圆性质及基本概念

圆性质及基本概念

一基本概念

1．定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径；圆O记作?O．

2．相关概念：

（1）弧：半圆、优弧、劣弧：（2）弦：直径（3）弦心距：

（4）圆心角：（5）圆周角：（在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等）

二重要定理

垂径定理：

垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧．

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．

垂径定理推论一：对于一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。（当以、②③为题设时，“弦”不能是直径。）

相关定理

圆周角定理：

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

一半；

圆周角定理推论：

1．直径所对的圆周角是90°，90°圆周角所对弦是直径.

2．同（等）弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等；

三点定圆定理：

三点定圆定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

三角形的外心与内心

一概念练习

1已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，

则AB、CD之间的距离为（）

A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm

或7cm

2下列四个命题：

①直径是弦；

②经过三个点一定可以作圆；

③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；

④半径相等的两个半圆是等弧．

其中正确的是（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论

④ AB ⊥DE ，②AE=BE ，③OD=DE ，

④∠AEO =∠C ，⑤ ⌒AE = 2

1⌒AEB 正确结论的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

二基础证明题

1如图，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AD=BC ，求证：AB=CD ．

2、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： AC = BD 。

3如图，已知，在□ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD 于G ， BA

的

延长线交⊙O 于E ，求证：EF = FG 。

4、如图，在⊙O 中，点O 是∠BAC 的平分线上的一点，求证：AB = AC 。

A B

C D O ⌒ ⌒

A B C

E F G B

O A B

C D E F

5 . 如图，在△ABC 中，∠B = Rt ∠，∠A = 600

，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D,交BC 于点E ．求证： (1) AD = 2ED: ( 2 ) D 是AC 的中点．

三垂径定理计算习题

1、 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .

2矩形ABCD 的边AB 过⊙O 的圆心，E 、F 分别为AB 、CD 与⊙O 的交点，AE=3cm ，

，DF=5cm ，则⊙O

3．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。

N M O G F E

D C B

A · B

A C D O

A B

E

O

D

C

B

A

•

E

C

4.如图所示，⊙O的半径为3，AB是⊙O的直径，半径CO⊥AB,P为CO的

BD=

5．如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则2

2CD

AB+＝（）

A、28

B、26

C、18

D、35

，⊙O半径为5，则OP长为________。

BC于D，弧BA等于弧AF，BF与

A，F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长。

B

A

C

D

E

F

8如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

•第3题图 O E D C B

A

9、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。