必修一 函数与方程(经典例题+测试)

函数与方程

题型一 函数零点的判断

例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．

(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．

函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )

A ．(－2，－1)

B (－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1,2)

题型二 函数零点个数的判断

例2 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零

点个数是________．

(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )

A ．0

B 1

C ．2

D ．3

题型三 二次函数的零点问题

例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．

关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时：

(1)有两不同正根；（a >2.）(2)不同两根在(1,3)之间；（2

）(3)有一根大于2，另一根小于2；（a >2.）

一、选择题：

1． (2011·课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为 ( )

A ．(－14，0)

B ．(0，14)

C (14，12)

D ．(12，34

) 2． 方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 ( )

A ．1

B 2

C ．3

D ．4

3．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是

A ．(－1,1)

B ．(－2,2)

C (－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( ) A ．3 B 2 C ．1 D ．0

5． 已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )

A ．a

B a

C ．b

D ．c

二、填空题(每小题5分，共15分)

6若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是_______．(答案 －12，－13

) 7． 已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________．（答案 3)

8． 定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 014x ＋log 2 014x ，则在R 上，函数f (x )

零点的个数为________．答案 3

9． (2012·深圳模拟)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，

x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．答案 x 1

10． 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1

（m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.）

12．下列说法正确的有________：

①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点． ②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点． ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.

④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．

B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

1.已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0

A 恒为负

B ．等于零

C ．恒为正

D ．不小于零

二、填空题(每小题4分，共12分)

2． 用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间

[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．答案 7

3． 已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点

的个数为________答案 6

4． (2012·海淀调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点， 则实数m 的取值范围是________．答案 (0,1)

5．(1) m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.

①有且仅有一个零点；（m ＝4或m ＝－1.）②有两个零点且均比－1大；(m 的取值范围为(－5，－1)．)

(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．(－4,0)．