28空间直角坐标系
空间直角坐标系-解析几何
(2)已知△ABC的三顶点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC的重心G的 坐标为
x1 + x 2 + x 3 y 1 + y 2 + y 3 z 1 + z 2 + z 3 , , 3 3 3
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考点一 确定空间点的坐标 在四棱锥 P—ABCD中 ， 底面ABCD是一直角梯形， ∠BAD=90°, AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面
坐标系. ∵AB=BC=a，∴点A（0，0，0）， B（a，0，0）， C（a，a，0）. ∵AD=2a，∴D（0，2a，0）. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD. 返回目录
又∵∠PDA=30°,∴PA=ADtan30°=
2 故点P(0，0， 3 a). 3
2 3 a. 3
∵面PAD⊥面ABCD，过E作EF⊥AD于F，则F为E
3 为0,0, .) 2 3 ，所以点C的坐标 2
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高考对本学案内容的考查为:建立空间直角坐标系,写出 一些点的坐标,然后利用空间向量的有关知识求与该坐 标有关的量(如距离、夹角等）.
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ABCD，∠PDA=30°,AE⊥PD于E.试建立适当的坐标 系，求出各点的坐标.
【分析】 由题意易知，AP，AB，AD两两互相垂 直，故以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 返回目录
【解析】如图所示，以点A为坐标原点，以AB，
AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角
在底面ABD内的射影，在Rt△AED中，
a 3 1 ∵∠EDA=30°,∴AE= AD=a,故E(0， ， a). 2 2 2
空间直角坐标系及坐标运算
基础知识梳理
4．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 则a·b若＝aa＝1b(1a＋1，a2ab22，＋aa33)b，3 .b＝(b1，b2，b3)， (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝ λb3，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝ 0(a，b均为非零向量)．
课堂互动讲练
2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过 证明下列结论成立来证明四点共面 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A ＋yM→B；
课堂互动讲练
(3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A ＋zO→B(x＋y＋z＝1)；
A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32 答案：C
三基能力强化
3．已知空间四边形 OABC 中，点 M 在 线段 OA 上，且 OM＝2MA，点 N 为 BC 的中
点，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则M→N等于
() A.12a＋12b－23c
【解】 法一：(1)原式可变形为 O→P＝O→M＋(O→A－O→P)＋(O→B－O→P) ＝O→M＋P→A＋P→B. ∴O→M＝O→P－P→A－P→B. 由共面向量定理的推论知 M 与 P、A、 B 共面．
课堂互动讲练
(2)
原
式
可
变
形
为
→ OP
＝
2
→ OA
＋
→ OA
－
O→B＋O→A－O→M＝2O→A＋B→A＋M→A.
基础知识梳理
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
空间直角坐标系及向量坐标
a (ax )i (ay ) j (az )k ，
即
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a (ax ，ay ，az ) ．
由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应
的运算即可．
高等数学
1.1 空间直角坐标系
在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与 二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间 直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来．
如图所示，过空间一定点 O ，作三个两两垂直的单位向量 i ，j ，k ，就确定了三 条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）z ) ，b (bx ，by ，bz ) ， 即 a axi ay j azk ，b bxi by j bzk ， 利用向量的运算律，有
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
1.2 向量的坐标表示
如图所示，设 M 为空间一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，它 们与 x 轴、 y 轴、 z 轴分别交于 P ，Q ，R 三点，这三个点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐标分 别为 x，y，z ，这样就确定了空间点 M 的唯一一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ．反之，若 给定一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ，分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴找到坐标分别为 x，y，z 的 三点 P ，Q ，R ，过这三点分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴 的平面，这三个平面有唯一交点 M ，于是就建立了空间 点 M 和三元有序实数组 (x ，y ，z) 之间的一一对应关系． 这组数 x，y，z 称为点 M 的坐标，记为 M (x ，y ，z) ，并依 次称 x，y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系
的几何特性. 为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 = (10 − 4)2 + (−1−1)2 + (6 − 9)2 = 49,
同理有
| AC | = 49, | BC |2 = 98.
2
Q AB | =| AC | , ∴AB= AC， |
2 2
因而△ 为等腰三角形. 因而△ABC为等腰三角形.
2 2
2 2
2
2
= ( x 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
所以空间两点间的距离 所以空间两点间的距离
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) .
2 2 2
特地， 特别地，
点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
z
a aa Q( , , ) 2 22
D’ A’ B’
C’
Q
O A x C
Q’
B
y
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
空间直角坐标系
2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。
2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
本书上所指的都是右手直角坐标系。
（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数对（x ，y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。
二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
空间几何中的坐标系与空间直角坐标的转换
空间几何中的坐标系与空间直角坐标的转换在空间几何中，坐标系是进行点位置表示和计算的重要工具。
常见的空间坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系等。
其中，空间直角坐标系是最为常用和便捷的一种坐标系。
本文将讨论空间几何中的坐标系，并介绍如何在不同坐标系间进行转换。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由三个相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
它们分别代表了水平方向（x轴）、竖直方向（y轴）和水平面内的垂直方向（z轴）。
一个点P在空间直角坐标系中的坐标可用有序数(x, y, z)表示，其中x、y、z分别为点P在x轴、y 轴、z轴上的投影长度。
二、空间坐标系的转换在空间几何的研究中，通常需要将一个坐标从某个坐标系转换为另一个坐标系。
下面以空间直角坐标系与球坐标系为例，介绍坐标系间的转换过程。
1. 空间直角坐标系到球坐标系的转换给定空间直角坐标系中点P(x, y, z)，它的球坐标为(r, θ, φ)。
其中，r 代表点P到原点的距离，θ代表从x轴到点P的连线与x轴正向之间的夹角，φ代表从正z轴到点P的连线与正z轴之间的夹角。
根据三角函数的关系，可以得到：r = √(x^2 + y^2 + z^2)θ = arctan(y/x)φ = arccos(z/√(x^2 + y^2 + z^2))2. 球坐标系到空间直角坐标系的转换给定球坐标系中点P(r, θ, φ)，它的空间直角坐标为(x, y, z)。
转换公式如下：x = r * sin(φ) * cos(θ)y = r * sin(φ) * sin(θ)z = r * cos(φ)通过上述转换公式，可以在空间直角坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
三、应用举例下面通过一个具体的例子来说明空间坐标系的转换。
例：已知空间直角坐标系中的点P(3, 4, 5)，求其在球坐标系中的坐标。
根据转换公式，可以计算得到：r = √(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50θ = arctan(4/3) ≈ 0.93φ = arccos(5/√50) ≈ 0.49因此，点P在球坐标系中的坐标为(√50, 0.93, 0.49)。
空间直角坐标系通用课件
通过向量的数量积、向量积和混合积，可以研究向量的长度、角度、向量的平行 与垂直等关系。
空间几何图形的表示与计算
平面几何图形
在空间直角坐标系中，可以表示平面几何图形，如三角形、 四边形、圆等，并研究其性质和计算面积、体积等。
立体几何图形
利用空间直角坐标系，可以表示三维几何图形，如长方体、 圆柱体、圆锥体等，并研究其性质和计算表面积、体积等。
各坐标轴的单位长度可以 根据实际需要设定，通常 为厘米或米等。
空间点的坐标表示
点P的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三个实数来表示，这三个实数分别是 点P在三个坐标轴上的投影点的坐标值。
坐标表示方法
设点P在x轴、y轴和z轴上的投影点分别为P₁、P₂和P₃，则点P的坐标可以表示为 (x, y, z)，其中x=x₁, y=y₂, z=z₃。
柱面坐标系是以某一方向为轴线 ，以原点为中心，以一定长度为 范围的柱面来表示空间位置的坐
标系。
三个参数
柱面坐标系由三个参数确定，分别 是方位角、仰角和距离。
转换关系
柱面坐标系与直角坐标系之间可以 通过一系列的坐标变换进行转换。
任意曲线坐标系
定义
任意曲线坐标系是指以任意曲线为轴 线，以该曲线上某一点为中心，以一 定长度为范围的曲线来表示空间位置 的坐标系。
旋转变换可以用旋转变换矩阵来表示，该矩阵表示了每个点在旋转过程中 的角度和旋转轴的方向。
旋转变换在三维空间中也是可逆的，即可以通过旋转变换矩阵的逆矩阵来 恢复原始位置。
坐标变换的矩阵表示
坐标变换的矩阵表示是一种通用的方法，可以将平移变换和旋转变换等操作统一表示为 矩阵乘法运算。
通过坐标变换的矩阵表示，我们可以方便地实现三维空间中任意两个坐标系之间的转换 ，从而方便地描述三维空间中物体的位置和运动状态。
高数空间解析几何学空间直角坐标系
实例 一 物 体 在 常 力 F 作 用 下 沿 直 线 从 点 M 移 动 1 到 点 M 2 ， 以 s 表 示 位 移 ， 则 力F 所 作 的 功 为 (其 中 为 F 与 s 的 夹 角 ) W | F || s | cos
定义 向 量 a 与 b 的 数 量 积 为 a b a b | a || b | cos b
坐标面上的点 A , B , C ,
z
R ( 0 ,0 , z )
O ( 0 ,0 ,0 )
B (0, y , z )
C ( x,o, z)
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
3
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为 空 间 两 点
x1
P1 P 2
x1 2
1 2
x 2,
cos cos
y0
P1 P 2
y0 2 z3 2
2 2
y
2,
z3
P1 P 2
(2,
1 2
z 4, z 2,
2 , 2 ).
21
P2 的 坐 标 为 ( 2 , 2 , 4 ),
四、两向量的数量积
注. 减法 a b a ( b )
b
a
ab ab
b
b
c
a
b c a ( b ) a b
空间各种直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
空间直角坐标系
若
P( x1 , y1 , z1 ), Q( x2 , y2 , z2 ).
2 2 2
则 | PQ |= ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + (z2 z1 ) .
b 如果非零向量 a = ( x1 , y1 , z1 ), = ( x2 , y2 , z2 )夹角为 θ .
则 cosθ =
b = ( x2 , y2 , z2 ). 则
a b = ( x1 i + y1 j + z1 k) ( x2 i + y2 j + z2 k) 2 2 2 = ( x1 x2 )i + ( y1 y2 ) j + (z1z2 )k + ( x1 y2 + x2 y1 )(i j) + ( x1z2 + x2z1 )(i k) + ( y1z2 + y2z1 )( j k)
∵ i = j = k = 1, i j = i k = j k = 0.
2 2 2
∴ a b = x1 x2 + y1 y2 + z1z2 .
2 2 2 2 特别地, 特别地, | a | = a a = x1 + y1 + z1 , | a |= x1 + y1 + z1 .
2 2 2
y
PQ = OQ OP = ( x2 i + y2 j + z2 k) ( x1 i + y1 j + z1 k)
= ( x2 x1 )i + ( y2 y1 ) j + (z2 z1 )k
= ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ).
有了向量的坐标表示后, 有了向量的坐标表示后,向量的运算可以转化为其坐标的 运算. 运算.如: = ( x1 , y1 , z1 ), a
空间直角坐标系
y x
z
P135 例2
o
y
x
.如图，在长方体OABC DABC 中， 3，OC 4， OA OD 2，写出D、C、A、B四点的坐标. 136练习2
A ' C '与B ' D '的
A'
z
D' 2
交点P的坐标
C'
P
B' 4
3
o
C
y
x
A
1、在空间直角坐标系中描出下列
关于谁对称谁不变
1.空间点P ( x , y , z )关于：
( x , y _____ (2) y轴对称的点P2的坐标为 _______, z ) ；
( x, y, z ) (1) x轴对称的点P1的坐标为 ____________ ；
( x, y, z ) (3) z轴对称的点P3的坐标为 ____________ ；
(-1,-3,0) C1 • (2,-2,0) B1
1
O
•
1
• B•
x
1
• A(1,4,1) y •
A1(1,4,0)
(2,-2,-1)
对称点
横坐标相反， 纵坐标不变。
y
P2 (-x0 ,y0)
y0
P (x0,y0) x0 x
-x0
O
P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反， 纵坐标相反。
P1 (x0 , -y0)
2.正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为a，侧棱长为 2a .
z
试建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标.
C1 A1 C A x x B B1
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
空间直角坐标系公式
空间直角坐标系公式引言：空间直角坐标系是描述空间中点位置的常用工具，它通过三个相互垂直的坐标轴来确定一个点的位置。
本文将介绍空间直角坐标系的公式及其应用。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y 轴和z轴。
这三个轴的交点被定义为原点O，它们的方向和长度可以任意确定。
二、空间直角坐标系的公式在空间直角坐标系中，每个点的位置可以通过三个坐标值来表示，分别是x坐标、y坐标和z坐标。
假设某点的坐标为(x, y, z)，那么它与坐标轴的关系可以通过以下公式来表示：1. x轴上的投影：P(x, 0, 0)2. y轴上的投影：P(0, y, 0)3. z轴上的投影：P(0, 0, z)4. 坐标原点O：P(0, 0, 0)三、空间直角坐标系的应用空间直角坐标系广泛应用于物理学、几何学和工程学等领域。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 点的距离计算在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设两点分别为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离d 可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)2. 点的中点计算在空间直角坐标系中，两点之间的中点坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)3. 点的划分比例计算在空间直角坐标系中，可以通过给定两点和一个比例来计算划分点的坐标。
假设两点为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，要求划分比例为m:n，划分点的坐标为P(x, y, z)。
可以通过以下公式计算：x = (mx2 + nx1) / (m + n)y = (my2 + ny1) / (m + n)z = (mz2 + nz1) / (m + n)4. 直线的方程计算在空间直角坐标系中，可以通过给定一点和一个方向向量来计算直线的方程。
空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线 从空间某一点 引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 引三条互相垂直的射线 并取定长度单位和方向， 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 其 点称为坐标原点 数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 坐标原点， 称为坐标轴 中O 点称为坐标原点，数轴 称为坐标轴， 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面 叫做坐标平面 个坐标轴所在的平面 叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系 右手系. 三个坐标轴的正方向符合右手系 z 竖轴
2
解得x = 9或x = −1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
12
例3 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到 点N（6，5，1）的距离最小。 解 由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN = ( x − 6) 2 + (1 − x − 5) 2 + (0 − 1) 2
射线AB， 分别为x轴 轴的正半轴， 射线 ，AD,AA分别为 轴，Y轴，z轴的正半轴，建立空间 分别为 轴 轴的正半轴 直角坐标系，求各顶点坐标。 直角坐标系，求各顶点坐标。
z
A’ B’ O C’ D’
o A
D C
Cy
x
B
7
回顾与复习
长方体的对角线公式 已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c
D1 A1 D C b A a B B1 C1 c
P (3,−2,5), P2 (6,0,−1) 两点间 1
11
例2 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，
使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意，0 P = 30 , P
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。
在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。
其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。
这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。
在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。
这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。
空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。
通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。
例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。
在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。
距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。
角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。
曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。
综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。
它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。
空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。
空间直角坐标系知识点
空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。
它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。
本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。
一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。
我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。
在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。
这三个坐标分别是实数。
二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。
X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。
这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。
需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。
在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。
因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。
三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。
3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。
例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。
4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。
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2
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空间两点 A, B 的距离公式：
AB a1 b1 2 a2 b2 2 a3 b3 2
三、巩固练习
3、已知点 A(2,1, 3) ，则其关于 x 轴对称的点 A1
的坐标是 的坐标是
，其关于原点的对称的点 A2 ，关于平面 xOy 对称的点
A3 的坐标是
.
【 A1(2,1, 3) 】
二、新知探究
1、空间直角坐标系（右手直角坐标系）:
例：下列坐标系是不是右手坐标系的？
x
y
z
z
y
x
【不是】
【是】
二、新知探究
2、空间的点的坐标:
类比得到平面点坐标的方法，如何得到空间
点 A 的坐标？
z
A3
B1
B2
A
O x A1
A2 y
B3
【垂面法（定义）→辅助长方体】
【垂线法（向面作垂线，再向轴作垂线）】
【位移法】
二、新知探究
2、空间的点的坐标:
例：空间直角坐标系中，已知 A(3, 2, 4) ，
（1）作出 A 点； （2）如图是以 A 为顶点、坐标平面为面的长方体，
求 A, A1, A2 , A3 , B1, B2 , B3 的坐标。
z
z
A3
B1
B2
A
x
O
y
O
A2 y
x A1
B3
思考：轴上点与坐标平面上的点有何特征？
谢谢
z A'
【 A(0, 0, 0) 】
C'
【 B(1, 3, 0) 】
B'
【 C(1, 3, 0) 】
【 A(0,1, 3) 】
A x
C
D
y
B
【 B(1,1 3, 3) 】 【 C(1,1 3, 3) 】
四、能力提升
2、空间图形的方程： 空间中，下列方程（组）表示什么图形？
（1） x2 y 2 z 2 r 2 （2） z 0
.
三、巩固练习
2、已知点 A(1, 1,3), B(3,3, 1) ，
（1）求 AB 中点 M 的坐标； 【 M (2,1,1) 】
（2）求 AB .
【 AB 6 】
若 A(a1, a2 , a3 ), B(b1,b2 ,b3 ) ，则：
空间线段 AB 中点 M 的坐标公式：M ( a1 b1源自, a2 b2 , a3 b3 )
（3） y x
（4）
y z
x x
（1）球；（2） xOy 平面；（3）过平面 xOy 上的直
线 y x ，且于平面 xOy 垂直的平面；（4）直线（两
个平面的交线）
x2 y2 z2 1
思考：
表示什么图形？
z c
五作、 业课 ：堂D3小3 结
1、空间直角坐标系（右手直角坐标系）； 2、空间的点的坐标.
三、巩固练习
1、空间直角坐标系中，如图摆放的长方体，满足：
OA1 2, A1B3 3, B3 A 4 ，
（1） M
B1B3, B3M
1 3
B1B3
，求
M
点的坐标；
（2）
N
A3 B3 ,
A3 N
2 3
A3B3
，求
N
点的坐标.
【 M ( 4 ,3, 4) 】 33
【 N ( 4 , 2, 4) 】 33
【 A2 (2,1, 3) 】
【 A3 (2,1, 3) 】
思考：你能总结空间对称点的规律吗？
四、能力提升
1、如图，棱长均为 2 的三棱柱 ABC ABC ，底 面 ABC 在 xOy 平面上， A 为坐标原点，角平分线
AD 在 y 轴上， AA 在 xOy 平面上的射影为 y 轴，
AAD 60。求三棱柱各顶点的坐标。