解： ，所以填 ，或填 。（内容要求4）
9、 与 为两个向量， 为二者的夹角，则 ().
(A) (B) (C) (D)
解：由定义，选D。（内容要求5）
10、设 为非零向量，则 ( ) .
A.球面B.圆锥面C.圆柱面D.旋转抛物面
解： 为旋转抛物面，所以选D。（内容要求10）
22、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；
A.球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面
解： 为圆柱面，所以选B。（内容要求10）
23、方程 表示().
(A) 双曲柱面 (B)双曲线 (C) 单叶双曲面 (D)双叶双曲面
（内容要求13）
31、过点 且平行于 面的平面方程为
解：因为平行于 面的平面为 型，所以平面方程应填 。或者，
面的平面的法向量为 ，所以平面方程为
所以平面方程应填 （内容要求13）
32、过点 且与平面 垂直的直线方程为
解：过点 且与平面 垂直的直线方向向量就是平面 的法向量 ，所以所填直线方程为 。（内容要求14）