二项式定理复习课ppt课件
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第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
为 6.
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n
可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为
2n-4r=0,解得
r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5
所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由
2 C10
2 C10
x 的系数为(-1)225-2C52 =80.
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n
可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为
2n-4r=0,解得
r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5
所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由
2 C10
2 C10
x 的系数为(-1)225-2C52 =80.
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
二项式定理ppt课件
二项式定理的应用领域
总结词
二项式定理的应用领域非常广泛，包括组合数学、概率论、统计学和物理学等。
详细描述
二项式定理在数学中有着广泛的应用，它可以应用于组合数学中的排列和组合计 算，概率论中的概率分布计算，统计学中的样本方差和总体方差计算，以及物理 学中的量子力学和统计力学等领域。
02
二项式定理的公式与性质
统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
03
创新研究方法
随着数学研究方法的不断创新，二项式定理的研究方法也将不断更新和
完善，以适应新的研究需求和挑战。
THANKS
感谢பைடு நூலகம்看
二项式定理的化简技巧
合并同类项
在展开二项式定理后，可以将同类项 合并，以便简化表达式。
利用代数恒等式化简
利用二项式定理的逆用
在某些情况下，可以利用二项式定理 的逆用对表达式进行化简，如 $(ab)^n = sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k a^{n-k} b^k$。
在展开过程中，可以运用代数恒等式 对表达式进行化简，如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
二项式定理展开与化简的应用
解决组合计数问题
二项式定理可以用于解决组合计 数问题，例如计算从 $n$ 个不同 项中选取 $k$ 个的不同方式的数
《二项式定理》复习课件(理)
【解答】令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1，① 令 x＝－1 则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ② (1) 令 x＝0，则 a0＝(1－0)7＝1， ∴a1＋a2＋…＋a7＝－2， －1－37 (2)(①－②)÷ 2 得 a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1094. 2 －1＋37 (3)(①＋②)÷ 2 得 a0＋a2＋a4＋a6＝ ＝1093. 2
中，含 x4 的项的系数是( D．5
B
)
B．10
【思路】 令展开式的通项中 x 的幂指数等于 4 确定待 定系数 r.
►
探究点2
二项式系数与项的系数 1 n ( 2 x ) 例2 已知 2 若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数 成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项 的系数 n=14时，是3432
(2)增减性 n－k＋1 k－1 k ∵Cn＝ Cn ， k
∴当 k＜
n＋1 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
n 当 n 为偶数时，中间一项(第 2 ＋1
大，最大值为
(3)最大值
n＋1 n－1 ＋1 项 ) 当 n 为奇数时， 中间两项(第 2 ＋1 项和第 2
C
n 2 n
二项式定理
知识梳理
1．二项式定理 0 n 1 n－1 2 n－2 2 k n－k k n C a ＋ C a b ＋ C a b ＋ … ＋ C b＋ n n na (a＋b) ＝ n n …+Cn b (n∈N*)， 右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式， n 其中各项系数 Ck …，n)叫做展开式的 二项式系数 ， n(k＝0,1， k n－k k C a b n 第 k＋1 项 Tk＋1＝ (其中 0≤k≤n，k∈N，n∈N*) 叫做二项展开式的通项公式． 二项展开式的特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)(a＋b)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式， 其中
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
高三一轮复习二项式定理.pptx
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
第10页/共43页
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
第23页/共43页
3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
第29页/共43页
第30页/共43页
本部分内容讲解结束
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第31页/共43页
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
二项式定理课件高三数学一轮复习
角度2 两个二项式之积、三项展开式问题
典例2（1） 在
x2
− 3x +
A.−30
[解析] −
+
−
⋅
⋅ −
−
⋅
C )
C.−25
的展开式的通项+
令 = ， =
=
1−
1 5
的展开式中，常数项为(
x
B.30
−
4
x
=
−
= −
知识拓展
若二项展开式的通项为Tr+1 = g r ⋅ xh r (r = 0,1,2, ⋯ , n)，g r ≠ 0，则有以下常见结论：
（1） h r = 0 ⇔ Tr+1 是常数项.
（2）h r 是非负整数 ⇔ Tr+1 是整式项.
（3）h r 是负整数 ⇔ Tr+1 是分式项.
（4）h r 是整数 ⇔ Tr+1 是有理项.
令 = −，则 = − + − + ⋯ − .
又 + + ⋯ +
− + + ⋯ +
= + + + ⋯ + − + − + ⋯ + − = ，
∴ +
⋅ = ，∴ + = ，∴ = −或 = .故答案为−或1.
D.−1
= − ，可知 ， ，
都小于0，则 − + − + − = + + + + + .
二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
二项式定理 优秀课件
项的系数：二项式系数与数字系数的积.
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
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相乘；
第二步：y和(x y)8展开式中含有x 2 y 6的
项相乘，再将两部分系数相加。
.
问题二：最大二项式系数问题
知识梳理：
二项式系数性质：
（1）对称性：在二项式展开式中，与首末两端
“等距离”的两项的二项式系数相等，可直接用
公式
C =nk
C
n n
得k 到。
（2）增减性和最大值：二项式系数先 增 后 减 ， 中间 项最大。
知识梳理：
(3)二项式系数的和：二项式展开式中所有二项式 系数和等于 ， 即从 ( 1 x ) n C n 0 x 0 C n 1 x C n 2 x 2 . . . C n r x r . . . C n n x n 出发，可通过对x赋值，令x= ，n =。
.
练习3：求 (1 x)5 的二项式系数和。
求特定项及特定项的系数：写通项，定次数。
.
例题：求 (x2 x y)5展开式中 x 5 y 2 的系
数.
思路：此二项式中为三项相加，可将三项看 成两项，再通过通项公式定次数
.
变式：求 xyxy8的展开式中x 2 y 7 的
系数. 思路：此题可分为两步：
第一步，x和 (x y)8展开式中含有 xy 7的项
.
问题一：求特定项及特定项系数问题
知识梳理：
1、二项式定理: (a b)n=_____________n___N_*
其中
叫做二项式系数。
注意：
（1）二项式展开共有 n 1 项； （2）a和b的顺序不能颠倒，且a和b 指数和为 n ；
（3） a的指数从n减小到0, b 的指数从0增大
到n，简称“一降二升”；
.
练习2：下列二项式展开式)8 ； ② x2y11
二项式的幂指数n是偶数时，中间一项的二项 n
式系数最大，为 C
2 n
；n是奇数时，中间两项
n 1
n1
的二项式系数相等并且最大，为 C n 2 （或 C n 2 ）。
.
问题三：二项式系数和及系数和问题
变式：(1 x)n a 0 a x 1 ... a nxn ，若 a 1 a 2 a 3 ... a n6 3，求展开式中最大 二项式系数和.
问题：所有二项式系数和都是系数和吗? 若 f(x)a0a 1x...anx ，n展开式各项系数和为f（1）
.
本节课小结： 1、求特定项及特定项系数； 2、求最大二次项系数； 3、求二次项系数和及系数和
.
作业：
1、( x
1 x
) n展开式中二项式系数和为64，求展开式
中的常数项。
2、已知 (1ax)(1x)5 的展开式中 x 2 系数为5，
求a的值。
3、( x 1 ) n 展开式中第3项的二项式系数为15，
2
求展开式中所有系数和。
4、设 m 为正整数，(x y)2m 展开式的二项式系数
最大值为 a ， (x y)2m1 展开式的二次项系数最
（4）展开式中，系数
C
k n
叫做第 K+1 项的二项
式系数。
.
2、 通项：Tr1 ______ 注意： （1）通项公式表示的是第__r+_1_项； （2）通项公式里的a,b不能颠倒,a,b可以 是数也可以是式子.
.
练习1：求 ( x 1 )8的展开式中 x 5 的系
数.
x
思路：令展开式的通项中x的次数等于5 ，确 定待定系数r，将求出的r带入通项公式.
大值为 b ，若 13a7b ，求 m 的值。
.
第二步：y和(x y)8展开式中含有x 2 y 6的
项相乘，再将两部分系数相加。
.
问题二：最大二项式系数问题
知识梳理：
二项式系数性质：
（1）对称性：在二项式展开式中，与首末两端
“等距离”的两项的二项式系数相等，可直接用
公式
C =nk
C
n n
得k 到。
（2）增减性和最大值：二项式系数先 增 后 减 ， 中间 项最大。
知识梳理：
(3)二项式系数的和：二项式展开式中所有二项式 系数和等于 ， 即从 ( 1 x ) n C n 0 x 0 C n 1 x C n 2 x 2 . . . C n r x r . . . C n n x n 出发，可通过对x赋值，令x= ，n =。
.
练习3：求 (1 x)5 的二项式系数和。
求特定项及特定项的系数：写通项，定次数。
.
例题：求 (x2 x y)5展开式中 x 5 y 2 的系
数.
思路：此二项式中为三项相加，可将三项看 成两项，再通过通项公式定次数
.
变式：求 xyxy8的展开式中x 2 y 7 的
系数. 思路：此题可分为两步：
第一步，x和 (x y)8展开式中含有 xy 7的项
.
问题一：求特定项及特定项系数问题
知识梳理：
1、二项式定理: (a b)n=_____________n___N_*
其中
叫做二项式系数。
注意：
（1）二项式展开共有 n 1 项； （2）a和b的顺序不能颠倒，且a和b 指数和为 n ；
（3） a的指数从n减小到0, b 的指数从0增大
到n，简称“一降二升”；
.
练习2：下列二项式展开式)8 ； ② x2y11
二项式的幂指数n是偶数时，中间一项的二项 n
式系数最大，为 C
2 n
；n是奇数时，中间两项
n 1
n1
的二项式系数相等并且最大，为 C n 2 （或 C n 2 ）。
.
问题三：二项式系数和及系数和问题
变式：(1 x)n a 0 a x 1 ... a nxn ，若 a 1 a 2 a 3 ... a n6 3，求展开式中最大 二项式系数和.
问题：所有二项式系数和都是系数和吗? 若 f(x)a0a 1x...anx ，n展开式各项系数和为f（1）
.
本节课小结： 1、求特定项及特定项系数； 2、求最大二次项系数； 3、求二次项系数和及系数和
.
作业：
1、( x
1 x
) n展开式中二项式系数和为64，求展开式
中的常数项。
2、已知 (1ax)(1x)5 的展开式中 x 2 系数为5，
求a的值。
3、( x 1 ) n 展开式中第3项的二项式系数为15，
2
求展开式中所有系数和。
4、设 m 为正整数，(x y)2m 展开式的二项式系数
最大值为 a ， (x y)2m1 展开式的二次项系数最
（4）展开式中，系数
C
k n
叫做第 K+1 项的二项
式系数。
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2、 通项：Tr1 ______ 注意： （1）通项公式表示的是第__r+_1_项； （2）通项公式里的a,b不能颠倒,a,b可以 是数也可以是式子.
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练习1：求 ( x 1 )8的展开式中 x 5 的系
数.
x
思路：令展开式的通项中x的次数等于5 ，确 定待定系数r，将求出的r带入通项公式.
大值为 b ，若 13a7b ，求 m 的值。
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